2023-2024学年河北省张家口市张垣联盟高二上学期12月阶段测试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省张家口市张垣联盟高二上学期12月阶段测试数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知点A2,4在抛物线C:y2=2px上，则点A到抛物线C的准线的距离为
( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
2.已知A2,1,B−4,a两点到直线l:x−y+2=0的距离相等，则a=( )
A. 1B. −5C. 1或−5D. 1或−8
3.双曲线x2−y23=1经过一､三象限的渐近线的倾斜角为
( )
A. π6B. π3C. 5π6D. 2π3
4.若方程x2m+3+y2m−6=1表示双曲线，则m的取值范围是
( )
A. m<−3或m>6B. −3C. m<−6或m>3D. −65.四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若AE=xAB+12yBD+12zAP，则xyz=( )
A. 1B. 2C. 12D. 32
6.在抛物线x2=4y上有三点A,B,C．F为其焦点，且F为▵ABC的重心，则AF+BF+CF=( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
7.若点P1,−1为圆x2+y2−6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为
( )
A. 2x+y+1=0B. 2x+y−1=0C. x+2y−3=0D. 2x+y−3=0
8.已知两点A−1,5,B0,0，若直线l:k+1x−2k−2y+2k−6=0与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为
( )
A. −1,1B. −∞,−1∪1,+∞
C. −∞,−1∪0,1D. −1,0∪1,+∞
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对抛物线y=−8x2，下列描述正确的是
( )
A. 开口向下，准线方程为y=132B. 开口向下，焦点为0,−132
C. 开口向左，焦点为−132,0D. 开口向左，准线方程为x=−132
10.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，点P在E上，若椭圆上有4个点使得∠F1PF2=π2，则E的离心率可以是
( )
A. 12B. 22C. 32D. 53
11.若P是双曲线C:x2−y2=2上一点，F1,F2为C的左､右焦点，则下列结论中正确的是
( )
A. 双曲线的实轴长为 2
B. 若PF1⋅PF2=0，则三角形PF1F2的周长为4+2 6
C. PF2的最小值是2− 2
D. 双曲线的焦点到渐近线的距离是2
12.已知点P,Q分别在圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2−10x+24=0上.则
( )
A. PQ的最小值为3
B. PQ的最大值为8
C. 若PQ成为两圆的公切线，方程可以是3x+4y−10=0
D. 若PQ成为两圆的公切线，方程可以是12x−5y−26=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.双曲线x264−y216=1的焦点为F1,F2，点P在双曲线上，若PF1=5，则PF2=__________．
14.已知圆M与圆C1:x2+(y+5)2=25和圆C2:x2+(y−5)2=9均外切，则点M的轨迹方程为______．
15.已知抛物线C:y2=8x，一条平行于x轴的光线l1从点M8,2射入，经过C上的点A反射后，再经过C上的另一点B，则B的坐标为__________．
16.几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段.某同学在画“切面圆柱体”(用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成45∘角，则该椭圆的离心率为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)经过点 5,−2，且与双曲线y24−x2=1具有相同的渐近线；
(2)与椭圆x24+y2=1共焦点，且过点P2,1．
18.(本小题12分)
菱形ABCD的顶点A､C的坐标分别为A−1,−1､C9,−13,BC边所在直线过点P4,−3．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求对角线BD所在直线的方程．
19.(本小题12分)
数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知▵ABC的顶点A2,0,B0,−2，且▵ABC的欧拉线的方程为2x+3y−2=0，若▵ABC外接圆圆心记为M．
(1)求圆M的方程；
(2)过点P5,6引圆M的切线，求切线的长．
20.(本小题12分)
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线E:6x2−12y2=1的一个焦点重合．
(1)求C的方程； (2)若直线l:y=x−2与C相交于A,B两点，求AB．
21.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PB⊥BC,PD⊥CD，且PA=4．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)若AB=BC=4，在线段PD上是否存在点E，使平面PAB与平面ACE夹角的余弦值为 66？若存在，找出点E的位置；若不存在，请说明理由．
22.(本小题12分)
以双曲线x2−y2=1的顶点为焦点，离心率倒数的平方为离心率作一椭圆C．
(1)求C的标准方程；
(2)已知F1为C的左焦点，过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点(M在N上方)，且MF1=λF1N，若13<λ≤12，求l斜率的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题．
根据已知条件，先求出p，再结合抛物线的定义，即可求解．
【解答】解：点A(2,4)在抛物线C：y2=2px上，
则16=4p，解得p=4，
由抛物线的定义可知，A到C的准线的距离为 xA+p2=2+2=4．
故选B..
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】
解：因为A(2,1)，B(−4,a)两点到直线l：x−y+2=0的距离相等，
所以|2−1+2| 12+(−1)2=|−4−a+2| 12+(−1)2⇒|a+2|=3⇒a=1或a=−5，
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查双曲线的渐近线，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题．
由双曲线方程，求得其渐近线方程，结合已知即可求解．
【解答】
解：双曲线x2−y23=1的两条渐近线的方程为y=± 3x，
经过一三象限的渐近线为y= 3x，倾斜角为π3，
故选B．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查方程表示双曲线，属于基础题．
利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可．
【解答】
解：若方程x2m+3+y2m−6=1表示双曲线，
则(m+3)(m−6)<0，
∴−3故选B．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量的加法、减法、数乘运算、平面向量的基本定理及其应用，属于基础题．
连接AC，得出AE=12AP+AC=12AP+AB+BC，结合已知式子求出x，y，z，即可求出结果.
【解答】
解：连接AC，因为点E为棱PC的中点，
所以AE=12AP+AC=12AP+AB+BC，BD=BC+CD=BC−AB
因为AE=(x−12y)AB+12yBC+12zAP，
所以x−12y=1212y=1212z=12，解得x=1y=1z=1,
所以xyz=1．
故选A．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查抛物线的几何性质，属中档题．
设点A，B，C的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3).由已知可求y2+y1+y3=3，从而可求|AF|+|BF|+|CF|．
【解答】解：设点A，B，C的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3).F(0,1)，
AF=(−x1,1−y1)，AB=(x2−x1,y2−y1)，AC=(x3−x1,y3−y1).
又F是为▵ABC的重心，
∴AF=23×12AB+AC=13AB+AC，
∴1−y1=13y2−y1+y3−y1，
∴y2+y1+y3=3，
∵点A，B，C在抛物线x2=4y上，
∴AF=y1+1，BF=y2+1，CF=y3+1
∴|AF|+|BF|+|CF|=y2+y1+y3+3=6．
故选：A．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率的求法，直线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用是基础题．
两式作差根据中点公式即可求出kMN=y1−y2x1−x2=−2，进而利用点斜式求出结果．
【解答】
解：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x12+y12−6x1=0，x22+y22−6x2=0.两式作差可得
x12−x22+y12−y22−6x1+6x2=0，即(x1+x2)(x1−x2)+(y1+y2)(y1−y2)−6(x1−x2)=0．
又∵P(1,−1)是MN的中点，则x1+x2=2，y1+y2=−2，
∴2(x1−x2)−2(y1−y2)−6(x1−x2)=0，即−4(x1−x2)−2(y1−y2)=0．
∴kMN=y1−y2x1−x2=−2，∴直线MN的方程为y+1=−2(x−1)，即2x+y−1=0．
经检验，符合题意.故弦MN所在直线的方程为：2x+y−1=0.故选：B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
利用斜率计算公式及其意义即可得出．
本题考查了斜率计算公式及其意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：由直线l:(k+1)x−(2k−2)y+2k−6=0，
变形可得(x−2y+2)k+x+2y−6=0，由x−2y+2=0x+2y−6=0，解得x=2y=2，
可得直线l恒过定点P(2,2)，则kPA=5−2−1−2=−1，kPB=2−02−0=1，
若直线l与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为[−1,1]．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查抛物线的标准方程及其几何性质，属于基础题．
抛物线方程先化为标准方程 x2=−18y，逐一分析各选项即可．
【解答】
解：由抛物线y=−8x2，可得 x2=−18y，
则开口向下，焦点为 0,−132，准线方程为y=132．
故选AB．
10.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率计算，属于中档题；
点P在E上，若椭圆上有4个点使得∠F1PF2=π2，则以原点为圆心， F1F2 为直径的圆与椭圆必有4个交点，
可得 c>b ，即 c2>b2 ，即可求解；
【解答】
解：若点P在E上，若椭圆上有4个点使得∠F1PF2=π2，
则以原点为圆心， F1F2 为直径的圆与椭圆必有4个交点，
如图，可得 c>b ，即 c2>b2 ，
所以 2c2>a2 ，即 e2>12 ，
又 e<1 ，所以 e∈( 22,1) ．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的简单几何性质，是基础题．
由双曲线方程可直接得到 a ；
由 a,b,c 的关系和向量垂直得到 m+n=2 6 ，再确定周长即可；
由双曲线的意义可直接确定C；
由渐近线方程和点到直线的距离可确定D．
【解答】
解：对于 A ，由双曲线 C:x2−y2=2 得 C:x22−y22=1 ，
则 a2=2 ，即 a= 2 ，故双曲线实轴长为 2 2 ，故 A 错误；
对于 B ，由 c2=a2+b2=4 ，即 a= 2,b= 2,c=2 ，
设 PF1=m,PF2=n ，因为 PF1⋅PF2=0 ，
则 PF1⊥PF2 ，所以 m2+n2=16m−n=2 2 ，解得 m+n=2 6 ，
则 △PF1F2 的周长为 4+2 6 ，故B正确；
对于 C ，易知 PF2min=c−a=2− 2 ，故C正确；
对于 D ，由选项 A 知，双曲线焦点为 ±2,0 ，
渐近线为 y=±x ，即 x±y=0 ，
所以焦点到渐近线的距离为 2 ，故 D 错误．
故选BC ．
12.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查与圆有关的最值，圆与直线关系，属于中档题．
由|PQ|min=|OM|−R−r，|PQ|max=|OM|+R+r判断A，B；由直线与圆相切，判断C、D．
【解答】
解：对于A，Q圆O：x2+y2=4的圆心坐标O(0,0)，半径r=2，圆M:x2+y2−10x+24=0，即(x−5)2+y2=1的圆心坐标M(5,0)，半径R=1，∴圆心距|OM|=5>r+R=3，所以两圆外离，又QP在圆O上，Q在圆M上，则|PQ|的最小值为|PQ|min=|OM|−R−r=2，故选项A错误;
对于B，最大值为|PQ|max=|OM|+R+r=8，选项B正确;
对于C，因为O到直线3x+4y−10=0的距离d1=105=2=r，M到直线3x+4y−10=0的距离d2=|3×5−0−10|5=1=R，所以3x+4y−10=0是两圆的公切线，故选项C正确;
对于D，因为O到直线12x−5y−26=0的距离d3=|−26| 122+52=2=r，所以12x−5y−26=0是圆O的切线，但M到直线12x−5y−26=0的距d4=|12×5−26| 122+52=3413≠R，故选项D错误．
故选：BC．
13.【答案】21
【解析】【分析】
根据双曲线定义||PF1|−|PF2||=2a，求解．
本题考查了双曲线的定义，属于基础题．
【解答】解：由双曲线y264−x216=1，得a=8，
由双曲线的定义得||PF1|−|PF2||=2a=16，又|PF1|=5，
所以|PF2|=21，或|PF2|=−11(舍去)，
所以|PF2|=21．
故答案为：21．
14.【答案】y2−x224=1(y≥1)
【解析】【分析】
本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，掌握双曲线的定义域性质是关键，是中档题．
根据外切的性质及双曲线的定义得到点M的轨迹为双曲线，然后求方程即可．
【解答】
解：y2−x224=1(y≥1)当圆M与圆C1，C2均外切时，|MC1|=rM+5，|MC2|=rM+3，
所以|MC1|−|MC2|=2<|C1C2|=10，
则点M的轨迹为双曲线D的上支，设轨迹方程为y2a2−x2b2=1，
则2a=2，c=5，则a=1，b= 52−12= 24，
所以轨迹方程为y2−x224=1(y≥1)．
15.【答案】(8,−8)
【解析】【分析】
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
根据抛物线性质，可得直线AF的方程，再与抛物线方程联立即可得解．
【解答】
解：光线l1平行于x轴，从点M(8,2)射入，则有A(12,2)，
根据抛物线性质，直线AB过抛物线焦点，抛物线C的焦点为F(2,0)，
直线AF的斜率为2−012−2=−43，
则直线AF的方程为y=−43(x−2)，
代入抛物线C的方程解得x=12y=2或x=8y=−8，
可得B的坐标为(8,−8)．
16.【答案】 22
【解析】【分析】
本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题．
作出图形，根据题意，设圆半径为r，可表示出椭圆的长轴长和短轴长，再由椭圆的离心率公式即可得解．
【解答】
解：如图所示：
切面与底面的二面角的平面角为∠BAM，
故∠BAM=45∘，设圆半径为r，
则AM=2r，CD=2r，AB=AMsin45∘=2 2r，
设椭圆的长轴长及短轴长分别为2a，2b，
故2a=2 2r，2b=2r，
故a= 2r，b=r，c= a2−b2=r，
所以e=ca= 22．
故答案为： 22
17.【答案】(1)因为所求双曲线与双曲线 y24−x2=1 具有相同的渐近线，
故设要求双曲线的标准方程为 y24−x2=mm≠0 ，
代入点 5,−2 ，得 m=44−5=−4 ，
则双曲线的方程为 x24−y216=1
(2)椭圆 x24+y2=1 的焦点坐标为 ± 3,0 ，在 x 轴上．
所以设所求双曲线的方程为 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ．
则 22a2−12b2=1c= 3a2+b2=c2 ，解得： a= 2b=1 ，
即所求方程为： x22−y2=1 ．

【解析】本题考查双曲线标准方程求解，属于基础题．
(1)由同渐近线的双曲线方程的关系设要求双曲线的标准方程为 y24−x2=mm≠0 ，即可代点求得 m ，得出其方程．
(2)根据已知得出焦点坐标为 ± 3,0 ，在 x 轴上，设出所求方程，根据双曲线定义列式解出 a,b ，即可得到答案．
18.【答案】解：(1)由菱形的性质可知：BC//AD，∵BC边所在直线过点P(4,−3)，点C坐标为(9,−13)，
∴则kAD=kBC=kCP=−3+134−9=−2，
又∵点A坐标为(−1,−1)，∴AD边所在直线的方程为y+1=−2(x+1)，即2x+y+3=0，
所以AD边所在直线的方程为2x+y+3=0．
(2)∵A(−1,−1)，C(9,−13)，∴线段AC的中点为E(4,−7)，且kAC=−13+19+1=−65．
由菱形的几何性质可知：BD⊥AC且E为BD的中点.则kBD=−1kAC=56，
所以对角线BD所在直线的方程为y+7=56(x−4)，即5x−6y−62=0，
BD所在直线的方程为：5x−6y−62=0．
【解析】本题考查了相互平行的直线斜率相等、点斜式、相互垂直的直线斜率之间的关系、菱形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
(1)利用相互平行的直线斜率相等、点斜式即可得出．
(2)利用相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式即可得出．
19.【答案】解：(1)因A(2,0)，B(0,−2)，则AB的中点为(1,−1)，
又kAB=−2−00−2=1，
则AB的中垂线方程为x+y=0，
将其与欧拉线方程联立有x+y=02x+3y−2=0，解得x=−2y=2，
故△ABC的外心为M(−2,2)，
则△ABC外接圆半径为r=|MA|= (−2−2)2+22= 20，
故圆M的方程为(x+2)2+(y−2)2=20．
(2)设切点为Q，由题有|PQ|2=|PM|2−|QM|2
=(5+2)2+(6−2)2−20=49+16−20=45，
故切线的长3 5．
【解析】本题主要考查了直线方程、圆的方程、直线与圆的关系，属于中档题．
(1)由A、B两点坐标可得AB的中点坐标及线段AB的垂直平分线的斜率，从而可求得线段AB的垂直平分线方程，联立方程组求得▵ABC外心的坐标及外接圆半径即可得▵ABC外接圆方程．
(2)设切点为Q，由题有|PQ|2=|PM|2−|QM|2，计算即可．
20.【答案】解：(1)∵双曲线E:6x2−12y2=1，即E:x216−y2112=1，焦点坐标为(±12,0)，
又抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)，∴p2=12，即p=1，∴抛物线C的方程为y2=2x;
(2)将抛物线方程与直线方程联立得y=x−2y2=2x，消去x，得y2−2y−4=0，
Δ=20>0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1y2=−4，y1+y2=2，
故|AB|= 1+112|y1−y2|= 2 (y1+y2)2−4y1y2= 2× 20=2 10．
【解析】本题考查的是抛物线的标准方程，直线与抛物线相交求弦长，双曲线的性质．
(1)由题意双曲线的焦点坐标是(±12,0)，所以p2=12，得出p，即可得出C的方程；
(2)利用弦长公式即可得出答案．
21.【答案】(1)证明：∵PB⊥BC，BC⊥AB，PB，AB⊂平面PAB，AB∩PB=B，
故BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，故BC⊥PA，同理可得PA⊥CD，BC∩CD=C，
BC，CD⊂平面ABCD，
故PA⊥平面ABCD
(2)解：由(1)可得AB，AD，AP两两互相垂直，所以以A为原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则A(0,0,0)，B(4,0,0)，P(0,0,4)，C(4,4,0)，D(0,4,0)设PE=λPD=λ(0,4,−4)，
则E(0,4λ,4−4λ)，λ∈[0,1]，有AC=(4,4,0)，AE=(0,4λ,4−4λ)，
平面PAB的一个法向量是n1=(0,1,0)，设平面ACE的一个法向量是n2=(x,y,z)，
则n2⋅AC=(x,y,z)⋅(4,4,0)=4x+4y=0n2⋅AE=(x,y,z)⋅(0,4λ,4−4λ)=4yλ+4z−4zλ=0,
取x=1得y=−1，z=λ1−λ，即n2=(1,−1,λ1−λ)
csn1,n2=n1·n2|n1|·n2=11× 1+1+(λ1−λ)2= 66，解得λ=23，
即存在点E满足条件，E是PD上靠近点D的三等分点
【解析】本题考查线面垂直的判定，利用空间向量求面面夹角问题，属于中档题．
(1)先依据线面垂直的性质证明BC⊥PA，同理证明CD⊥PA，再依据线面垂直的判定定理得出PA⊥平面ABCD;
(2)以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，设出E的坐标，求出平面PAB与平面ACE的法向量，结合夹角公式求出参数即可．
22.【答案】解：(1)因为双曲线x2−y2=1的顶点为(−1,0)，(1,0)，所以椭圆C的焦点为(−1,0)，(1,0)，因为双曲线的离心率为 2，所以椭圆C的离心率为12，设椭圆C的标准方程为：
x2a2+y2b2=1，椭圆C的焦距为2c，则c=1，依题意，则ca=12，于是a=2，因为a2=b2+c2，
所以b= 3，故椭圆C的标准方程为：x24+y23=1．
(2)在椭圆C:x24+y23=1中，F1(−1,0)，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点(M在N上方)，且MF1=λF1N，13<λ≤12，当直线C斜率不存在时|MF1|=|NF1|，显然不成立．
当直线C斜率存在时设l方程为y=k(x+1)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，由MF1=λF1N得
y1=−λy2 ①联立x24+y23=1y=k(x+1)消去x得(3+4k2)y2−6ky−9k2=0，
Δ=36k2+36k2(3+4k2)>0，y1+y2=6k3+4k2 ②且y1y2=−9k23+4k2 ③．
由 ① ②得：y1=−6λk(4k2+3)(1−λ)y2=6k4k2+3(1−λ)代入 ③中得：−9k23+4k2=−36λk23+4k221−λ2
因为当k=0时，λ=13不成立，∴k2=λ(1−λ)2−34=1λ+1λ−2−34(13<λ≤12)，
函数f(λ)=λ+1λ(13<λ≤12)，
13<λ1<λ2≤12时，f(λ1)−f(λ2)=λ1+1λ1−(λ2+1λ2)=(λ1−λ2)(λ1λ2−1λ1λ2)，
由13<λ1<λ2≤12，有λ1−λ2<0，0<λ1λ2<1，则(λ1−λ2)(λ1λ2−1λ1λ2)>0，
f(λ1)−f(λ2)>0，f(λ1)>f(λ2)，f(λ)在(13,12]上单调递减，
则有52≤λ+1λ<103，得0由M在N上方且13<λ≤12，所以k∈[− 52,0)．
【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．
(1)由焦点坐标和离心率求椭圆标准方程;
(2)设直线l的方程，与椭圆联立方程组，由MF1=λF1N结合韦达定理，把斜率k表示为λ的函数，利用单调性求取值范围．