山东省烟台市2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省烟台市2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、( )
A.B.C.D.
2、函数的零点所在的区间为( )
A.B.C.D.
3、函数（且）的图象过定点( )
A.B.C.D.
4、下列函数中最小正周期为,且在区间上单调递增的是( )
A.B.C.D.
5、已知为第二象限角,,则( )
A.B.C.D.
6、已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
7、物体冷却时的温度变化可用以下公式来刻画：设环境温度为,物体的初始温度是,经过tmin后物体的温度为,则.现将一杯的热茶放在的房间中冷却,假设经过10min热茶降温到,那么继续降温到还需要的时间约为（结果精确到0.1,参考数据：,）( )
8、若在上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
9、已知函数,则( )
A.的最小正周期为B.的定义域为
C.若,则（）D.在其定义域上是增函数
10、设正数,且,则( )
A.B.C.D.
11、设函数,则( )
A.是偶函数
B.是的一个周期
C.函数存在无数个零点
D.存在,使得
12、在平面直角坐标系xOy中,角以坐标原点O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,其终边经过点,,定义,,则( )
A.B.的最大值为2
C.D.
二、填空题
13、函数的定义域为（用区间表示）______.
14、若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围为______.
15、在平面直角坐标系xOy中,角与角均以x轴的非负半轴为始边,且它们的终边关于直线对称,若,则的值为______.
三、双空题
16、给定函数,若在其定义域内存在使得,则称为“函数”,为该函数的一个“点”.设函数,若1n2是的一个“点”,则实数a的值为______;若为“函数”,则实数a的取值范围为______.
四、解答题
17、求下列各式的值.
（1）;
（2）已知,求的值.
18、勒洛三角形是由19世纪德国工程师勒洛在研究机械分类时发现的.如图1,以等边三角形ABC的每个顶点为圆心、边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形ABC.受此启发,某数学兴趣小组绘制了勒洛五边形.如图2,分别以正五边形ABCDE的顶点为圆心、对角线长为半径,在距离该顶点较远的另外两个顶点间画一段圆弧,五段圆弧围成的曲边五边形就是勒洛五边形ABCDE.设正五边形ABCDE的边长为1.
（1）求勒洛五边形ABCDE的周长;
（2）设正五边形ABCDE外接圆周长为,试比较与大小,并说明理由.（注：）
19、已知函数的最小正周期为,且其图象经过点.
（1）求函数的单调递增区间;
（2）设,求不等式的解集.
20、地铁作为城市交通的重要组成部分,以其准时、高效的优点广受青睐.某城市新修建了一条地铁线路,经调研测算,每辆列车的载客量h（单位：人）与发车时间间隔t（单位：分钟,且）有关：当发车时间间隔达到或超过15分钟时,列车均为满载状态,载客量为1700人;当发车时间间隔不超过15分钟时,地铁载客量h与成正比.假设每辆列车的日均车票收入（单位：万元）.
（1）求y关于t的函数表达式;
（2）当发车时间间隔为何值时,每辆列车的日均车票收入最大?并求出该最大值.
21、已知函数（t,,且）为偶函数.
（1）求t和k的值;
（2）讨论函数的零点个数.
22、已知函数,且当时,的最大值为.
（1）求a的值;
（2）设函数,若对任意的,总存在,使得,求实数b的取值范围.
参考答案
1、答案：A
解析：.
故选：A.
2、答案：C
解析：依题意,函数的定义域为,
而在为单调递减函数,在为单调递减函数,
因为,所以,即所以,
,所以,
所以由零点存在性定理可知,函数在区间有零点.
故选：C.
3、答案：D
解析：依题意,因为（且）,
所以令,解得：,所以,
所以函数（且）的图象过定点.
故选：D.
4、答案：B
解析：依题意,对于AC,最小正周期为：,所以AC选项不符合题意;
对于B：周期为：,且在上单调递增,所以B选项符合题意;
对于D：周期为：,且在上单调递减,所以D选项不符合题意;
故选：B.
5、答案：C
解析：因为是第二象限角,所以,,
又,所以,
即,得,
所以.
故选：C.
6、答案：A
解析：,,,.
故选：A.
7、答案：C
解析：根据题意：,解得,,即,
.
故选：C.
8、答案：B
解析：若在上单调递增,则
解得,即实数a的取值范围为.
故选：B.
9、答案：ABC
解析：A,,函数的最小正周期为,故A正确;
B,由,,得,,
所以函数的定义域为,故B正确;
C,,得,,解得,,故C正确;
D,,,解得,,
所以函数在上单调递增,故D错误.
故选：ABC.
10、答案：AB
解析：A,因为,所以,又因为,故,由此可得,故A正确;
B,因,所以,又因为,可得,故B正确;
C,根据对数函数性质可知,当底数大于1时,函数单调递增,当底数大于0小于1,函数单调递减,若,则,故C错误;
D,根据对数函数性质可知,当,时,故D错误.
故选：AB.
11、答案：AC
解析：对于A项,定义域为R,又,
所以是偶函数,故A项正确;
对于B项,,
所以不是的一个周期,故B项错误;
对于C项,因为时,有,又,
所以有无数多个解,所以函数存在无数个零点,故C项正确;
对于D项,当时,有,所以,所以有在上恒成立.又,是偶函数,所以当时,有恒成立,故D项错误.
故选：AC.
12、答案：ACD
解析：,,
对选项A：,正确;
对选项B：,错误;
对选项C：,正确;
对选项D：,正确.
故选：ACD.
13、答案：
解析：由且,解得,所以函数的定义域为.
故答案为：.
14、答案：
解析：当时,在区间上不可能单调递增,排除;
当时,,则,则,解得;综上所述
故答案为：.
15、答案：
解析：由,得,则,
因为和的终边关于直线对称点,所以,
所以.
故答案为：.
16、答案：3;
解析：由题意知,当时,,由新定义的函数知,,
则,有,即,解得;
若函数为“函数”,则存在使得,
当时,,,即,
得,即,得,
当且仅当即时等号成立.;
当时,,,即,得,
当且仅当即时等号成立.所以a的取值范围为.
故答案为：3;.
17、答案：（1）4
（2）
解析：（1）
（2）
18、答案：（1）
（2）,理由见解析
解析：（1）依题意,因为五边形ABCDE为正五边形且边长为1,
所以,,所以,所以,
在中,,,由正弦定理得：,
所以
,所以劣弧,
所以勒洛五边形ABCDE的周长：.
（2）,理由如下：
如图所示：作出正五边形ABCDE外接圆,
由（1）知,易得,所以由圆心角与圆周角的关系得：
,在中,,,.
由余弦定理得：,即,
因为,所以,
所以,所以,
所以正五边形ABCDE外接圆周长为：,
因为,所以,所以.
19、答案：（1）,
（2）
解析：（1）由最小正周期为得,由图象经过点,
得,解得,故.
故的单调递增区间为,,即,
（2）,则,由得,
,,
不等式的解集为.
20、答案：（1）
（2）当时有最大值为
解析：（1）当时,,;
当时,,且当时,,
解得,,,故.
（2）当时,,当时有最大值为;
当时,,当时有最大值为.
综上所述：当时有最大值为.
21、答案：（1）
（2）讨论见解析
解析：（1）因为为偶函数,所以,即,
化简得,即,化简得,
当时,,即,则.
（2）由（1）知：,即,
当时,令,,,
当且仅当,即时,等号成立,人去,,且,
则,
因为,,所以;又因为,所以,
则,即,所以在上单调递增,
根据复合函数同增异减性质可知在单调递增,
因为为偶函数,所以在单调递减,则.
当时,没有零点;当时,有一个零点;
当时,有两个零点.
22、答案：（1）2
（2）
解析：（1）
,
令,则在上的最大值为,
且,,则,解得,
当时,则的开口向下,对称轴为,
故当时,取到最大值,则,解得或（舍去）,
故a的值为2.
（2）由（1）可得：,
令,则的开口向下,对称轴为,
故当或时,取到最小值,故在上的值域,
又,则,故,设在上的值域为B,
若对任意的,总存在,使得,则,
当时,则,显然不成立,不合题意,舍去;
当时,则,可得,解得;
当时,则,可得,解得;
综上所述：实数b的取值范围为.