河南省高中名校联考2022-2023学年高一下学期3月调研考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省高中名校联考2022-2023学年高一下学期3月调研考试数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出，据此可得解.
【详解】由，可得，
故复数对应的点位于第四象限，
故选：D
2. 已知向量，，且，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量平行的坐标表示求参数，再应用向量线性运算的坐标表示求的坐标.
【详解】由题设，故，则.
故选：C
3. 已知集合，，若，则实数a取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合，根据得出为的子集，结合集合间的关系可得答案.
【详解】，，
因为，所以为的子集，
所以.
故选：A.
4. 若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据角的范围，结合同角的三角函数关系式，利用两角和的余弦公式进行求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
所以
.
故选：D.
5. 已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系，利用韦达定理可得关系，代入所求不等式解不等式即可．
【详解】因为不等式，的解集为，
所以且即，
不等式等价于，
即，，解得或，
所以不等式的解集为：，
故选：C．
6. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
【答案】A
【解析】
【分析】由题设作示意图，应用正弦定理求B，C两点间的距离即可.
【详解】由题设可得如下示意图，且，即，
由图知：，则，又，
所以，则海里.
故选：A
7. 在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】如下图所示：
，
由平面向量数量积的定义可得，
因此，
.
故选：B.
8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：．再利用余弦定理及其基本不等式的性质可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面积的最大值．
【详解】由正弦定理得：
由余弦定理得：，即

当且仅当时，即，，时取等号，
,
则，所以面积的最大值.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，且，则
B. 若，为复数，则
C. 设，是非零向量，若，则
D. 设，为复数，若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】A利用向量数量积定义，结合相关公式的几何意义判断；B设，，，分别求即可判断；C：应用向量数量积的运算律化简判断；D特殊值，即可判断.
【详解】A：且，只能说明，但不一定相等，错误；
B：令，，，
，则，
，则，
所以，正确；
C：由，则，即，正确；
D：复数，，满足，但，错误；
故选：BC
10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若a>b，则
B. 若，则A>B
C. 若，则是等腰三角形
D. 若为锐角三角形，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角形的基本性质及正弦定理，正弦函数的单调性，逐项分析得出结果即可．
【详解】对于选项A，在中，大边对大角，若，则，
根据正弦定理可得，选项A正确；
同理，选项B正确；
对于选项C，若，由正弦定理可得，
即，所以即或即，
所以为等腰角三角形或直角三角形，选项C错误；
对于选项D，若为锐角三角形，则，
又正弦函数在上为单调增函数，
，即 ，选项D正确．
故选：ABD．
11. 在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，BE=2EC，F是CD的中点，且AE=2，AF=3，∠EAF=60°，则下列说法正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用向量对应线段的位置关系及加减数乘的几何意义得、，，即可得，再应用向量数量积的运算律求.
【详解】由题设，①，
②，
所以①2②得即，
②①得，故，A正确、B错误；
所以，
故，故C正确、D错误.
故选：AC
12. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. a>cC. c>aD.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正弦边角关系可得，结合余弦定理及锐角三角形知、判断A、B、C正误；再由正弦边角关系得，应用倍角公式得，注意，即可得范围判断D正误.
【详解】由正弦边角关系知：，则，
所以，而，则，A正确；
由上知：，即，B错误，C正确；
由知：，则，
又，故，则，即，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则的单调增区间为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数复合函数的单调性，注意函数的定义域，进而确定单调增区间即可.
【详解】令，即，
由，则在上递增，在上递减，
综上，上递增，在上递减，而在定义域上递增，
所以的单调增区间为.
故答案为：
14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦定理边角互化，计算求值.
【详解】根据正弦定理可知，，
所以，
而，
所以.
故答案为：
15. 已知函数，若，则实数a的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】判断的奇偶性、单调性，结合已知不等关系得，即可求范围.
【详解】由，且定义域为R，
所以为奇函数，则，
根据在R上均为减函数，故也为减函数，
所以，则
故答案为：
16. 在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则3m+n的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知为三角形的重心，利用三点共线可得，再由均值不等式即可求最值.
【详解】取中点，连接，如图，
由可得，即，
所以三点共线且，即为的重心，
所以，
因为三点共线，
所以，
又，，
所以，当且仅当，
即时，等号成立，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知复数，其中i为虚数单位.
（1）若复数z为纯虚数，求m的值；
（2）若，求m的值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据纯复数的定义:实部为0，虚部不等于0，列出方程即可求解.
（2）设，代入式子化简，根据两个复数相等的充要条件即可列出式子进行求解.
【小问1详解】
因为复数为纯虚数，所以满足，解得:或.
【小问2详解】
设，则，将其代入，
则，整理得:，
且，解得:，或，
或，
解得:
18. 已知向量，满足，，且.
（1）若，求实数的值；
（2）求与的夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知，根据向量的数量积运算可求，再由向量垂直的运算列出关于的方程求解即可；
（2）先求和的值，再利用向量的夹角公式进行求解．
【小问1详解】
因为，，且，
所以，所以，
因为，
所以，解得；
【小问2详解】
因为，，由（1）得，
所以，
，
设与的夹角为，则．
19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，D是线段AC上的一点，，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理统一为边，再由余弦定理化简即可得解；
（2）由二倍角公式求出的正余弦，再由两角和的正弦求出，由正弦定理即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理可得，，
即，
所以，
因为，所以.
【小问2详解】
设，则，
所以，解得，，
所以，
由正弦定理，，所以.
20. 已知向量，，设函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）若函数在区间上的最大值为6，求实数a的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据向量的数量积运算及恒等变换可求的表达式，再由正弦函数的单调性求解即可；
（2）由已知可求，利用换元，把问题转化为二次函数在给定区间的最值问题，通过对称轴与区间的关系分类讨论求解即可．
【小问1详解】
因为，，
所以
由得，
所以的单调递减区间为
【小问2详解】
，
令，
因为，所以，且，
所以，
当即时，当时有最大值，此时，解得不合题意；
当即，当时有最大值，此时，解得符合题意；
当即，当时有最大值，此时，解得符合题意；
综上， 的值为或．
21. 对于定义在D上函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点.已知函数.
（1）若，求的不动点；
（2）若函数恰有两个不动点，，且，求正数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题设，令结合对数的性质求解即可.
（2）由题设可得，令问题化为，即方程在上有两个根，根据对应二次函数性质列不等式组求参数范围.
【小问1详解】
由题设，定义域为R，若，即，
所以，可得，故是的不动点.
【小问2详解】
令，且，
所以，整理得，
令，则，即方程在上有两个不相等的根，且，
若开口向上且对称轴，
，则，故.
22. 如图，某小区有一块空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且.
（1）若，求EF的值；
（2）为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求，即可得结果；
（2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到，最后根据三角函数的性质求最值即可.
【小问1详解】
由题意可得，
设，则，
在中，由余弦定理，
则，即，
由正弦定理，可得，
即，可得，
在中，，
，
由正弦定理，可得，
故.
故EF的值.
【小问2详解】
设，则，
由正弦定理，可得，
在中，由正弦定理，可得，
故的面积
，
∵，∴，∴，
∴，当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最小值.