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    河南省2022-2023学年高三下学期核心模拟卷(中)文科数学(二)试题(Word版附解析)

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    这是一份河南省2022-2023学年高三下学期核心模拟卷(中)文科数学(二)试题(Word版附解析),共22页。试卷主要包含了选择题的作答,非选择题的作答,选考题的作答等内容,欢迎下载使用。

    注意事项:
    1.本卷满分150分,考试时间120分钟.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
    2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
    3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
    4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
    5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.
    一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 设集合( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】由题意可得,根据交集的定义求解即可.
    【详解】解:因为,
    所以.
    故选:B.
    2. 若,其中,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】通过复数的运算及复数相等,求得,计算复数的模可得结果.
    【详解】.
    故选:C.
    3. 已知函数且的图象过定点,若抛物线也过点,则抛物线的准线方程为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据给定条件,求出函数图象恒过的点,求出抛物线方程即可作答.
    【详解】因为对于,当,即时,恒有,
    因此函数的图象过定点,而点在抛物线上,
    则,解得,
    所以抛物线的准线方程为.
    故选:B
    4. 执行如图所示的程序框图,若输入的值为2,则输出的值为( )
    A. 3B. 5C. 9D. 17
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据给定的程序框图,运行程序,依次计算即可作答.
    【详解】运行程序,初始值,第一次:,判断成立,,
    第二次:,判断成立,,
    第三次:,判断不成立,退出循环体,所以输出的值为9.
    故选:C
    5. 若两个向量、的夹角是,是单位向量,,,则向量与的夹角为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】计算出、,设向量与的夹角为,其中,利用平面向量向量的数量积运算可得出,即可得出结果.
    详解】由题意,
    又由,所以,
    所以,
    设向量与的夹角为,其中,则,可得.
    故选:D.
    6. 一种高产新品种水稻单株穗粒数和土壤锌含量有关,现整理并收集了6组试验数据,(单位:粒)与土壤锌含量(单位:)得到样本数据,令,并将绘制成如图所示的散点图.若用方程对与的关系进行拟合,则( )

    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】对方程两边取对数,写出回归直线方程,再根据散点图的特征分析判断作答.
    【详解】因为,,令,则与的回归方程为,
    根据散点图可知与正相关,因此,又回归直线的纵截距小于0,即,得,
    所以,.
    故诜:C
    7. 已知函数满足,且,则( )
    A. 3B. 3或7C. 5D. 7
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据题意得到是的一条对称轴,求得,再由,求得或,结合,得到,进而利用三角函数的性质,即可求解.
    【详解】由题意,函数满足,可得是函数的一条对称轴,
    所以,即,
    即,所以
    又由,可得或,即或,
    因为,可得,所以,
    当时,可得,即,(不符合题意,舍去);
    当时,可得,即,解得,
    如:时,可得,解得,符合题意,
    所以.
    故选:D.
    8. 已知为等差数列的前项和.若,,则当取最大值时,的值为( )
    A. 3B. 4C. 5D. 6
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由已知结合等差数列的性质和前项和公式,可推得,,从而得解.
    【详解】因为等差数列中,,即,
    所以,
    因为,即,
    所以,
    由为等差数列,得时,;时,,
    所以当时,取得最大值.
    故选:D.
    9. 如图所示,长方体中,,O是的中点,直线交平面于点M,则下列结论错误的是( )
    A. A,M,O三点共线
    B. 的长度为1
    C. 直线与平面所成角的正切值为
    D. 的面积为
    【答案】C
    【解析】
    【分析】利用公理3证明三点共线即可判断A,利用长方体的性质以及中位线定理,可判断B,利用线面角的定义,根据长方体的几何性质,结合三角函数定义,可判断C,利用三角形面积转化求解,可判断D.
    【详解】
    对于A,连结,则,四点共面,
    平面,,平面,
    又平面,在平面与平面的交线上,
    同理也在平面与平面的交线上.
    三点共线,故A正确:
    对于B,设直线与平面的交点为,
    ,平面,平面,平面,
    ,平面,平面,平面,
    又,平面,平面,
    平面平面,
    又平面平面,平面平面,

    为中点,为中点,同理可得为的中点,
    ,故B正确;
    对于C,取中点,连接,,平面,
    则即为直线与平面所成角,又平面平面,
    故即为直线与平面所成角,
    又,
    ,故C错误;
    对于D,,

    ,故D正确.
    故选:C
    10. 已知是定义域为的奇函数,当时,,则不等式的解集为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由具体函数解析式,根据导数与单调性,可得函数的单调性,结合奇函数性质,可得整个定义域上的单调性,化简不等式,可得答案.
    【详解】由题意,可知且,
    当时,,则,即,
    可得,
    当时,,
    则,即单调递增,
    由,则在上单调递增,
    易知,则不等式等价于,
    可得,解得.
    故选:D
    11. 已知曲线的方程为,曲线关于点的对称曲线为,若以曲线与两坐标轴的交点为顶点的四边形面积为,则的值为( )
    A. B. 1C. 0或D. 0
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据给定条件,求出曲线的方程,再判断原点与曲线的位置关系,结合四边形面积求出弦长作答.
    【详解】曲线:是以点为圆心,为半径的圆,
    点关于点的对称点,则曲线是以点为圆心,为半径的圆,
    圆的方程为,圆与两坐标轴各有两个交点,又圆的圆心在y轴上,则原点必在圆内,
    因此圆的内接四边形两条对角线互相垂直,其中一条对角线长为,设另一条对角线长为,
    于是,解得,因此圆截x轴所得弦长为,
    在中,令得,,即,
    从而,解得或,
    所以的值为0或.
    故选:C
    12. 在三棱锥中,和都是边长为的正三角形,当三棱锥的表面积最大时,其内切球的半径是( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据和都是正三角形,写出三棱锥的表面积表达式,可得表面积取最大值时,再根据等体积法求得内切圆半径.
    【详解】
    设三棱锥的表面积为,


    当,即时,表面积最大为.
    此时,
    过作的垂线,垂足为,连接,
    因为和都是正三角形,所以为中点,,
    因为平面,所以平面
    为三棱锥高,为三棱锥的高,
    设三棱锥的体积为,则
    设内切球的半径为,因为,所以,
    故选:A.
    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    13. 函数的最大值为_________.
    【答案】1
    【解析】
    【详解】由题意知:=
    ==
    ==,即,因为,所以的最大值为1.
    考点:本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解,熟练公式是解答好本类题目的关键.
    14. 已知双曲线一个焦点到直线的距离为,则的离心率为__________.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】求出双曲线焦点,根据条件求出,计算可得双曲线C的离心率.
    【详解】由已知得,双曲线的焦点在轴上,且焦点坐标为,不妨取,它到直线的距离为,解得,所以双曲线C的离心率为.
    故答案为:
    15. 已知实数,满足,且,则的取值范围是________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据不等式的性质判断与的大小关系是否满足不等式,从而可结合线性规划求目标函数的取值范围.
    【详解】实数,满足,且,
    若,则,所以,又,所以,
    则,即,则,所以与已知矛盾,
    故,要满足,则,
    即,满足该二元一次不等式的平面区域如下图所示:
    设目标函数为,则,故直线的纵截距的取值范围即可得的取值范围,
    由可行域可得直线经过时得纵截距的最大值,无最小值,又,所以,故,
    所以的取值范围是.
    故答案为:.
    16. 已知等比数列的公比为,前项和为,且满足.若对一切正整数,不等式恒成立,则实数的取值范围为__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】先求得和,整理,得,设,判断单调性,找到最小值.
    【详解】若,则,即,此时,与题意不符,舍去;
    若,由,可得,
    即,
    解得,则.
    对一切正整数,不等式恒成立,
    化简得,分离可得,
    设,则,
    当时,,即;
    当时,,即,
    所以的最小值为,
    故答案为:.
    三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
    (一)必考题:共60分.
    17. 某地政府因地制宜发展特色农业,引导农民脱贫致富,为了调研该地某种农产品的品质,现从一批这种农产品中随机抽取200个作为样本,测量该农产品的某一项质量指标值,该指标值越大质量越好.由测量结果得到如下频率分布直方图:
    (1)求a的值,并估计这200个农产品的质量指标值的平均值;
    (2)按照分层抽样方法,从中抽取5个农产品进行检测,根据样本估计总体,结合频率分布直方图,从这5个农产品中随机抽取2个,求这2个农产品来自不同组的概率.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据频率和为1可求的值,利用区间中点值和频率可求平均值;
    (2)先求,的农产品个数,利用古典概率求解.
    【小问1详解】
    由图可知,解得;
    所以估计这200个农产品的质量指标值的平均值为200.
    【小问2详解】
    由图可知的频率为,的频率为;
    所以抽取的5个农产品中有2个在,记为;
    有3个在,记为;
    从中任选2个,所有的基本事件有:,共10个;
    设事件“2个农产品来自不同组”,则包含的基本事件有,共有6个,
    所以.
    18. 如图,四边形中,已知.
    (1)若,求的值;
    (2)若,四边形的面积为4,求的值.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)中求出BD,在中,由正弦定理求出,根据即可求;
    (2)在、中,分别由余弦定理求出,两式相减可得与的关系式;又由的与的关系式;两个关系式平方后相加即可求出﹒
    【小问1详解】
    解:在中,∵,则
    ∴.
    在中,由正弦定理得,,
    ∴.
    ∵,∴,
    ∴.
    【小问2详解】
    解:在、中,由余弦定理得,


    从而①,
    由得,
    ②,
    得,,
    ∴.
    19. 如图所示,正方形与矩形所在平面互相垂直,,,E为线段上一点.
    (1)当∥平面,求证:为的中点;
    (2)在线段上是否存在点,使得平面平面?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1)见解析;
    (2)存在,当时,平面平面.
    【解析】
    【分析】(1)由题意可知为的中点,由线面平行的性质定理可得∥,即可得证;
    (2)由面面垂直的性质定理可得,只需满足,即可得平面,从而有平面平面,故只需找出成立时,的长度即可.
    【小问1详解】
    证明:因为为正方形,,
    所以为的中点,
    又因为∥平面,平面平面,平面,
    所以∥,
    又因为为的中点,所以为的中点;
    【小问2详解】
    存在,当时,平面平面,理由如下:
    设,
    因为为正方形,所以,
    又因为平面平面,平面平面,平面,
    所以平面,
    又因为平面,所以,
    又因为在矩形中,,
    当时,在中,,
    在中,,
    所以,
    又因为,
    所以,则,
    所以,
    又因为,平面,
    所以平面,
    又因为平面,所以平面平面.
    20. 已知椭圆过点,直线与交于两点,且线段的中点为为坐标原点,直线的斜率为.
    (1)求的标准方程;
    (2)已知直线与有两个不同的交点为轴上一点.是否存在实数,使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出的值及点的坐标;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1)
    (2)存在,时,点坐标为;当时,点坐标为
    【解析】
    【分析】(1)根据中点弦点差法得,再根据,得,再结合椭圆过点解方程即可得答案;
    (2)设中点,假设存在和点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形,进而将问题转化为,,再联立,结合韦达定理讨论,同时成立的情况.
    【小问1详解】
    解:设,则,
    所以,由题知直线的斜率.
    因为在椭圆上,
    所以,
    两式相减得,即,
    又,
    所以,即.
    又因为椭圆过点,
    所以,解得,
    所以椭圆的标准方程为.
    【小问2详解】
    解:联立消整理得:.
    因为直线与椭圆交于两点,故,解得.
    设,则.
    设中点,
    则,故.
    假设存在和点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形,则,故,
    所以,解得,故.
    又因为,所以,
    所以,即,
    整理得.
    所以,
    代入,整理得,即,
    所以或,即存在使得是以为顶点的等腰直角三角形.
    当时,点坐标为;当时,点坐标为.
    此时,是以为直角顶点的等腰直角三角形.
    21. 已知函数.
    (1)若,讨论零点的个数;
    (2)求证:.
    【答案】(1)当时,函数只有一个零点;
    当时,函数无零点.
    (2)证明见详解
    【解析】
    【分析】(1)分类讨论,求导,研究单调性质,通过最值分析零点个数;
    (2)利用放缩,转化为证明问题,构造函数,求导,通过最值符号证明不等式成立.
    【小问1详解】
    当时,,则,
    当时,单调递减,当时,单调递增,
    所以,此时函数只有一个零点;
    当时,,则.
    令,得.当时,,在上单调递减;
    当时,,在上单调递增.
    又,所以,所以,
    此时函数无零点.
    综上,当时,函数只有一个零点;
    当时,函数无零点.
    【小问2详解】
    由(1)知,,要证,
    只需证,只需证,
    记,则
    时,,所以在上单调递增,
    时,,所以在上单调递减,
    所以,
    即成立,当且仅当时,等号成立,
    又由不等式,当且仅当时,等号成立,
    所以恒成立,故,得证
    (二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
    选修4-4:坐标系与参数方程
    22. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
    (1)写出的普通方程和的直角坐标方程;
    (2)设点在上,点在上,求的最小值以及此时的直角坐标.
    【答案】(1):,:;(2),此时.
    【解析】
    【详解】试题分析:(1)的普通方程为,的直角坐标方程为;(2)由题意,可设点的直角坐标为到的距离
    当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.
    试题解析: (1)的普通方程为,的直角坐标方程为.
    (2)由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,所以的最小值即为到的距离的最小值,.
    当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.
    考点:坐标系与参数方程.
    【方法点睛】参数方程与普通方程的互化:把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法,常见的消参方法有:代入消参法;加减消参法;平方和(差)消参法;乘法消参法;混合消参法等.把曲线的普通方程化为参数方程的关键:一是适当选取参数;二是确保互化前后方程的等价性.注意方程中的参数的变化范围.
    选修4-5:不等式选讲
    23. 已知函数.
    (1)若的最小值为,求的值;
    (2)在(1)的条件下,,,为正实数,且,求证:.
    【答案】(1)2; (2)证明见解析.
    【解析】
    【分析】(1)根据给定条件,利用绝对值的三角不等式求解最小值作答.
    (2)利用(1)的结论,结合柯西不等式推理作答.
    【小问1详解】
    函数的定义域为R,,当且仅当时取等号,
    所以的最小值.
    【小问2详解】
    由(1)知,正实数,,满足:
    因此
    ,当且仅当,即时取等号,
    所以.
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