2024驻马店环际大联考“逐梦计划”高二上学期阶段考试（三）数学含解析

这是一份2024驻马店环际大联考“逐梦计划”高二上学期阶段考试（三）数学含解析，共28页。试卷主要包含了 已知曲线，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
高二数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为
A. 0B. C. D. 不存在
2. 已知双曲线的离心率为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
3. ，，，，五人站成一排，如果，必须相邻，那么排法种数共有（ ）
A. 24B. 120C. 48D. 60
4. 已知点，，如果直线上，有且只有一个点，使得，那么实数的值为（ ）
A. 20B. C. D. 10
5. 若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. 且D. 且
7. 如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（ ）
A. y2＝9xB. y2＝6x
C. y2＝3xD. y2＝x
8. 在棱长为1的正方体中，、为线段上的两个三等分点，动点在内，且，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 四面体的体积为
B.
C. 向量在方向上的投影向量为
D. ∥平面
10. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为椭圆
B. 若，则为双曲线
C. 若为椭圆，则其长轴长一定大于2
D. 曲线不能表示圆
11. 已知圆则下列说话正确的是（ ）
A. 圆与直线必有两个交点
B. 圆上存在4个点到直线距离都等于1
C. 圆与圆恰有三条公切线，则
D. 动点在圆上，则
12. 已知椭圆左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的面积等于
C. 直线的斜率为D. 的离心率等于
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则关于的方程有实数解的有序数对的个数为________.
14. 已知直线过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为________.
15. 如图，正方体的棱长为1，、分别为与的中点，则点到平面的距离为______.
16. 已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周长为12的正三角形.则抛物线的方程为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知△ABC三个顶点分别为A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).
（1）求BC边上的中线所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线的方程.
18. 已知直线与圆相交于，两点.
（1）求；
（2）若为圆上的动点，求的取值范围.
19. 如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
20. 已知拋物线的准线方程为，过点作斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，.
（1）求取值范围；
（2）若为直角三角形，且，求的值.
21. 如图1，梯形中，，过，分别作，，垂足分别、.若，，，将梯形沿，折起，且平面平面（如图2）.
图1 图2
（1）证明：；
（2）若，在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由.
22. 已知椭圆的离心率为，且椭圆过点.
（1）求的方程；
（2）设过点的动直线与相交于，两点，若为坐标原点，当面积最大时，求的方程.环际大联考
“逐梦计划”2023~2024学年度第一学期阶段考试（三）
高二数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为
A. 0B. C. D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】
垂直于y轴的直线倾斜角为.
【详解】表示一条垂直于y轴的直线，故倾斜角为.
故选：C
【点睛】本题考查直线的倾斜角，属于基础题.
2. 已知双曲线的离心率为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
直接利用离心率公式计算得到答案.
【详解】曲线的离心率为，故，解得.
故选：A.
3. ，，，，五人站成一排，如果，必须相邻，那么排法种数共有（ ）
A. 24B. 120C. 48D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】利用捆绑法以及分步计数原理求解.
【详解】将，看成一体，，的排列方法有种方法，然后将和当成一个整体与其他三个人一共个元素进行全排列，即不同的排列方式有，根据分步计数原理可知排法种数为，
故选：.
4. 已知点，，如果直线上，有且只有一个点，使得，那么实数值为（ ）
A. 20B. C. D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】依题意由直线和圆的位置关系，利用点到直线距离即可求得.
【详解】根据题意可知，以为直径的圆与直线相切，如下图所示：
所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，
又，所以.
故选：D
5. 若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线的定义可得，再由中点坐标公式即可得解.
【详解】由题意，抛物线的准线为，
设，所以，即，
所以点的横坐标为，所以点到轴的距离为6.
故选：A.
6. 已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】由直线，可得直线恒过定点，转化为只需点在椭圆的内部或在椭圆上，结合椭圆的性质，即可求解.
【详解】由题意，直线，可得直线恒过定点，
要使得直线与椭圆恒有公共点，
只需点在椭圆的内部或在椭圆上，可得，
即实数的取值范围为且.
故选：C.
7. 如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（ ）
A. y2＝9xB. y2＝6x
C. y2＝3xD. y2＝x
【答案】B
【解析】
【分析】分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，设|BF|=a，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p，可得所求抛物线的方程．
【详解】
如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.
故选：B
8. 在棱长为1的正方体中，、为线段上的两个三等分点，动点在内，且，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先通过位置关系的证明说明在平面内，然后根据已知条件求解出的长度，根据的长度确定出在平面内的轨迹形状，由此求解出对应的轨迹长度.
【详解】
如图，在棱长为1的正方体中，，
因为、为线段上的两个三等分点，
所以，
易知，平面，平面，
所以平面，则，
同理可证，又平面，平面，，
则平面，
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，
则，
所以在平面内，
则，
所以，
所以平面内点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
如图，在正三角形中，为中心，圆的半径为，即，
，
所以在直角三角形中，
则，
所以三个虚线弧圆心角弧度数为，
则三个实线弧圆心角弧度数为，
所以点的轨迹长度为.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 四面体的体积为
B.
C. 向量在方向上的投影向量为
D. ∥平面
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据体积公式计算即可判断A；以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间坐标系，利用空间向量法计算即可判断B，C；根据线面平行的判定即可判断D．
【详解】对于A，因为，故A正确；
以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间坐标系，如图所示，
则，，，，，，，
对于B，因为，，则，
所以与不垂直，即直线与直线不垂直，故B错误；
对于C，因为，，则，，，
所以在方向上的投影向量为，故C正确；
对于D，连接，，，，且交于，连接，则是和的中点，
所以在中，，
又平面，而平面，所以∥平面，故D正确．
故选：ACD．
10. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为椭圆
B. 若，则为双曲线
C. 若为椭圆，则其长轴长一定大于2
D. 曲线不能表示圆
【答案】BC
【解析】
【分析】A，B项，求出的范围，即可判断曲线的形状；C项，求出为椭圆时的范围，分类讨论即可得出其长轴长的范围；D项，通过A选项即可得出结论.
【详解】由题意，
曲线中，
A项，当时，，
但当即时，曲线为圆，故A错误；
B项，当时，，为双曲线，B正确；
C项，若为椭圆，由A选项知，，
当时，，
∴长轴为，
当时，
∴长轴为，故C正确；
D项，由A知当时，曲线为圆，D错误.
故选：BC.
11. 已知圆则下列说话正确的是（ ）
A. 圆与直线必有两个交点
B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1
C. 圆与圆恰有三条公切线，则
D. 动点在圆上，则
【答案】ABCD
【解析】
【分析】根据直线过定点，得到定点在圆内，进而即可A；圆心到直线的距离为，即可得到有4个点满足进而即可B；根据条件可知两圆外切，进而即可判断C；令，可得表示为直线截距的2倍，再根据直线与圆相切时，直线的截距取得最值，进而即可判断D正确.
【详解】对于A，由，则，即直线过定点，
又，则定点在圆内，所以圆与直线必有两个交点，故A正确；
对于B，由圆的圆心到直线的距离为，
又圆的半径为3，则到直线的距离为1的两条直线都与圆相交，所以存在4个点满足，故B正确；

对于C，圆化简得到，
因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，故C正确；
对于D，令，则，则表示为直线截距的2倍，
又动点在圆上，则当直线与圆相切时，直线的截距取得最值，
则，解得，所以，故D正确．
故选：ABCD．
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的面积等于
C. 直线的斜率为D. 的离心率等于
【答案】AB
【解析】
【分析】由题意可设：设，由椭圆定义可得，进而可得，分析可知点为短轴的顶点，，结合椭圆性质逐项分析判断.
【详解】因为，设，
则，可得，
即，可得，
可知点为短轴的顶点，且，即，故A正确；
因为，故B正确；
因为，且，则，
所以直线的斜率为，的离心率等于，
故CD错误；
故选：AB.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则关于的方程有实数解的有序数对的个数为________.
【答案】12
【解析】
【分析】分是否为0判断即可.
【详解】①当时，取范围内任一实数均有实数解，此时有4对；
②当时，有解则满足，即，
当时，可取的值有、0、2、3，
当时，可取的值有、0，
当时，可取的值有、0，
共有12对.
故答案为：12.
14. 已知直线过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为________.
【答案】或
【解析】
【分析】设出直线的斜率，根据点斜式写出直线的方程，根据点到直线的距离公式列方程求解即可.
【详解】当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
由点到直线的距离公式可知，解得或，
当时直线的方程为，当时直线的方程为；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，两点到直线的距离不相等，所以此种情况不存在，
故答案为；或.
15. 如图，正方体的棱长为1，、分别为与的中点，则点到平面的距离为______.
【答案】##
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到平面距离公式进行计算.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，故平面的法向量为，
又，则点到平面的距离为.
故答案为：
16. 已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周长为12的正三角形.则抛物线的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的定义知，设准线与轴交于，则，在中求得，即可求解.
【详解】由是周长为12的等边三角形，得，
又由抛物线的定义可得.设准线与轴交于，则，
从而，
在中，，即.
所以抛物线的方程为.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知△ABC的三个顶点分别为A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).
（1）求BC边上的中线所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线的方程.
【答案】（1）x+y-6=0；（2）3x+y-10=0.
【解析】
【分析】（1）由中点坐标公式可得BC的中点为M(4，2)，由两点式可得BC边上的中线所在直线的方程；
（2）因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，由直线BC的斜率，可得BC边上的高所在直线的斜率，再由点斜式可得BC边上的高的直线方程.
【详解】（1）因为B(1，1)，C(7，3)，所以BC的中点为M(4，2).
因为A(2，4)在BC边上的中线上，所以所求直线方程为=，
即BC边上的中线所在直线的方程为x+y-6=0.
（2）因为B(1，1)，C(7，3)，所以直线BC的斜率为=.
因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，所以BC边上的高所在直线的斜率为-3.
因为A(2，4)在BC边上的高上，所以所求直线方程为y-4=-3(x-2)，
即BC边上高所在直线的方程为3x+y-10=0.
【点睛】本题考查直线方程的求法，考查中点坐标公式、两直线垂直的关系的应用，及两点式、点斜式、一般式等直线方程的表示形式，属于基础题.
18. 已知直线与圆相交于，两点.
（1）求；
（2）若为圆上动点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直线和圆相交的弦长公式求解即可；
（2）将转化为圆上的任意点与连线的斜率求解即可.
【小问1详解】
∵圆
∴，
∴圆心为，半径，
则圆心到直线的距离：，
∴.
【小问2详解】
表示圆上的任意点与连线的斜率，
设，即，则直线与圆有公共点，
∴
∴
∴的取值范围为.
19. 如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；
（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.
【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：
，，，，，
∴，，，．
（1），
∴
∴异面直线EF和所成的角为．
（2）
∴，即
，
∴即．
又∵，平面且
∴平面．
20. 已知拋物线的准线方程为，过点作斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，.
（1）求的取值范围；
（2）若为直角三角形，且，求的值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得抛物线方程，设直线方程为，联立方程，结合运算求解；
（2）由题意可得：，解法一：利用直线方程消元，结合韦达定理运算求解；解法二：利用抛物线方程消元，结合韦达定理分析求解.
【小问1详解】
由题意可知：抛物线的方程为，
直线的斜率存在，设直线方程为，
联立方程组，消去得，
要使直线与抛物线交于不同的两点，，则，
即，解得或，
所以们取值范围为或.
【小问2详解】
设，，由（1）可知，是的两个根，
则，，
解法一：因为，则，即，
可得
，
解得或，
结合（1）中的取值范围可知：.
解法二：因为，所以，即，
因为，所以，
因为，所以，
即，解得，
此时满足（1）中的取值范围，所以.
【点睛】
21. 如图1，梯形中，，过，分别作，，垂足分别为、.若，，，将梯形沿，折起，且平面平面（如图2）.
图1 图2
（1）证明：；
（2）若，在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】利用面面垂直性质定理可得平面，
（1）（法一）利用线面垂直的判定定理、性质定理可得.（法二）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出可得答案；
（2）求出平面的一个法向量，设在线段上存在一点且，则，设直线与平面所成的角为，利用线面角的向量求法求出再结合的范围可得答案.
【小问1详解】
∵平面平而，平而，
平面平面，，
∴平面，
（法一）又平而，则，
又正方形中，，且，
平面，则平面，
又平面，则.
（法二）∵平而，，
∴以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，∴平面，
∴，∴，，
设平面的一个法向量为，
令，则，
设在线段上存在一点且，
则，
设直线与平面所成的角为，
则，不满足，所以不存在点满足题意.
22. 已知椭圆的离心率为，且椭圆过点.
（1）求的方程；
（2）设过点的动直线与相交于，两点，若为坐标原点，当面积最大时，求的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列方程，求得，从而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据弦长公式、点到直线的距离公式求得三角形面积的表达式，然后利用基本不等式求得面积的最大值，并求得此时对应的直线的方程.
【小问1详解】
由已知
，解得，
∴.
【小问2详解】
由已知直线的斜率存在，设直线，，，
∴联立方程可得：，整理后可得：
，
∵方程有两个不等实根，
∴，解得：或，
又，，
原点到直线的距离为，
.
∴
，
由均值不等式可得：，
等号成立条件：，
∴，此时，
∴的方程为或.
【点睛】关键点睛：求解椭圆的标准方程，关键是根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的离心率以及椭圆所过点”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程.求解椭圆中面积的最值问题，可先求得面积的表达式，然后考虑利用基本不等式、二次函数的性质等知识来求面积的最值.