2023-2024学年江西省大联考高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省大联考高二（上）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l经过点(−3,−2)，(1,2)，则下列不在直线l上的点是( )
A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (2,1)
2.若复数z满足(1−3i)z=1+i，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知O是坐标原点，空间向量OA=(1,1,2)，OB=(−1,3,4)，OC=(2,4,4)，若线段AB的中点为D，则|CD|=( )
A. 9B. 8C. 3D. 2 2
4.已知圆台的上、下底面的半径分别为2，6，母线长为5，则该圆台的表面积为( )
A. 48πB. 64πC. 80πD. 96π
5.已知A，B分别是椭圆：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和上顶点，若原点O到直线AB的距离是椭圆C的短轴长的25，则椭圆C的离心率为( )
A. 32B. 45C. 34D. 74
6.已知α，β，γ是空间中三个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是( )
A. 若α⊥β，β⊥γ，则α/​/γ
B. 若α/​/β，β/​/γ，则α/​/γ
C. 若m⊥β，n⊥α，α/​/β，则m/​/n
D. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
7.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为 10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 2cm，下底直径为9 2cm，喉部(中间最细处)的直径为8cm，则该塔筒的高为( )
A. 272cmB. 18cmC. 27 22cmD. 18 2cm
8.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=25，A，B为圆C上两点，且|AB|=8，P为圆C上一点，则|PA+PB|的最大值是( )
A. 16B. 12C. 8D. 6
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程x29−t+y2t−6=1表示的曲线为C，则( )
A. 当60,b>0)的上、下焦点，经过点F2且与y轴垂直的直线与C的一条渐近线相交于点P，且P在第四象限，四边形PF1QF2为平行四边形，若C的离心率的取值范围是[ 213, 5]，则直线QF2的倾斜角α的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=π3，a= 7，b=2．
(1)求sinB；
(2)求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
(1)已知直线l过点P(−2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(3,−1)，C(1,−5)，求△ABC的外接圆的标准方程．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=−2sin2x+cs(2x−π3)+1．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到g(x)的图象，当x∈[0,π2]时，求g(x)的值域．
20.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l经过抛物线E：y2=12x的焦点F，且与E相交于A，B两点，直线OB交E的准线于点C．
(1)若|AB|=15，求直线l的方程；
(2)证明：直线AC平行于x轴．
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD//BC，AD⊥DC，BC=2AD=2 2，DC=2，正三角形PCD所在平面与平面ABCD垂直，E，F分别为DC，PC的中点．
(1)求证：AB⊥平面PAE；
(2)求二面角F−BD−C的平面角的余弦值．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(2, 2)，离心率为 22．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知C的下顶点为A，不过A的直线l与C交于点E，F，线段EF的中点为G，若∠AGE=2∠GAF，试问直线l是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由直线的两点式方程，得直线l的方程为y−(−2)2−(−2)=x−(−3)1−(−3)，即x−y+1=0，
将各个选项中的坐标代入直线方程，
可知点(−2,−1)，(−1,0)，(0,1)都在直线l上，点(2,1)不在直线l上．
故选：D．
由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，点和直线的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
2.【答案】B
【解析】解：(1−3i)z=1+i，
则z=1+i1−3i=(1+i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=−2+4i10=−15+25i，其在复平面内对应的点为(−15,25)，位于第二象限．
故选：B．
根据已知条件，结合复数的四则运算，先对z化简，再结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意A(1,1,2)，B(−1,3,4)，C(2,4,4)，则D(0,2,3)，
所以CD=(−2,−2,−1)，
所以|CD|= (−2)2+(−2)2+(−1)2=3．
故选：C．
根据模长的坐标计算公式直接计算．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的模长，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，因为圆台的上、下底面的半径分别为2，6，母线长为5，则该圆台侧面积为π(2+6)×5=40π，
所以这个圆台的表面积为π×22+π×62+40π=80π．
故选：C．
根据题意，利用圆台表面积公式计算作答．
本题考查圆台的表面积计算，注意圆台的结构特征，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由题意可知A(a,0)，B(0,b)，
所以直线AB的方程为xa+yb=1，即bx+ay−ab=0，
所以原点O到直线AB的距离d=ab b2+a2=25×2b，
整理得b2a2=916，
所以椭圆C的离心率e= 1−b2a2= 74．
故选：D．
根据椭圆的几何性质，点到直线的距离公式，建立方程，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属基础题．
6.【答案】A
【解析】解：α，β，γ是空间中三个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，
对于A，若α⊥β，β⊥γ，则α，γ可能相交，故A错误；
对于B，根据面面平行的传递性，若α/​/β，β/​/γ，则α/​/γ成立，故B正确；
对于C，若m⊥β，α/​/β，则m⊥α，又n⊥α，所以m/​/n，故C正确；
对于D，设直线m，n的方向向量分别为a，b，
若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则平面α，β的一个法向量分别为a，b，且a⊥b，所以α⊥β，故D正确．
故选：A．
对于A，α，γ可能相交；对于B，根据面面平行的传递性判断；对于C，推导出m⊥α，再由n⊥α，得m/​/n；对于D，设直线m，n的方向向量分别为a，b，推导出平面α，β的一个法向量分别为a，b，且a⊥b，从而得到α⊥β．
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可得：以C为喉部对应点，以OC所在直线为x轴，过点O且与OC垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设A与B分别为上，下底面对应点，
设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
因为双曲线的离心率为 10= 1+(ba)2，
所以b2=9a2，
又喉部(中间最细处)的直径为8cm，
所以2a=8，a=4，
所以双曲线的方程为x216−y2144=1．
由题意可知xA=3 2，xB=9 22代入双曲线方程，
得yA=3 2，yB=−21 22，
则yA−yB=27 22，
则该塔筒的高为27 22．
故选：C．
结合双曲线的性质求解．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
8.【答案】A
【解析】解：取AB的中点D，连接PD，则PA+PB=2PD
所以|PA+PB|=2|PD|，
因为|AB|=8，圆C的半径为5，所以|CD|= 25−16=3，
所以D在以C圆心，3为半径的圆上，
又P在圆C：(x−3)2+(y=4)2=25上，
所以当P、C、D在同一条直线上时，|PD|最长，
即|PD|max=5+3=8，
所以|PA+PB|maB=16，
故|PA+PB|的最大值是16．
故选：A．
取AB中点D，将PA+PB转化为2PB，再求出点P的轨迹，当P、C、D在同一条直线上时，|PD|最长，即可求出|PA+PB|的最大值．
本题考查了求动点的轨迹，考查了数形结合思想及转化思想，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：选项A与B，当t=7.5时，曲线C表示圆x2+y2=1.5，即A错误，B正确；
选项C，由(9−t)(t−6)9或t9或tt−6>0，解得6b>0)过点(2, 2)，离心率为 22，列方程组，求出a=2 2，b=2，由此能求出椭圆方程．
(2)推导出AE⊥AF，设l的方程为y=kx+m，E(x1,y1)，F(x2,y2)联立y=kx+mx28+y24=1，消去y，整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2−8=0，根据韦达定理、向量数量积公式，结合椭圆性质能求出直线l恒过定点，定点坐标为(0,23)．
本题考查直线与椭圆、根的判别式、韦达定理、弦长公式、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．