天津市七区2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份天津市七区2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量数量积的坐标运算求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
2. 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为（ ）
A. 45°B. 90°C. 135°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线的斜率，根据斜率的定义即可得出倾斜角.
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，则斜率 SKIPIF 1 < 0 ，又倾斜角 SKIPIF 1 < 0 ，
所以倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
3. 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，能求出抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故选A .
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.
4. 在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则公差（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】设公差为 SKIPIF 1 < 0 ,根据题意将已知条件化为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的形式,解方程组即可得到结果.
【详解】设公差为 SKIPIF 1 < 0 ,则
SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选:C.
5. 若双曲线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有公共焦点，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆确定双曲线焦点，再由离心率求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出双曲线渐近线方程.
【详解】由椭圆 SKIPIF 1 < 0 知，其焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
6. 在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】建立如图所示，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴正方向得空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，根据公式点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 计算即可解决.
【详解】由题知，棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以建立如图所示，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴正方向得空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：B
7. 数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A. 1024B. 1023C. 510D. 511
【答案】D
【解析】
【分析】由题意结合递推关系求解 SKIPIF 1 < 0 的值即可.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，则：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
本题选择D选项.
【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
8. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则m的值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】求出圆心和半径，再利用圆心到直线的距离求得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 即可解得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，化简 SKIPIF 1 < 0 ，
可得圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）
故选：D.
9. 已知F是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点，点 SKIPIF 1 < 0 ，若P是椭圆上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】设椭圆的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，计算得到答案.
【详解】设椭圆的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 之间时等号成立.
故选：A
第Ⅱ卷（共84分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，每个空2分．
10. 已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是共线向量，则实数x的值为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据向量共线得到 SKIPIF 1 < 0 ，列出方程组，求出答案.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：-6
11. 已知 SKIPIF 1 < 0 的三个顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 边上的高所在直线方程为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】求出直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，进而由垂直关系得到所求直线的斜率，由直线方程点斜式得到答案.
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 边上的高所在直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 边上的高所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12. 在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由空间向量基本定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，平方后得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 的长.
【详解】由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
13. 已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设双曲线的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而建立方程，即可求得双曲线的离心率.
【详解】设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点做x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又因为以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知实数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，转化为直线 SKIPIF 1 < 0 与圆有公共点，只需联立方程有解，利用判别式即可求出.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消元得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】根据等差数列及等比数列的通项公式列方程求解即可.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 .
由题意 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
17. 已知圆心为C的圆经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且圆心C在直线 SKIPIF 1 < 0 上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，点N在圆C上运动，求线段 SKIPIF 1 < 0 中点P的轨迹方程．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）设出圆标准方程，将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入圆的方程，结婚圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，列出方程组，解之即可求解；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，利用中点坐标公式和点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动即可求解.
【小问1详解】
设圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，
由于点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0
因为点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标满足圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，
即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0
所以，线段 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程 SKIPIF 1 < 0 .
18. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E为 SKIPIF 1 < 0 中点，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明线面垂直；
（2）把二面角计算问题转化为法向量夹角问题.
【小问1详解】
证明：依题意得，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
由已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内,
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角就是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角或其补角.
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线l的方程．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，将点的坐标代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线l的方程．
【小问1详解】
由椭圆过点 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0
20. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间插入n个数，使这 SKIPIF 1 < 0 个数组成一个公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，分 SKIPIF 1 < 0 ，求数列的通项公式即可；
（2）利用错位相减法求和即可得解.
【小问1详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公比为3的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ①
SKIPIF 1 < 0 ②
①-②得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0