湖北省孝感市2022-2023学年高二上学期1月期末数学试题（含答案详解）

这是一份湖北省孝感市2022-2023学年高二上学期1月期末数学试题（含答案详解），共22页。试卷主要包含了0分等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量平行的坐标运算，即可进一步求解.
【详解】根据题意，由 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
由此得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
2. 设不同直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有 SKIPIF 1 < 0 ＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ”、“若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ”的真假．并注意和图示相结合，例如“ SKIPIF 1 < 0 ⇒ SKIPIF 1 < 0 ”为真，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分条件．
2．等价法：利用 SKIPIF 1 < 0 ⇒ SKIPIF 1 < 0 与非 SKIPIF 1 < 0 ⇒非 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ⇒ SKIPIF 1 < 0 与非 SKIPIF 1 < 0 ⇒非 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ⇔ SKIPIF 1 < 0 与非 SKIPIF 1 < 0 ⇔非 SKIPIF 1 < 0 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若 SKIPIF 1 < 0 ⊆ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分条件或 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要条件；若 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充要条件．
3. 将字母 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别填入标号为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的三个方格里，每格填上一个字母，则每个方格的标号与所填的字母均不相同的概率是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据古典概率的运算公式进行求解即可.
【详解】将字母 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 填入标号为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的三个方格里有 SKIPIF 1 < 0 种不同的填法，这 SKIPIF 1 < 0 种情况发生的可能性是相等的 SKIPIF 1 < 0
而每个方格的标号与所填的字母均不相同只有两种不同的填法 SKIPIF 1 < 0
故所求概率 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B
4. 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上的圆的方程是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线 SKIPIF 1 < 0 上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程．
【详解】因为过点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段AB的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段AB的中垂线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段AB的中垂线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
5. 已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【详解】
如图所示，设 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 夹角或其补角
因异面直线所成角的范围为 SKIPIF 1 < 0
可知， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
作 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 直角三角形
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0
又异面直线所成角的范围为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
故选 SKIPIF 1 < 0
6. 已知双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上与焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，再根据离心率公式即可得到答案.
【详解】当双曲线的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上时，离心率 SKIPIF 1 < 0 ；
当焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上时 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D.
7. 在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 中最大的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】先求得数列 SKIPIF 1 < 0 的首项和公差的关系式，然后结合二次函数的性质求得正确答案.
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有最大值．
故选：C
8. 法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆 SKIPIF 1 < 0 外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的蒙日圆为 SKIPIF 1 < 0 ，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A. 椭圆C的离心率为 SKIPIF 1 < 0
B. M到C的右焦点的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C. 若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】A.根据蒙日圆的定义，可求椭圆方程，即可判断；
B.根据椭圆方程和圆的方程，结合几何意义，即可判断；
C.根据 SKIPIF 1 < 0 为圆的直径，则点 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，利用点在椭圆上，证明 SKIPIF 1 < 0 ；
D.利用圆的几何性质，确定 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【详解】A.因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的蒙日圆为 SKIPIF 1 < 0 ，根据蒙日圆的定义， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
B.点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，椭圆的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
C.根据蒙日圆的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的直径, SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于两点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
D.因为 SKIPIF 1 < 0 为圆的直径， SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积最大，此时最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：D
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 为递减数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的有（ ）
A. 数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. 数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，根据等差数列的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到公差，A正确；
利用等差数列求通项公式求出B正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ，得到当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到C正确；
在C选项的基础上，求出 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，求出答案.
【详解】由题意知， SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 可看出方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，
∵数列 SKIPIF 1 < 0 为递减数列，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 公差 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
由上可知 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，故C正确；
由C选项知： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故D错误．
故选：ABC
10. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题中正确的有（ ）
A. 直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0
B. 圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0
C. 直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 恒相离
D. 直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得最短弦长时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
【分析】求出直线所过的定点即可判断选项 SKIPIF 1 < 0 ；求出圆与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点坐标，进而求出弦长可判断选项 SKIPIF 1 < 0 ；根据直线过的定点在圆内可判断选项 SKIPIF 1 < 0 ；当直线截得的弦长最短时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求出直线方程，进而判断选项 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程整理为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，则无论 SKIPIF 1 < 0 为何值，直线 SKIPIF 1 < 0 过都定点 SKIPIF 1 < 0 ，故选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 的内部，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，故 SKIPIF 1 < 0 不正确；
圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当截得的弦长最短时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确．
故选： SKIPIF 1 < 0 .
11. 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，且交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的下方 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的准线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上任一点，则下列结论中正确的有（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
分析】根据焦半径结合图形关系即可判断A,根据三点共线即可判断B，根据焦点弦即可求解C，联立方程根据向量垂直即可求解.
【详解】对于A;设 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 做 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，从而A正确 SKIPIF 1 < 0
对于 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别作 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，此时最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,从而B正确 SKIPIF 1 < 0
对于 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，C错误 SKIPIF 1 < 0
对于D,由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确，
故选：ABD
12. 如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上运动，有下列判断，其中正确的是（ ）
A. 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C. 异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
D. 三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积不变
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理证得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而利用面面垂直的判定定理即可判断；
对于B，利用线面平行与面面平行的判定定理证得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而得以判断；
对于C，利用线线平行将异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角转化为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角，从而在等边 SKIPIF 1 < 0 中即可求得该角的范围，由此判断即可；
对于D，先利用线线平行得到点 SKIPIF 1 < 0 到面平面 SKIPIF 1 < 0 的距离不变，再利用等体积法即可判断.
【详解】对于A，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
因为在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为在正方形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 内两条相交直线，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 内两条相交直线，可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
.
对于B，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 内两条相交直线，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角即为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
当 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 的两端点重合时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 的中点重合时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D，由选项B得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 上任意一点到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离均相等，
即点 SKIPIF 1 < 0 到面平面 SKIPIF 1 < 0 的距离不变，不妨设为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积不变，故D正确．
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握线面垂直与面面垂直的判定定理、线面平行与面面平行的判定定理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化严密推理.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题设条件得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程组，解方程组后可得所求的直线方程.
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
14. 圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公切线共有__________条 SKIPIF 1 < 0
【答案】4
【解析】
【分析】由两圆的位置关系，判断两圆的公切线.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该圆的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以该圆的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为1，
所以该两圆圆心距为4，两圆半径和为3，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以两圆的位置关系是外离，
故两圆的公切线共有4条.
故答案为：4.
15. 设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 均在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】代入法求得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 表达式数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，求得首项和公差后可得通项公式．
【详解】依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设其公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是它们的一个交点，且 SKIPIF 1 < 0 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，再用基本不等式求解.
【详解】不妨设 SKIPIF 1 < 0 为第一象限的点， SKIPIF 1 < 0 为左焦点，
设椭圆的长半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的实半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，
则根据椭圆及双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，在△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试概率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .求：
（1）3人都通过体能测试的概率；
（2）只有2人通过体能测试的概率.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式直接计算作答.
（2）把只有2人通过体能测试的事件分拆成三个互斥事件的和，再利用概率的加法公式、乘法公式求解作答.
【小问1详解】
设事件 SKIPIF 1 < 0 “甲通过体能测试”，事件 SKIPIF 1 < 0 “乙通过体能测试”，事件 SKIPIF 1 < 0 “丙通过体能测试”，由题意有： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设事件 SKIPIF 1 < 0 “甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即事件 SKIPIF 1 < 0 ，而事件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相互独立，
所以3人都通过体能测试的概率是 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设事件 SKIPIF 1 < 0 “甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于事件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均相互独立，并且事件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两两互斥，
因此 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以只有2人通过体能测试的概率是 SKIPIF 1 < 0 .
18.
已知公差大于零的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，求非零常数 SKIPIF 1 < 0 ；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)利用等差数列的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ,联立方程可得 SKIPIF 1 < 0 ,代入等差数列的通项公式可求 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)代入等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 和公式可求 SKIPIF 1 < 0 ,进一步可得 SKIPIF 1 < 0 ,然后结合等差数列的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ,从而可求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）可知， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 舍去)
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为等差数列，满足要求
【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前 SKIPIF 1 < 0 项和公式的综合运用,属于中档题.
19. 如图， SKIPIF 1 < 0 是过抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点F的弦，M是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是抛物线的准线， SKIPIF 1 < 0 为垂足，点N坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求抛物线的方程；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的面积（O为坐标系原点）.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）由已知得准线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ，由此可求得抛物线的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线的方程作差得 SKIPIF 1 < 0 ，再由M是 SKIPIF 1 < 0 的中点，求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此求得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，与抛物线的方程联立可求得弦长AB，由三角形的面积公式可求得答案.
【小问1详解】
解：点 SKIPIF 1 < 0 在准线 SKIPIF 1 < 0 上，所以准线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以抛物线的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
解：设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以点M纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又知焦点F坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
联立抛物线的方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证: 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 使平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 若存在，确定点 SKIPIF 1 < 0 的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）在线段 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，且P是靠近C的四等分点.
【解析】
【分析】(1)连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据给定条件证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 即可推理作答.
(2)在平面 SKIPIF 1 < 0 内过C作 SKIPIF 1 < 0 ，再以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断作答.
【小问1详解】
在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是菱形，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
从而得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
在平面 SKIPIF 1 < 0 内过C作 SKIPIF 1 < 0 ，由(1)知平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，
因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
假设在线段 SKIPIF 1 < 0 上存在符合要求的点P，设其坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，而平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意， SKIPIF 1 < 0 ，化简整理得： SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在线段 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，且P是靠近C的四等分点，使平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
21. 已知圆心在 SKIPIF 1 < 0 轴上的圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ，经过原点且斜率为正数的直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程.
（2）设出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得 SKIPIF 1 < 0 的表达式，结合换元法以及基本不等式求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【小问1详解】
由圆心在 SKIPIF 1 < 0 轴上的圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
设直线 SKIPIF 1 < 0 ，与圆联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由根与系数的关系得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题的难点在于第二问，求最值.求解最值有关的题目，首先要将表达式求出，本题是结合根与系数关系求得表达式.然后根据表达式的结构来选择求最值的方法，可考虑二次函数的性质、基本不等式或函数的单调性来求解最值.
22. 已知点 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求动点 SKIPIF 1 < 0 轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程.
（2）动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 点左侧 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交轨迹 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点 SKIPIF 1 < 0 不在 SKIPIF 1 < 0 轴上 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合椭圆的定义求得动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程.
（2）设出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程并与轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程联立，化简写出根与系数关系，结合 SKIPIF 1 < 0 列方程，化简后判断出直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
【小问1详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
由根与系数的关系得 SKIPIF 1 < 0 ①，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点不在 SKIPIF 1 < 0 轴上，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而由已知 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ②，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ③，
将③代入②得 SKIPIF 1 < 0 ，
将①代入上式并整理得：
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】求解动点轨迹方程有关的题目，可根据圆锥曲线的定义来进行求解，还可以利用题目所给等量关系，列方程来进行求解.求解直线定点有关问题，可先设出含有参数的直线方程，根据已知条件求得与参数有关的式子，从而判断出定点.