福建省宁德市2022-2023学年高二上学期区域性学业质量检测（期末）数学试题（含答案详解）

这是一份福建省宁德市2022-2023学年高二上学期区域性学业质量检测（期末）数学试题（含答案详解），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 若直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】利用直线斜率等于其倾斜角的正切值求解即可.
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为直线倾斜角的范围为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故选：C
2. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由双曲线方程可判断双曲线的焦点位置并同时求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由此可求其渐近线方程.
【详解】由双曲线 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
3. 圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系为（ ）
A. 内切B. 相交C. 外切D. 外离
【答案】B
【解析】
【分析】求出圆的标准方程，可得圆心坐标与半径，由圆心距与半径之间的关系即可判断
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 可知，
两圆的位置关系为相交.
故选：B.
4. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】利用数列的项与前 SKIPIF 1 < 0 项和的关系求解即可.
【详解】由题可知 SKIPIF 1 < 0
故选：C
5. 已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A. y2＝12xB. y2＝－12x
C. x2＝12yD. x2＝－12y
【答案】A
【解析】
【分析】设出点M的坐标，由题意可知|MA|＝|MN|，进而根据抛物线的定义即可得到答案.
【详解】设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等.
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
故选：A.
6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种
【答案】C
【解析】
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有 SKIPIF 1 < 0 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有 SKIPIF 1 < 0 种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
7. 如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使杯底与水平桌面成 SKIPIF 1 < 0 ，此时杯内水面成椭圆形，此椭圆的离心率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据题干条件作出辅助线，求出 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出离心率.
【详解】如图，由题意得：∠BAC=30°， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且AC=DE，则在直角三角形ABC中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以此椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
8. 中国自古就有“桥的国度”之称，福建省宁德市保留着50多座存世几十年甚至数百年的木拱廊桥，堪称木拱廊桥的宝库.如图是某木拱廊桥的剖面图 SKIPIF 1 < 0 是拱骨， SKIPIF 1 < 0 是相等的步，相邻的拱步之比分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用题中关系建立等式求解即可.
【详解】由题可知 SKIPIF 1 < 0 因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
故选:B
二、多项选择题（本题每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题正确的有（ ）
A. 直线 SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0
B. 直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
【分析】根据已知直线方程，逐个验证直线过的定点、方向向量和垂直平行所需的条件.
【详解】把 SKIPIF 1 < 0 代入直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，等式不成立，A选项错误；
直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，B选项正确；
直线 SKIPIF 1 < 0 方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，C选项错误；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，D选项正确.
故选：BD
10. 在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 常数项为160
B. 第3项二项式系数最大
C. 所有项的二项式系数和为 SKIPIF 1 < 0
D. 所有项的系数和为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】先求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式可得选项A的正误，利用 SKIPIF 1 < 0 的值可得选项B、C的正误，所有项的系数和可以利用赋值法求解
【详解】 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
二项式展开式中共有 SKIPIF 1 < 0 项，所以第 SKIPIF 1 < 0 项二项式系数最大，B错误；
由 SKIPIF 1 < 0 及二项式系数和的性质知，所有项的二项式系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所有项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确；
故选：ACD
11. 为了考察冰川融化状况，一支考察队在某冰川划定一考察区域，考察区域的边界曲线 SKIPIF 1 < 0 由曲线 SKIPIF 1 < 0 和曲线 SKIPIF 1 < 0 组合而成，其方程为： SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴成轴对称图形
B. 曲线 SKIPIF 1 < 0 关于原点成中心对称图形
C. 曲线 SKIPIF 1 < 0 上两点之间的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D. 直线 SKIPIF 1 < 0 到曲线 SKIPIF 1 < 0 的最短距离为3
【答案】ACD
【解析】
【分析】画图即可验证选项A,B选项，通过图像可知曲线 SKIPIF 1 < 0 上两点之间的距离的最大值为左右两个端点的距离即可求解选项C，选项D利用平行与 SKIPIF 1 < 0 的直线相切与曲线 SKIPIF 1 < 0 时切点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最短即可求解.
【详解】如图所示可知，曲线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，故A正确，B错误.
由图像可知曲线 SKIPIF 1 < 0 上两点之间的距离的最大值为左右两个端点的距离，
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 上两点之间的距离的最大值为左右两个端点的距离为：
SKIPIF 1 < 0 ，
故C正确，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，
当平行与直线 SKIPIF 1 < 0 的直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 部分相切时，切点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最小，
设此时直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，化简得：
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 解得切点为： SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 到曲线 SKIPIF 1 < 0 的最短距离为点 SKIPIF 1 < 0
到 SKIPIF 1 < 0 的距离：
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故D正确，
故选：ACD.
12. 已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 ，等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则以下结论正确的有（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定条件，确定数列 SKIPIF 1 < 0 相邻两项的特性判断AC；再判断等差数列 SKIPIF 1 < 0 单调性判断BD作答.
【详解】因为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 的正负不确定，
因此不能确定 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的正负及大小关系，AC错误；
显然 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 异号，又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 中至少有一个是负数，而 SKIPIF 1 < 0 ，
于是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减，因此 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，BD正确.
故选：BD
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置）
13. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则两平行线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 间的距离为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】两平行线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 间的距离，转化为 SKIPIF 1 < 0 上一点到 SKIPIF 1 < 0 的距离，利用点到直线距离公式计算.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以两平行线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 间的距离为2.
故答案为：2
14. 某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晩会.晩会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则有__________种不同排法.（用数字作答）
【答案】42
【解析】
【分析】分两种情况讨论：2个教师节目相邻与不相邻，分别算出相加即可.
【详解】①当2个教师节目相邻时利用插空法则有： SKIPIF 1 < 0 种情况，
②当2个教师节目不相邻时有： SKIPIF 1 < 0 种情况，
所以共有 SKIPIF 1 < 0 种情况，
故答案为：42.
15. 数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 变形得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后逐项列举，累加可得到 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，代入即可得出结果
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
上式累加可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是双曲线（其渐近线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴）；同样的，“对勾函数” SKIPIF 1 < 0 的图象也是双曲线.设 SKIPIF 1 < 0 ，则此“对勾函数”所对应的双曲线的焦距为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】求得双曲线为 SKIPIF 1 < 0 可得渐近线方程，运用对称性可得实轴所在的直线方程，与函数联立，求得交点坐标，由两点的距离公式，可得 SKIPIF 1 < 0 的值，从而可得 SKIPIF 1 < 0 值，即可得双曲线的焦距．
【详解】由题可得双曲线为 SKIPIF 1 < 0 ，所以渐近线为 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线夹角为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
所以，焦点所在的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则焦距为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 公差为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出数列的通项公式；
（2）由（1） SKIPIF 1 < 0 ，利用分组求和法及等比数列求和公式计算可得
【小问1详解】
方法 SKIPIF 1 < 0 设数列 SKIPIF 1 < 0 公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
方法2：设数列 SKIPIF 1 < 0 公差 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
解：由（1） SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
18. 如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 的外接圆为圆 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （2）2
【解析】
【分析】（1）直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 点，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，故 SKIPIF 1 < 0 ，可求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 可求 SKIPIF 1 < 0 的外接圆方程，几何法求直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长.
【小问1详解】
（如图）直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 点， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
设圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，满足圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 半径 SKIPIF 1 < 0
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长 SKIPIF 1 < 0 .
注：方法二
（2）设圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，满足圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长 SKIPIF 1 < 0 .
注：方法三
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，AB的中点为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线方程为： SKIPIF 1 < 0 ①，
所以 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线方程为： SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②得，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长 SKIPIF 1 < 0 .
19. 定义： SKIPIF 1 < 0 为广义组合数，其中 SKIPIF 1 < 0 是正整数，且 SKIPIF 1 < 0 .这是组合数 SKIPIF 1 < 0 是正整数，且 SKIPIF 1 < 0 一种推广.
（1）计算： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）猜想并证明： SKIPIF 1 < 0 __________（用 SKIPIF 1 < 0 的形式表示，其中 SKIPIF 1 < 0 是正整数）.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据广义组合数公式，计算即可求解．
（2） 结合(1)中的结果，根据广义组合数公式，化简等号左边的算式，即可得到结果.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
猜想： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，猜想成立.
SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 .
20. 在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，焦点在x轴上的椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积最大值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率及椭圆过一点，列方程求解 SKIPIF 1 < 0 ，即可得椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线与椭圆求解交点坐标关系，即可得相交弦长 SKIPIF 1 < 0 ，再利用点到直线距离求得点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，即可得 SKIPIF 1 < 0 的表达式，利用函数性质求最值即可.
【小问1详解】
设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积取到最大值1.
21. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，利用相减法得 SKIPIF 1 < 0 ，检验首项后可得数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，即可求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）直接根据错位相减法求解数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 即可；
（3）利用数列单调性判断方法确定最值，即可得实数 SKIPIF 1 < 0 的范围.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ，也符合上式，
故数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为2的等比数列，
SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 ，②
由①-②有：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【小问3详解】
SKIPIF 1 < 0
记 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0
故实数 SKIPIF 1 < 0 的范围为 SKIPIF 1 < 0
22. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，恰好过 SKIPIF 1 < 0 中的三点.
（1）求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）记双曲线 SKIPIF 1 < 0 上不同的三点 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为双曲线的右顶点，若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为1，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由双曲线的对称性知，双曲线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线方程即可求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）法一：设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线与双曲线的方程，由韦达定理结合题意即可表示出 SKIPIF 1 < 0 两点的坐标，即可表示出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，求出直线 SKIPIF 1 < 0 过的定点；
法二：设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ，联立直线与双曲线的方程，由韦达定理结合题意即可表示出 SKIPIF 1 < 0 两点的坐标，即可表示出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，求出直线 SKIPIF 1 < 0 过的定点；
法三：依据对称性可知，直线 SKIPIF 1 < 0 必过 SKIPIF 1 < 0 设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 结合韦达定理化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出直线 SKIPIF 1 < 0 过的定点；
法四：以 SKIPIF 1 < 0 为原点，构建新的直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ，联立直线与双曲线的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出答案.
【小问1详解】
由双曲线的对称性知，双曲线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
法一：设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联合方程 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 代替，得 SKIPIF 1 < 0 .
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
法二：设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
化简 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 ，直线过 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 ，
直线过 SKIPIF 1 < 0 不满足条件，舍去.
综上直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
法三：依据对称性可知，直线 SKIPIF 1 < 0 必过 SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
化简 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 ，直线过 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 ，直线过 SKIPIF 1 < 0 不满足条件，舍去.
综上直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
法四：以 SKIPIF 1 < 0 为原点，构建新的直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线方程 SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
此时定点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以原直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0