2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（十四）

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1．（2023·广东·广州市禺山高级中学高三阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上的值域为，则范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象；
再将各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象．
若在上的值域为，此时，，，
，求得，
故选：A．
2．（2022·广东·福田外国语高中高三阶段练习）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为（ ）.
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数，所以其最小正周期为，而区间的区间长度是该函数的最小正周期的，
因为函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以当区间关于它的图象对称轴对称时，取得最小值，对称轴为，此时函数有最值，
不妨设y取得最大值，则有，所以，
解得，得，
所以，
所以的最小值为，
故选：D.
3．（2022·广东·华南师大附中南海实验高中高三阶段练习）当时，函数的最小值为
A．B．C．4D．
【答案】C
【解析】，，当且仅当时取等号，函数的最小值为4，选C.
4．（2022·广东·华南师大附中南海实验高中高三阶段练习）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，，
在上恒成立，
在上单调递增，
，即在上恒成立，
，
，
设，，因为为增函数，
则在上单调递增，且，
.
故选：A.
5．（2022·广东·河源市河源中学高三阶段练习）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，
，
令，
则，令，
则，
当时，，所以函数在上递增，
所以，即，
所以函数在上递增，
所以，
即，
所以，
令，则，
令，则，
当时，，所以函数在上递增，
，
因为，
所以，所以，
所以当时，，即，
所以函数在上递减，
所以,
即，
所以，
综上所述.
故选：C.
6．（2022·广东·河源市河源中学高三阶段练习）在三棱锥中，已知，，，，若三棱锥的外接球的体积为，则三棱锥的体积为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【解析】设球半径为，则，，
而，所以是球的直径，球心是中点，
，所以中点是直角的外心，所以平面，
又平面，所以，
，，，
是中点，所以，
故选A.
7．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）某村计划修建一条横断面为等腰梯形（上底大于下底）的水渠，为了降低建造成本，必须尽量减少水与渠壁的接触面.已知水渠横断面面积设计为平方米，水渠深米，水渠壁的倾角为，则当该水渠的修建成本最低时的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】作出横截面如下图所示，其中，，，，则，
，，，
又梯形的面积，
，，
设，
则；
若取最小值，则取得最小值；
表示点与点连线的斜率，
的轨迹为，
可作出图象如下图所示，
则当过的直线与相切时，取得最小值，
设切线方程为：，即，
到切线距离，解得：，
即当时，取得最小值，此时，
则，即当时，该水渠的修建成本最低.
故选：C.
8．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
设，则，，
，；
由双曲线定义可知：，，
，，
，，
，，则.
故选：D.
9．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，均有且，当时，，则方程的实根个数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【解析】函数是定义在上的奇函数，对任意的，均有，可得为周期为2的奇函数，
可得，又，，
画出函数与的图象，如图所示，
当时，与有5个交点，
当时与有7个交点，
故方程有12个实数根，故D正确．
故选：D
10．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）的值是（ ）
A．0B．1C．-1D．
【答案】B
【解析】.
故选：B.
11．（2022·湖南· 邵东市第一中学高三阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得：，
又当时，，
故当时，；
依此类推得：当时，，且.
如图.由，得，解得或，解得或.故若对任意，都有，则.
故选：B.
12．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）一个口袋中有大小、形状完全相同的4个红球，3个蓝球，3个白球，现从袋中随机抽取3个球．事件甲：3个球的颜色互不相同；事件乙：恰有2个红球；事件丙：至多有1个蓝球；事件丁：3个球颜色均相同．则下列结论正确的是（ ）
A．事件甲与事件丁为对立事件B．事件乙的概率是事件丁的6倍
C．事件丙和事件丁相互独立D．事件甲与事件丙相互独立
【答案】B
【解析】事件甲与事件丁为互斥事件，但事件取得的3个球为2个红球，1个白球发生时，事件甲与事件丁都不发生，所以事件甲与事件丁不对立，A项错误；事件甲的概率，事件乙的概率，事件丙的概率，事件丁的概率，，故B项正确；事件丙和事件丁同时发生的概率，故C项错误；因为事件甲与事件丙同时发生的事件为甲事件，且，所以事件甲与事件丙不相互独立，故D项错误．
故选：B．
13．（2022·湖北·沙市中学高三阶段练习）已知椭圆：与双曲线有公共的焦点､，为曲线､在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．9B．C．7D．
【答案】B
【解析】记椭圆中的几何量为a，b，c，双曲线中的几何量为，，
则由椭圆和双曲线定义可得…①，…②，
两式平方相减整理得，
记，则由余弦定理得…③
①2-③得…④
由面积公式可得，即，代入④整理得，
因为，所以，所以，得，
所以，即，
所以，即，
所以，
当且仅当时等号成立.
故选：B
14．（2022·湖北·沙市中学高三阶段练习）已知是边长为3的等边三角形，三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上，则三棱锥的体积的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】球O的半径为R，则，解得：，
由已知可得：，其中
球心O到平面ABC的距离为，
故三棱锥的高的最大值为3，
体积最大值为．
故选：C．
15．（2022·山东师范大学附中高三阶段练习）已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
即，
所以，
所以函数的周期为，
又为偶函数，
则，
所以，
所以函数也为偶函数，
又，
所以，，
所以，
又，即，所以，
又，，
，
所以，
故选：C.
16．（2022·山东师范大学附中高三阶段练习）已知a＝5，b＝15(ln4－ln3)，c＝16(ln5－ln4)，则（ ）
A．a＜c＜bB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．a＜b＜c
【答案】B
【解析】先比较与大小，先比较1与大小，比较与大小，比较与大小，比较与大小，，，，，
比较与大小，先比较与大小，
比较与大小，，，
，即，，
故选：B．
17．（2022·山东·济宁市育才中学高三阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设函数，则为偶函数，且当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，所以，又，，，所以.
故选：B.
18．（2022·山东·济宁市育才中学高三阶段练习）设是定义在R上的奇函数，且当时，，不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，当时，，所以在上为增函数，
因为是定义在R上的奇函数，
所以在R上为增函数，
因为，所以，，
所以，
所以不等式可化为，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，
故选：C
二、多选题
19．（2023·广东·广州市禺山高级中学高三阶段练习）已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则（ ）
A．是周期为2的函数
B．
C．的值域为[-1，1]
D．的图象与曲线在上有4个交点
【答案】BCD
【解析】根据题意，
对于A，为R上的奇函数，为偶函数，
所以图象关于对称，
即
则是周期为4的周期函数，A错误；
对于B，定义域为R的奇函数，则，
是周期为4的周期函数，则；
当时，，则，
则，
则；故B正确．
对于C，当时，，此时有，
又由为R上的奇函数，则时，，
，函数关于对称，所以函数的值域．
故C正确．
对于D，，且时，，
，
，
，
是奇函数，，
的周期为，，
，
，
设，
当，
，
设在恒成立，
在单调递减，即在单调递减，
且，
存在，
单调递增，
单调递减，
，
所以在有唯一零点，在没有零点，
即，的图象与曲线有1个交点，
当时，，，
则，，
则，所以在上单调递增，
且，
所以存在唯一的，使得，
所以，，在单调递减，
，，在单调递增，
又，所以，
又，
所以在上有一个唯一的零点，在上有唯一的零点，
所以当时，的图象与曲线有2个交点，，
当时，同，的图象与曲线有1个交点，
当，
的图象与曲线没有交点，
所以的图象与曲线在上有4个交点，故D正确；
故选：BCD．
20．（2022·广东·福田外国语高中高三阶段练习）设定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．的解析式唯一
C．若是周期为的函数，则
D．若时，，则是上的增函数
【答案】ACD
【解析】因为，令，可得，解得，
再令，所以，即，所以，所以为奇函数，故A正确；
令，
则，
，
满足，故的解析式不唯一，即B错误；
若是周期为的函数，则，所以，又，
所以，故C正确；
因为当时，，所以当时，则，
设任意的，且，则，
所以，因为，且，
所以，，，，，
所以，即，
所以在上单调递增，则在上单调递增，又，
且当时，，当时，则，
所以是上的增函数，故D正确；
故选：ACD
21．（2022·广东·华南师大附中南海实验高中高三阶段练习）已知函数，则( )
A．，，成等差数列B．，，成等差数列
C．，，成等比数列D．，，成等比数列
【答案】ABD
【解析】A：，，
则，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以A正确；
B：，，，
则，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以B正确；
C：，，
则，，成等差数列，又，所以C错误；
D：，，，
则，由等比中项的应用知，
成等比数列，所以D正确.
故选：ABD.
22．（2022·广东·华南师大附中南海实验高中高三阶段练习）已知分别是函数和的零点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】因为，分别是函数，的零点，所以，，那么，可以看做函数和与函数图像交点的横坐标，
如图所示，点，，分别为函数，，的图像与函数图像的交点，所以，因为函数和互为反函数，所以函数图像关于的图像对称，的图像也关于的图像对称，所以点和关于点对称，，，故AB正确；
由反函数的性质可得，因为单调递增，，
所以，所以，故C错；
当时，函数对应的函数值为，函数对应的函数值为，因为
，所以，
所以的范围为，那么，而，所以，故D正确.
故选：ABD.
23．（2022·广东·河源市河源中学高三阶段练习）已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（ ）
A．在上单调递减B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】方法一：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C和D，设，则为R上可导的奇函数，，
由题意，得，关于直线对称，
易得奇函数的一个周期为4，，故C正确，
由对称性可知，关于直线对称，进而可得，（其证明过程见备注）
且的一个周期为4，所以，故D正确．
备注：，即，所以，
等式两边对x求导得，，
令，得，所以．
方法二：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C，将中的x代换为，
得，所以，
可得，两式相减得，，
则，，…，，
叠加得，
又由，得，
所以，故正确，
对于D，将的两边对x求导，得，
令得，，
将的两边对x求导，得，所以，
将的两边对x求导，得，
所以，故正确．
故选：BCD
24．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）已知函数，的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】是偶函数，则，两边求导得，
所以是奇函数，故.
由，，得，
即，所以是周期函数，且周期为4，，
，所以.
对选项A：令得，，令得，
故，所以选项A正确.
对选项B：令得，，故，所以B正确.
对选项C：令得，，令得，，即，
若，则，所以，但不一定为0，因此C错；
对选项D：，由是以4为周期得，由得，故D正确.
故选：ABD.
25．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）在正四面体中，若，则下列说法正确的是（ ）
A．该四面体外接球的表面积为
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．如果点在上，则的最小值为
D．过线段一个三等分点且与垂直的平面截该四面体所得截面的周长为
【答案】ACD
【解析】
正四面体中，，图中点为外接球的球心，半径为，为的外心，
所以，由于，
又因为，所以，解得，
因此外接球的表面积为，故A正确；
由于，且与平面所成的角为，
因此，故B错误；
因为于，所以;于，所以;
因此当与点重合时，最小，最小值为，故C正确；
在平面中过点作交于，在平面中过点作交于，连接,
又因为，所以平面，因此平面即为所求，
则的周长为，
同理在平面中过点作交于，在平面中过点作交于，
连接,可得平面，而平面即为所求，
，
则的周长为，故D正确.
故选：ACD.
26．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数（），（），（为自然对数的底数），则（ ）
A．在内单调递增
B．和间存在“隔离直线”，且的取值范围是
C．和之间存在“隔离直线”，且的最小值为
D．和之间存在唯一的“隔离直线”
【答案】AD
【解析】A：令，，
∴，故在内单调递增，故A正确；
对于B，C：设，的隔离直线为，则对任意恒成立，
故对任意恒成立，
由对任意恒成立，得
若，则符合题意，
若，则对任意都成立，
又因为的对称轴为，从而，
所以，
又的对称轴为，
，即且，
∴，故，
同理可得，即，故BC错误；
D：函数和的图象在处有公共点，若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率，则隔离直线方程，即，
由（）恒成立，
若，则，（）不恒成立，
若，由（）恒成立，
令，（），则在上单调递增，，
故不恒成立，不符合题意，
故，可得在时恒成立，
的对称轴为，
则时只有，此时直线，
下面证明，
令，则，
易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极小值0，也是最小值，
所以，故，所以和存在唯一的隔离直线，故D正确.
故选：AD.
27．（2022·湖南· 邵东市第一中学高三阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．若是函数的零点，则是的整数倍
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象与函数的图象相同
D．函数的图象可由的图象先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到
【答案】BC
【解析】
，
画出函数的图象，如图所示：
的图象与轴相邻的两个交点的距离不相等，且不为，故A错；
因为，所以函数的图象关于对称，则函数的图象关于点对称，故B正确；
函数，故C正确；
函数的图象可由先向上平移个单位，再向左平移个单位长度得到，故D错误.
故选：BC
28．（2022·湖南· 邵东市第一中学高三阶段练习）函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．若的导函数为，定义域为，则
C．的图象关于点中心对称
D．设数列为等差数列，若，则
【答案】BCD
【解析】由导数的几何意义及的对称性，在和处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故是偶函数，对称轴为错；
由的对称性，在和处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故为奇函数，又定义域为，B对；
，由为奇函数知为奇函数，图像关于对称，可以看作由按向量平移而得，故C对；
由选项知，当时，，
由等差数列性质，以此类推倒序相加，D正确.
故选：BCD
29．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）已知函数，设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若有4个零点，则
B．存在实数t，使得有5个零点
C．当有6个零点时．记零点分别为，且，则
D．对任意恒有2个零点
【答案】BC
【解析】的大致图像如图所示，令，即，即或．若有4个零点，则实数t的取值范围为或或，故A项错误；由图可知，当时，有5个零点，故B项正确；当有6个零点时，则，所以，即有，故C项正确；当时，有4个零点，故D项错误，
故选：BC．
30．（2022·湖北·沙市中学高三阶段练习）已知数列，均为递增数列，它们的前项和分别为，，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】由是递增数列，得；又，所以，
所以，所以，故选项A正确；
，故B不正确；
由是递增数列，得，又，所以，
所以，所以，故选项C正确；
所以
，
所以，又，所以，
而，
当时，；
当时，可验证，
所以对于任意的，，故选项D正确．
故选：ACD．
31．（2022·湖北·沙市中学高三阶段练习）已知为坐标原点，圆，则下列结论正确的是（ ）
A．圆恒过原点
B．圆与圆内切
C．直线被圆所截得弦长的最大值为
D．直线与圆相离
【答案】ABC
【解析】A.代入点得恒成立，A正确；
B.，即两圆心距离等于两圆半径差，B正确；
C. 直线被圆所截得弦长为
，
，
即直线被圆所截得弦长的最大值为，C正确；
D.圆心到直线的距离，故圆和直线相切或相交，D错误；
故选：ABC.
32．（2022·山东师范大学附中高三阶段练习）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．向右平移个单位后得到的新函数是偶函数
C．若方程在上共有4个根，则这4个根的和为
D．图象上的动点到直线的距离最小时，的横坐标为.
【答案】ACD
【解析】因为经过点，所以，又在的单调递减区间内，所以①，
又因为经过点，所以，，又是在时最小的解，所以②.
联立①②，可得，解得，代入①，可得，又，所以，则.
故的最小正周期，则A正确；
向右平移个单位后得到的新函数是，则为奇函数，故B错误；
设在上的个根从大到小依次为，令，则，根据的对称性，可得，则由的周期性可得，所以，故C正确；
作与直线平行的直线，使其与有公共点，则在运动的过程中，只有当直线与相切时，直线与直线存在最小距离，也是点到直线的最小距离，令，则，解得或，又，所以或或（舍去），又，令，，，则由，可得到直线的距离大于到直线的距离，所以到直线的距离最小时，的横坐标为，故D正确.
故选：ACD.
33．（2022·山东师范大学附中高三阶段练习）若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（ ）
A．可以取到3B．
C．当时，的取值范围是D．当时，存在唯一的值
【答案】ABD
【解析】
设切线的切点为，，则切线的斜率为，
又，则切线的方程为，
，则，
令，则，
当或时，，当时，，
所以函数在，上单调递减，在上单调递增，
且，当时，，当时，，
作出函数的草图如下，
对于A，由于，，
故，
由图象可知，或2或3，即，故A正确；
对于B，因为与不能同时取得，故，即，故B正确；
对于C，当时，即的值有一个，
由图象可知，当或时，的值唯一，此时，故C错误；
对于D，当时，即的值有两个，
由图象可知，当且仅当时，的值有两个，
即当时，存在唯一的值，故D正确.
故选：ABD．
34．（2022·山东·济宁市育才中学高三阶段练习）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若是函数的极值点，则在上的最小值为
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
【答案】ABC
【解析】对于A，由，得，因为是函数的极值点，所以，得，经检验是函数的极小值点，所以A正确，
对于B，由选项A，可知，则，由，得或，由，得，所以在和递增，在上递减，所以当时，时，取得最小值，所以B正确，
对于C，因为在上单调递减，所以，即，得在上恒成立，令，则，所以在单调递增，所以，即，所以，所以C正确，
对于D，由在上恒成立，得 在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以上单调递增，所以，所以，所以D错误，
故选：ABC
三、填空题
35．（2023·广东·广州市禺山高级中学高三阶段练习）已知椭圆的焦点分别为，，两条平行线，交椭圆于A，B，C，D四点，若以A，B，C，D为顶点的四边形面积为，则椭圆的离心率为________.
【答案】
【解析】设,，,，
联立直线与椭圆的方程：，
整理可得：，
，，
所以，
直线，间的距离，
所以平行四边形的面积，整理可得：，即，
解得：，
由椭圆的性质可得，离心率，
故答案为：．
36．（2022·广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知函数，若方程有四个不等的实根，，，，则的取值范围是______.
【答案】（10，12）
【解析】作出函数的图像，设，如图.
方程有四个不等的实根，则
所以为在上与的两个交点的横坐标.
由，即，
所以，即，所以
为在上与的两个交点的横坐标.
所以
当时的两个实数根为 ，则
则，且
所以
故答案为：
37．（2022·广东·福田外国语高中高三阶段练习）正方形边长为，点在线段上运动，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】以，为，轴建立直角坐标系则，
，，，，
设，则
，，，
，
当时，函数有最大值为，
当时，函数有最小值为，
的取值范围是．
故答案为：．
38．（2022·广东·河源市河源中学高三阶段练习）已知函数，若直线与函数的图象都相切，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】根据题意作出草图如下：
设直线与函数图像分别相切与点和，
，，，，
则有和，
解得：，，
因为，所以，
，得，
，
当且仅当，即时取等号.
即的最小值为.
故答案为：.
39．（2022·广东·河源市河源中学高三阶段练习）已知椭圆C1：（0＜b＜2）的离心率为，F1和F2是C1的左右焦点，M是C1上的动点，点N在线段F1M的延长线上，｜MN｜＝｜MF2｜，线段F2N的中点为P，则｜F1P｜的最大值为__________．
【答案】3
【解析】由条件得，∴，∴椭圆的方程是，，
∴，．由于点在线段的延长线上，，
所以，
∴点的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆，方程为．
设，则关于对称的点的坐标为，
∴，化简得点的轨迹方程为，
即点的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，
，所以的最大值为3．
故答案为：
40．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）已知函数,,对任意,存在,使,则的最小值为________.
【答案】
【解析】设则
由题知,所以
所以
设
易知在上单调递增,注意到
当单调递减
当单调递增
所以的最小值为
所以的最小值为
故答案为：
41．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】令t=f（x），函数有3个不同的零点，
即+m=0有两个不同的解，解之得
即或
因为的导函数
，令，解得x>e，，解得0可得f（x）在（0，e）递增，在递减；
f(x)的最大值为 ，且
且f(1)=0；
要使函数有3个不同的零点，
（1）有两个不同的解，此时有一个解；
（2）有两个不同的解，此时有一个解
当有两个不同的解，此时有一个解，
此时 ，不符合题意；
或是不符合题意；
所以只能是 解得
，
此时=-m，
此时
有两个不同的解，此时有一个解
此时 ，不符合题意；
或是不符合题意；
所以只能是解得
，
此时=，
综上：的取值范围是
故答案为
42．（2022·湖南· 邵东市第一中学高三阶段练习）已知函数，当时，，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】等价于，构造函数，则不等式等价于：.
当时，设有，则，故为增函数，所以，即，所以在上为增函数，又，所以恒成立，即，而，所以，所以的取值范围为.
故答案为：
43．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）若为椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，若对任意的，均存在四个不同的点P满足，则C的离心率e的取值范围为_______．
【答案】
【解析】设O为坐标原点，则，故
，由于，故，
若存在四个不同的点P满足，又，
所以即解得
，即．
故答案为：
44．（2022·湖北·沙市中学高三阶段练习）已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.
【答案】【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设，，
∴
当且仅当取等号，
∵直线l上存在点P满足
∴
即，
∴，即，
所以，
故椭圆离心率的最大值为.
故答案为：.
45．（2022·山东师范大学附中高三阶段练习）已知函数，若关于的函数恰好有五个零点，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】作出函数的图象如图，
函数恰好有五个零点，
即方程恰好有五个不同的实数解，
令，则当，方程有个不同的实数解，
则方程可化为，
使关于的方程恰好有五个不同的实数解，
则方程有个的实数根，，
且、，
所以方程在内有个的实数根，有个实数根，
令，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围为；
故答案为：
46．（2022·山东·济宁市育才中学高三阶段练习）函数在上单调，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】当时，，，
所以，，
所以x=0不是的极值点，
因为在上单调，
所以，解得，
当，在上单调递增，
当，为开口向上的抛物线，所以在上单调递增，
所以在上为单调递增函数，
所以当时，为单调递增函数，
所以或，
所以或（舍）
解得满足题意.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
四、双空题
47．（2022·广东·华南师大附中南海实验高中高三阶段练习）已知函数.
（1）当,，则的最大值为__________；
（2）若对任意、，都有，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】（1）当时，
，
因为，当时，取最大值，即；
（2）函数，
设，则.
问题等价于对任意的、，都有，
即.
①当时，即当时，函数在上单调递增，
则，
解得，此时，；
②当时，即当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
，
则有，
可得，解得，此时，；
③当时，即当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
，
则有，
可得，解得，此时，；
④当时，即当时，函数在上单调递减，
则，
解得，此时，.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：（1）；（2）.
48．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界近代三大数学难题之一．地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的．四色定理的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”某同学在横格纸上研究填涂蓝、红、黄、绿4种颜色问题，如图，第1行有1个格子，第2行有2个格子，…，第n行有n个格子，将4种颜色在每行中分别进行涂色，每行相邻的格子颜色不同，记为第k行不同涂色种数，则_____，________．
【答案】 324
【解析】由分步计数原理知每行的第一个格子有4重涂法，其余每个格子均有3种涂法，故种，，
则①，
所以②，
①-②得，即．
故答案为：324，
49．（2022·湖北·沙市中学高三阶段练习）在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，现将△ABC沿对角线AC翻折，得到四面体DABC，则该四面体外接球的体积为________；设二面角D－AC－B的平面角为θ，当θ在内变化时，BD的取值范围为________．
【答案】
【解析】如图1，分别过点，作，垂足分别为F，E，
则在四面体中也满足．
因为，，所以，，
则，．
在四面体ABCD中，三角形ABC和三角形DAC均为直角三角形，
设点O为AC的中点，如图2，连接OB，OD，则，
即点O为四面体ABCD外接球的球心，则外接球的半径，
所以外接球的体积．
在四面体ABCD中，，
因为二面角的平面角为θ，且，
所以和的夹角为，
所以
因为，所以，则．
故答案为：；
50．（2022·山东师范大学附中高三阶段练习）在中，角所对的边分别为的平分线交于点，且，则满足的方程关系为__________；的是小值为_______.
【答案】 a＋c＝ac 9
【解析】空1：∵，则
即，整理得
空2：∵，则
，当且仅当时等号成立
∴的是小值为9
故答案为：；9.