2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（八）

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1．（2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
即，
所以，
即，所以，
由，得，
由，得，
，
因为，
所以，所以，
所以，即，
所以，
综上所述.
故选：A.
2．（2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习）已知函数若方程恰有3个不同的实根，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题，当时，令，
根据一次函数性质可得，此时有一个根，，此时无根；
当时，令，求导，
令，当时，在上单调递增，故无零点，不满足题意；当时，在单调递减，在单调递增，
由题，函数恰有3个零点，则说明在当时，有1个零点，在时有两个零点，故可知且，
所以，解得；
综上可得
故选：B
3．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）已知是方程的两根，有以下四个命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：.
如果其中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【解析】因为是方程的两根，所以，
则甲：；
丙：.
若乙､丁都是真命题，
则，所以，，
两个假命题，与题意不符，所以乙､丁一真一假，
假设丁是假命题，由丙和甲得，所以，
即，所以，与乙不符，假设不成立；
假设乙是假命题，由丙和甲得，又，所以，
即与丙相符，假设成立；故假命题是乙，
故选：．
4．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）已知函数，若存在两个极值点，，当取得最小值时，实数的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】由题意可知，有两个变号零点，即有两个不同的正根，，
不妨令，则，
当时，，故在上单调递减，
此时最多只有一个零点，不合题意；
当时，；，
故在上单调递增，在单调递减，
因为，，
且由对数函数性质可知，当足够大时，，
所以由零点存在基本定理可知，，
因为，，
所以，
不妨令，由，
从而，
因为，
令，则，
从而在单调递增，且，
故对于，，即在单调递增，
从而当取得最小值是，也取得最小值，即取得最小值，
不妨令，，则，
令，则对于恒成立，
故在上单调递增，
因为，，
所以存在唯一的，使得，
故；，
从而在上单调递减，在单调递增，
故，此时也取得最小值，即，
故.
故选：D.
5．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，是偶函数，则函数的图象关于直线对称，
又由在上单调递减，则在上递增，
又由，则，
解可得：或，
即不等式的解集为；
故选：．
6．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，即.
故选：C.
7．（2022·山东·栖霞市第一中学高三阶段练习）已知，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．a＜c＜b
【答案】D
【解析】由题意，，，，则.
故选：D.
8．（2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习）已知，若函数有三个不同的零点，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的图象如图所示，
函数有三个不同的零点，，，
即方程有三个不同的实数根，，，由图知，
当时，，
∵，∴，当且仅当时取得最大值，
当时，，，
此时，
由，可得，
∴，，
∴，
∴，
∵，∴的取值范围是.
故选：A.
9．（2022·山东·高密三中高三阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则的值是（ ）
A．B．C．2D．12
【答案】B
【解析】为奇函数，即其图象关于点对称，所以的图象关于点对称，
为偶函数，即其图象关于轴对称，因此的图象关于直线对称，
所以，，，
所以，，由此解得，，
所以时，，
由对称性得，
所以，是周期函数，周期为4，
，
，
故选：B．
10．（2022·福建师大附中高三阶段练习）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五． 已知在菱形中，， 将沿进行翻折， 使得． 按张衡的结论， 三棱锥外接球的表面积约为（ ）
A．72B．C．D．
【答案】B
【解析】如图1，
取BD的中点M，连接．由，可得为正三角形，且，所以，则，
以M为原点，为轴，为轴，过点M且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系如图2，
则， ．设为三棱锥的外接球球心，则在平面的投影必为的外心，则设．由可得，解得，所以．
由张衡的结论，，所以，
则三棱锥的外接球表面积为，
故选：B．
11．（2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
，∵函数在区间单调递增，∴
在区间上恒成立．∴
，而
在区间上单调递减，∴
．∴
的取值范围是．故选D．
考点：利用导数研究函数的单调性.
12．（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥P-ABE外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题，由圆的性质，为直角三角形，，
如图所示，设外接球半径为R，底面圆心为Q，外接球球心为O，
由外接球的定义，，易得O在线段PQ上，
又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径，
∵，则，解得，
∴外接球表面积为.
故选：B．
13．（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，则在定义域上单调递减，所以，即，所以，即，令，，则，因为，所以，令，，则，即在上单调递减，所以，所以，即在上单调递增，所以，即，即，即，综上可得；
故选：A
14．（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）已知，且，函数，设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
令，，，
由
，
可知，
故函数的图象关于原点对称，
设的最大值是，则的最小值是，
由，
令，
当时，在，递减，
所以的最小值是，的最大值是，
故，
的最大值与最小值的和是，
当时，在，单调递增，
所以的最大值是，的最小值是，
故，
故函数的最大值与最小值之和为8，
综上：函数的最大值与最小值之和为8，
故选：A．
15．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，不等式在上恒成立不会成立，
故 ，
当 时， ，此时不等式恒成立；
不等式在上恒成立,
即在上恒成立,
而即，
设 ，当 时，，
故是增函数，
则即，故，
设，
当 时，， 递增，
当 时，， 递减，
故 ，则 ，
综合以上，实数的取值范围是 ，
故选：B
16．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面平面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，在四棱锥中，
取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，
分别过，作两个平面的垂线交于点O，
则由外接球的性质知，点O即为该球的球心，
取线段的中点E，连，，，，则四边形为矩形，
在等边中，可得，则，即，
在正方形中，因为，可得，
在直角中，可得，即，
所以四棱锥外接球的表面积为.
故选：B.
17．（2022·江苏·淮安市钦工中学高三阶段练习）已知定义在上的函数的导函数，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】构造函数，因为，
所以，因此函数是增函数，
于是有，
构造函数，因为，
所以，因此是单调递减函数，
于是有，
故选：D
18．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学高三阶段练习）已知函数则使不等式成立的实数x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，时，，因此时也有，即函数是奇函数，
时，，，
所以是减函数，所以奇函数在R上是减函数，
又，所以，
不等式为，所以，，
故选：C．
19．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学高三阶段练习）已知实数、、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，，
因为，可得，故当时，取最大值.
故选：A.
二、多选题
20．（2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习）已知函数，则（ ）
A．当或时，有且仅有一个零点
B．当或时，有且仅有一个极值点
C．若为单调递减函数，则
D．若与轴相切，则
【答案】AD
【解析】令可得，化简可得，
设，则，
当，，函数在单调递减，
当，，函数在单调递增，
又，，由此可得函数图像如下：
所以当或时，有且仅有一个零点
所以当或时，有且仅有一个零点，A对，
函数的定义域为，
，
若与轴相切，设与轴相切相切与点，
则，，
所以，
所以，，故D正确；
若为单调递减函数，则在上恒成立，
所以在上恒成立，
设，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
且，，当时，，
由此可得函数的图像如下：
所以若为单调递减函数，则，C错，
所以当时，函数在上没有极值点，B错，
故选：AD.
21．（2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】画出函数与函数的图像如下：
在单调递减，值域；在单调递增，值域；
在单调递减，值域；在单调递增，值域.
则有，，即.选项B判断错误；
方程有四个不同的实数解，则有.选项A判断正确；
由在单调递减，值域，，，可知.选项C判断正确；
由，可知
又.则有.
故选项D判断正确.
故选：ACD
22．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）已知函数，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．函数B．函数的周期为
C．函数在区间上单调递增D．函数的图象的一条对称轴是直线
【答案】ABC
【解析】由题意可知，函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的后，其解析式为，
向右平移个单位长度后，得到，故A正确；
由周期公式可知，函数的周期为，故B正确；
由，，
故的单调递增区间为，，
从而函数在区间上单调递增，故C正确；
因为，故D错误.
故选：ABC.
23．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（ ）
A．在上单调递减B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】方法一：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C和D，设，则为R上可导的奇函数，，
由题意，得，关于直线对称，
易得奇函数的一个周期为4，，故C正确，
由对称性可知，关于直线对称，进而可得，（其证明过程见备注）
且的一个周期为4，所以，故D正确．
备注：，即，所以，
等式两边对x求导得，，
令，得，所以．
方法二：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C，将中的x代换为，
得，所以，
可得，两式相减得，，
则，，…，，
叠加得，
又由，得，
所以，故正确，
对于D，将的两边对x求导，得，
令得，，
将的两边对x求导，得，所以，
将的两边对x求导，得，
所以，故正确．
故选：BCD
24．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）已知函数，函数满足.则（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．若实数、满足，则
D．若函数与图象的交点为、、，则
【答案】AC
【解析】对于A选项，对任意的，，
所以，函数的定义域为，
，
所以，，A对；
对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，B错；
对于C选项，对于函数，该函数的定义域为，
，即，
所以，函数为奇函数，
当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，
所以，函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，
因为函数在上连续，故函数在上为增函数，
又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，
因为实数、满足，则，可得，即，C对；
对于D选项，由上可知，函数与图象都关于点对称，
由于函数与图象的交点为、、，
不妨设，若，则函数与图象的交点个数必为偶数，不合乎题意，
所以，，则，由函数的对称性可知，点、关于点对称，
则，，故，D错.
故选：AC.
25．（2022·山东·栖霞市第一中学高三阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的最小正周期为，则其图象关于直线对称
B．若函数的最小正周期为，则其图象关于点对称
C．若函数在区间上单调递增，则的最大值为2
D．若函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】选项：的最小正周期为
，故正确；
B选项：的最小正周期为
，故B错误；
C选项：
又函数在上单调递增
，故C正确；
D选项：
又在有且仅有个零点，则，故D正确.
故选：ACD
26．（2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习）已知函数，下列结论成立的是（ ）
A．函数在定义域内无极值
B．函数在点处的切线方程为
C．函数在定义域内有且仅有一个零点
D．函数在定义域内有两个零点，，且
【答案】ABD
【解析】A，函数定义域为，
，
在和上单调递增，则函数在定义域内无极值，故A正确；
B，由，则，
又，
函数在点处的切线方程为
即，故B正确；
C，在上单调递增，
又，
，
所以函数在存在，使，
又，即，
且，
即为函数的一个零点，所以函数在定义域内有两个零点,故C错误.
D，由选项C可得，所以，故D正确.
故选：ABD
27．（2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习）已知定义在上的函数对任意实数满足，，且时，，则下列说法中，正确的是（ ）
A．是的周期B．不是图象的对称轴
C．D．方程只有个实根
【答案】AC
【解析】A选项：因为定义在上的函数对任意实数满足，所以函数是以为周期的周期函数，故A选项正确；
B选项：因为，所以函数关于直线对称，又是周期为周期函数，所以函数关于直线对称，故B选项错误；
C选项：，C选项正确；
D选项：在同一直角坐标系中分别作出函数与的图象，如图所示：
由图象可知两函数共有个不同的交点，则方程有个实根，故D选项错误；
故选：AC.
28．（2022·山东·高密三中高三阶段练习）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件､存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
【答案】AC
【解析】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅，
:第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅，
所以，，，
因为，
所以，
所以有,
因此选项A正确, ，因此选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
，所以选项D不正确，
故选：AC
29．（2022·福建师大附中高三阶段练习）已知． 则下列说法中， 正确的有（ ）
A．若在内， 则
B．当时， 与共有两条公切线
C．若与存在公共弦， 则公共弦所在直线过定点
D．， 使得与公共弦的斜率为
【答案】BC
【解析】因为，
所以：，：，
则，，，，则，
由在内，可得，即，A错误；
当时，，，，，所以，所以两圆相交，共两条公切线，B正确；
，得，即，令解得所以定点为，C正确；
公共弦所在直线的斜率为，令，无解，所以D错误，
故选：BC．
30．（2022·福建师大附中高三阶段练习）函数的部分图像如图所示， 则下列说法中， 正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．向左平移个单位后得到的新函数是偶函数
C．若方程在上共有 6 个根， 则这 6 个根的和为
D．图像上的动点到直线的距离最小时， 的横坐标为
【答案】ABD
【解析】因为经过点，所以，
又在的单调递减区间内，所以①；
又因为经过点，所以，，
又是在时最小的解，所以②．
联立①、②，可得，即，代入①，可得，又，所以，则．的最小正周期为，A正确．
向左平移个单位后得到的新函数是，为偶函数，B正确．
设在上的6个根从小到大依次为．令，则，根据的对称性，可得，则由的周期性可得，，所以，C错误．
作与平行的直线，使其与有公共点，则在运动的过程中，只有当直线与相切时，直线与l存在最小距离，也是点M到直线的最小距离，
令，则，
解得或，又，所以（舍去），
又，令，，，则由可得到直线的距离大于到直线的距离，所以到直线的距离最小时，的横坐标为，D正确
故选：ABD．
31．（2022·福建师大附中高三阶段练习）公元前 300 年前后， 欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著， 书中描述： 把一条线段分割为两部分， 使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为， 与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中， 正确的有（ ）
A．B．
C．D．若， 则恒成立
【答案】ABC
【解析】由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得，则，A正确；
对继续变形得，，
，，
所以，又，
所以，，所以，
所以，所以， B正确；
设，，，将坐标代入双曲线方程可得，
，作差后整理可得，即
所以，故C正确；
设直线，则直线，将代入双曲线方程，可得，则，，将换成即得，则与，的值有关，故D错误，
故选：ABC．
32．（2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试）知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是B．函数增区间是
C．函数是奇函数D．函数图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】函数的图象如下图：
由图可知，函数的最小正周期为，单调递增区间是，对称轴是.
，
的最小正周期是，故A正确；
令得，所以的增区间是，故B正确；
因为，所以不是奇函数，故C错误；
令得，取得对称轴方程为，故D正确.
故选：ABD.
33．（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习）在正方体中，点、分别是棱、的中点，则下列选项中正确的是（ ）.
A．
B．平面
C．异面直线与所成的角的余弦值为
D．平面截正方体所得的截面是五边形
【答案】AD
【解析】
以点为原点如图建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，
则
因为，，，所以，故A正确；
因为，，设平面的法向量为
所以由，可得，所以可取，
因为，，所以不与平面平行，故B错误；
因为，
所以
所以异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误；
连接，在上取靠近的四等分点为，则
连接，在上取靠近的三等分点为，则
所以平面截正方体所得的截面是五边形，故D正确
故选：AD
34．（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．存在，使得函数为奇函数
C．函数有且仅有2个零点D．任意，
【答案】ABD
【解析】A：
因为，所以，，因此，故，所以在上单调递增，故A正确；
B：令，则，令，定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，B正确
C： 时，，时，，时，，所以只有1个零点，C错误；
D：时，；时，；时，；D正确；
故选：ABD
35．（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）已知数列满足，则（ ）
A．≥2B．是递增数列
C．{-4}是递增数列D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，故，所以，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，由A可得为正数数列，且，则，故为递增数列，且，根据对勾函数的单调性，为递增数列，故B正确；
对于C，由，由题意，，即可知不是递增数列；
对于D，因为，所以，所以，
所以，即.
故选：ABD
36．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A．有最小值4B．有最小值
C．有最大值D．有最小值
【答案】ACD
【解析】A：由题设，，当且仅当时等号成立，正确；
B：由，则，即，当且仅当时等号成立，故的最大值为，错误；
C：由，则，即，当且仅当时等号成立，正确；
D：，当且仅当时等号成立，正确；
故选：ACD.
37．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）已知数列满足，，则（ ）
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递增数列D．的前n项和
【答案】AD
【解析】因为，所以，
又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，
即，所以，所以，
所以为递减数列，
的前n项和．
故选：AD．
38．（2022·江苏·淮安市钦工中学高三阶段练习）已知函数f(x)=，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是（ ）
A．点（0，0）是函数f（x）的零点
B．∈（1，3），使f（）>f（）
C．函数f（x）的值域为[
D．若关于x的方程[g（x）]²－2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（∪（）
【答案】BC
【解析】对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误；
对于选项B，当时，，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，当时，；
当时，，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，当时，．
综上可得，选项B正确．
对于选项C，，选项C正确．
结合函数的单调性及图像可得：函数有且只有一个零点0，则也有且只有一个零点0；
所以对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有一个非零的实数根⇔函数的图象与直线有一个交点，且，
则
当时，，
当变化时，，的变化情况如下：
极大值，极小值；
当时，，
当变化时，，的变化情况如下：
极小值．
综上可得，或，
解得的取值范围是，
故D错误．
故选：BC．
39．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学高三阶段练习）若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在上为增函数
【答案】BD
【解析】由题意，．
函数的图象向右平移个单位长度可得到，故A错误；，所以函数的图象关于直线对称，故B正确，C错误；
函数在上为增函数，时，，故函数在上单调递增，所以函数在上为增函数，故D正确．
故选：BD．
三、填空题
40．（2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习）已知函数，函数，如果恰好有两个零点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】，
，
由，
得，
设，
若，则，，
则，
若，则，，
则，
若，则，，
则，
即，
作出的图象如图，
当时，，
当时，，
由图象知要使有两个零点，即有四个根，
则满足或，
故答案为：
41．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）如图，在扇形中，，，点为上的动点且不与点A，B重合，于，于点，则四边形面积的最大值为______．
【答案】
【解析】因为在扇形中，，，
所以，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，
设，，则，
所以
因为于，于点，
所以四边形面积，
因为，所以
所以，当时，取得最大值.
故答案为：
42．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，有下列四个结论：
①
②点是函数图象的一个对称中心；
③函数在上有2023个零点；
④函数在上为减函数；
则所有正确结论的序号为___________.
【答案】①②③
【解析】依题意是定义在上的奇函数，
由于当，且时，都有，
即
所以在区间上递增，
由，以替换得，
由，令得，
所以，
所以，所以是周期为的周期函数.
所以，，
以此类推可知，
，，
以此类推可知，
所以，①正确.
由上述分析可知，
所以，所以关于对称，
结合是周期为的周期函数可知关于点对称，②正确.
对于③，由，
以替换得，
所以关于直线对称，
是奇函数，，在上递增在上递增；
则在上递减.
结合是周期为的周期函数，以及，可知函数在上有2023个零点，③正确.
对于④，结合上述分析可知，在上递增，在上递减.
由于是周期为的周期函数，所以在，即上递增，所以④错误.
故答案为：①②③
43．（2022·山东·栖霞市第一中学高三阶段练习）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
【答案】或0
【解析】∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
44．（2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习）已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为 ______.
【答案】
【解析】因为，所以，
若，则恒成立，所以在上单调递增，且当时，不符合题意，
所以，令，解得，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，则，
则，
令，，
则，所以当时，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，即的最小值为.
故答案为：
45．（2022·福建师大附中高三阶段练习）已知非零实数满足， 则的最小值为_____．
【答案】
【解析】设，则，则点在单位圆上，根据三角函数的定义，可设，，则，则由可得，则，所以，则，
由可得，又
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当，时等号成立
所以．
46．（2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试）已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由函数在R上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是.
47．（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习）如图是构造无理数的一种方法： 线段； 第一步，以线段为直角边作直角三角形，其中； 第二步，以为直角边作直角三角形，其中； 第三步，以为直角边作直角三角形， 其中； ．．．，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段， 如， ， ．．． ，则____________．
【答案】
【解析】由题可知
所以，，，，
所以，
所以.
故答案为：.
48．（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习）定义在上的函数满足，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】令，
则，
因为，
所以，
所以在上单调递增；
又因为.
不等式,即为，即，
所以，
所以，
所以不等式的解集为：.
故答案为：.
49．（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）已知函数，若只有一个正整数解，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】关于的不等式只有一个正整数解，
等价于只有一个正整数解，令，
则，当且仅当，即时等号成立，
由对勾函数性质得在上递减，在递增，
而，，，，当不等式只有一个正整数解，
故答案为：
50．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）如图，已知A，B，C是双曲线上的三个点，经过原点O，经过右焦距F，若且，则该双曲线的离心率等于_____．
【答案】
【解析】若是左焦点，连接，设，，
∴由双曲线的对称性且知：是矩形，则，，
又，即，则，
∴在中，，即，而，
∴，，
∵在中，，即，可得.
故答案为：.
51．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）在中，角，，所对的边为，，，若，且的面积，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由，，
又，所以，
，，，
，．
，，
由正弦定理得，
所以
，
因为，所以，所以，
，
．
故答案为：．
52．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学高三阶段练习）已知正实数，，满足，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】因为，即，所以，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
四、双空题
53．（2022·江苏·淮安市钦工中学高三阶段练习）设函数已知不等式的解集为，则______，若方程有3个不同的解，则m的取值范围是________．
【答案】 0
【解析】由，得；
由得或；由得；
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
因此，当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值；
由可得或；
在同一直角坐标系中，作出函数与的大致图象如下，
由图象可得，当时，；
因为，为使不等式的解集为，
结合图象可知，只有；
所以
因为方程有3个不同的解，等价于函数与直线有三个不同的交点，
作出函数的大致图象如下：
由图象可得，；
故答案为：；.
0
+
0
0
+
增
极大值
减
极小值
增
1
2
0
+
e
减
极小值
增