2022-2023学年河北省邢台市威县三中八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省邢台市威县三中八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.点A(3,3)关于y轴的对称点坐标是( )
A. (3,3)B. (−3,3)C. (3,−3)D. (−3,−3)
2.如果分式x−2x−3的值等于0，则x的值是( )
A. 2B. −2C. 3D. −3
3.下列各式中，计算结果是a8的是( )
A. a8−a0B. a16÷a2C. a4⋅a2D. (−a2)4
4.解分式方程1−xx−2=12−x−2时，去分母变形正确的是( )
A. −1+x=−1−2(x−2)B. 1−x=1−2(x−2)
C. −1+x=1+2(2−x)D. 1−x=−1−2(x−2)
5.如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=5，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
6.如图，∠B=30°，∠CAD=65°且AD平分∠CAE，则∠ACD等于( )
A. 95°
B. 65°
C. 50°
D. 80°
7.若一个三角形成轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是( )
A. 直角三角形B. 等腰直角三角形
C. 等边三角形D. 上述三种情形都有可能
8.已知a，b，c为三角形的三条边，则(a−b)2−c2的值( )
A. 可能为零B. 一定是负数
C. 一定为正数D. 可能是正数，可能为负数
9.篮子里有若干苹果，可以平均分给(x+1)名同学，也可以平均分给(x−3)名同学(x为大于3的正整数)，用代数式表示苹果数量不可能的是( )
A. (x+1)(x−3)B. x(x2−2x−3)C. x2−4x+3D. 2x3−4x2−6x
10.如图，已知AB是正六边形ABCDEF与正五边形ABGHI的公共边，连接FI，则∠AFI的度数为( )
A. 84°
B. 82°
C. 78°
D. 76°
11.某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50002x=4000x−30，则方程中x表示( )
A. 足球的单价B. 篮球的单价C. 足球的数量D. 篮球的数量
12.在4×4的正方形网格中，点A、B、C均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边AC上的高.现有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是( )
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行C. Ⅰ、Ⅱ都可行D. Ⅰ、Ⅱ都不可行
13.小明和爸爸妈妈在公园里荡秋千.如图，小明坐在秋千上的起始位置A处，起始位置OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2米高的B处接住他，然后用力一推，爸爸在C处接住他.若妈妈与爸爸到秋千起始位置OA的水平距离BF=1.8米，CG=2.2米，且∠BOC=90°，则爸爸接住小明的位置C距地面的高度为( )
A. 1.5米B. 1.6米C. 1.8米D. 2米
14.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC的中点，点M为线段EF上一动点，当△CDM周长取得最小值为13时，△ABC的面积为( )
A. 30B. 39C. 60D. 78
15.已知a≠−1，b≠−1，设M=aa+1+bb+1，N=1a+1+1b+1，结论Ⅰ：当ab=1时，M=N；结论Ⅱ：当a+b=0时，M⋅N≤0，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是( )
A. Ⅰ和Ⅱ都对B. Ⅰ和Ⅱ都不对C. Ⅰ不对Ⅱ对D. Ⅰ对Ⅱ不对
16.题目：“如图，已知∠AOB=30°，点M，N在边OA上，OM=x，MN=2，P是射线OB上的点.若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有3个，求x的取值范围.”对于其答案，甲答：x=0，乙答：0A. 只有甲答得对B. 甲、丙答案合在一起才完整
C. 乙、丙答案合在一起才完整D. 三人答案合在一起才完整
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17.已知一粒米的质量约为0.000037克，这个数据用科学记数法表示为______克．
18.如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片(a>b)．
(1)若a=195，b=105，则甲纸片与乙纸片的面积差为______ ；
(2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片______ 块.
19.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，AD与BC交于点P(不与点B，C重合)，点B，E在AD异侧，∠PAC和∠ACP的平分线相交于点I．
(1)PD的最大值为______ ；
(2)当∠APC=75°时，∠CAE的度数为______ ；
(3)当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为______ ．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
按要求解答下列各小题．
(1)计算：(−2a3b2)3÷8a2b6；
(2)分解因式：x2(x−3)+y2(3−x)；
(3)计算：39.8×40.2．
21.(本小题8分)
已知A=(2x2+2xx2−1−x2−xx2−2x+1)÷xx+1．
(1)先化简A，再求当x=3时，A的值；
(2)判断A的值能不能是−1，并说明理由．
22.(本小题8分)
如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向．
(1)求B处到灯塔C的距离；
(2)已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．
23.(本小题8分)
已知m+n=2，mn=−2．
(1)求2m⋅2n−(2m)n的值；
(2)求(m−4)(n−4)的值；
(3)求(m−n)2的值．
24.(本小题8分)
为增强学生体质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目.体育用品商店得知后，第一次用600元购进乒乓球若干盒，第二次又用600元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价比第一次的进价高25%，购进数量比第一次少了30盒．
(1)求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
(2)若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于420元，求每盒乒乓球的售价至少是多少元？
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，CA=CB，D为△ABC内一点，且CD平分∠ACB，E为AD延长线上一点，CE=CA．
(1)求证：△ACD≌△BCD；
(2)若∠ACD=40°，∠CBD=15°，求∠BAD的度数；
(3)点F在DE上，连接CF，若CD=CF，判断EF和BD的数量关系，并说明理由.小明的解答是：EF和BD相等；理由：
∵△ACD≌△BCD，∴∠CBD=∠CAD．
∵CE=CA，∴∠E=∠CAE，∴∠E=∠CBD．
∵CE=CA，CA=CB，∴CE=CB．
又∵CF=CD，∴△CEF≌△CBD，∴EF=BD．
请你判断小明的结论和理由是否都正确？若不正确，请指出问题，并给出正确解答．
26.(本小题8分)
数学活动课上老师出示了如下条件，让同学们自己提出问题并解决．
嘉嘉和淇淇经过讨论后，进行了如下探究．
(1)①如图，若点C与点D重合，即线段CD的长度为0，猜测此时线段AE，BF之间的数量关系是AE=BF.请你给出AE=BF的理由；
②若点C不与点D重合，线段AE，BF，CD之间也存在一个数量关系.请你猜测线段AE，BF，CD之间的数量关系，并证明；
(2)若把“C是线段BD上的一个动点”改为“C是射线BD上的一个动点(不与点B重合，且BC≠BE)”，其他条件都不变，则当点C在线段BD的延长线上时，请你用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：点M(3,3)关于y轴对称的点的坐标为(−3,3)．
故选：B．
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数是关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵x−2=0，x−3≠0，
∴x=2，
故选：A．
根据分式的值为0的条件即可得出答案．
本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、a8−a0=a8−1，故该选项不符合题意；
B、a16÷a2=a14，故该选项不符合题意；
C、a4⋅a2=a6，故该选项不符合题意；
D、(−a2)4=a8，故该选项符合题意．
故选：D．
根据零次幂，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方，进行计算即可求解．
本题考查的是同底数幂的除法，涉及到非零数的零次幂，同底数幂的乘法，积的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：去分母得：1−x=−1−2(x−2)，
故选：D．
分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
5.【答案】A
【解析】解：过D点作DH⊥OB于H，如图，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB于H，
∴DH=DE=5，
∴DF≥5．
故选：A．
过D点作DH⊥OB于H，根据角平分线的性质得到DH=DE=5，再利用垂线段最短得到DF≥5，然后对各选项进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．掌握角平分线的性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠CAD=65°，AD平分∠CAE，
∴∠CAE=2∠CAD=130°，
∴∠BAC=180°−130°=50°，
∵∠B=30°，
∴∠ACD=∠B+∠BAC=30°+50°=80°．
故选：D．
利用平分线的性质，三角形的内角和定理以及外角的性质计算．
此题主要考查角平分线的性质，三角形的内角和定理以及外角的性质．
7.【答案】C
【解析】解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，
根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形．
故选：C．
三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断．
本题主要考查了等边三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握判定方法，此题比较简单，易于掌握．
8.【答案】B
【解析】解：(a−b)2−c2
=(a−b+c)(a−b−c)，
∵a，b，c为三角形的三条边，
∴a+c>b，a∴a−b+c>0，a−b−c<0，
∴(a−b+c)(a−b−c)<0，
故选：B．
利用平方差公式进行因式分解，根据三角形三边的关系即可得出答案．
本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，掌握a2−b2=(a+b)(a−b)是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：A，(x+1)(x−3)能分别被(x+1)，(x−3)整除，故A选项不符题意，
B，x(x2−2x−3)=x(x+1)(x−3)，能分别被(x+1)，(x−3)整除，故B选项不符题意，
C，x2−4x+3=(x−1)(x−3)，不能被(x+1)整除，故C选项符合题意，
D，2x3−4x2−6x=2x(x2−2x−3)=2x(x+1)(x−3)，能分别被(x+1)，(x−3)整除，故D选项不符题意，
故选：C．
将各选项的代数式因式分解即可判断．
本题考查了因式分解和整式的除法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法与技巧．
10.【答案】A
【解析】解：∵∠FAB=(6−2)×180°6=120°，∠IAB=(5−2)×180°5=108°，
∴∠FAI=120°−108°=12°，
∵AF=AB，AI=AB，
∴AF=AI，
∴∠AFI=∠AIF=180°−12°2=84°，故A正确．
故选：A．
先求出正六边形和正五边形的内角，再求出∠FAI的度数，根据AF=AI，得到等腰三角形两底角相等即可得到答案．
本题考查了多边形的内角和与外角，等腰三角形的性质，掌握多边形的内角和公式：(n−2)⋅180°是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个．
根据题意可得：50002x=4000x−30，
故选：D．
设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个，列出分式方程解答即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，得到相应的关系式是解决本题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：方案I是过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，故方案I可行，
方案II是根据网格线的特征作图，故方案II可行，
故选：C．
根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，网格线的特征进行判断即可．
本题考查了作图−基本作图与勾股定理，掌握网格线的特征和过直线外一点作已知直线的垂线的基本做法是解题的关键．
13.【答案】B
【解析】解：∵∠BOC=90°，CG⊥OA，BF⊥OA，
∴∠GCO=90°−∠GOC=∠FOB，
在△GCO和△FOB中，
∠CGO=∠OFB∠GCO=∠FOBOC=BO，
∴△GCO≌△FOB(AAS)，
∴CG=OF，OG=BF，
∵BF=1.8米，CG=2.2米，
∴GF=OF−OG=2.2−1.8=0.4(米)，
∴AG=GF+AF=1.2+0.4=1.6(米)．
故选：B．
先证明△GCO≌△FOB得到CG=OF，OG=BF，计算GF=OF−OG，结合AG=GF+AF计算即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握一线三直角全等模型是解题的关键．
14.【答案】A
【解析】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+12BC=13，
∵BC=6，
∴AD=10，
∴△ABC的面积为：12BC⋅AD=12×6×10=30，
故选：A．
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
15.【答案】A
【解析】解：结论Ⅰ：当ab=1，则M=aa+1+bb+1=aa+ab+bb+ab=aa(b+1)+bb(a+1)=1b+1+1a+1=N．
∴当ab=1时，M=N，即结论Ⅰ正确．
结论Ⅱ：当a+b=0时，则b=−a．
∴M=aa+1+bb+1=aa+1+−a−a+1=−2a2(1+a)(1−a)，N=1a+1+1b+1=1a+1+1−a+1=2(a+1)(1−a)．
∴MN=−4a2(1−a2)2≤0．
∴结论Ⅱ正确．
综上：结论Ⅰ正确，结论Ⅱ正确．
故选：A．
根据分式的加法法则解决此题．
本题主要考查分式的加法运算，熟练掌握分式的加法法则是解决本题的关键．
16.【答案】B
【解析】解：①如图：当x=0时，存在满足条件的三个点P；
②当x=2时，存在满足条件的点P只有1个；
③当x=4时，存在满足条件的点P只有2个；
④当2⑤0所以甲、丙答案合在一起才完整．
故选：B．
分别画出特殊位置的图形，然后根据图形判断即可．
本题主要考查等腰三角形的判定等知识，寻找特殊位置并画出图形是解答本题的关键．
17.【答案】3.7×10−5
【解析】解：0.000037=3.7×10−5．
故答案为：3.7×10−5．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
18.【答案】27000 6
【解析】解：(1)甲纸片的面积为a2，乙纸片的面积为b2，
∴甲纸片与乙纸片的面积差为a2−b2，且a=195，b=105，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)=(195+105)×(195−105)=300×90=27000，
故答案为：27000；
(2)甲纸片的面积为a2，乙纸片的面积为b2，丙纸片的面积为ab，
∵甲纸片1块，乙纸片9块，设丙纸片有x块，
∴大正方形的面为a2+xab+9b2，
∵大正方形的边长都相等，
∴a2+xab+9b2可以配成完全平方公式，
∴(a+3b)2=a2+6ab+9b2，
∴x=6，即还需取丙纸片6块，
故答案为：6．
(1)根据正方形的面积计算方法分别表示出甲纸片与乙纸片的面积再作差，再根据平方差公式的计算方法即可求解；
(2)分别计算长1块甲纸片，9块乙纸片的面积，设丙纸片有x块，并计算出丙纸片的面积，再根据大正方形的边长都相等，完全平方公式的形式及配方的方法即可求解．
本题主要考查图形面积与乘法公式的关系，掌握多项式乘法的运算，乘法公式是解题的关键．
19.【答案】3 45° 105°<∠AIC<150°
【解析】解：(1)∵AD=AP+PD=6，当AP取得最小值时，PD取得最大值，
即AD⊥BC时，AP取得最小值，
∵AD⊥BC，
∴△ABP为直角三角形，∠APB=90°，
∵∠B=30°，AB=6，
∴AP=12AB=12×6=3；
∴PD=AD−AP=3；
故答案为：3；
(2)在△ABC和△ADE中，
∵AB=AD∠B=∠DBC=DE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠BAD=∠BAC−∠DAC，∠CAE=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE；
∵∠APC=∠B+∠BAD，
∴∠CAE=∠BAD=∠APC−∠B=75°−30°=45°；
故答案为：45°；
(3)∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
设∠BAP=α，则∠PAC=90°−α，
∵∠B=30°，∠BAC=90°，
∴∠BCA=180°−30°−90°=60°，
∵AI，CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC=12∠PAC=12(90°−α)=45°−12α，∠ICA=12∠PCA=30°，
∴∠AIC=180°−12(∠IAC+∠ICA)
=180°−(45°−12α+30°)
=105°+12α，
∵0°<α<90°，
∴105°<∠AIC<150°．
故答案为：105°<∠AIC<150°．
(1)当AD⊥BC时，AP取得最小值，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求解；
(2)证明△ABC≌△ADE(SAS)，得出∠BAD=∠CAE，进而根据三角形的外角的性质即可求解；
(3)由三角形内角和定理求出∠BCA，根据角平分线的概念得到∠IAC=45°−12α，∠ICA=35°，根据三角形内角和定理得到∠AIC=105°+12α，根据不等式的性质计算即可．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的角平分线，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，解题关键是熟记三角形的角平分线的性质．
20.【答案】解：(1)原式=−8a9b6÷8a2b6
=−a7；
(2)原式=x2(x−3)−y2(x−3)
=(x−3)(x2−y2)
=(x−3)(x+y)(x−y)；
(3)原式=(40−0.2)(40+0.2)
=402−0.22
=1600−0.04
=1599.96．
【解析】(1)根据同底数幂的除法进行计算即可求解；
(2)先提公因式(x−3)，然后根据平方差公式进行因式分解即可求解；
(3)根据平方差公式进行计算即可求解．
本题考查了单项式除以单项式，因式分解，平方差公式的应用，掌握以上知识是解题的关键．
21.【答案】解：(1)A=(2x2+2xx2−1−x2−xx2−2x+1)÷xx+1
=(2x2+2xx2−1−x2−xx2−2x+1)⋅x+1x
=[2x(x+1)(x+1)(x−1)−x(x−1)(x−1)2]⋅x+1x
=(2xx−1−xx−1)⋅x+1x
=xx−1⋅x+1x
=x+1x−1，
将x=3代入得原式=3+13−1=2．
(2)A的值不能是−1；
理由：若A的值为−1，即x+1x−1=−1，解得x=0，代入原式检验，分母为0，不合题意，
∴A的值不能为−1．
【解析】(1)先将除法转化为乘法并用公式法化简，再计算求出化简的结果，再将x=3代入求值即可；
(2)直接将A=−1代入判断即可．
本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．
22.【答案】解：(1)根据题意得∠BAC=90°−75°=15°，∠CBE=90°−60°=30°，AB=15×2=30(海里)，
∴∠C=30°−15°=15°，
∴∠BAC=∠C，
∴BC=AB=30(海里)，
答：B处到灯塔C的距离为30海里；
(2)过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
∵∠CBD=30°，BC=30(海里)，
∴CD=12BC=15(海里)，
∵15<16，
∴若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险．
【解析】(1)根据已知条件得到∠C=30°−15°=15°，求得∠BAC=∠C，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
(2)过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)原式=2m+n−2mn=22−2−2=4−14=334；
(2)(m−4)(n−4)=mn−4(m+n)+16=6；
(3)(m−n)2=(m+n)2−4mn=4+8=12．
【解析】(1)先根据同底数幂的乘法和幂的乘方计算，再将m+n=2，mn=−2代入求值即可；
(2)先计算多项式乘以多项式，再将m+n=2，mn=−2代入求值即可；
(3)先根据完全平方公式计算，再将m+n=2，mn=−2代入求值即可．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，多项式乘以多项式，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设第一次每盒乒乓球的进价是x元，
由题意得600x−600(1+25%)x=30，
解得x=4，
经检验x=4是原分式方程的解，且符合题意．
答：第一次每盒乒乓球的进价是4元；
(2)设每盒乒乓球的售价为y元，第一次每盒乒乓球的进价为4元，
则第二次每盒乒乓球的进价为4×(1+25%)=5(元)．
由题意得6004×(y−4)+6005×(y−5)≥420，
解得y≥6．
答：每盒乒乓球的售价至少是6元．
【解析】(1)设第一次每盒乒乓球的进价是x元，根据“第二次购进数量比第一次少了30盒”列方程，求出x的值即可．
(2)设每盒乒乓球的售价为y元，根据“这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于420元”列不等式，求出y的范围即可．
本题主要考查了列分式方程解应用题，和列一元一次不等式解应用题，解题的关键是找等量关系和不等量关系，正确的列出方程和不等式．
25.【答案】(1)证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD．
在△ACD和△BCD中，
AC=BC∠ACD=∠BCDCD=CD，
∴△ACD≌△BCD(SAS)；
(2)解：∵△ACD≌△BCD，
∴∠CAD=∠CBD=15°，∠BCD=∠ACD=40°，AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∴∠BAD=12(180°−2∠CAD−2∠ACD)=35°；
(3)解：小明的结论正确，理由不正确，因为两边及一边所对的角对应相等的两个三角形不一定全等．
∵CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD，
∴∠ADC=∠EFC，
∵CA=CE，
∴∠CAD=∠CEF．
又∵CA=CE，
∴△CAD≌△CEF(AAS)，
∴AD=EF．
∵AD=BD，
∴EF=BD．
【解析】(1)根据角平分线的定义得∠ACD=∠BCD，然后根据SAS即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质可得答案；
(3)根据等腰三角形的性质得∠CAD=∠CEF，再根据AAS可得△CAD≌△CEF，由全等三角形的性质可得结论．
此题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解决此题关键．
26.【答案】(1)①证明：∵BA=BC，∠EBD=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴CA=CB，即DA=DB，
如图1，过点D作DP⊥EF于点P，

∵DE=DF，DA=DB，
∴EP=FP，AP=BP，
∴EP−AP=FP−BP，
∴AE=BF；
②解：AE=BF+CD；
证明：如图2，在BE上截取BG=BD，连接DG，

∵∠EBD=60°，
∴△GBD是等边三角形，
∴BG=BD，
∵BA=BC，
∴BG−BA=BD−BC，
∴AG=CD，
由①可得EG=BF，
∴AE=EG+AG=BF+CD；
(2)解：当BC
由(1)知EG=BF，AG=CD，
∵EG=AE+AG，
∴BF=AE+CD；
当BC>BE时，如图4，

由(1)知EG=BF，AG=CD，
∵AG=AE+EG，
∴CD=AE+BF；
综上分析可知，线段AE，BF，CD之间数量关系是：BF=AE+CD或CD=AE+BF．
【解析】(1)①证明△ABC是等边三角形，得出DA=DB，过点D作DP⊥EF于点P，根据三线合一证明EP=FP，AP=BP，得出EP−AP=FP−BP，即可证明结论；
②在BE上截取BG=BD，连接DG，证明△GBD是等边三角形，得出BG=BD，根据BG−BA=BD−BC，得出AG=CD，由①可得EG=BF，即可得出AE=EG+AG=BF+CD；
(2)分两种情况：当BCBE时，分别画出图形，求出结果即可．
本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三线合一，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，数形结合，注意分类讨论．方案Ⅰ
①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧交于点F；
③连接BF，交边AC于点G，BQ即为所求
方案Ⅱ
①取点P，点P为小正方形的顶点；
②连接BP交边AC于点Q.BQ即为所求．
如图，在△DEF中，DE=DF，点B在边EF上，且∠EBD=60°，C是线段BD上的一个动点(不与点B重合)，在射线BE上截取BA=BC，连接AC．