适用于新教材2023版高中数学第八章立体几何初步8.5空间直线平面的平行8.5.3平面与平面平行教师用书新人教A版必修第二册

8.5.3　平面与平面平行1.平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的两条　　　　直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行. 2.如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行吗?3.平面与平面平行的性质定理两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么　　　　　平行. 4.面面平行的其他性质(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行;(2)夹在两平行平面之间的平行线段相等;(3)两个平面平行,其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离相等.【基础巩固组】一、单选题1.平面α∥平面β,点A,C在平面α内,点B,D在平面β内,若AB=CD,则AB,CD的位置关系是 (　　)A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,则下列结论正确的是 (　　)A.MN∥AP 　 B.MN∥BD1C.MN∥平面BB1D1D 　 D.MN∥平面BDP3.已知直线l,m,平面α,β,下列结论正确的是 (　　)A.l∥β,l⊂α⇒α∥βB.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥βC.l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥βD.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M⇒α∥β4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是 (　　)A.矩形 B.菱形C.平行四边形 D.正方形二、多选题5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列直线或平面与平面ACD1平行的有 (　　)A.直线A1B B.直线BB1C.平面A1DC1 D.平面A1BC16.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于A,C两点,过点P的直线n与α,β分别交于B,D两点,且PA=6,PD=8,AC=9,则BD的长可能为 (　　)A.16 B.24C.14 D.三、填空题7.如图,四边形ABCD所在的平面与平面α平行,且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形,则四边形ABCD的形状一定是　　　　　　. 8.(教材改编题)设α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且　　　　,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. ①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.四、解答题9.如图,在四棱锥P-ABCD中,点E为PA的中点,点F为BC的中点,底面ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O.求证:平面EFO∥平面PCD.10.如图,AB是圆柱OO1底面的直径,PA是圆柱OO1的母线,C是圆O上的点(异于A,B两点),Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.【素养提升组】一、选择题1.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积为(　　)A.2 B.4 C. D.52.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则下列结论中正确的是 (　　)A.AD1∥平面EFGHB.BD1∥GHC.BD∥EFD.平面EFGH∥平面A1BCD1二、填空题3.如图所示,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是　　　　　　. 4.如图所示,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则=　　　　. 三、解答题5.如图,四边形ABCD为矩形,A,E,B,F四点共面,且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,∠BAE=∠AFB=90°.求证:平面BCE∥平面ADF.6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,CC1的中点,AC与BD交于点O.求证:(1)CE∥FD1;(2)平面AEC∥平面BFD1.8.5.3　平面与平面平行必备知识·落实1.相交2.不一定.当这两条直线平行时,这两个平面有可能相交.3.两条交线知能素养·进阶【基础巩固组】1.D　夹在两个平行平面间的平行线段相等,但夹在两个平行平面间的相等线段可以平行、相交或异面.2.C　由题意,取B1C1的中点E,连接EM,NE,B1D1,BD,如图.M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,所以BB1∥NE,B1D1∥EM,EM∩NE=E,BB1∩B1D1=B1,所以平面EMN∥平面BB1D1D,那么MN∥平面BB1D1D.3.D　如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB∥CD,则直线AB∥平面DC1,直线AB⊂平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.又EF⊂平面BC1,B1C1⊂平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;直线AD∥B1C1,AD⊂平面AC,B1C1⊂平面BC1,但平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是两个平面平行的判定定理,所以选项D正确.4.C　因为平面和左右两个平行侧面分别交于ED1,BF,所以ED1∥BF,同理D1F∥EB,所以四边形D1EBF是平行四边形.5.AD　对于A,由于A1B∥D1C,且A1B⊄平面ACD1,D1C⊂平面ACD1,可得直线A1B∥平面ACD1;对于B,由于B1B∥D1D,且D1D∩平面ACD1=D1,可得直线B1B不平行平面ACD1;对于C,由于A1D与AD1相交,A1D⊂平面A1DC1,可得平面A1DC1不与平面ACD1平行;对于D,由于A1B∥D1C,C1B∥D1A,A1B,C1B⊂平面A1BC1且相交,可得平面A1BC1∥平面ACD1.6.BD　因为α∥β,所以AB∥CD.若P在α,β的同侧时,则有PC=PA+AC=15,因为=,所以PB=,所以BD=PD-PB=;若点P在α,β之间时,则有PC=AC-PA=3,因为=,所以PB=16,所以BD=PB+PD=24.综上,BD=或BD=24.7.【解析】因为平面AC∥α,平面AA1B1B∩α=A1B1,平面AA1B1B∩平面ABCD=AB,所以AB∥A1B1,同理可证CD∥C1D1.又A1B1∥C1D1,所以AB∥CD.同理可证AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形.答案:平行四边形8.【解析】由面面平行的性质定理可知,①正确;当m∥γ,n∥β时,n和m可能平行或异面,②错误;当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以,m∥n,③正确.答案:①或③9.【证明】因为四边形ABCD是平行四边形,AC∩BD=O,所以点O为BD的中点.又因为点F为BC的中点,所以OF∥CD.又OF⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以OF∥平面PCD,因为点O,E分别是AC,PA的中点,所以OE∥PC,又OE⊄平面PCD,PC⊂平面PCD,所以OE∥平面PCD.又OE⊂平面EFO,OF⊂平面EFO,且OE∩OF=O,所以平面EFO∥平面PCD.10.【证明】连接OG并延长交AC与M,连接QM,QO.由G为△AOC的重心,得M为AC中点,由Q为PA中点,得QM∥PC.又O为AB中点,得OM∥BC.因为QM∩MO=M,所以平面OMQ∥平面PBC,因为QG⊂平面OMQ,所以QG∥平面PBC.【素养提升组】1.C　如图,由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线,所以截面是等腰梯形CD1MN,易求MN=,CD1=2,MD1=NC=,所以此截面的面积S=×(+2)×=.2.D　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,在A中,BC1与平面EFGH相交,又AD1∥BC1,故AD1不平行于平面EFGH,故A错误;在B中,BD1∩CD1=D1,CD1∥GH,故BD1不可能平行于GH,故B错误;在C中,BD∩A1B=B,A1B∥EF,故BD与EF不可能平行,故C错误;在D中,EF∥A1B,FG∥BC,A1B∩BC=B,EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面A1BCD1,故D正确.3.【解析】由题意得A1E∥BE1,A1E⊄平面BCF1E1,BE1⊂平面BCF1E1,所以A1E∥平面BCF1E1.同理,A1D1∥平面BCF1E1.又A1E∩A1D1=A1,A1E,A1D1⊂平面EFD1A1,所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.答案:平行4.【解析】由题图知,因为平面α∥平面ABC,所以AB∥平面α,又由平面α∩平面PAB=A'B',则A'B'∥AB,同理可得B'C'∥BC,A'C'∥AC,所以∠B'A'C'=∠BAC,∠A'B'C'=∠ABC,∠A'C'B'=∠ACB,所以△A'B'C'∽△ABC,因为PA'∶AA'=2∶3,即PA'∶PA=2∶5,所以A'B'∶AB=2∶5,由相似三角形面积比为相似比的平方,所以=.答案:5.【证明】因为四边形ABCD为矩形,所以BC∥AD,又BC⊄平面ADF,AD⊂平面ADF,所以BC∥平面ADF.因为△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,且∠BAE=∠AFB=90°,所以∠BAF=∠ABE=45°,所以AF∥BE,又BE⊄平面ADF,AF⊂平面ADF,所以BE∥平面ADF.又BC⊂平面BCE,BE⊂平面BCE,BC∩BE=B,所以平面BCE∥平面ADF.6.【证明】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CC1∥DD1且CC1=DD1,因为E,F分别为DD1,CC1的中点,则CF∥D1E且CF=D1E,所以四边形CED1F为平行四边形,则CE∥FD1.(2)因为四边形ABCD为正方形,AC∩BD=O,则O为BD的中点,因为E为DD1的中点,则OE∥BD1,因为OE⊄平面BFD1,BD1⊂平面BFD1,所以OE∥平面BFD1,因为CE∥FD1,CE⊄平面BFD1,FD1⊂平面BFD1,所以CE∥平面BFD1,因为OE∩CE=E,所以平面ACE∥平面BFD1.