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2023-2024学年陕西省宝鸡实验高级中学高二（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年陕西省宝鸡实验高级中学高二（上）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果方程x2m−2+y26−m=1表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是( )
A. m>2B. m<6
C. 22.直线x+(1+m)y=2−m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为( )
A. 1B. −2C. 1或−2D. −23
3.已知直线经过点A(3,−1)和点B(0,2)，则直线AB的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 135°
4.在空间直角坐标系中，点(2,1,3)关于平面xOz的对称点是( )
A. (−2,−1,−3)B. (2,−1,3)C. (−2,−1,3)D. (2,1,−3)
5.如果点P(x,y)在运动过程中，总满足关系式 (x+4)2+y2+ (x−4)2+y2=10，那么点P的轨迹为( )
A. 线段B. 直线C. 椭圆D. 圆
6.若{a,b,c}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是( )
A. b+c,b,−b−cB. a，a+b，a−b
C. a+b，a−b，cD. a+b,a+b+c,c
7.两圆x2+y2−4x+2y+1=0与x2+y2+4x−4y−1=0的公共切线有
．( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
8.如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的棱长均为2，则异面直线A1B与B1C夹角的余弦值是
( )
A. 32B. 12C. 14D. 0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. a=(1,−1)是直线x+y−3=0的一个单位方向向量
B. 直线x+2y−4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离是9 510
C. 点A(2,1)到直线l：x−y+2=0的距离为32
D. 经过点P(3,4)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有2条
10.已知直线l的方程是Ax+By+C=0(A、B不同时为0)，以下说法中正确的是( )
A. 若P(2,1)在直线l上，则直线l的方程可写成A(x−2)+B(y−1)=0
B. 若A、B均不为零，则直线l与x轴、y轴都相交
C. 若A=0，B≠0，C≠0，则直线l与x轴平行
D. 若A≠0，B2+C2=0，则直线l是y轴所在直线
11.已知直线l：kx−y+3k+1=0和圆O：x2+y2=16则( )
A. 直线l恒过定点(−3,1)
B. 圆心C到直线l的最大距离是 10
C. 直线l与圆O相交
D. 若k=−1，直线l被圆O截得的弦长为4
12.已知空间向量a=(−2,−1,1)，b=(3,4,5)，则下列结论正确的是( )
A. a⊥(5a+6b)
B. 5|a|= 3|b|
C. (2a+b)//a
D. a在b上的投影向量为(−310,−25,−12)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若三条直线y=2x，x+y=3，mx−2y−5=0相交于同一点，则m的值为______．
14.已知直线l经过点A(3,0)，且与直线2x−y+4=0垂直，则直线l的方程为______ ．
15.椭圆x264+y2100=1的焦点坐标是______ ．
16.椭圆x212+y2m=1的离心率为12，则m=______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线l：x−2y+2=0．
(1)在给定的直角坐标系中，画出直线l；
(2)在直线l外取4个点，将这些点的坐标代入x−2y+2，求它们的值，观察有什么规律，把这个规律表示出来．
18.(本小题12分)
已知圆心为C的圆经过M(−2,2)、N(−1,−1)两点，且圆心C在直线x−y−1=0上，请你用两种解法求此圆的标准方程．
19.(本小题12分)
如图，正四面体(四个面都是正三角形)OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足ON=2NM，点P满足AP=34AN．
(1)用向量OA,OB,OC表示OP；
(2)求|OP|．
20.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC中点．
(Ⅰ)求点A1到平面AEC1的的距离；
(Ⅱ)求平面AEC1与平面ABB1A1夹角的余弦值；
21.(本小题12分)
已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，短轴长为4.椭圆与直线y=x+2相交于A、B两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求弦长|AB|．
22.(本小题12分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1的中点，正方体棱长为2．
(1)求证：BC1//平面AD1E；
(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：若方程x2m−2+y26−m=1为椭圆方程，
则m−2>06−m>0m−2≠6−m，解得：2故选：D．
根据椭圆方程所满足的条件即可求解结论．
本题考查椭圆的方程，是一道基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵直线x+(1+m)y=2−m和直线mx+2y+8=0平行，
∴1×2−(1+m)m=0，解得m=1或−2，
当m=−2时，两直线重合．
故选：A．
由直线平行可得1×2−(1+m)m=0，解方程排除重合可得．
本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
3.【答案】D
【解析】解：设直线的倾斜角为α，
直线经过点A(3,−1)和点B(0,2)，
则直线AB的斜率k=tanα=2+1−3=−1，
因为0°≤α<180°，
所以α=135°．
故选：D．
设直线的倾斜角为α，求出直线的斜率即得解．
本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意，关于平面xOz的对称点很明显y轴的正负性发生改变，
而x轴和z轴不改变．故点(2,1,3)关于平面xOz的对称点是(2,−1,3)．
故选：B．
本题主要思考y轴的正负性发生改变，而x轴和z轴不改变．即可得到结果．
本题主要考查在空间直角坐标系中点关于面的对称点，属基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为 (x+4)2+y2+ (x−4)2+y2=10，
所以P(x,y)与(−4,0)，(4,0)的距离之和等于常数10，
由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且a=5，c=4，所以b=3，
故点P的轨迹为椭圆．
故选：C．
根据椭圆的几何性质即可求解．
本题考查了动点的轨迹方程，椭圆的标准方程，属于基础题
6.【答案】C
【解析】解：−b−c=−(b+c)，
则b+c,b,−b−c共面，故b+c,b,−b−c不能构成基底，故A错误；
a=12[(a+b)+(a−b)]，因此向量a，a+b，a−b共面，故不能构成基底，故B错误；
假设c=λ(a+b)+μ(a−b)，即c=(λ+μ)a+(λ−μ)b，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；
(a+b)+c=a+b+c，因此向量a+b,a+b+c,c共面，故不能构成基底，故D错误．
故选：C．
根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项．
本题主要考查空间向量基底的概念，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】【解答】
解：因为圆x2+y2−4x+2y+1=0化为(x−2)2+(y+1)2=4，它的圆心坐标(2,−1)，半径为2；
圆x2+y2+4x−4y−1=0化为(x+2)2+(y−2)2=9，它的圆心坐标(−2,2)，半径为3；
因为 (2+2)2+(−1−2)2=5=2+3，
所以两个圆相外切，
所以两个圆的公切线有3条．
故选C．
【分析】
求出两个圆的圆心与半径，判断两个圆的位置关系，然后判断公切线的条数．
本题考查两个圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线的位置关系，是中档题．
连接AB1，交A1B于点O，取AC中点为E，连接OE，BE，则∠BOE是异面直线A1B与B1C所成角或补角，由此能求出异面直线A1B与B1C夹角的余弦值．
【解答】
解：连接AB1，交A1B于点O，取AC中点为E，连接OE，BE，
由三角形中位线性质可知OE//B1C，
则∠BOE是异面直线A1B与B1C所成角或补角，
OE=12B1C=12× 4+4= 2，
又OB=12A1B=12× 4+4= 2，
BE= 4−1= 3，
在三角形△BOE中，
由余弦定理可得：
cs∠BOE=2+2−32× 2× 2=14．
所以异面直线A1B与B1C夹角的余弦值是14．
故选：C．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线间的距离公式，考查了点到直线距离公式，以及直线的截距式方程，属于中档题．
由单位向量的定义可判断A，利用平行线间的距离公式可判断B，利用点到直线距离公式可判断C，由直线的截距式可判断D．
【解答】
解：对于A，∵a=(1,−1)，∴|a|= 12+(−1)2= 2，∴a不是单位向量，故A错误，
对于B，直线2x+4y+1=0可化为x+2y+12=0，
∴直线x+2y−4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离是|12−(−4)| 12+22=9 510，故B正确，
对于C，点A(2,1)到直线l：x−y+2=0的距离d=|2−1+2| 12+(−1)2=3 22，故C错误，
对于D，①当直线过原点时，设直线方程为y=kx，
代入点P(3,4)得，4=3k，解得k=43，
∴直线方程为y=43x，
②当直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为xa+ya=1，
代入点P(3,4)得，3a+4a=1，
解得a=7，
∴直线方程为x7+y7=1，即x+y−7=0，
③当直线不过原点，且在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为xa+y−a=1，
代入点P(3,4)得，3a−4a=1，
解得a=−1，
∴直线方程为−x+y=1，即x−y+1=0，
综上所述，满足题意的直线条数共有3条，故D错误，
故选：ACD．
10.【答案】ABCD
【解析】解：对于A，若P(2,1)在直线l上，则2A+B+C=0，于是Ax+By+C=0，即A(x−2)+B(y−1)=0，正确；
对于B，若A、B均不为零，则直线l与x轴、y轴都相交，正确；
对于C，若A=0，B≠0，C≠0，则直线Ax+By+C=0，即y=−CB与x轴平行，正确；
对于D，若A≠0，B2+C2=0，可得B=C=0，则直线Ax+By+C=0，即x=0，则直线l是y轴所在直线，正确．
故选：ABCD．
由直线一般形式的写法，由系数的不同取值可判断所给命题的真假．
考查直线方程的一般式的应用，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：直线l：kx−y+3k+1=0，即k(x+3)−y+1=0，则直线恒过定点M(−3,1)，故A正确；
圆心到直线l的最大距离即为|OM|= (−3−0)2+(1−0)2 10，故B正确；
∵定点(−3,1)在圆O：x2+y2=16内部，∴直线l与圆O相交，故C正确；
当k=−1时，直线l化为−x−y−2=0，即x+y+2=0，
圆心O到直线的距离d=|2| 2= 2，直线l被圆O截得的弦长为2 42−( 2)2=2 14，故D不正确．
故选：ABC．
利用直线系方程求得直线l所过定点判断A；圆心到直线l的最大距离即为|OM|，计算可判断B；由直线所过定点在圆内部判断C；由垂径定理求弦长判断D．
本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆位置关系，训练了利用垂径定理求弦长，属中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，∵a=(−2,−1,1)，b=(3,4,5)，
∴5a+6b=(8,19,35)，a⋅(5a+6b)=(−2)×8−1×19+1×35=0，故A正确，
对于B，|a|= 4+1+1= 6，|b|= 32+42+52=5 2，
则5|a|= 3|b|，故B正确，
对于C，2a+b=(−1,2,7)，不存在λ，使得2a+b=λa，故C错误，
对于D，a=(−2,−1,1)，b=(3,4,5)，
则a⋅b=−6−4+5=−5，
故a在b上的投影向量为a⋅b|b|×b|b|=(−310,−25,−12)，故D正确．
故选：ABD．
对于A，结合向量垂直的性质，即可求解，
对于B，结合向量模公式，即可求解，
对于C，结合向量平行的性质，即可求解，
对于D，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，以及向量模公式，属于基础题．
13.【答案】9
【解析】解：联立y=2xx+y=3，解得x=1y=2，
∴两条直线y=2x与x+y=3的交点坐标为(1,2)，
又三条直线y=2x，x+y=3，mx−2y−5=0相交于同一点，
把(1,2)代入mx−2y−5=0，得m−2×2−5=0，即m=9．
故答案为：9．
联立y=2xx+y=3，求得交点坐标，代入直线mx−2y−5=0即可求得m值．
本题考查两直线交点坐标的求法，是基础的计算题．
14.【答案】x+2y−3=0
【解析】解：因为直线l与直线2x−y+4=0垂直，所以直线l的斜率为k=−12，因为直线l经过点A(3,0)，
所以直线l的方程为y−0=−12(x−3)，即x+2y−3=0．
故答案为：x+2y−3=0．
直接利用直线垂直的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】(0,−6)和(0,6)
【解析】解：∵椭圆x264+y2100=1中，a=10，b=8，焦点在y轴上，
∴c=6，
∴焦点坐标为(0,−6)和(0,6)．
故答案为：(0,−6)和(0,6)．
椭圆x264+y2100=1中，a=10，b=8，c=6，焦点在y轴上，即可得出结论．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
16.【答案】9或16
【解析】解：若焦点在x轴上，则a²=12，b²=m<12，所以c²=12−m，故e=ca= c2a2= 12−m12=12，解得m=9，符合；
若焦点在x轴上，则a²=m，b²=12综上：m=9或16，
故答案为：9或16．
分焦点在x轴和y轴两种情况讨论，分别求得a²，b²，进而表示出离心率即可求出m．
本题考查椭圆的简单性质，考查分类讨论，属于基础题．
17.【答案】解：(1)根据题意，直线l：x−2y+2=0，其图形如下：
(2)根据题意，取(1,3)，(2,1)，(−1,2)，(−4,−2)4个点，
把(1,3)代入x−2y+2，得：1−2×3+2=−3<0，
把(2,1)代入x−2y+2，得：2−2×1+2=2>0，
把(−1,2)代入x−2y+2，得：−1−2×2+2=−3<0，
把(−4,−2)代入x−2y+2，得：−4−2×(−2)+2=2>0，
可得规律：直线l同旁的点的坐标使得x−2y+2的值同号，直线l上方点的坐标使得x−2y+2<0，直线l下方点的坐标使得x−2y+2>0．
【解析】(1)根据题意，由直线的方程作出直线的图形，即可得答案；
(2)根据题意，取(1,3)，(2,1)，(−1,2)，(−4,−2)4个点，将这4个点的坐标代入x−2y+2，求出x−2y+2的值，分析可得答案．
本题考查本题考查直线方程与点的位置关系，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
18.【答案】解：解法(一)：根据题意，设圆心C的坐标为 (a,b)，
因为圆心C在直线x−y−1=0上，所以a−b−1=0. ①
因为M、N是圆上两点，所以CM=CN，
根据两点间距离公式，有 (a+2)2+(b−2)2= (a+1)2+(b+1)2，
即a−3b+3=0，②
有①②可知a=3，b=2，
圆的半径是r=|MC|= (3+2)2+(3−2)2=5，
所以，所求圆的标准方程是(x−3)2+(y−2)2=25；
解法(二)：设线段MN的中点为D.由M、N两点的坐标为(−2,2)、(−1,−1)，
可得D的坐标为(−32,12)，直线MN的斜率为kMN=−2−(−1)2−(−1)=−13，
因此，线段MN的垂直平分线的l方程是 y−12=3(x+32)，即3x−y+5=0，
由垂径定理可知，
圆心也在线段的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组x−y−1=03x−y+5=0的解，
解这个方程组，得x=3y=2，
所以圆心C的坐标是(a,b)(3,2)，
圆的半径是r=|MC|= (3+2)2+(3−2)2=5，
所以，所求圆的标准方程是(x−3)2+(y−2)2=25．
【解析】解法一；设圆心C的坐标为 (a,b)，构造关于a，b的方程组求解即可；
解法二：利用两条弦的中垂线的交点是圆心，得出圆心坐标，再求出半径即可．
本题考查圆的方程的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵M是棱BC的中点，点N满足ON=2NM，点P满足AP=34AN，
∴OP=OA+AP=OA+34AN=OA+34(ON−OA)=14OA+34ON=14OA+34×23OM=14OA+12×12(OB+OC)=14OA+14OB+14OC；
(2)∵四面体OABC是正四面体，正四面体(四个面都是正三角形)OABC的棱长为1，
∴|OA|=|OB|=|OC|=1，∠AOB=∠BOC=∠AOC=π3，
∴OA⋅OB=|OA||OB|×cs∠AOB=12，同理可得，OA⋅OC=OB⋅OC=12，
∴OP2=(14OA+14OB+14OC)2=116(OA+OB+OC)2=116(OA2+OB2+OC2+2OA⋅OB+2OB⋅OC+2OA⋅OC)=116(1+1+1+2×12+2×12+2×12)=616，解得|OP|= 64．
【解析】(1)根据空间向量的线性运算即可求解；
(2)先计算OP2=(14OA+14OB+14OC)2，再开方即可求解．
本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题．
20.【答案】解：(I)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，E(1,1,0)，C1(0,2,2)，
AA1=(0,0,2)，AE=(1,1,0)，AC1=(0,2,2)，
设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AA1=x+y=0n⋅AC1=2y+2z=0，
取y=−1，得n=(1,−1,1)，
∴点A1到平面AEC1的距离d=|AA1⋅n|n||=2 3=2 33．
∴点A1到平面AEC1的距离为2 33．
(Ⅱ)解由(I)可得：B(2,0,0)，B1(2,0,2)，
所以B1A=(−2,0,−2)⋅
由(I)平面AEC1的一个法向量为n=(1,−1,1)，
因为AC⊥平面ABB1A1，取平面ABB1A1的法向量为AC=(0,2,0)，
所以cs=AC⋅nAC×n=− 33，
平面AEC1与平面ABB1A1所成夹角的余弦值为 33．
【解析】(I)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出点A1到平面AEC1的距离．
(II)因为AC⊥平面ABB1A1，取平面ABB1A1的法向量为AC=(0,2,0)，利用向量法能求出平面AEC1与平面ABB1A1所成夹角的余弦值．
本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
21.【答案】解：(1)∵椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，短轴长为4，
∴e=ca= 32,2b=4,a2=b2+c2,
解得a=4，b=2，
∴椭圆方程为y216+x24=1；
(2)联立y216+x24=1,y=x+2,
得5x2+4x−12=0，
令A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=−45，x1·x2=−125，
由弦长公式可得
∴|AB|= 1+12× (−45)2+485= 2× 25625=16 25．
【解析】本题考查了椭圆的定义及标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生计算能力，属于中档题．
(1)由椭圆的离心率为 32，短轴长为4，列出方程组，即可求出椭圆方程；
(2)联立y216+x24=1,y=x+2,得5x2+4x−12=0，使用弦长公式可求出弦长|AB|．
22.【答案】(1)证明：由正方体的性质可知，AB//C1D1，且AB=C1D1，
所以ABC1D1是平行四边形，所以BC1//AD1，
因为BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，
所以BC1//平面AD1E；
(2)连接A1E，VE−A1D1A=VA1−AD1E，设A1到平面AD1E的距离为h，正方体棱长为2．
可得AD1=2 2，AE= 5，D1E= D1B12+B1E2= 8+1=3，所以cs∠D1AE=8+5−92×2 2× 5=− 1010，
sin∠D1AE=3 1010，所以S△AED1=12× 5×2 2×3 1010=3，
所以13×12×2×2×2=13×3×h，h=43，
直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值：hAA1=432=23．
【解析】(1)证明BC1//AD1，然后证明BC1//平面AD1E；
(2)连接A1E，通过VE−A1D1A=VA1−AD1E，求解A1到平面AD1E的距离为h，然后求解直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值即可．
本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
1.如果方程x2m−2+y26−m=1表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是( )
A. m>2B. m<6
C. 2
A. 1B. −2C. 1或−2D. −23
3.已知直线经过点A(3,−1)和点B(0,2)，则直线AB的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 135°
4.在空间直角坐标系中，点(2,1,3)关于平面xOz的对称点是( )
A. (−2,−1,−3)B. (2,−1,3)C. (−2,−1,3)D. (2,1,−3)
5.如果点P(x,y)在运动过程中，总满足关系式 (x+4)2+y2+ (x−4)2+y2=10，那么点P的轨迹为( )
A. 线段B. 直线C. 椭圆D. 圆
6.若{a,b,c}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是( )
A. b+c,b,−b−cB. a，a+b，a−b
C. a+b，a−b，cD. a+b,a+b+c,c
7.两圆x2+y2−4x+2y+1=0与x2+y2+4x−4y−1=0的公共切线有
．( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
8.如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的棱长均为2，则异面直线A1B与B1C夹角的余弦值是
( )
A. 32B. 12C. 14D. 0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. a=(1,−1)是直线x+y−3=0的一个单位方向向量
B. 直线x+2y−4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离是9 510
C. 点A(2,1)到直线l：x−y+2=0的距离为32
D. 经过点P(3,4)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有2条
10.已知直线l的方程是Ax+By+C=0(A、B不同时为0)，以下说法中正确的是( )
A. 若P(2,1)在直线l上，则直线l的方程可写成A(x−2)+B(y−1)=0
B. 若A、B均不为零，则直线l与x轴、y轴都相交
C. 若A=0，B≠0，C≠0，则直线l与x轴平行
D. 若A≠0，B2+C2=0，则直线l是y轴所在直线
11.已知直线l：kx−y+3k+1=0和圆O：x2+y2=16则( )
A. 直线l恒过定点(−3,1)
B. 圆心C到直线l的最大距离是 10
C. 直线l与圆O相交
D. 若k=−1，直线l被圆O截得的弦长为4
12.已知空间向量a=(−2,−1,1)，b=(3,4,5)，则下列结论正确的是( )
A. a⊥(5a+6b)
B. 5|a|= 3|b|
C. (2a+b)//a
D. a在b上的投影向量为(−310,−25,−12)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若三条直线y=2x，x+y=3，mx−2y−5=0相交于同一点，则m的值为______．
14.已知直线l经过点A(3,0)，且与直线2x−y+4=0垂直，则直线l的方程为______ ．
15.椭圆x264+y2100=1的焦点坐标是______ ．
16.椭圆x212+y2m=1的离心率为12，则m=______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线l：x−2y+2=0．
(1)在给定的直角坐标系中，画出直线l；
(2)在直线l外取4个点，将这些点的坐标代入x−2y+2，求它们的值，观察有什么规律，把这个规律表示出来．
18.(本小题12分)
已知圆心为C的圆经过M(−2,2)、N(−1,−1)两点，且圆心C在直线x−y−1=0上，请你用两种解法求此圆的标准方程．
19.(本小题12分)
如图，正四面体(四个面都是正三角形)OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足ON=2NM，点P满足AP=34AN．
(1)用向量OA,OB,OC表示OP；
(2)求|OP|．
20.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC中点．
(Ⅰ)求点A1到平面AEC1的的距离；
(Ⅱ)求平面AEC1与平面ABB1A1夹角的余弦值；
21.(本小题12分)
已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，短轴长为4.椭圆与直线y=x+2相交于A、B两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求弦长|AB|．
22.(本小题12分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1的中点，正方体棱长为2．
(1)求证：BC1//平面AD1E；
(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：若方程x2m−2+y26−m=1为椭圆方程，
则m−2>06−m>0m−2≠6−m，解得：2
根据椭圆方程所满足的条件即可求解结论．
本题考查椭圆的方程，是一道基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵直线x+(1+m)y=2−m和直线mx+2y+8=0平行，
∴1×2−(1+m)m=0，解得m=1或−2，
当m=−2时，两直线重合．
故选：A．
由直线平行可得1×2−(1+m)m=0，解方程排除重合可得．
本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
3.【答案】D
【解析】解：设直线的倾斜角为α，
直线经过点A(3,−1)和点B(0,2)，
则直线AB的斜率k=tanα=2+1−3=−1，
因为0°≤α<180°，
所以α=135°．
故选：D．
设直线的倾斜角为α，求出直线的斜率即得解．
本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意，关于平面xOz的对称点很明显y轴的正负性发生改变，
而x轴和z轴不改变．故点(2,1,3)关于平面xOz的对称点是(2,−1,3)．
故选：B．
本题主要思考y轴的正负性发生改变，而x轴和z轴不改变．即可得到结果．
本题主要考查在空间直角坐标系中点关于面的对称点，属基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为 (x+4)2+y2+ (x−4)2+y2=10，
所以P(x,y)与(−4,0)，(4,0)的距离之和等于常数10，
由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且a=5，c=4，所以b=3，
故点P的轨迹为椭圆．
故选：C．
根据椭圆的几何性质即可求解．
本题考查了动点的轨迹方程，椭圆的标准方程，属于基础题
6.【答案】C
【解析】解：−b−c=−(b+c)，
则b+c,b,−b−c共面，故b+c,b,−b−c不能构成基底，故A错误；
a=12[(a+b)+(a−b)]，因此向量a，a+b，a−b共面，故不能构成基底，故B错误；
假设c=λ(a+b)+μ(a−b)，即c=(λ+μ)a+(λ−μ)b，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；
(a+b)+c=a+b+c，因此向量a+b,a+b+c,c共面，故不能构成基底，故D错误．
故选：C．
根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项．
本题主要考查空间向量基底的概念，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】【解答】
解：因为圆x2+y2−4x+2y+1=0化为(x−2)2+(y+1)2=4，它的圆心坐标(2,−1)，半径为2；
圆x2+y2+4x−4y−1=0化为(x+2)2+(y−2)2=9，它的圆心坐标(−2,2)，半径为3；
因为 (2+2)2+(−1−2)2=5=2+3，
所以两个圆相外切，
所以两个圆的公切线有3条．
故选C．
【分析】
求出两个圆的圆心与半径，判断两个圆的位置关系，然后判断公切线的条数．
本题考查两个圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线的位置关系，是中档题．
连接AB1，交A1B于点O，取AC中点为E，连接OE，BE，则∠BOE是异面直线A1B与B1C所成角或补角，由此能求出异面直线A1B与B1C夹角的余弦值．
【解答】
解：连接AB1，交A1B于点O，取AC中点为E，连接OE，BE，
由三角形中位线性质可知OE//B1C，
则∠BOE是异面直线A1B与B1C所成角或补角，
OE=12B1C=12× 4+4= 2，
又OB=12A1B=12× 4+4= 2，
BE= 4−1= 3，
在三角形△BOE中，
由余弦定理可得：
cs∠BOE=2+2−32× 2× 2=14．
所以异面直线A1B与B1C夹角的余弦值是14．
故选：C．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线间的距离公式，考查了点到直线距离公式，以及直线的截距式方程，属于中档题．
由单位向量的定义可判断A，利用平行线间的距离公式可判断B，利用点到直线距离公式可判断C，由直线的截距式可判断D．
【解答】
解：对于A，∵a=(1,−1)，∴|a|= 12+(−1)2= 2，∴a不是单位向量，故A错误，
对于B，直线2x+4y+1=0可化为x+2y+12=0，
∴直线x+2y−4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离是|12−(−4)| 12+22=9 510，故B正确，
对于C，点A(2,1)到直线l：x−y+2=0的距离d=|2−1+2| 12+(−1)2=3 22，故C错误，
对于D，①当直线过原点时，设直线方程为y=kx，
代入点P(3,4)得，4=3k，解得k=43，
∴直线方程为y=43x，
②当直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为xa+ya=1，
代入点P(3,4)得，3a+4a=1，
解得a=7，
∴直线方程为x7+y7=1，即x+y−7=0，
③当直线不过原点，且在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为xa+y−a=1，
代入点P(3,4)得，3a−4a=1，
解得a=−1，
∴直线方程为−x+y=1，即x−y+1=0，
综上所述，满足题意的直线条数共有3条，故D错误，
故选：ACD．
10.【答案】ABCD
【解析】解：对于A，若P(2,1)在直线l上，则2A+B+C=0，于是Ax+By+C=0，即A(x−2)+B(y−1)=0，正确；
对于B，若A、B均不为零，则直线l与x轴、y轴都相交，正确；
对于C，若A=0，B≠0，C≠0，则直线Ax+By+C=0，即y=−CB与x轴平行，正确；
对于D，若A≠0，B2+C2=0，可得B=C=0，则直线Ax+By+C=0，即x=0，则直线l是y轴所在直线，正确．
故选：ABCD．
由直线一般形式的写法，由系数的不同取值可判断所给命题的真假．
考查直线方程的一般式的应用，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：直线l：kx−y+3k+1=0，即k(x+3)−y+1=0，则直线恒过定点M(−3,1)，故A正确；
圆心到直线l的最大距离即为|OM|= (−3−0)2+(1−0)2 10，故B正确；
∵定点(−3,1)在圆O：x2+y2=16内部，∴直线l与圆O相交，故C正确；
当k=−1时，直线l化为−x−y−2=0，即x+y+2=0，
圆心O到直线的距离d=|2| 2= 2，直线l被圆O截得的弦长为2 42−( 2)2=2 14，故D不正确．
故选：ABC．
利用直线系方程求得直线l所过定点判断A；圆心到直线l的最大距离即为|OM|，计算可判断B；由直线所过定点在圆内部判断C；由垂径定理求弦长判断D．
本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆位置关系，训练了利用垂径定理求弦长，属中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，∵a=(−2,−1,1)，b=(3,4,5)，
∴5a+6b=(8,19,35)，a⋅(5a+6b)=(−2)×8−1×19+1×35=0，故A正确，
对于B，|a|= 4+1+1= 6，|b|= 32+42+52=5 2，
则5|a|= 3|b|，故B正确，
对于C，2a+b=(−1,2,7)，不存在λ，使得2a+b=λa，故C错误，
对于D，a=(−2,−1,1)，b=(3,4,5)，
则a⋅b=−6−4+5=−5，
故a在b上的投影向量为a⋅b|b|×b|b|=(−310,−25,−12)，故D正确．
故选：ABD．
对于A，结合向量垂直的性质，即可求解，
对于B，结合向量模公式，即可求解，
对于C，结合向量平行的性质，即可求解，
对于D，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，以及向量模公式，属于基础题．
13.【答案】9
【解析】解：联立y=2xx+y=3，解得x=1y=2，
∴两条直线y=2x与x+y=3的交点坐标为(1,2)，
又三条直线y=2x，x+y=3，mx−2y−5=0相交于同一点，
把(1,2)代入mx−2y−5=0，得m−2×2−5=0，即m=9．
故答案为：9．
联立y=2xx+y=3，求得交点坐标，代入直线mx−2y−5=0即可求得m值．
本题考查两直线交点坐标的求法，是基础的计算题．
14.【答案】x+2y−3=0
【解析】解：因为直线l与直线2x−y+4=0垂直，所以直线l的斜率为k=−12，因为直线l经过点A(3,0)，
所以直线l的方程为y−0=−12(x−3)，即x+2y−3=0．
故答案为：x+2y−3=0．
直接利用直线垂直的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】(0,−6)和(0,6)
【解析】解：∵椭圆x264+y2100=1中，a=10，b=8，焦点在y轴上，
∴c=6，
∴焦点坐标为(0,−6)和(0,6)．
故答案为：(0,−6)和(0,6)．
椭圆x264+y2100=1中，a=10，b=8，c=6，焦点在y轴上，即可得出结论．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
16.【答案】9或16
【解析】解：若焦点在x轴上，则a²=12，b²=m<12，所以c²=12−m，故e=ca= c2a2= 12−m12=12，解得m=9，符合；
若焦点在x轴上，则a²=m，b²=12
故答案为：9或16．
分焦点在x轴和y轴两种情况讨论，分别求得a²，b²，进而表示出离心率即可求出m．
本题考查椭圆的简单性质，考查分类讨论，属于基础题．
17.【答案】解：(1)根据题意，直线l：x−2y+2=0，其图形如下：
(2)根据题意，取(1,3)，(2,1)，(−1,2)，(−4,−2)4个点，
把(1,3)代入x−2y+2，得：1−2×3+2=−3<0，
把(2,1)代入x−2y+2，得：2−2×1+2=2>0，
把(−1,2)代入x−2y+2，得：−1−2×2+2=−3<0，
把(−4,−2)代入x−2y+2，得：−4−2×(−2)+2=2>0，
可得规律：直线l同旁的点的坐标使得x−2y+2的值同号，直线l上方点的坐标使得x−2y+2<0，直线l下方点的坐标使得x−2y+2>0．
【解析】(1)根据题意，由直线的方程作出直线的图形，即可得答案；
(2)根据题意，取(1,3)，(2,1)，(−1,2)，(−4,−2)4个点，将这4个点的坐标代入x−2y+2，求出x−2y+2的值，分析可得答案．
本题考查本题考查直线方程与点的位置关系，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
18.【答案】解：解法(一)：根据题意，设圆心C的坐标为 (a,b)，
因为圆心C在直线x−y−1=0上，所以a−b−1=0. ①
因为M、N是圆上两点，所以CM=CN，
根据两点间距离公式，有 (a+2)2+(b−2)2= (a+1)2+(b+1)2，
即a−3b+3=0，②
有①②可知a=3，b=2，
圆的半径是r=|MC|= (3+2)2+(3−2)2=5，
所以，所求圆的标准方程是(x−3)2+(y−2)2=25；
解法(二)：设线段MN的中点为D.由M、N两点的坐标为(−2,2)、(−1,−1)，
可得D的坐标为(−32,12)，直线MN的斜率为kMN=−2−(−1)2−(−1)=−13，
因此，线段MN的垂直平分线的l方程是 y−12=3(x+32)，即3x−y+5=0，
由垂径定理可知，
圆心也在线段的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组x−y−1=03x−y+5=0的解，
解这个方程组，得x=3y=2，
所以圆心C的坐标是(a,b)(3,2)，
圆的半径是r=|MC|= (3+2)2+(3−2)2=5，
所以，所求圆的标准方程是(x−3)2+(y−2)2=25．
【解析】解法一；设圆心C的坐标为 (a,b)，构造关于a，b的方程组求解即可；
解法二：利用两条弦的中垂线的交点是圆心，得出圆心坐标，再求出半径即可．
本题考查圆的方程的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵M是棱BC的中点，点N满足ON=2NM，点P满足AP=34AN，
∴OP=OA+AP=OA+34AN=OA+34(ON−OA)=14OA+34ON=14OA+34×23OM=14OA+12×12(OB+OC)=14OA+14OB+14OC；
(2)∵四面体OABC是正四面体，正四面体(四个面都是正三角形)OABC的棱长为1，
∴|OA|=|OB|=|OC|=1，∠AOB=∠BOC=∠AOC=π3，
∴OA⋅OB=|OA||OB|×cs∠AOB=12，同理可得，OA⋅OC=OB⋅OC=12，
∴OP2=(14OA+14OB+14OC)2=116(OA+OB+OC)2=116(OA2+OB2+OC2+2OA⋅OB+2OB⋅OC+2OA⋅OC)=116(1+1+1+2×12+2×12+2×12)=616，解得|OP|= 64．
【解析】(1)根据空间向量的线性运算即可求解；
(2)先计算OP2=(14OA+14OB+14OC)2，再开方即可求解．
本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题．
20.【答案】解：(I)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，E(1,1,0)，C1(0,2,2)，
AA1=(0,0,2)，AE=(1,1,0)，AC1=(0,2,2)，
设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AA1=x+y=0n⋅AC1=2y+2z=0，
取y=−1，得n=(1,−1,1)，
∴点A1到平面AEC1的距离d=|AA1⋅n|n||=2 3=2 33．
∴点A1到平面AEC1的距离为2 33．
(Ⅱ)解由(I)可得：B(2,0,0)，B1(2,0,2)，
所以B1A=(−2,0,−2)⋅
由(I)平面AEC1的一个法向量为n=(1,−1,1)，
因为AC⊥平面ABB1A1，取平面ABB1A1的法向量为AC=(0,2,0)，
所以cs
平面AEC1与平面ABB1A1所成夹角的余弦值为 33．
【解析】(I)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出点A1到平面AEC1的距离．
(II)因为AC⊥平面ABB1A1，取平面ABB1A1的法向量为AC=(0,2,0)，利用向量法能求出平面AEC1与平面ABB1A1所成夹角的余弦值．
本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
21.【答案】解：(1)∵椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，短轴长为4，
∴e=ca= 32,2b=4,a2=b2+c2,
解得a=4，b=2，
∴椭圆方程为y216+x24=1；
(2)联立y216+x24=1,y=x+2,
得5x2+4x−12=0，
令A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=−45，x1·x2=−125，
由弦长公式可得
∴|AB|= 1+12× (−45)2+485= 2× 25625=16 25．
【解析】本题考查了椭圆的定义及标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生计算能力，属于中档题．
(1)由椭圆的离心率为 32，短轴长为4，列出方程组，即可求出椭圆方程；
(2)联立y216+x24=1,y=x+2,得5x2+4x−12=0，使用弦长公式可求出弦长|AB|．
22.【答案】(1)证明：由正方体的性质可知，AB//C1D1，且AB=C1D1，
所以ABC1D1是平行四边形，所以BC1//AD1，
因为BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，
所以BC1//平面AD1E；
(2)连接A1E，VE−A1D1A=VA1−AD1E，设A1到平面AD1E的距离为h，正方体棱长为2．
可得AD1=2 2，AE= 5，D1E= D1B12+B1E2= 8+1=3，所以cs∠D1AE=8+5−92×2 2× 5=− 1010，
sin∠D1AE=3 1010，所以S△AED1=12× 5×2 2×3 1010=3，
所以13×12×2×2×2=13×3×h，h=43，
直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值：hAA1=432=23．
【解析】(1)证明BC1//AD1，然后证明BC1//平面AD1E；
(2)连接A1E，通过VE−A1D1A=VA1−AD1E，求解A1到平面AD1E的距离为h，然后求解直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值即可．
本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
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2023-2024学年陕西省榆林市五校高一（上）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年陕西省榆林市五校高一（上）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
