2022-2023学年河南省南阳市新野县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省南阳市新野县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列计算正确的是( )
A. ± 16=4B. 16=±4C. −16=−4D. 16=4
2.下列计算正确的是( )
A. a6÷a2=a3B. (−a3b4)2=a6b8
C. (a+b)2=a2+b2D. m2⋅m5=m10
3.如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，B，D，E三点在一条直线上，若∠1=28°，∠3=58°，则∠2的度数为( )
A. 30°
B. 28°
C. 25°
D. 86°
4.根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是( )
A. ∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5B. a∶b∶c=5∶3∶4
C. a= 5，b= 2，c= 3D. ∠A+∠B=2∠C
5.下列命题的逆命题是假命题的是( )
A. 到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
B. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C. 如果a=b，那a2=b2
D. △ABC中，如果BC2+AC2=AB2，那么∠C=90°
6.某异地扶贫搬迁学生定点学校七年级共有1000人，为了了解这些学生的视力情况，从中抽查了20名学生的视力，对所得数据进行整理．若数据在4.8～5.1这一小组的频率为0.3，则可估计该校七年级学生视力在4.8～5.1范围内的人数有( )
A. 600人B. 300人C. 150人D. 30人
7.如图，点M是∠AOB平分线上的一点，点P、点Q分别在射线OA、射线OB上，满足OP=2OQ，若△OQM的面积是2，则△OMP的面积是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长(大于12AB)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E.若AC=3，AB=5，则BE等于( )
A. 2B. 103C. 258D. 152
9.如图，将△ABC绕顶点C旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A=35°，∠BCA′=40°，则∠A′BA等于( )
A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°
10.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为( )
A. 0.8cm2B. 1cm2C. 1.2cm2D. 不能确定
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.a4(am)2=al6，则m的值为______．
12.因式分解：−a2x2+8a2x−16a2= ______ ．
13.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是 ．
14.等腰三角形中，有一个角是40°，它的一条腰上的高与底边的夹角是______ ．
15.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，短直角边长为b，若(a+b)2=24，大正方形的面积为15，则小正方形的面积为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
计算或化简：
(1)计算： (−4)2+3−64−(−1)2022−| 3−2|；
(2)先化简再求值：(2+a)(2−a)+(a+b)(a−5b)+5(ab)4÷(−a2b)2，其中ab=−12．
17.(本小题7分)
下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．
(1)要求：用直尺和圆规根据下面的“作法”画出图形(保留作图痕迹)．
已知：如图，线段a和线段b．
求作：△ABC使得AB=AC，BC=a，BC边上的中线为b．
作法：①作射线BM并在射线BM上截取BC=a；
②作线段BC的垂直平分线PQ交BC于点D；
③以点D为圆心，b为半径作弧交PQ于点A；
④连接AB和AC.则△ABC为所求作的等腰三角形．
(2)试说明所作的三角形是符合条件的三角形．
18.(本小题8分)
为了传承中国传统文化，某校七年级组织了一次全体学生“汉字听写”大赛，每位学生听写汉字39个，随机抽取了部分学生的听写结果作为样本进行整理，绘制成如图的统计图表：

根据以上信息完成下列问题：
(1)统计表中的m= ______ ，n= ______ ，并补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是______ ；
(3)已知该校七年级共有800名学生，如果听写正确的字的个数不少于24个定为合格，请你估计该校本次听写比赛合格的学生人数．
19.(本小题9分)
如图，点E，F是线段AB上的两个点，CE与DF交于点M.已知AF=BE，AC=BD，∠A=∠B．
(1)求证：△ACE≌△BDF；
(2)若∠FME=60°，求证：△MFE是等边三角形．
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中AB=AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
(1)求证：△ADF是等腰三角形；
(2)在(1)的条件下(如图2)，F为AB中点.求证：DF=2FE．
21.(本小题9分)
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题.例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为a+b=3，
所以(a+b)2=9，即：a2+2ab+b2=9，又因为ab=1
所以a2+b2=7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若x+y=8，x2+y2=40，求xy的值；
(2)填空：若(4−x)(x−5)=−8，则(4−x)2+(x−5)2= ______ ．
(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=6，两正方形的面积和S1+S2=18，求图中阴影部分面积．
22.(本小题9分)
如图，东西公路AB和南北公路CD在点M处交会，在∠CMB的平分线上的N处是一所小学，且MN=168m，假设拖拉机行驶时，周围130m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路AB上沿AB方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为40km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？( 2≈1.4)
23.(本小题10分)
阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C.求证：AC=AB+BD；
小明通过思考发现可以通过“截长或补短”两种方法解决问题：
方法一：如图2，在AC上截取AE使得AE=AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．
方法二：如图3，延长AB到点E使得BE=BD，连接DE，可以得到等腰三角形进而解决问题．

(1)根据阅读材料，任选一种方法证明AC=AB+BD．
(2)根据自己的解题经验或参考小明的方法解决下面的问题．
如图4，∠ACB=2∠B，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想并加以证明．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、± 16=±4，故A错误；
B、 16=4，故B错误；
C、负数没有算术平方根，故C错误；
D、 16=4，故D正确．
故选：D．
依据算术平方根和平方根的定义求解即可．
本题主要考查的是算术平方根和平方根的定义，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.a6÷a2=a4，不符合题意；
B. (−a3b4)2=a6b8，符合题意；
C. (a+b)2=a2+2ab+b2，不符合题意；
D.m2⋅m5=m7，不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式计算判断．
本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握判断三角形全等的方法：SSS，SAS，ASA，AAS，还有HL．
先证明△ABD≌△ACE，得出∠2=∠ABD，再由外角得出∠3=∠1+∠2，从而得出答案．
【解答】
解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠1=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠1=∠EACAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠2，
∵∠3=∠1+∠ABD，
∴∠3=∠1+∠2，
∵∠1=28°，∠2=58°，
∴∠2=58°−28°=30°．
4.【答案】D
【解析】解：A.∵∠A：∠B：∠C=2：3：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴最大角∠C=180°×52+3+5=90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵a：b：c=5：3：4，
∴b2+c2=a2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵a= 5，b= 2，c= 3，
∴b2+c2=a2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵∠A+∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴3∠C=180°，
∴∠C=60°，
∴∠A+∠B=120°，不能求出△ABC的一个角是直角，
即△ABC不一定是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理即可判断选项B和选项C，根据三角形的内角和定理即可判断选项A和选项D．
本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，①三角形的内角和等于180°，②如果三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
5.【答案】C
【解析】解：A、到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上的逆命题是线段的垂直平分线上的点到线段的两端距离相等，是真命题，不符合题意；
B、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上的逆命题是角的平分线上的点到角的两边距离相等，是真命题，不符合题意；
C、如果a=b，那a2=b2的逆命题是如果a2=b2，那a=b或a=−b，逆命题是假命题，符合题意；
D、△ABC中，如果BC2+AC2=AB2，那么∠C=90°的逆命题是如果△ABC中∠C=90°，那么BC2+AC2=AB2，是真命题，不符合题意；
故选：C．
分别写出各个命题的逆命题，根据线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、直角三角形的判定、等式的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6.【答案】B
【解析】解：估计该校七年级学生视力在4.8～5.1范围内的人数有1000×0.3=300(人)，
故选：B．
用总人数乘以样本中数据在4.8～5.1这一小组的频率即可．
本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
7.【答案】D
【解析】解：过点M作MC⊥OA于点C，作MD⊥OB于点D，如图所示．
∵OM平分∠AOB，
∴MC=MD．
∵S△OMP=OP⋅MC，S△OMQ=OQ⋅MD，OP=2OQ，
∴S△OMP=2S△OMQ=2×2=4，
∴△OMP的面积是4．
故选：D．
过点M作MC⊥OA于点C，作MD⊥OB于点D，利用角平分线的性质，可得出MC=MD，结合三角形的面积计算公式及OP=2OQ，即可求出△OMP的面积．
本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，牢记“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：连接EA，
∵∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
∴BC= AB2−AC2=4，
由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
则AC2+CE2=AE2，即32+(4−BE)2=BE2，
解得，BE=258，
故选：C．
连接EA，根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
本题考查的是线段垂直平分线的作法和性质、勾股定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查旋转的性质、三角形的外角性质及等边对等角的应用，熟练掌握旋转的性质得出对应角相等、对应边相等是解题的关键．
由题意可得：∠A=∠A′=35°，∠ABC=∠B′，BC=B′C，即可求∠B′BC=75°=∠B′=∠ABC，则可求∠A′BA的度数．
【解答】
解：∵将△ABC绕顶点C旋转得到△A′B′C，
∴∠A=∠A′=35°，∠ABC=∠B′，BC=B′C，
∴∠B′=∠B′BC，
∵∠B′BC=∠A′+∠BCA′=35°+40°=75°，
∴∠B′=∠ABC=75°，
∵∠ABA′=180°−∠ABC−∠B′BC，
∴∠ABA′=30°
故选A．
10.【答案】B
【解析】解：如图，延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
∴△ABP≌△EBP(ASA)，
∴AP=PE，
∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，
∴S△PBC=12S△ABC=12×2=1(cm2)，
故选：B．
延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出S△PBC=12S△ABC，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
11.【答案】6
【解析】解：∵a4(am)2=al6，
∴a4⋅a2m=a16，
∴a2m+4=a16，
∴2m+4=16，
解得：m=6，
故答案为：6．
先根据幂的乘方进行计算，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，求出2m+4=16，再求出答案即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法，能熟练掌握同底数幂的乘法法则是解此题的关键．
12.【答案】−a2(x−4)2
【解析】解：−a2x2+8a2x−16a2
=−a2(x2−8x+16)
=−a2(x−4)2．
故答案为：−a2(x−4)2．
先提取公因式−a2，再利用完全平方公式计算即可．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13.【答案】x2−1=(x+1)(x−1)
【解析】解：图1的面积为：x2−1，拼成的图2的面积为：(x+1)(x−1)，
所以x2−1=(x+1)(x−1)，
故答案为：x2−1=(x+1)(x−1)．
根据图1、图2的面积相等可得答案．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是正确解答的关键．
14.【答案】20°或50°
【解析】解：当40°为底角时，如图2，
∵∠B=∠ACB=40°，
∴∠BCD=50°；
当40°为顶角时，如图1
∵∠A=40°，
∠B=∠ACB=70°，
∴∠BCD=20°．
故答案为：20°或50°．
根据题意先画出图形，再分两种情况：40°为底角和40°为顶角求出答案．
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握．注意分类讨论思想的应用．
15.【答案】6
【解析】解：设大正方形的边长为c，
则c2=15=a2+b2，
∵(a+b)2=24，
∴a2+2ab+b2=24，
解得ab=4.5，
∴小正方形的面积是：15−12ab×4=15−12×4.5×4=15−9=6，
故答案为：6．
根据题意和勾股定理，可以求得ab的值，再根据图形可知：小正方形的面积=大正方形的面积−4个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．
本题考查勾股定理的证明、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出ab的值．
16.【答案】解：(1) (−4)2+3−64−(−1)2022−| 3−2|
=4−4−1−2+ 3
= 3−3；
(2)(2+a)(2−a)+(a+b)(a−5b)+5(ab)4÷(−a2b)2
=4−a2+a2−5ab+ab−5b2+5a4b4÷a4b2
=4−4ab−5b2+5b2
=4−4ab，
∵ab=−12，
∴原式=4−4×(−12)=6．
【解析】(1)根据算术平方根，立方根的计算，有理数的乘方，绝对值的化简计算即可．
(2)根据平方差公式，多项式乘多项式，积的乘方，单项式除以单项式计算即可．
本题考查了算术平方根，立方根的计算，有理数的乘方，绝对值的化简，平方差公式，多项式乘多项式，积的乘方，单项式除单项式，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)△ABC即为所求作的图形；

(2)由作图知；BC=a，
∵PQ是BC的垂直平分线，
∴AD是BC边上的中线，
点A在直线PQ上，
∴AB=AC，
∴△ABC是所求作的三角形．
【解析】(1)用直尺和圆规，先作线段BC=a，再作BC的垂直平分线PQ，交BC于D，在PQ上截DA=b，连接AB、AC即可；
(2)根据线段的垂直平分线的性质即可证明．
本题考查了作图−复杂作图、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是准确画图．
18.【答案】30 20 90°
【解析】解：(1)总人数=15÷15%=100，
∴m=100×30%=30，n=100×20%=20，
条形统计图如图所示：
故答案为30，20；
(2)∵25100×100%=25%，
所以扇形统计图中“C组“所对应的圆心角的度数是360°×25%=90°．
故答案为：90°．
(3)800×30+20100=400(人)，
答：估计该校本次听写比赛合格的学生人数为400人．
(1)根据B组人数以及百分比求出总人数，再根据D、E的百分比求出人数即可，再补全图形；
(2)根据圆心角=360°×百分比即可；
(3)利用样本估计总体的思想解决问题即可．
本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，从频数分布表与直方图中获取互相关联的信息是解本题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵AF=BE，
∴AF+EF=BE+EF，
即AE=BF．
在△ACE和△BDF中
AC=BD∠A=∠BAE=BF
∴△ACE≌△BDF(SAS)．
(2)∵△ACE≌△BDF，
∴∠CEA=∠DFB，
∴ME=MF，
∵∠FME=60°，
∴△MFE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
【解析】(1)证得AE=BF.根据SAS可得结论；
(2))由△ACE≌△BDF，可得∠CEA=∠DFB，则结论得证．
本题考查全等三角形的判定和性质和等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
20.【答案】证明：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵ED⊥BC，
∴∠D+∠C=90°，∠B+∠BFE=90°，
∴∠D=∠BFE，
∵∠DFA=∠BFE，
∴∠D=∠AFD，
∴AD=AF，
∴△ADF是等腰三角形．
(2)过A作AG⊥DE于G，
∵AD=AF，AG⊥DF，
∴GF=12DF，

又∵AG⊥DE，BE⊥DE，
∴∠AGF=∠BEF，
又∵F为AB中点，
∴AF=BF，
∵∠AGF=∠BEF∠AFG=∠BFEAF=BF，
∴△AGF≌△BEF(AAS)，
∴EF=FG，
∴DF=2FE．
【解析】(1)根据等边对等角，等角的余角相等，对顶角相等，运用等角对等边证明．
(2)过A作AG⊥DE于G，证明△AGF≌△BEF，即可得证．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一性质的应用，熟练掌握等腰三角形判定和性质是解题的关键．
21.【答案】17
【解析】解：(1)2xy=(x+y)2−(x2+y2)=64−40=24，
∴xy=12，
(2)由(4−x)−(5−x)=−1，
∴[(4−x)−(5−x)]2=(4−x)2−2(4−x)(5−x)+(5−x)2=(−1)2；
又∵(4−x)(5−x)=8，
∴(4−x)2+(5−x)2=1+2(4−x)(5−x)=1+2×8=17；
故答案为：17．
(3)设AC=m，CF=n，
∵AB=6，
∴m+n=6，
又∵S1+S2=18，
∴m2+n2=18，
由完全平方公式可得，(m+n)2=m2+2mn+n2，
∴62=18+2mn，
∴mn=9，
∴S阴影部分=0.5×mn=0.5×9=4.5，
答：阴影部分的面积为4.5．
(1)根据完全平方公式得出2xy=(x+y)2−(x2+y2)，整体代入求值即可；
(2)根据完全平方公式将(4−x)2+(5−x)2转化为[(4−x)−(5−x)]2+2(4−x)(5−x)，再整体代入求值即可；
(3)设AC=m，CF=n，可得m+n=6，m2+n2=18，求出0.5mn即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
22.【答案】解：会受到影响，理由如下：
过N作NP⊥AB于P，

在Rt△MNP中，
∴∠CMB=90°，N在∠CMB的平分线上，
∴∠MNP=45°，PM=NP，
由勾股定理，得PM2+NP2=MN2，即2NP2=1682，
∴NP=168 2=120(m)，
∵120