四川省绵阳南山中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附答案）

这是一份四川省绵阳南山中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了已知直线，设空间向量，，则等内容，欢迎下载使用。

数学试题
单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知直线：，下列说法正确的是（ ）
A. 120° B.150°
C.方向向量可以是 D. 方向向量可以是
2.设空间向量，，则（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D.9
3.甲､乙两人下棋，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则甲､乙两人下成平局的概率是
A． B． C. D．
4.正四面体的棱长为2，点D是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5.已知，直线是双曲线的一条渐近线，则点到直线的距离为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
6.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法正确的是（ ）
A．在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数
B．早睡人群睡眠指数主要集中在
C．早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小
D．晚睡人群睡眠指数主要集中在
7.在三棱锥中，，，，两两垂直，为的中点，为上一点，且，为的重心，则到直线的距离为（ ）
A．2B．1C．D．
8.正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，则（ ）
A．
B．直线与直线夹角是
C．点到平面的距离为
D．直线与平面平行
多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
9.已知，，是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.若则
C.在上的投影向量为
D.，，一定能构成空间的一个基底
10.某单位为了解职工健康情况，采用分层随机抽样的方法从5000名职工中抽取了一个容量为100的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，下列说法正确的是（ ）
A．样本为该单位的职工 B.每一位职工被抽中的可能性为
C.该单位职工平均体重 D.单位职工的方差
11.已知圆，点，下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．圆上存在两个点到直线的距离为2
C．过点作圆的切线，则的方程为
D．若点是圆上一点，，当最小时，
12. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B.当时,
C.以线段为直径的圆与直线相切
D.当最小时，切线与准线的交点坐标为
填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.)
13.直线与直线垂直，则直线在轴上的截距是_________.
14.右图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况，设事件“参加数学兴趣小组”，事件“参加语文兴趣小组”，事件“参加英语兴趣小组”。现从这个班任意选择一名学生，则事件所代表的区域是_________.（注：事件的对立事件用符号表示）
15.已知椭圆的左右焦点分别为、，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为_________ .
16.已知点,，曲线上的任意点满足，曲线与双曲线的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次为，且，则的离心率为_________ .
解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.（10分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：，
（1）求直线与的交点坐标；
（2）过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程．
18.（12分）为了普及“宪法”知识，南山社区针对本社区中青年人举办了一次“宪法”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本校的“宪法”宣传使者.现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，随机抽取2名作为组长，求两位组长来自不同组的概率.
19.（12分）已知抛物线的焦点为，且经过点.
（1）求；
（2）若过点的直线与抛物线交于不同的两点为坐标原点,证明:.
20．（12分）莱昂哈德•欧拉（LenhardEuler，瑞士数学家），1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高线的交点）和外心（三条中垂线的交点）共线，这条线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点．
（1）求的欧拉线方程；
（2）记的外接圆的圆心为，直线与圆交于两点，且，求的面积最大值．
21．（12分）如图，在四棱雉中，底面是正方形，侧棱底面，二面角的大小是，分别是的中点，交于点．
（1）求证：平面；
（2）设是直线的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
22.（12分）设分别是椭圆的左､右焦点，若_____，
请在以下两个条件中任选一个补充在横线上并作答．
①四点,,,中，恰有三点在椭圆上；
②椭圆经过点，与轴垂直，且．
(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．)
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设D是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A､B两点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得的长度为定值？并证明你的结论.
绵阳南山中学2022级高二上学期12月月考试题
数 学（参考答案）
单选题：
二、多选题：
三、填空题：
13. 14. 4 15. 16.
四、解答题：
17.【答案】（1）；（2）8x-y-24=0
【解析】（1）由x+y+3=02x-y-2=0,得 分
（2）在直线l2上任取一点Mx0,-3-x0,∴点M关于P3,0的对称点N6-x0，3+x0
在直线l1上， 把点N6-x0，3+x0代入l1方程2x-y-2=0 ，解得x0=73
∴M73,-163，∴kl=-163-073-3=8， 分
即直线方程为：y=8x-24. 分
18.【答案】（1）， （2）
【解析】（1）设这人的平均年龄为，
则（岁）. 设第80百分位数为.
方法一：由，解得.
方法二：由，解得. 分
由题意，第四组应抽取4人，记为，第五组抽取2人，记为1,分
对应的样本空间为：
共15个样本点. 分
设事件“两位组长来自不同组”，则
，
共有8个样本点.所以. 分
19.【答案】(1) ；(2)证明见解析
【解析】(1)由题意知,代点入中，得，所以抛物线方程为;
由抛物线定义知…………5分
设直线为,联立方程,有,
，所以,…………8分
所以.…………10分
所以.…………12分
20.【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），因此，是等腰直角三角形，
∴中垂线与平分线、中线，三线合一
∴欧拉线方程是．…………5分
（2）设外心坐标为，则，解得，
∴外心是．…………7分
法一：，过定点，设，则，
当时，最小；所以，所以，当时，最大．
法二：圆心到直线的距离，，…………10分
所以，
即时，．…………12分
21.【答案】（1）略；（2）．
【解析】（1）依题意，因平面，所以
,且则，
为二面角的平面角，即
因是中点，所以，
又平面，因平面，所以，
又因，且，所以平面，所以，又平面…………5分
（2）以为轴建立坐标系如图，设，
则，
设，则，
由，得，所以，…………8分
由（1）同理可证则，
所以且，
∴平面
∴是平面的法向量，…………10分
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值是．…………12分
22.【答案】(1) (2)存在，证明见解析
【解析】（1）选①
由对称性同时在椭圆上或同时不在椭圆上，
从而在椭圆上，因此不在椭圆上，故在椭圆上，
将,,代入椭圆的方程，解得
所以椭圆的方程为.…………4分
选②
由题意，；由，解得；
所以椭圆的方程为.…………4分
（2）已知是椭圆的上顶点，易得直线AB的斜率必然存在，设直线的方程为，
由可得
所以，…………6分
又，.
，
化简整理有，得或.…………9分
当时，直线经过点，不满足题意；…………10分
当时满足方程中，故直线经过轴上定点.
又为过点作线段的垂线的垂足，故在以为直径的圆上，取的中点为，则为定值，且.…………12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
A
D
B
B
C
D
题号
9
10
11
12
答案
BCD
BCD
AB
ACD