2022-2023学年江苏省南京师大附中高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年江苏省南京师大附中高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）设m为实数，已知直线l1：2x+3y﹣2＝0，l2：mx+（2m﹣1）y+1＝0，若l1∥l2，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（3分）设Sn为等差数列{an}（n∈N*）的前n项和，若S9＝27，则a4+a6＝（ ）
A．9B．6C．3D．0
3．（3分）过点（3，2）且与椭圆3x2+8y2＝24有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图，已知函数f（x）的图像在点P（2，f（2））处的切线为l，则f（2）+f′（2）＝（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．1
5．（3分）设m为实数，若直线y＝2x+m与曲线y恰有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．[﹣4，4]B．C．D．[﹣2，4]
6．（3分）中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的庙宇，这类庙宇的顶部构造颇有讲究，如图是某武成王顶部的剖面直观图，其中AiA′i∥Ai+1A′i+1，Ai+1Bi⊥AiA′i，AiBi＝Ai+1Bi+1（i＝1，2，3，4），数列（i＝1，2，3，4）是等差数列且，若以A1为坐标原点，以，，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，则直线A1A4的斜率是（ ）
A．0.4B．0.45C．0.5D．0.55
7．（3分）设a为实数，若函数有且仅有一个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）设双曲线C：，的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，若直线PF1与C的一条渐近线垂直，垂足为H，且PF1＝4HF1，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（共4题）
（多选）9．（3分）将y＝f（x）和y＝f′（x）的图像在同一个直角坐标系中，下列选项中一定不正确的有（ ）
A．B．
C．D．
（多选）10．（3分）已知直线y＝x+1与椭圆C：交于A，B两点，若P是直线AB上一点，O为坐标原点，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆C的离心率
B．|AB|
C．OA⊥OB
D．若F1，F2是椭圆C的左右焦点，则|PF2|﹣|PF1|
（多选）11．（3分）设Sn为数列{an}（n∈N*）的前n项和，则下列结论正确的有（ ）
A．若{an}为等比数列，公比为q，则S2n＝（1+qn）Sn
B．若{an}为等比数列，s，t，p，q∈N，且asat＝apaq，则s+t＝p+q
C．若{an}为等差数列，则（p为常数）仍为等差数列
D．若{an}为等差数列，则必存在不同的三项ap，aq，ar，使得aqar
（多选）12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该抛物线上且位于x轴的两侧，2，则（ ）
A．x1x2＝6
B．直线AB过点（2，0）
C．△ABO的面积最小值是
D．△ABO与△AFO面积之和的最小值是3
三、填空题（共4题）
13．（3分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，若抛物线上一点M（2，y0）到点F的距离为6，则y0＝ ．
14．（3分）函数f（x），则f′（）＝ ．
15．（3分）设m为实数，已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x+2sinx，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为 ．
16．（3分）已知数列{an}（n∈N*）满足：an＞0，其前n项和Sn，数列{bn}（n∈N*）满足bn＝（﹣1）n+1，其前n项和Tn，设λ为实数，若Tn＜λ对任意（n∈N*）恒成立，则λ的取值范围是 ．
四、解答题（共6题）
17．已知圆C经过坐标原点，且与直线x﹣y+2＝0相切，切点为（2，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）若斜率为﹣1的直线l与圆C相交于不同的两点M，N，且|MN|＝14，求直线l的方程．
18．已知数列{an}（n∈N*）的各项均不为0，且满足．
（1）求{an}通项公式；
（2）令bnn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和为Tn．
19．设a为实数，已知函数f（x）9．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若过点（0，10）有且只有两条直线与曲线yax+1相切，求a的值．
20．如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角△Qn﹣1PnQn（Q0为坐标原点）的边长为an．
（1）求a1，a2的值；
（2）记Sn为数列{an}的前n项和，探究an+1与Sn的关系，求{an}的通项公式．
21．已知椭圆C：的离心率为，且过点（1，）．
（1）求C的方程；
（2）已知A，B是C的左右顶点，过右焦点F且斜率不为0的直线交C于点M，N，直线AM与直线x＝4，交于点P，记PA，PF，BN的斜率分别为k1，k2，k3，问，是否是定值如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由．
22．已知函数（e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最大值；
（2）设a为整数，若ex≥ln（x+a）在定义域上恒成立，求a的最大值；
（3）证明．
2022-2023学年江苏省南京师大附中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共8题）
1．（3分）设m为实数，已知直线l1：2x+3y﹣2＝0，l2：mx+（2m﹣1）y+1＝0，若l1∥l2，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由题意l1∥l2，可得，解得m＝2，
故选：B．
2．（3分）设Sn为等差数列{an}（n∈N*）的前n项和，若S9＝27，则a4+a6＝（ ）
A．9B．6C．3D．0
【解答】解：Sn为等差数列{an}（n∈N*）的前n项和，S9＝27，
则S927，
∴a4+a6＝6．
故选：B．
3．（3分）过点（3，2）且与椭圆3x2+8y2＝24有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：椭圆3x2+8y2＝24即1，
可得椭圆的焦点坐标为（，0），（，0），
设双曲线的方程为1（a＞0，b＞0），
则c2＝a2+b2＝5，又1，
解得a，b，
所以双曲线的方程为1．
故选：D．
4．（3分）如图，已知函数f（x）的图像在点P（2，f（2））处的切线为l，则f（2）+f′（2）＝（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．1
【解答】解：由题意可得，切线l的方程为1，即y＝﹣x+4，
可得f'（2）＝﹣1，又f（2）＝2，
∴f（2）+f'（2）＝2﹣1＝1．
故选：D．
5．（3分）设m为实数，若直线y＝2x+m与曲线y恰有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．[﹣4，4]B．C．D．[﹣2，4]
【解答】解：如图：
曲线y表示圆x2+y2＝4在x轴的上半部分，
当直线y＝2x+m与圆x2+y2＝4相切时，2，解得m＝±2，
当点（﹣2，0）在直线y＝2x+m上时，m＝4，
所以由图可知实数m的取值范围为4≤m＜2．
故选：B．
6．（3分）中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的庙宇，这类庙宇的顶部构造颇有讲究，如图是某武成王顶部的剖面直观图，其中AiA′i∥Ai+1A′i+1，Ai+1Bi⊥AiA′i，AiBi＝Ai+1Bi+1（i＝1，2，3，4），数列（i＝1，2，3，4）是等差数列且，若以A1为坐标原点，以，，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，则直线A1A4的斜率是（ ）
A．0.4B．0.45C．0.5D．0.55
【解答】解：由题意可知：，令A2B2＝5t，A3B2＝2t，因为AiBi＝Ai+1Bi+1（i＝1，2，3，4），
所以AiBi＝Ai+1Bi+1＝5t（i＝1，2，3，4），
因为数列（i＝1，2，3，4）是第二项为的等差数列，
设公差为d，则d，因为A1B1＝5t，所以A2B1＝2t﹣5dt，
同理A4B3＝2t+5dt
则直线A1A4的斜率k0.4，
故选：A．
7．（3分）设a为实数，若函数有且仅有一个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：当x＜0时，f（x）＝x﹣ex+2，f′（x）＝1﹣ex＞0，函数f（x）是增函数，
f（0）＞0，f（﹣2）＜0，
所以函数f（x）＝x﹣ex+2，在x≤0时，只有一个零点；
由题意可知x＞0时，函数没有零点，x＞0时，f（x）无零点，
f′（x）＝x2﹣4＝（x﹣2）（x+2），f′（x）＝0，可得x＝2，
x∈（0，2）时，f′（x）＜0，函数是减函数，
x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，
可得fmin（x）＝f（2），
解得a．
故选：C．
8．（3分）设双曲线C：，的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，若直线PF1与C的一条渐近线垂直，垂足为H，且PF1＝4HF1，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：不妨取直线PF1与C的一条渐近线yx垂直，则直线PF1的斜率为，
所以点F1到直线yx的距离为HF1b，所以PF1＝4HF1＝4b，
过点P作PQ⊥x轴于点Q，
在Rt△PQF1中，tan∠PF1Q，且，
所以PQ，F1Q，
所以点P的坐标为（c，），
因为点P在双曲线C上，所以1，化简整理得9c4＝25a2c2，
所以离心率e．
故选：C．
二、多选题（共4题）
（多选）9．（3分）将y＝f（x）和y＝f′（x）的图像在同一个直角坐标系中，下列选项中一定不正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A选项，f′（x）≥0，f（x）单调递增，x∈（﹣∞，0），f′（x）逐渐减小，f（x）越来越平缓；x∈（0，+∞），f′（x）逐渐增大，f（x）越来越陡，A错误；
B选项，f（x）单调递减，f′（x）≤0，B错误；
C选项，f（x）单调递增，f′（x）≥0，C正确；
D选项，设f′（x）＝0时，x＝m，x∈（﹣∞，m），f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（m，+∞），f′（x）≥0，f（x）单调递增，D错误．
故选：ABD．
（多选）10．（3分）已知直线y＝x+1与椭圆C：交于A，B两点，若P是直线AB上一点，O为坐标原点，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆C的离心率
B．|AB|
C．OA⊥OB
D．若F1，F2是椭圆C的左右焦点，则|PF2|﹣|PF1|
【解答】解：由椭圆的方程可得a，b，可得c，所以离心率e，所以A正确；
设A（x1，y1），B（x1，y2），联立，
整理可得：3x2+4x﹣4＝0，可得x或x＝﹣2，
可得或，
设A（，），B（﹣2，﹣1），
可得|AB|，所以B正确；
因为•（，）•（﹣2，﹣1）3，所以C不正确；
设F1关于直线AB的对称点F1'（m，n），
则，解得m＝﹣1，n＝1，
所以|PF2|﹣|PF1|＝|PF2|﹣|PF1'|≤|F1'F2|2，
当且仅当P，F1'，F2三点共线时，等号成立．所以D正确；
故选：ABD．
（多选）11．（3分）设Sn为数列{an}（n∈N*）的前n项和，则下列结论正确的有（ ）
A．若{an}为等比数列，公比为q，则S2n＝（1+qn）Sn
B．若{an}为等比数列，s，t，p，q∈N，且asat＝apaq，则s+t＝p+q
C．若{an}为等差数列，则（p为常数）仍为等差数列
D．若{an}为等差数列，则必存在不同的三项ap，aq，ar，使得aqar
【解答】解：对于A，若{an}为等比数列，公比为q，当q≠1时，则前n项和为，
∴（1+qn）•（1+qn）Sn，
当q＝1时，Sn＝na1，∴，
综上，S2n＝（1+qn）Sn，故A正确；
对于B，若等比数列的公比为1，由asat＝apaq成立，不一定有s+t＝p+q，故B错误；
对于C，由题意，，
∴，
而，
∴（p为常数）仍为等差数列，故C正确；
对于D，若{an}为等差数列，不一定存在不同的三项ap，aq，ar，使得aqar，
如等差数列：1，4，7，10，13，故D错误．
故选：AC．
（多选）12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该抛物线上且位于x轴的两侧，2，则（ ）
A．x1x2＝6
B．直线AB过点（2，0）
C．△ABO的面积最小值是
D．△ABO与△AFO面积之和的最小值是3
【解答】解：设直线AB的方程为：x＝ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），
x＝ty+m代入y2＝x，可得y2﹣ty﹣m＝0，根据韦达定理有y1•y2＝﹣m，
∵2，∴x1•x2+y1•y2＝2，从而（y1•y2）2+y1•y2﹣2＝0，
∵点A，B位于x轴的两侧，
∴y1•y2＝﹣2，故m＝2．
对于A，因为x1•x2+y1•y2＝2，所以x1•x2＝4，故A错；
对于B，由m＝2，可得直线AB过点（2，0），故B正确；
对于C，不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又F（，0），
∴S△ABO2×（y1﹣y2）＝y1﹣y2＝y12，
当且仅当y1，即y1时，取“＝”号，故C正确；
对于D，不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又F（，0），
∴S△ABO+S△AFO2×（y1﹣y2）y1y1﹣y23
当且仅当y1，即y1时，取“＝”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题（共4题）
13．（3分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，若抛物线上一点M（2，y0）到点F的距离为6，则y0＝ ±4 ．
【解答】解：抛物线C；y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线为l：x，
由抛物线的定义可得，|MF|＝26，
解得p＝8，即有抛物线的方程为y2＝16x，
将x＝2代入抛物线方程，可得y0＝±4．
故答案为：±4．
14．（3分）函数f（x），则f′（）＝ ．
【解答】解：f′（x），
∴f'（）
故答案为：．
15．（3分）设m为实数，已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x+2sinx，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为 （﹣2，+∞） ．
【解答】解：函数f（x）的定义域为R，
f′（x）＝ex+e﹣x﹣2csx，
∵ex+e﹣x≥22，当且仅当x＝0时取等号，
∴ex+e﹣x≥2，又∵csx∈[﹣1，1]，
∴f′（x）＝ex+e﹣x﹣2csx≥0，
∴函数f（x）在R上为增函数，
∵f（2m）＞f（m﹣2），
∴2m＞m﹣2，∴m＞﹣2，
∴不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（﹣2，+∞），
故答案为：（﹣2，+∞）．
16．（3分）已知数列{an}（n∈N*）满足：an＞0，其前n项和Sn，数列{bn}（n∈N*）满足bn＝（﹣1）n+1，其前n项和Tn，设λ为实数，若Tn＜λ对任意（n∈N*）恒成立，则λ的取值范围是 [，+∞） ．
【解答】解：∵数列{an}（n∈N*）满足：an＞0，其前n项和Sn，
∴当n＝1时，，（a1＞0），解得a1＝3，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，
∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）﹣2（an+an﹣1）＝0，
∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，又an＞0，
∴an﹣an﹣1＝2，（n≥2），
∴数列{an}是以首项为3，公差为2的等差数列，
∴an＝3+（n﹣1）×2＝2n+1，
∴bn＝（﹣1）n+1，
∴当n为奇数时，
Tn[（）﹣（）+•••+（）]，
设f（n），易知f（n）单调递减，∴f（n）≤f（1），
又当n→+∞时，f（n）→，
∴当n为奇数时，Tn＝f（n）∈（，]；
当n为偶数时，
Tn[（）﹣（）+•••﹣（）]，
设g（n），易知g（n）单调递增，∴g（n）≥g（2），
又当n→+∞时，g（n）→，
∴当n为偶数时，Tn＝g（n）∈[，），
∵Tn＜λ对任意（n∈N*）恒成立，
∴λ＞（Tn）max，
∴，
∴，
∴λ的取值范围是[，+∞），
故答案为：[，+∞）．
四、解答题（共6题）
17．已知圆C经过坐标原点，且与直线x﹣y+2＝0相切，切点为（2，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）若斜率为﹣1的直线l与圆C相交于不同的两点M，N，且|MN|＝14，求直线l的方程．
【解答】解：（1）设切点为A（2，4），
直线x﹣y+2＝0，斜率为1，
则直线AC的斜率，即直线AC的方程为y﹣4＝﹣2（x﹣2），即x+y﹣6＝0，
∵直线OA的斜率，
∴线段OA的垂直平分线为y﹣2，即x+2y﹣5＝0，
联立，解得，即圆心C的坐标为（7，﹣1），
∴圆C的半径为r＝|AC|，
∴圆C的方程为（x﹣7）2+（y+1）2＝50；
（2）由题意可设，直线l的方程为y＝﹣x+m，
圆心C到直线l的距离d，
∵|MN|，解得d＝1，
∴d，解得m，
故直线l的方程为y＝﹣x．
18．已知数列{an}（n∈N*）的各项均不为0，且满足．
（1）求{an}通项公式；
（2）令bnn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和为Tn．
【解答】解：（1）由，得，即；
当n≥2时，...，
∴1，即，
验证成立，∴；
（2）bnn，
∴数列{bn}的前n项和为Tn...

．
19．设a为实数，已知函数f（x）9．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若过点（0，10）有且只有两条直线与曲线yax+1相切，求a的值．
【解答】解：（1）∵f（x）9，∴f′（x）＝2x2﹣（a+1）x，
令f′（x）＝0，则x＝0或x，
①当0，即a＝﹣1时，f′（x）≥0，
∴函数f（x）的单增区间为（﹣∞，+∞）；
②当0，即a＜﹣1时，
由f′（x）＜0，则x＜0，由f′（x）＞0，则x或x＞0，
∴函数f（x）的单增区间为（﹣∞，），（0，+∞），单减区间为（，0）；
②当0，即a＞﹣1时，
由f′（x）＜0，则0＜x，由f′（x）＞0，则x或x＜0，
∴函数f（x）的单增区间为（，+∞），（﹣∞，0），单减区间为（0，）．
综上，当a＝﹣1时，函数f（x）的单增区间为（﹣∞，+∞），
当a＜﹣1时，函数f（x）的单增区间为（﹣∞，），（0，+∞），单减区间为（，0），
当a＞﹣1时，函数f（x）的单增区间为（﹣∞，0），（，+∞），单减区间为（0，）．
（2）设切点为（t，t3（a+1）t2+at+1），
∵yax+1，∴y′＝x2﹣（a+1）x+a，
∴切线方程为y﹣[t3（a+1）t2+at+1）]＝[t2﹣（a+1）t+a]（x﹣t），
将（0，10）代入整理得，t3（a+1）t2+9＝0，
则f（t）t3（a+1）t2+9＝0有两个不等的实根，
①当a＝﹣1时，函数f（x）的单增区间为（﹣∞，+∞），则f（t）＝0最多只有一个实根，不合题意，
②当a＜﹣1时，函数f（x）的极小值为f（0）＝9＞0，则f（t）＝0最多只有一个实根，不合题意，
③当a＞﹣1时，函数f（x）的极大值为f（0）＝9＞0，f（x）的极小值为f（）＝90，∴a＝5．
综上，a＝5．
20．如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角△Qn﹣1PnQn（Q0为坐标原点）的边长为an．
（1）求a1，a2的值；
（2）记Sn为数列{an}的前n项和，探究an+1与Sn的关系，求{an}的通项公式．
【解答】解：（1）由题意可得，
则，
则，
又，
则，
即；
（2）记Sn为数列{an}的前n项和，
则，
即，
即，
则，
即an＝Sn﹣Sn﹣1，（n≥2），
即an+1+an，
又an＞0，
即，
又，
即数列{an}是以为首项，为公差的等差数列，
即．
21．已知椭圆C：的离心率为，且过点（1，）．
（1）求C的方程；
（2）已知A，B是C的左右顶点，过右焦点F且斜率不为0的直线交C于点M，N，直线AM与直线x＝4，交于点P，记PA，PF，BN的斜率分别为k1，k2，k3，问，是否是定值如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1）由离心率e，可得3a2＝4b2，
设椭圆的方程为1，将（1，）代入椭圆的方程可得：1，
可得t2＝1，
所以椭圆的方程为：1；
（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），右焦点F（1，0），
由题意设直线MN的方程为x＝my+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，整理可得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，
显然Δ＞0，y1+y2，y1y2，
可得m，可得m，
直线AM的方程为y（x+2），令x＝4，可得yP，即P（4，），
可得k1，k2，k3，
所以k1+k2，
所以1，
可得为定值1．
22．已知函数（e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最大值；
（2）设a为整数，若ex≥ln（x+a）在定义域上恒成立，求a的最大值；
（3）证明．
【解答】（1）解：，
当x＜0时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞0时，f′（x）＜0，函数单调递减，
所以当x＝0时，函数取得唯一极大值，也是最大值，f（0）＝1；
（2）由（1）知，1，即ex≥x+1，
所以对任意x＞﹣1时，ln（x+1）≤x＜x+1≤ex，
当a≤1时，x+a≤x+1，ln（x+a）≤ln（x+1）＜ex，
即ex≥ln（x+a）在定义域上恒成立，符合题意；
当a＞1时，g（x）＝ex﹣ln（x+a）的定义域为{x|x＞﹣a}，则必有g（0）＝1﹣lna≥0，
所以1＜a≤e，
因为a为整数，
故a的最大值不超过2，
因为x＞﹣1时，ln（x+1）≤x，则ln（x+2）≤x+1恒成立，x＝﹣1时取等号，
因为x+1≤ex（x＝0时取等号），
故x＞﹣2时ln（x+2）＜ex，
综上，a的最大值为2；
（3）证明：由（2）得x＞﹣2时，ln（x+2）＜ex，
令x＝﹣1，则ln（﹣12），（n∈N*），
即（ln）n＜e1﹣n，
从而有ln2+（ln）2+（ln）2+•••+（ln）2＜1+e﹣1+e﹣2+•••+e1﹣n．