安徽师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份安徽师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知全集 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由图可得阴影部分表示 SKIPIF 1 < 0 ，然后用补集和交集的定义进行求解
【详解】由图可得，图中阴影部分表示的集合为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
2. 若函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式即可得出定义域.
【详解】要使函数 SKIPIF 1 < 0 有意义，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
3. 若命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”为真命题，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】利用分离参数法求解，把参数分离出来求解 SKIPIF 1 < 0 的最大值即可.
【详解】由已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
4. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.
【详解】由对数函数的图像与性质可得
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
5. 设 SKIPIF 1 < 0 是定义域为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 是定义域为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数，
所以由 SKIPIF 1 < 0 ，
函数该函数的周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
6. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 3B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据两角和的正切公式、二倍角公式，结合诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
7. 设二次函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时， SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A. 0B. 1C. SKIPIF 1 < 0 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，换元令 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值2.
故选：A.
8. 已知锐角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合基本不等式分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，对A：结合两角和的正切公式分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ；对B：由 SKIPIF 1 < 0 ，结合正弦函数单调性以及诱导公式可得 SKIPIF 1 < 0 ；对C：由 SKIPIF 1 < 0 ，结合对数函数的单调性分析判断；对D：根据选项B、C的思路，先证 SKIPIF 1 < 0 ，再结合对数函数的单调性分析判断.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角，则 SKIPIF 1 < 0 均为正数，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
结合 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
对A：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，A项不正确；
对B：∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对C：由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在定义域内是减函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对D：∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
结合 SKIPIF 1 < 0 在定义域内是减函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，D不正确.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对于锐角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有：
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
此结论在三角形中应用较多.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是2
B. SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是1
D. SKIPIF 1 < 0 最小值为9
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，B，C，利用换元法及对勾函数的性质，结合函数单调性与最值的关系即可求解；
对于D，利用同角三角函数的平方关系及商数关系，结合正余弦齐次式及基本不等式即可求解.
【详解】对于A,令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，由对勾函数知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由对勾函数的性质知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由对勾函数的性质知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为9，故D正确.
故选：BD.
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 命题：“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”
B. 函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）恒过定点 SKIPIF 1 < 0
C. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0
D. 若函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据抽象函数的定义域可判断C，根据配凑法可判断D.
【详解】A选项，“ SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“ SKIPIF 1 < 0 ”，A错误；
B选项， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
C选项，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
D选项， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BCD.
11. 已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则（ ）
A. 直线 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的对称轴
B. SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的对称中心
C. SKIPIF 1 < 0
D. 不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 图象的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断A，B；结合对称性可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，从而 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断C；由不等式 SKIPIF 1 < 0 结合 SKIPIF 1 < 0 的对称性及单调性，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式即可判断D．
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，其图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，所以 SKIPIF 1 < 0 图象的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，B错误；
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
由不等式 SKIPIF 1 < 0 结合 SKIPIF 1 < 0 的对称性及单调性，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确，
故选：AD．
12. 把函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到的函数图象恰好关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
B SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称
C. SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
D. 若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在最大值，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】先利用辅助角公式化简 SKIPIF 1 < 0 ，再通过图像平移求得新的函数，从而利用图象关于y轴对称求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此得到 SKIPIF 1 < 0 的解析式，最后结合三角函数的性质即可对选项逐一判断.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
对A：函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，即 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对B：由A可知： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的对称中心，B正确；
对C：令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，C错误；
对D：∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在最大值，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法定睛：求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识
（1）转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．
（2）整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．
①令ωx＋φ＝kπ＋ SKIPIF 1 < 0 (k∈Z)，可求得对称轴方程．
②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．
③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在幂函数 SKIPIF 1 < 0 图像上，则 SKIPIF 1 < 0 ＝__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由此能求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．用待定系数法设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，即可求得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0
由题意令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 图象过点 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题主要考查了求幂函数值，解题关键是掌握判断对数函数恒过定点的方法和幂函数的基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
14. SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、辅助角公式以及三角恒等变换的知识求得正确答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 已知正数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】首先将条件变形为 SKIPIF 1 < 0 ，再利用“1”妙用，结合基本不等式求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 恰好有6个不同的实数解，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由原方程可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象共有6个不同的交点，画图可建立不等式求解即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有6个不同的解，
所以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象共有6个不同的交点，
由图可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题：（本题共6小题，70分.）
17. 设全集是 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数a的取值范围；
（2）条件 SKIPIF 1 < 0 ，条件 SKIPIF 1 < 0 ，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 讨论，特别是 SKIPIF 1 < 0 时，直接根据集合间的包含关系列不等式组求解；
（2）根据q是p的充分不必要条件得到 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，直接根据集合间的包含关系列不等式组求解.
【小问1详解】
若 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综合得 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
条件 SKIPIF 1 < 0 ，条件 SKIPIF 1 < 0 ，若q是p的充分不必要条件，
则 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且等号不能同时成立，
解得 SKIPIF 1 < 0
18. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可；
（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为锐角，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知函数 SKIPIF 1 < 0
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
（2）解不等式 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置分类讨论即可；
（2）利用因式分解法，结合一元二次方程两根的大小关系分类讨论求解即可.
【小问1详解】
因为函数 SKIPIF 1 < 0 对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
ⅱ）当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
ⅱ）当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
ⅲ）当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数.
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若方程 SKIPIF 1 < 0 有解，求实数m的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的性质 SKIPIF 1 < 0 ，得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，由 SKIPIF 1 < 0 的任意性可求得 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）先将问题转化为方程 SKIPIF 1 < 0 有解，再利用换元法将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有交点，从而得解.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 不恒为0，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则方程 SKIPIF 1 < 0 有解，即方程 SKIPIF 1 < 0 有解，
又因为对数函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以方程 SKIPIF 1 < 0 有解，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，方程化为 SKIPIF 1 < 0 ，即方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有交点，
因为 SKIPIF 1 < 0 开口向上，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
.
21. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示.
（1）写出函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）将函数 SKIPIF 1 < 0 图象上所有的点向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的 SKIPIF 1 < 0 （纵坐标不变），得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象.当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 的图象，依次求得 SKIPIF 1 < 0 的值，从而求得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）根据三角函数图象变换的知识求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角函数单调区间的求法求得 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间.
【小问1详解】
由图可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 图象上所有的点向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，
得到 SKIPIF 1 < 0 ，
将所得图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
得到 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 以及 SKIPIF 1 < 0 时函数单调递增，
即 SKIPIF 1 < 0 单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若在其定义域内存在实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则称 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 跃点”函数，且称 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 跃点”.
（1）求证：函数 SKIPIF 1 < 0 是“1跃点”函数；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“1跃点”函数，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（3）是否同时存在实数 SKIPIF 1 < 0 和正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有2023个“ SKIPIF 1 < 0 跃点”？若存在，请求出所有符合条件的 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
【解析】
【分析】（1）根据题意令 SKIPIF 1 < 0 ，利用零点存在定理即可证明；
（2）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，可整理得 SKIPIF 1 < 0 ，然后用基本不等式求解即可；
（3）根据题意可得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后依据 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，分类讨论求解即可.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以由零点存在定理可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有解，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数 SKIPIF 1 < 0 是“1跃点”函数.
【小问2详解】
由题意得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问3详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上关于 SKIPIF 1 < 0 要有2023个解；
①当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，
方程 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 在每个周期内有两个解，故不可能满足有2023个解，
综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.