山东省滕州市第一中学2023-2024学年高二上学期12月阶段性检测数学试题

这是一份山东省滕州市第一中学2023-2024学年高二上学期12月阶段性检测数学试题，共19页。试卷主要包含了 抛物线等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线（其中）的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先把抛物线化为标准方程，所以，结合焦点坐标公式即可得解.
【详解】由可得，
所以，，
抛物线的焦点坐标是，
故选：D
2. 已知向量，且与互相垂直，则k=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用垂直的坐标表示列方程求解即可.
【详解】由与互相垂直得，
解得
故选：C.
3. 双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（ ）
A. 15B. 3C. 3或15D. 5或12更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 【答案】A
【解析】
【分析】利用双曲线的定义即可得解.
【详解】设的左,右焦点分别为，则.
因为，所以，则点在左支上，
所以，故.
故选：A.
4. 若椭圆的长轴端点与双曲线的焦点重合，则的值为（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据长轴端点确定焦点，再根据的关系可求得的值.
【详解】椭圆的长轴端点为，
所以双曲线的焦点为，
故.
故选：D.
5. 设椭圆，双曲线，抛物线的离心率分别为，则（ ）
A. B. C. D. 与大小不定
【答案】B
【解析】
【分析】由圆锥曲线方程求出离心率，而，结合基本不等式可得．
【详解】不妨设
由题意，，，
所以，．
故选：B．
6. 直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（ ）
A. B. 2C. 或2D. 以上都不是
【答案】B
【解析】
【分析】设，得到，求得，再由，两式相减，得到，得出方程，即可求解.
【详解】设，因为中点的横坐标为，则，
可得，
又由，两式相减得到，可得，
可得，解得或，
联立方程组，整理得，
由，解得，所以.
故选：B.
7. 如果直线与曲线有两个不同的公共点，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用数形结合求出直线与半圆相切时的值，以及直线与半圆有两个交点的临界位置时的的值，进而可以求解．
【详解】由可得：，，
则该曲线为以原点为圆心，以1为半径的轴上方的半圆，
直线和曲线的图象如图所示：
当直线与圆相切于点时满足：，解得，
当直线与半圆相交于两点时，把代入直线方程可得：，
则由数形结合可得直线与曲线有两个不同交点时，的取值范围为：，
故选：B
8. 已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，作出点(或点)关于直线的对称点（），作直线（）与直线相交，则交点则就是使取最大值的点,求出点（点）坐标，即得最大距离即（）.
【详解】
如图，作出点关于直线的对称点，连接延长交直线于点,此时点使取得最大值.
(原因如下：根据点关于直线的对称图形特征，知,此时,
在直线上另取点,连接,则,)
不妨设点，则有：解得：即,
故
故选：C.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知在数列中，，则数列的最小项是（ ）
A. 第1项B. 第2项C. 第3项D. 第4项
【答案】BC
【解析】
【分析】根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】依题意，，
函数的开口向上，对称轴为，
由于，所以当或时，取得最小值.
故选：BC
10. 已知方程，则下列说法中正确的有（ ）
A. 方程可表示圆
B. 当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
D. 当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据方程的形式，结合圆，椭圆和双曲线的形式，即可求解.
【详解】对于A，当方程可表示圆时，，无解，故A错误;
对于B，当时，，，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；;
对于C，当时，，，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确;
对于D，当方程表示双曲线时，得；由C可知，
，焦距为10，
当方程表示椭圆时，，，则
，焦距为10，所以焦距均为10，故D正确.
故选：BCD
11. 下列选项正确的是（ ）
A. 若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是
B. “”是“直线与直线垂直”的充要条件
C. “”是“直线与直线平行”的充要条件
D. 直线的倾斜角的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】A项，通过求直线的斜率，即可得出直线的倾斜角；B项，讨论时直线与直线是否垂直，以及直线与直线垂直时的值，即可得出结论；C项，讨论时直线与直线是否平行，以及直线与直线平行时的值，即可得出结论；D项，通过求出直线的斜率，即可求出倾斜角的取值范围.
【详解】对于A项，在直线中，一个方向向量是，则直线的斜率为
∴直线的倾斜角是，A正确；
对于B项，当时，直线与直线变为：与
显然垂直，充分性成立.
当直线与直线垂直时，
解得：或，必要性不成立，故B错误；
对于C项，当时，直线与直线化为：与
即与，两直线平行，充分性满足要求.
若直线与直线平行
，解得：，必要性成立，故C正确；
对于D项，在直线中，该直线的斜率为
故倾斜角范围为.故D正确.
故选：ACD.
12. 过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 抛物线的焦点为
D. 为抛物线上的动点，，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据抛物线方程可得焦点坐标为；直线的方程与抛物线联立求出，的坐标，进而可得的长度；由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，转化可得的最小值；再由题意可得的坐标，进而求出的值.
【详解】对A，由题意可得抛物线的焦点，故C错误，
由题意设直线的方程为：，
与抛物线联立整理可得：，解得：或6，
代入直线方程可得分别为：，，
由题意可得，，，；
所以，所以B正确；
由，所以，的中点分别为：，，，，
所以由题意可得，，
所以，所以A正确；
对C，如图在抛物线上，垂直于准线交于，可得，
所以，当，，三点共线时，
即在的位置时最小，且最小值为4，所以D错误；
故选：AB．
第II卷
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得且斜率，计算即可得解.
【详解】根据题意，即，
且斜率，
即，
解得或.
实数的范围是.
故答案为：
14. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】设动圆的圆心，半径为，根据两圆的位置关系列式整理可得动圆圆心的轨迹为椭圆，根据椭圆定义可得轨迹方程.
【详解】设动圆的圆心，半径为，
又由圆得，圆心，半径，
由圆得，圆心，半径，
由已知得，两式相加消去可得，
根据椭圆定义可得动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，设为
其中，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程为.
故答案为：.
15. 数列，则是数列的第__________项.
【答案】70
【解析】
【分析】根据数列的规律，结合等差数列的求和公式求解即可.
【详解】数列，
数列中，分子分母和为2的有一项，和为3的有两项，和为4的有三项……
且都是按照从小到大的顺序排列，
的分子分母和为13，
和为13的有
是分子分母和为13的第4个，
前面分子分母和为12的有11项，
故共有项
则是数列的第70项.
故答案为：70
16. 已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案：．
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程.
17. 已知三点，求：
（1）的面积.
（2）外接圆的一般方程.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）利用两点距离公式求得，再利用点线距离公式求得到直线的距离，再利用三角形面积公式即可得解；
（2）利用待定系数法即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，，
故直线的方程为，即，
又，所以到直线的距离为，
所以；
【小问2详解】
设外接圆的一般方程为，
则，所以，
所以外接圆的一般方程为.
18. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或
【解析】
【详解】试题分析：（1）设，圆的半径为，则，可得圆心的轨迹方程；（2）设，则 ，又根据点到直线距离公式得，解出，进而可得圆的半径，求得圆的方程．
试题解析：（1）设，圆半径为，由题设，从而，故的轨迹方程为．
（2）设，由已知得，又点在双曲线上，从而得．由，得，此时，圆的半径，
由，得，此时，圆半径，故圆的方程为或．
考点：1.勾股定理及点到直线的距离公式；2.轨迹方程及待定系数法求圆的方程．
【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有：①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入．本题（1）就是利用方法①求的轨迹方程的．
19. 已知椭圆的左右顶点分别为，经过左焦点的直线与椭圆交于两点，记，求的最大值.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可设直线方程为，与椭圆的方程联立消元后可得．结合图形可得=，代入后可得，最后根据基本不等式求最大值．
【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为，此时与的面积相等，．
当直线斜率存在时，依题意知，设直线方程为，
由消去整理得，
∵直线过椭圆焦点，∴恒成立，
设，∴，，
由题意得
，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴当时，有最大值．
20. 如图，三棱柱中，侧面，已知，，点E是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】.
（1）由余弦定理求得，勾股定理逆定理证明，从而结合已知垂直可证明线面垂直；
（2）以B为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角的正弦．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴由余弦定理可知，
∴，∴，
∵侧面，且面，
∴，
又∵，平面，
∴平面．
（2）由（1）知，以B为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
∴，，
设平面的法向量为，
由，得 ，取得；
设与平面所成角为，则
故直线与平面所成角的正弦值为 ．
21. 设双曲线与直线相交于不同的两点.
（1）若求直线与双曲线相交所得的弦长；
（2）求离心率的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）时，联立直线与双曲线方程，代入弦长公式计算即可得出.
（2）联立得：，因为有两个不同的交点，所以，解得，双曲线的离心率，求得的取值范围.
【小问1详解】
由得
显然恒成立，设两交点分别为，
所以，
故弦长；
直线与双曲线相交所得的弦长.
小问2详解】
由双曲线与直线相交于两个不同的点，知方程组有两个不同的实数解.
消去并整理得：，
所以，解得且.
所以双曲线的离心率.
因为且，所以且.
故离心率e的取值范围为.
22. 已知抛物线：过点．
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）已知点，过点的直线交抛物线于点、，直线，分别交直线于点、．求的值．
【答案】（1）；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）求出后可得焦点到准线的距离.
（2）设直线的方程为，，，可用的坐标表示，再联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理化简可得所求的值.
【详解】（1）因为在抛物线上，即，抛物线的焦点到准线的距离为.
（2）显然直线的斜率不为0，故设直线的方程为，
由得，
由得，
设，，则，，所以.
又，，
所以直线：，：，
令，得，，
所以
．
【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.