初中数学湘教版八年级上册1.5 可化为一元一次方程的分式方程精品课时训练

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一、选择题
1．（2023七下·东阳期末）若关于x的方程xx−3+3a3−x=3a有增根，则a的值为（ ）
A．−1B．17C．13D．1
2．（2023七下·常山期末）直播带货以更强的互动性和更多的价格优惠而深受消费者的喜爱，某直播间推出一款T恤，按原标价九折销售，两小时内销售额为5000元，另一直播间按原标价的七五折销售，相同时间内多卖出40件，销售额增加800元，设每件T恤的原标价为x元，根据题意可列方程（ ）
A．5000+80075%x−500090%x=40B．5000+80075%x=500090%x−40
C．5000+80090%x−500075%x=40D．5000+80090%x+40=500075%x
3．（2023七下·瑶海期末）若关于x的分式方程a−1x+1=2的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A．a>3B．a<3C．a>3且a≠5D．a<3且a≠1
4．（2023·张家界）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）．
A．6210x−1=3xB．3(x−1)=6210
C．3(x−1)=6210xD．3(x−1)=6210x−1
5．（2023·宜昌）某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（ ）．
A．0.2km/minB．0.3km/minC．0.4km/minD．0.6km/min
6．（2023·武威）方程2x=1x+1的解为（ ）
A．x=−2B．x=2C．x=−4D．x=4
7．（2023·黑龙江模拟）已知关于x的分式方程kx+1−1=x+k1−x的解为负数，则k的取值范围是（ ）
A．k>−12B．k<−12且k≠−1
C．k<−12D．k>−12且k≠0
二、填空题
8．（2023七下·宁波期末）定义一种新运算，已知a≠b，当a>b时，a*b=aba−b；当a9．（2021九上·云阳月考）随着5月底广州“新冠”疫情的爆发，为了抵抗病毒的侵袭，量子巴川中学组织教师到社区卫生服务中心接种新冠病毒疫苗，由于疫苗数量有限，所以要分批进行接种.初中三个年级都有教师参加第一批疫苗接种，其中初一年级，初二年级和初三年级参加第一批疫苗接种的教师人数之比是5：3：2，第二批疫苗到货后，初中三个年级都有教师参加第二批疫苗接种，初三年级新增接种教师人数占总新增接种教师人数的 25 ，第二批疫苗接种后初三年级接种教师总人数占这三个年级接种教师总人数之和的 825 ，并且初一年级接种教师总人数和初二年级接种教师总人数之比为 107 ，则初二年级第二批接种教师人数与初中三个年级接种教师总人数之比为 .
10．（2021七下·浦江期末）已知 xx2−x+1 ＝ 17 ，则 x2x4−x2+1 ＝ ．
11．（2021八下·浦东期中）观察方程①：x＋ 3x ＝4，方程②：x＋ 8x ＝6，方程③：x＋ 15x ＝8．
（1）方程①的根为： ；方程②的根为： ；方程③的根为： ；
（2）按规律写出第四个方程： ；此分式方程的根为： ；
（3）写出第n个方程（系数用n表示）： ；此方程解是： ．
三、解答题
12．（2022七下·桐城期末）先化简，再求值：x2−2xx−1÷(1x−1+1)，其中x是分式方程x−3x−2−2=52−x的解．
13．（2021八上·拉萨期末）扎西与卓玛共同清点一批图书，已知扎西清点完300本图书所用的时间与卓玛清点完200本所用的时间相同，扎西平均每分钟比卓玛多清点10本，求卓玛平均每分清点图书的数量?
四、计算题
14．（2023八下·眉山期末）解方程：x−6x−5−2=15−x．
五、综合题
15．（2023八下·鄠邑期末）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用)
16．（2023八下·黄浦期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断分式方程11−x+1=21+x与无理方程x2−2=2x+1是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的方程：4x2+9y2=8−12xy和2x+3y=4，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；
（3）已知关于x，y的二元一次方程：y=(k+1)x−4和x=y+3k（其中k为整数）是“相伴方程”，求k的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： xx−3+3a3−x=3a
去分母得：x-3a=3a（x-3）
∵分式方程有增根，
∴x-3=0
∴增根x=3
将x=3代入x-3a=3a（x-3），
得：3-3a=0
解得a=1
故答案为：D.
【分析】分式方程先去分母，得到整式方程，再根据分式方程有增根求出x的值，将x的值代入整式方程，即可求出参数a.
2．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设每件T恤的原标价为x元，由题意可得5000+80075%x−500090%x=40.
故答案为：A.
【分析】由题意可得第一个直播间的售价为90%x元，销售额为5000元，另一直播间的售价为75%x元，销售额为(5000+800)元，根据销售额除以售价表示出销售量，然后根据相同时间内一个直播间比另一个直播间多卖出40件就可列出方程.
3．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵分式方程a−1x+1=2，
∴a-1=2x+2，
∴x=a-32，
∵分式方程的解是负数，
∴a-32<0，
解得：a＜3，
∵a-1≠0，
∴a≠1，
∴a的取值范围是a＜3且a≠1，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出x=a-32，再求出a＜3，最后计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设6210元购买椽的数量为x株，由题意得3(x−1)=6210x，
故答案为：C
【分析】设6210元购买椽的数量为x株，根据“如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”即可列出分式方程，进而即可求解。
5．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设汽车的速度为xkm/min，则学生的速度为12xkm/min，
由题意得：1212x-20=12x，
解得x=0.6，
经检验，x=0.6是原方程的解.
故答案为：D.
【分析】设汽车的速度为xkm/min，则学生的速度为12xkm/min，根据一部分学生骑自行车先走20min后，其余学生乘汽车除法，结果他们同时到达，可列出方程并求解即可.
6．【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： 2x=1x+1，
去分母得2（x+1）=x，
解得x=-2，
经检验，x=-2是分式方程的解；
故答案为：A.
【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
7．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以(1+x)(1-x)，得k(1-x)-(1+x)(1-x)=(x+k)(1+x)，
∴-kx-1=(k+1)x，
∴(2k+1)x=-1，
∴x=-12k+1.
∵分式方程的解为负数，
∴x<0且x≠-1，
∴-12k+1<0且2k+1≠1，
解得k>-12且k≠0.
故答案为：k>-12且k≠0.
【分析】给方程两边同时乘以(1+x)(1-x)，得k(1-x)-(1+x)(1-x)=(x+k)(1+x)，化简可得x=-12k+1，根据分式方程的解为负数可得x<0且x≠-1，据此不难求出k的范围.
8．【答案】12或127
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：当3＞x时，由题意得3x3-x=4，
解得x=127，
经检验x=127是该方程的根且适合题意；
当3＜x时，由题意得3xx-3=4，
解得x=12，
经检验x=12是该方程的根且适合题意，
所以x的值为127或12.
故答案为：127或12.
【分析】分当3＞x时与3＜x时两种情况，根据题干所给的新运算法则分别列出方程，求解并检验即可得出答案.
9．【答案】425
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一批总人数为 10x ，第二批总人数为 10y ，第二批初二教师人数为 z ，则第二批初三教师人数为 4y ，第二批初一人数为 (6y−z) ，第一批初一人数为 5x ，初二 3x ，初三 2x ，
根据题意列出方程得 2x+4y10x+10y=825①5x+6y−z3x+z=107② ，
解得： y=32x，z=4x ，
∴z10x+10y=4x10x+10×32x=425.
故答案为： 425 .
【分析】设第一批总人数为10x，第二批总人数为10y，第二批初二教师人数为z，然后表示出第二批初三教师人数、第二批初一人数、第一批初一、初二、初三人数，根据题意列出关于x、y、z的方程组，表示出y、z，据此解答.
10．【答案】161
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ xx2−x+1 ＝ 17 ，
∴x2-x+1=7x，
∴x2+1=8x，
∵x=0，无解，
∴x+1x=8，
∴ x2x4−x2+1=1x2+1x2-1=1x+1x2-2-1=164-2-1=161 ，
故答案为： 161 .
【分析】将分式方程化为整式方程，由于x≠0，两边同除以x可得x+1x=8，再将原式分子分母同除以x2，利用完全平方式变形代值计算即可得出结果.
11．【答案】（1）x1＝1，x2＝3；x1＝2，x2＝4；x1＝3，x2＝5
（2）x＋ 24x ＝10；x1＝4，x2＝6．
（3）x＋ n(n+2)x ＝2n＋2；x1＝n，x2＝n＋2
【知识点】解分式方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）方程①根：x1＝1，x2＝3；
方程②根：x1＝2，x2＝4；
方程③根：x1＝3，x2＝5；
（2）方程④：x＋ 24x ＝10；方程④根：x1＝4，x2＝6．
（3）第n个方程：x＋ n(n+2)x ＝2n＋2．解是：x1＝n，x2＝n＋2
【分析】（1）根据方程，分别求出三个方程的根即可；
（2）根据分式的规律，写出第四个方程，求出根即可；
（3）根据式子的规律写出方程，计算方程的解即可。
12．【答案】解： x2−2xx−1÷(1x−1+1)
＝x(x−2)x−1÷1+x−1x−1
＝x(x−2)x−1·x−1x
＝x﹣2，
∵x−3x−2−2=52−x
∴x−3−2(x−2)=−5，
解得，x＝6，
检验：当x＝6时，x﹣2≠0，
∴方程x−3x−2−2=52−x的解是x＝6，
当x＝6时，原式＝6﹣2＝4．
【知识点】分式的基本性质；分式的约分；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】先化简再求值，因式分解先考虑提公因式法；分式通分；有分式除法的先依照法则转变成乘法；本题x值没有直接给，通过分式方程求取，求解后一定要验根。
13．【答案】解：设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本
由题意列方程，得 200x=300x+10
解得 x=20，
经检验x=20是方程的解.
答：卓玛平均每分钟清点图书的数量为20本
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本，则扎西平均每分钟清点图书的数量为（x+10）本，根据卓玛清点完200本图书所用的时间与扎西清点完300本图书所用的时间相等这个条件可列分式方程，求解即可.
14．【答案】解：x−6x−5−2=15−x，
去分得，x−6−2(x−5)=−1，
去括号得，x−6−2x+10=−1，
移项得，x−2x=−1+6−10，
合并同类项，−x=−5，
解得：x=5，
当x=5时，x−5=0，
∴x=5是原方程的增根，原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先化分式方程为整式方程，然后解整式方程，检验，得出分式方程的解即可。
15．【答案】（1）解：由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：60×0.6a=36a（元），
即新能源车的每千米行驶费用为36a元；
（2）解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴40×9a−36a=0.54，
解得a=600，
经检验，a=600是原分式方程的解，
∴40×9600=0.6，36600=0.06，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为x/km，
由题意得：0.6x+4800>0.06x+7500，
解得x>5000，
答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据表中的信息，用电池电量乘以单价再除以续航里程，即可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解并检验即可；
②根据题意，由燃油车续航x千米的燃油费+4800＞新能源车续航x千米的电费+7500，列出不等式，求解即可得出答案.
16．【答案】（1）解：是相似方程，理由如下：
11−x+1=21+x，
给方程两边同时乘以(1−x)(1+x)，
得(1+x)+(1−x)(1+x)=2(1−x)，
化简得x2−3x=0，
解得x1=0，x2=3，
x2−2=2x+1，
x2−2=2x+1，
x2−2x−3=0，
(x−3)(x+1)=0，
∵x2−2≥02x−1≥0，
∴x≥2，
x1=−1(舍去)，x2=3，
因为分式方程11−x+1=21+x与无理方程x2−2=2x+1有一个相同的解x=3，
所以分式方程11−x+1=21+x与无理方程x2−2=2x+1是“相似方程”；
（2）解：不是相似方程，理由如下：
∵4x2+9y2=8−12xy，
(2x+3y)2=8，
∵2x+3y=4，
(2x+3y)2=42=16≠8，
∴4x2+9y2=28和2x−3y=4，它们不是“相似方程”；
（3）解：根据题意可得：(k+1)x−4=x−3k，
解得：kx=4−3k，
当k=0时，0=4不符合题意，
当k≠0时，则x=4−3kk=4k−3，
∵x，y都是整数，
∴k=±1，k=±2或k=±4．
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据题意先解方程求出 x1=0，x2=3， 再求出 (x−3)(x+1)=0， 最后求解即可；
（2）根据相似方程的定义判断求解即可；
（3）根据题意先求出 (k+1)x−4=x−3k， 再求出 kx=4−3k， 最后求解即可。燃油车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：a千米
每千米行驶费用：40×9a元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用：____元