2024北京市育才学校高一上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024北京市育才学校高一上学期12月月考试题数学含解析，共18页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分
1. 已知集合，，那么（ ）
A B.
C. D.
2. 方程组的解集是（ ）
A. B.
C. D.
3. 命题“，”的否定形式是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
A. 56B. 60C. 140D. 120
6. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若，则有
A. B. C. D.
8. 若是偶函数，且当时，，则的解集是（ ）
A. B. 或
C. D.
9. 设函数的定义域为，则“是上的增函数”是“任意，无零点”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）
A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11. 函数定义域为___________.
12. 已知方程的两根为和，则______；______.
13. 设函数同时满足以下条件：
①定义域为；②；③，，当时，；
试写出一个函数解析式______.
14. 设函数，其中.
①若，则______；
②若函数有两个零点，则a的取值范围是______.
15. 给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是_____．
三、解答题（本大题共6小题，共85分.）
16. 某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．
（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？
（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．
17. 已知函数.
（1）证明：为偶函数；
（2）用定义证明：是上的减函数；
（3）直接写出在的值域.
18. 甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示
（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；
（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；
（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）
19. 某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为万个，每年需投入的其它成本为（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.
（1）求年利润（单位：万元）关于x的函数关系式；
（2）当年产量x为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.
20. 已知函数，.
（1）求；
（2）若函数是偶函数，求m的值；
（3）当时，当函数的图象在直线的上方时，求x的取值范围.
21. 设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．
（1）当时，写出集合A的生成集B；
（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成集合A，使其生成集，并说明理由．2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
甲
4.94
4.90
4.95
482
4.80
4.79
乙
4.86
4.90
486
4.84
4.74
4.72
2023-2024学年度第一学期北京育才学校
高一数学12月月考试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分
1. 已知集合，，那么（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式，求得整数的取值，由此可求得.
【详解】解不等式，得，，所以，整数的可能取值有、、，
因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.
2. 方程组的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．
【详解】因为，所以代入，
即，解得.
当时，；
当时，.
故的解集是.
故选：A.
3. 命题“，”的否定形式是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得
命题“，”的否定形式是，.
故选：D.
4. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，的定义域为，不关于原点对称，
所以是非奇非偶函数，故A不正确；
对于B，的定义域为，关于原点对称，
而，所以不是奇函数，故B不正确；
对于C，的定义域为，关于原点对称，
而，所以是奇函数且在上是增函数，故C正确；
对于D，定义域为，关于原点对称，
，所以是奇函数，
在和上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，
因为不满足增函数的定义，故D不正确.
故选：C.
5. 某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
A. 56B. 60C. 140D. 120
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的人数为，故选C.
考点：频率分布直方图及其应用．
6. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助中间量可确定大小.
【详解】对于，由得，
对于，由得，
对于，由得，
所以.
故选：C.
7. 若，则有
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对数的运算可得=,再求解即可.
【详解】解:因为=,
所以，
即，
故选:C.
【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.
8. 若是偶函数，且当时，，则的解集是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据是偶函数，先得到的解集，再由，将代入求解.
【详解】因为时，，
所以由，解得，
又因为是偶函数，
所以的解集是，
所以，得，
解得
所以的解集是，
故选：C
9. 设函数的定义域为，则“是上的增函数”是“任意，无零点”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由是上增函数得，即无零点，满足充分性；反之若对任意，，满足无零点，但不满足是上的增函数，不满足必要性，即可判断.
【详解】若是上增函数，则对任意，显然，故，即无零点，满足充分性；
反之，若对任意，，即，满足无零点，但是上的减函数，不满足必要性，
故“是上的增函数”是“任意，无零点”的充分而不必要条件.
故选：A.
10. 某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）
A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年
【答案】B
【解析】
【分析】
依题求出经过年后，产品和产品的年产量分别为，，根据题意列出不等式，求出的范围即可得到答案.
【详解】依题经过年后，产品的年产量为
产品的年产量为，
依题意若产品的年产量会超过产品的年产量，
则化简得，即，
所以，又，则
所以至少经过年产品的年产量会超过产品的年产量.
故选：B
【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11. 函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.
【详解】函数需满足 ，
解得 且 ，
故函数的定义域为，
故答案为：
12. 已知方程的两根为和，则______；______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用韦达定理可得、的值.
【详解】因为方程的两根为和，由韦达定理可得，，
所以，，
.
故答案为：；.
13. 设函数同时满足以下条件：
①定义域为；②；③，，当时，；
试写出一个函数解析式______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.
【详解】由③，不妨设，即，都有，即，即，
所以由题意可知是定义域为的减函数且满足，
不妨设一次函数满足题意，则，即.
故答案为：.
14. 设函数，其中.
①若，则______；
②若函数有两个零点，则a的取值范围是______.
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】①代值计算即可；
②分别画出与的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．
【详解】①当时，
因为，所以，
所以.
②因为函数有两个零点，所以，即与的图象有两个交点.
由得，得.
结合图象可得，即.
所以a的取值范围是.
故答案为：①2；②.
15. 给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是_____．
【答案】①③
【解析】
【分析】
A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．
【详解】对①，A＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；
对②，A＝R，B＝ (0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；
对③，A＝ (0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；
故答案为：①③．
【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共85分.）
16. 某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．
（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？
（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．
【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．
(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．
【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数，女生人数为．
(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，
则样本空间为：
Ω＝{ (B1，B2)， (B1，B3)， (B1，G1)， (B1，G2)， (B2，B3)， (B2，G1)， (B2，G2)， (B3，G1)， (B3，G2)， (G1，G2)}，
样本空间中，共包含10个样本点．
设事件A为“抽取的2人中恰有1名女生”，
则A＝{ (B1，G1)， (B1，G2)， (B2，G1)， (B2，G2)， (B3，G1)， (B3，G2)}，
事件A共包含6个样本点． 从而
所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为．
【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17. 已知函数.
（1）证明：为偶函数；
（2）用定义证明：是上的减函数；
（3）直接写出在的值域.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；
（2）利用单调性定义证明即可；
（3）根据单调性直接求得即可.
【小问1详解】
由函数可知，即，所以函数的定义域为，
所以，，
故为偶函数.
【小问2详解】
假设且，则，
由，知，
从而，即.
所以是上的减函数.
【小问3详解】
因为在上减函数，所以在的值域为.
18. 甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示
（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；
（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；
（3）甲和乙视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）
【答案】（1）4.82
（2）
（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，
乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.
【解析】
【分析】（1）利用平均数公式计算即可；
（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可
（3）由表中数据分析波动性即可得结论.
【小问1详解】
乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：
.
【小问2详解】
列表：
由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，
这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，
故所求概率为：
【小问3详解】
从表格数据分析可得：
甲视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，
乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.
19. 某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为万个，每年需投入的其它成本为（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.
（1）求年利润（单位：万元）关于x的函数关系式；
（2）当年产量x为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.
【答案】（1）
（2）当年产量x为万个时，该厂的年利润最大，为万元
【解析】
【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.
（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.
【小问1详解】
由题意得：，.
因为
所以，
即.
【小问2详解】
当时，函数在单调递增，此时.
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时.
综上可得：当年产量x为万个时，该厂的年利润最大，为万元.
20. 已知函数，.
（1）求；
（2）若函数是偶函数，求m的值；
（3）当时，当函数的图象在直线的上方时，求x的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接将代入计算；
（2）通过计算恒成立可得m的值；
（3）解不等式即可.
【小问1详解】
由已知得；
【小问2详解】
函数是偶函数，
，
又要恒成立，故，
解得；
【小问3详解】
当时，，
当函数的图象在直线的上方时有，
解得.
21. 设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．
（1）当时，写出集合A的生成集B；
（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．
【答案】（1）
（2）7 （3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.
（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；
（3）不存在，理由反证法说明.
【小问1详解】
，
【小问2详解】
设，不妨设，
因为，所以中元素个数大于等于7个，
又，，此时中元素个数等于7个，
所以生成集B中元素个数的最小值为7.
【小问3详解】
不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，
不妨设，则集合A的生成集
则必有，其4个正实数的乘积；
也有，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
甲
4.94
4.90
4.95
4.82
4.80
4.79
乙
4.86
4.90
4.86
4.84
4.74
4.72
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
甲
4.94
4.90
4.95
4.82
4.80
4.79
乙
4.86
4.90
4.86
4.84
4.74
4.72
甲与乙视力值的差
0.08
0
0.09
0.06
0.07