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专题16 解一元一次方程之六大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）
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这是一份专题16 解一元一次方程之六大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版），文件包含专题16解一元一次方程之六大考点原卷版docx、专题16解一元一次方程之六大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19323" 【典型例题】 PAGEREF _Tc19323 \h 1
\l "_Tc11368" 【考点一 解一元一次方程--合并同类型与移项】 PAGEREF _Tc11368 \h 1
\l "_Tc17044" 【考点二 解一元一次方程--去括号】 PAGEREF _Tc17044 \h 3
\l "_Tc10798" 【考点三 解一元一次方程--去分母】 PAGEREF _Tc10798 \h 7
\l "_Tc13875" 【考点四 新定义型一元一次方程的求解】 PAGEREF _Tc13875 \h 9
\l "_Tc17944" 【考点五 一元一次方程的解中含字母参数问题】 PAGEREF _Tc17944 \h 11
\l "_Tc17728" 【过关检测】 PAGEREF _Tc17728 \h 13
【典型例题】
【考点一 解一元一次方程--合并同类型与移项】
例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）解方程：
(1)； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接合并同类项，系数化为1即可得出答案；
（2）直接移项，合并同类项，系数化为1即可得出答案．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江宁波·七年级校考开学考试）解方程
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
（2）
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
（3）
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
（4）
去分母得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（2）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（3）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（4）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（5）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（6）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可．
【详解】（1）解：原方程合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）原方程合并同类项得：，
系数化为1得：；
（3）原方程合并同类项得：，
系数化为1得：；
（4）原方程合并同类项得：，
系数化为1得：；
（5）原方程合并同类项得：，
系数化为1得：；
（6）原方程合并同类项得：，
系数化为1得：．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
【考点二 解一元一次方程--去括号】
例题：（2023秋·七年级课时练习）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等式的基本性质依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）根据等式的基本性质依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】（1）解：，
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
（2）．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质和解一元一次方程的基本步骤．
【变式训练】
1．（2023秋·七年级课时练习）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去中括号，再去小括号，结合移项、合并同类项，最后系数化为1即可；
（2）先去大括号，再去中括号，最后去小括号，结合移项、合并同类项，最后系数化为1即可．
【详解】（1）解：，
去中括号，得，
移项、合并同类项，得，
去小括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：
去大括号，得，
移项、合并同类项，得，
去中括号，得，
移项、合并同类项，得，
去小括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的知识，注意去括号时，各项的变化以及移项时符号的变化，是解答本题的关键．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（2）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（3）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（4）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（5）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（6）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
【详解】（1）解：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
（2），
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
（3）
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
（4），
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
（5），
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
（6），
去括号得：，
移项得：．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤与方法是解本题的关键．
【考点三 解一元一次方程--去分母】
例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：；
（2）解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的进行计算．
【变式训练】
1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将此方程的分母化为整数，再按解方程的步骤依次进行计算即可；
（2）先将此方程的分母化为整数，再按解方程的步骤依次进行计算即可．
【详解】（1）解：原方程可化为，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：原方程可化为，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1是解题的关键．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：去分母，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
（2）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
（3）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
（4）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算．
【考点四 新定义型一元一次方程的求解】
例题：（2023春·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）定义一种新运算“※”，其规则为．
例如：．再如：．
(1)计算值为______．
(2)若，求的值．
【答案】(1)31
(2)
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值．
【详解】（1）根据题中的新定义得：
（2）利用题中的新定义化简得：，
解得：
【点睛】此题考查定义新运算，一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）定义一种新运算“”：，如
(1)求的值；
(2)若，求x的值；
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据所给的新定义进行代值计算即可；
（2）根据所给的新定义可得方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，解一元一次方程，正确理解所给的新定义是解题的关键．
2．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）规定的一种新运算“”：，例如：．
(1)试求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据定义，直接计算求解即可．
(2)根据定义，转化为一元一次方程计算求解即可．
(3)根据定义，转化为一元一次方程计算求解即可．
【详解】（1）
． ．
（2）
．
（3）
．
【点睛】本题考查了新定义问题，一元一次方程的解法，正确理解定义，熟练掌握解方程是解题的关键．
【考点五 一元一次方程的解中含字母参数问题】
例题：（2023春·四川宜宾·七年级校考阶段练习）已知关于的方程与方程的解相同，求的值．
【答案】．
【分析】先求出第二个方程的解，把代入第一个方程，求出的值即可．
【详解】解：，
去括号得，
移项合并得，
解得，
把代入方程得：，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解此题的关键是得出关于的方程，难度不是很大．
【变式训练】
1．（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）已知关于x的方程的解与的解相同，则m的值为 ．
【答案】
【分析】先求出方程的解，再把解代入方程，再求解即可得到答案．
【详解】解：解方程，
得：，
把代入方程，
得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
2．（2023春·吉林长春·七年级长春市第五十二中学校考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，则______；
(2)若两个“和谐方程”的解相差2，其中较小的一个解为n，则______．
(3)若关于x的两个方程与是“和谐方程”，求m的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“和谐方程”的定义列出关于m的方程和n的方程解答即可；
（2）利用“和谐方程”的定义列出关于n的方程解答即可；
（3）分别求得两个方程的解，利用“和谐方程”的定义列出关于m的方程解答即可．
【详解】（1）解：
，
，
关于x的方程与方程是“和谐方程”，
；
（2）“和谐方程”两个解之和为1，
另一个方程的解为：，
两个“和谐方程”的解相差2，
，
；
（3），
，
，
，
关于x的两个方程与是“和谐方程”，
，
．
【点睛】本题考查了一元一次方程，解题的关解是利用“和谐方程”的定义找到方程解的关系．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）若代数式的值为5，则x等于（ ）
A．3B．2C．－2D．－3
【答案】B
【分析】根据题意列出方程，然后按照解一元一次方程的步骤求出x的值即可．
【详解】根据题意得，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程是解题的关键．
2．（2023秋·七年级课时练习）下列变形式中的移项正确的是（ ）
A．从得B．从得
C．从得D．从得
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质∶①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立．即可解决．
【详解】解∶A．根据等式性质1，等式两边都减，应得，故原说法错误，不合题意；
B．根据等式性质1，两边都减后再减，应得，故原说法错误，不合题意；
C．根据等式中1，，等式两边都加，再加，即可得，故正确，符合题意；
D．根据等式性质1，两边都减，应得，故原说法错误，不合题意．
故选∶C．
【点睛】本题主要考查等式的性质．需利用等式的性质对根据已知得到的等式进行变形，从而找到最后的答案．
3．（2023春·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）将方程去分母：两边同乘以6，得到新的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质，方程两边同乘以6，再去括号即可得出答案．
【详解】解：两边同乘以6，得
，
去括号得，．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法和去括号的法则，注意去括号时判断括号前边的符号．
4．（2023秋·全国·七年级课堂例题）马小虎同学在解关于的方程时，误将等号右边的“”看作“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程正确的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将代入求出a的值，再解关于的方程．
【详解】解：由题意知：是方程的解，
，
解得，
原方程为，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查一元一次方程的解与解一元一次方程，求出a的值是解题的关键．
5．（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）已知整数a使关于x的方程有整数解，则符合条件的所有a值的和为（ ）
A．﹣8B．﹣4C．﹣7D．﹣1
【答案】A
【分析】先求出方程的解是，根据方程有整数解和为整数得出或或或，求出的值，再求出和即可．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
当时，，
整数使关于的方程有整数解，
或或或，
解得：或或或0，
和为，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的整数解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
二、填空题
6．（2023春·上海·六年级期中）方程的解是 ．
【答案】
【分析】方程去分母，移项，合并，把系数化为1，即可求出解．
【详解】解：去分母得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．
7．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解方程，合并同类项后可得 ，将未知数的系数化为1可得 ．
【答案】
【分析】方程合并同类项后，将未知数的系数化为1，即可得到结果．
【详解】解：解方程，
合并同类项后可得，
将未知数的系数化为1可得．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
8．（2023秋·全国·七年级课堂例题）将方程的两边乘 可得到，这步变形叫 ，其依据是 ．
【答案】 6 去分母 等式的性质
【分析】方程两边同乘最小公倍数，去掉分母，利用的是等式的性质．
【详解】解：将方程的两边乘6，可得到，这步变形叫去分母，其依据是等式的性质．
故答案为：6，去分母，等式的性质．
【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握去分母的方法，是解题的关键．
9．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）当 时，方程和方程的解相同．
【答案】
【分析】先求出第一个方程的解，把代入第二个方程，再求出的值即可．
【详解】解：解方程得：，
方程和方程的解相同，
方程的解也是，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能求出关于的方程是解此题的关键．
10．（2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习）对于实数a，b，c，d，规定一种运算，如，那么当时，则 ．
【答案】22
【分析】由题中的新定义可知，此种运算为对角线乘积相减的运算，化简所求的式子得到关于x的方程，然后解方程即可求出x的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：22．
【点睛】本题考查了新定义运算，及灵活运用新定义的能力，根据新定义把所给算式转化为一元一次方程是解答本题的关键．
三、解答题
11．（2023春·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）去括号可得：，
移项可得：，
合并同类项可得：，
系数化“1”可得：
（2）去分母可得：
去括号可得：，
移项可得：，
合并同类项可得：，
系数化“1”可得：
（3）去分母可得：
去括号可得：，
移项可得：，
合并同类项可得：，
系数化“1”可得：
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，解答此题的关键是要明确解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
12．（2023秋·七年级课时练习）解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（3）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（4）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（5）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（6）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
（5）解：
．
（6）解：
．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
13．（2023秋·七年级课时练习）小明解一元一次方程的过程如下：
第一步：将原方程化为．
第二步：将原方程化为．
第三步：去分母．．．
(1)第一步方程变形的依据是_____；第二步方程变形的依据是_____；第三步去分母的依据是____；
(2)请把以上解方程的过程补充完整．
【答案】(1)分数的性质；等式的性质2；等式的性质2
(2)
【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可．
【详解】（1）第一步方程变形的依据是分数的性质；第二步方程变形的依据是等式的性质2；第三步去分母的依据是等式的性质2；
（2）
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
14．（2023秋·七年级课时练习）在解方程时，可先将，分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．
（2）将、分别看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．
【详解】（1）移项，得，
整体合并，得，
即，解得.
（2）.
移项、合并同类项得，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
解得.
【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解决本题的关键是要注意用了整体代入思想．
15．（2023春·云南昆明·七年级校考阶段练习）若“”表示一种新运算，规定．
例如：．
(1)计算：
(2)若，求的值
【答案】(1)16；
(2)．
【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解；
（2）根据新定义列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）∵，
∴；
（2）解：∵
即
解得：；
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运，解一元一次方程，理解新定义的运算法则是解题的关键．
16．（2023春·河南周口·七年级校考阶段练习）阅读与思考
阅读以下材料，完成任务．
任务：
(1)该同学由变形到是利用了（ ）
A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2
C．分数的基本性质 D．去分母
(2)请仿照上述方法解方程：．
【答案】(1)C
(2)
【分析】（1）根据分式的基本性质即可解答．
（2）根据题目中的解答过程解答即可．
【详解】（1）变形到，
是分子与分母乘10，分子与分母乘2，
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整数，分式的值不变：分式的基本性质
故选：C．
（2）方程可化为
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了分数的基本性质，解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．
17．（2023春·吉林长春·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．
例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”．
(1)若关于x的一元一次方程与是“友好方程”，则m ．
(2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为，求k的值．
(3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)
【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“友好方程”的定义列出关于m的方程解答即可；
（2）利用“友好方程”的定义得出两个“友好方程”的解为，，由两个“友好方程”的解的差为3列出关于k的方程解答即可；
（3）求得方程的解，利用“友好方程”的定义得到方程的解，将关于y的一元一次方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解；
【详解】（1）解：∵方程的解为，
方程的解为，
而方程与是“友好方程”，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵“友好方程”的一个解为，则另一个解为，
依题意得或，
解得或，
故k的值为或；
（3）解：方程的解为，
∵关于x的一元一次方程和是“友好方程”，
∴关于x的方程的解为，
∵关于y的一元一次方程变形得，
∴，
∴，
∴关于y的一元一次方程的解为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．
分子、分母含小数的一元一次方程的解法
我们知道，解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，那么像这样分子、分母均含有小数的方程如何求出它的解呢？下面是某同学的解答过程：
解：原方程可化为，去分母，得，移项、合并同类项，得，系数化为1，得．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19323" 【典型例题】 PAGEREF _Tc19323 \h 1
\l "_Tc11368" 【考点一 解一元一次方程--合并同类型与移项】 PAGEREF _Tc11368 \h 1
\l "_Tc17044" 【考点二 解一元一次方程--去括号】 PAGEREF _Tc17044 \h 3
\l "_Tc10798" 【考点三 解一元一次方程--去分母】 PAGEREF _Tc10798 \h 7
\l "_Tc13875" 【考点四 新定义型一元一次方程的求解】 PAGEREF _Tc13875 \h 9
\l "_Tc17944" 【考点五 一元一次方程的解中含字母参数问题】 PAGEREF _Tc17944 \h 11
\l "_Tc17728" 【过关检测】 PAGEREF _Tc17728 \h 13
【典型例题】
【考点一 解一元一次方程--合并同类型与移项】
例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）解方程：
(1)； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接合并同类项，系数化为1即可得出答案；
（2）直接移项，合并同类项，系数化为1即可得出答案．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江宁波·七年级校考开学考试）解方程
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
（2）
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
（3）
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
（4）
去分母得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（2）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（3）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（4）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（5）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（6）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可．
【详解】（1）解：原方程合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）原方程合并同类项得：，
系数化为1得：；
（3）原方程合并同类项得：，
系数化为1得：；
（4）原方程合并同类项得：，
系数化为1得：；
（5）原方程合并同类项得：，
系数化为1得：；
（6）原方程合并同类项得：，
系数化为1得：．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
【考点二 解一元一次方程--去括号】
例题：（2023秋·七年级课时练习）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等式的基本性质依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）根据等式的基本性质依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】（1）解：，
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
（2）．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质和解一元一次方程的基本步骤．
【变式训练】
1．（2023秋·七年级课时练习）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去中括号，再去小括号，结合移项、合并同类项，最后系数化为1即可；
（2）先去大括号，再去中括号，最后去小括号，结合移项、合并同类项，最后系数化为1即可．
【详解】（1）解：，
去中括号，得，
移项、合并同类项，得，
去小括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：
去大括号，得，
移项、合并同类项，得，
去中括号，得，
移项、合并同类项，得，
去小括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的知识，注意去括号时，各项的变化以及移项时符号的变化，是解答本题的关键．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（2）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（3）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（4）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（5）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（6）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
【详解】（1）解：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
（2），
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
（3）
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
（4），
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
（5），
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
（6），
去括号得：，
移项得：．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤与方法是解本题的关键．
【考点三 解一元一次方程--去分母】
例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：；
（2）解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的进行计算．
【变式训练】
1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将此方程的分母化为整数，再按解方程的步骤依次进行计算即可；
（2）先将此方程的分母化为整数，再按解方程的步骤依次进行计算即可．
【详解】（1）解：原方程可化为，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：原方程可化为，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1是解题的关键．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：去分母，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
（2）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
（3）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
（4）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算．
【考点四 新定义型一元一次方程的求解】
例题：（2023春·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）定义一种新运算“※”，其规则为．
例如：．再如：．
(1)计算值为______．
(2)若，求的值．
【答案】(1)31
(2)
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值．
【详解】（1）根据题中的新定义得：
（2）利用题中的新定义化简得：，
解得：
【点睛】此题考查定义新运算，一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）定义一种新运算“”：，如
(1)求的值；
(2)若，求x的值；
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据所给的新定义进行代值计算即可；
（2）根据所给的新定义可得方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，解一元一次方程，正确理解所给的新定义是解题的关键．
2．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）规定的一种新运算“”：，例如：．
(1)试求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据定义，直接计算求解即可．
(2)根据定义，转化为一元一次方程计算求解即可．
(3)根据定义，转化为一元一次方程计算求解即可．
【详解】（1）
． ．
（2）
．
（3）
．
【点睛】本题考查了新定义问题，一元一次方程的解法，正确理解定义，熟练掌握解方程是解题的关键．
【考点五 一元一次方程的解中含字母参数问题】
例题：（2023春·四川宜宾·七年级校考阶段练习）已知关于的方程与方程的解相同，求的值．
【答案】．
【分析】先求出第二个方程的解，把代入第一个方程，求出的值即可．
【详解】解：，
去括号得，
移项合并得，
解得，
把代入方程得：，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解此题的关键是得出关于的方程，难度不是很大．
【变式训练】
1．（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）已知关于x的方程的解与的解相同，则m的值为 ．
【答案】
【分析】先求出方程的解，再把解代入方程，再求解即可得到答案．
【详解】解：解方程，
得：，
把代入方程，
得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
2．（2023春·吉林长春·七年级长春市第五十二中学校考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，则______；
(2)若两个“和谐方程”的解相差2，其中较小的一个解为n，则______．
(3)若关于x的两个方程与是“和谐方程”，求m的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“和谐方程”的定义列出关于m的方程和n的方程解答即可；
（2）利用“和谐方程”的定义列出关于n的方程解答即可；
（3）分别求得两个方程的解，利用“和谐方程”的定义列出关于m的方程解答即可．
【详解】（1）解：
，
，
关于x的方程与方程是“和谐方程”，
；
（2）“和谐方程”两个解之和为1，
另一个方程的解为：，
两个“和谐方程”的解相差2，
，
；
（3），
，
，
，
关于x的两个方程与是“和谐方程”，
，
．
【点睛】本题考查了一元一次方程，解题的关解是利用“和谐方程”的定义找到方程解的关系．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）若代数式的值为5，则x等于（ ）
A．3B．2C．－2D．－3
【答案】B
【分析】根据题意列出方程，然后按照解一元一次方程的步骤求出x的值即可．
【详解】根据题意得，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程是解题的关键．
2．（2023秋·七年级课时练习）下列变形式中的移项正确的是（ ）
A．从得B．从得
C．从得D．从得
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质∶①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立．即可解决．
【详解】解∶A．根据等式性质1，等式两边都减，应得，故原说法错误，不合题意；
B．根据等式性质1，两边都减后再减，应得，故原说法错误，不合题意；
C．根据等式中1，，等式两边都加，再加，即可得，故正确，符合题意；
D．根据等式性质1，两边都减，应得，故原说法错误，不合题意．
故选∶C．
【点睛】本题主要考查等式的性质．需利用等式的性质对根据已知得到的等式进行变形，从而找到最后的答案．
3．（2023春·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）将方程去分母：两边同乘以6，得到新的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质，方程两边同乘以6，再去括号即可得出答案．
【详解】解：两边同乘以6，得
，
去括号得，．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法和去括号的法则，注意去括号时判断括号前边的符号．
4．（2023秋·全国·七年级课堂例题）马小虎同学在解关于的方程时，误将等号右边的“”看作“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程正确的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将代入求出a的值，再解关于的方程．
【详解】解：由题意知：是方程的解，
，
解得，
原方程为，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查一元一次方程的解与解一元一次方程，求出a的值是解题的关键．
5．（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）已知整数a使关于x的方程有整数解，则符合条件的所有a值的和为（ ）
A．﹣8B．﹣4C．﹣7D．﹣1
【答案】A
【分析】先求出方程的解是，根据方程有整数解和为整数得出或或或，求出的值，再求出和即可．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
当时，，
整数使关于的方程有整数解，
或或或，
解得：或或或0，
和为，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的整数解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
二、填空题
6．（2023春·上海·六年级期中）方程的解是 ．
【答案】
【分析】方程去分母，移项，合并，把系数化为1，即可求出解．
【详解】解：去分母得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．
7．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解方程，合并同类项后可得 ，将未知数的系数化为1可得 ．
【答案】
【分析】方程合并同类项后，将未知数的系数化为1，即可得到结果．
【详解】解：解方程，
合并同类项后可得，
将未知数的系数化为1可得．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
8．（2023秋·全国·七年级课堂例题）将方程的两边乘 可得到，这步变形叫 ，其依据是 ．
【答案】 6 去分母 等式的性质
【分析】方程两边同乘最小公倍数，去掉分母，利用的是等式的性质．
【详解】解：将方程的两边乘6，可得到，这步变形叫去分母，其依据是等式的性质．
故答案为：6，去分母，等式的性质．
【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握去分母的方法，是解题的关键．
9．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）当 时，方程和方程的解相同．
【答案】
【分析】先求出第一个方程的解，把代入第二个方程，再求出的值即可．
【详解】解：解方程得：，
方程和方程的解相同，
方程的解也是，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能求出关于的方程是解此题的关键．
10．（2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习）对于实数a，b，c，d，规定一种运算，如，那么当时，则 ．
【答案】22
【分析】由题中的新定义可知，此种运算为对角线乘积相减的运算，化简所求的式子得到关于x的方程，然后解方程即可求出x的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：22．
【点睛】本题考查了新定义运算，及灵活运用新定义的能力，根据新定义把所给算式转化为一元一次方程是解答本题的关键．
三、解答题
11．（2023春·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）去括号可得：，
移项可得：，
合并同类项可得：，
系数化“1”可得：
（2）去分母可得：
去括号可得：，
移项可得：，
合并同类项可得：，
系数化“1”可得：
（3）去分母可得：
去括号可得：，
移项可得：，
合并同类项可得：，
系数化“1”可得：
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，解答此题的关键是要明确解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
12．（2023秋·七年级课时练习）解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（3）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（4）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（5）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（6）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
（5）解：
．
（6）解：
．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
13．（2023秋·七年级课时练习）小明解一元一次方程的过程如下：
第一步：将原方程化为．
第二步：将原方程化为．
第三步：去分母．．．
(1)第一步方程变形的依据是_____；第二步方程变形的依据是_____；第三步去分母的依据是____；
(2)请把以上解方程的过程补充完整．
【答案】(1)分数的性质；等式的性质2；等式的性质2
(2)
【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可．
【详解】（1）第一步方程变形的依据是分数的性质；第二步方程变形的依据是等式的性质2；第三步去分母的依据是等式的性质2；
（2）
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
14．（2023秋·七年级课时练习）在解方程时，可先将，分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．
（2）将、分别看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．
【详解】（1）移项，得，
整体合并，得，
即，解得.
（2）.
移项、合并同类项得，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
解得.
【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解决本题的关键是要注意用了整体代入思想．
15．（2023春·云南昆明·七年级校考阶段练习）若“”表示一种新运算，规定．
例如：．
(1)计算：
(2)若，求的值
【答案】(1)16；
(2)．
【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解；
（2）根据新定义列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）∵，
∴；
（2）解：∵
即
解得：；
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运，解一元一次方程，理解新定义的运算法则是解题的关键．
16．（2023春·河南周口·七年级校考阶段练习）阅读与思考
阅读以下材料，完成任务．
任务：
(1)该同学由变形到是利用了（ ）
A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2
C．分数的基本性质 D．去分母
(2)请仿照上述方法解方程：．
【答案】(1)C
(2)
【分析】（1）根据分式的基本性质即可解答．
（2）根据题目中的解答过程解答即可．
【详解】（1）变形到，
是分子与分母乘10，分子与分母乘2，
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整数，分式的值不变：分式的基本性质
故选：C．
（2）方程可化为
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了分数的基本性质，解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．
17．（2023春·吉林长春·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．
例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”．
(1)若关于x的一元一次方程与是“友好方程”，则m ．
(2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为，求k的值．
(3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)
【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“友好方程”的定义列出关于m的方程解答即可；
（2）利用“友好方程”的定义得出两个“友好方程”的解为，，由两个“友好方程”的解的差为3列出关于k的方程解答即可；
（3）求得方程的解，利用“友好方程”的定义得到方程的解，将关于y的一元一次方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解；
【详解】（1）解：∵方程的解为，
方程的解为，
而方程与是“友好方程”，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵“友好方程”的一个解为，则另一个解为，
依题意得或，
解得或，
故k的值为或；
（3）解：方程的解为，
∵关于x的一元一次方程和是“友好方程”，
∴关于x的方程的解为，
∵关于y的一元一次方程变形得，
∴，
∴，
∴关于y的一元一次方程的解为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．
分子、分母含小数的一元一次方程的解法
我们知道，解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，那么像这样分子、分母均含有小数的方程如何求出它的解呢？下面是某同学的解答过程：
解：原方程可化为，去分母，得，移项、合并同类项，得，系数化为1，得．
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