2024大同一中高二上学期12月检测试题数学含解析

这是一份2024大同一中高二上学期12月检测试题数学含解析，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．双曲线的左焦点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．在空间直角坐标系O-xyz中，点，，则（ ）
A．直线AB∥坐标平面xOyB．直线AB⊥坐标平面xOy
C．直线AB∥坐标平面xOyD．直线AB⊥坐标平面xOy
3．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用表示解下n（，）个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（ ）
A．7B．10C．12D．22
4．已知抛物线的焦点在y轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．或C．D．或
5．已知，则圆与直线的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不确定
6．过双曲线（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．或2
7．已知双曲线C：（，），抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线与双曲线C的两条渐近线分别交于点A，B，若△ABF为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，则的内切圆半径的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知、，则下列命题中正确的是（ ）
A．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆
B．平面内满足的动点P的轨迹为双曲线的一支
C．平面内满足的动点P的轨迹为抛物线
D．平面内满足的动点P的轨迹为圆
10．若正项数列是等差数列，且，则（ ）
A．当时，B．的取值范围是
C．当为整数时，的最大值为29D．公差d的取值范围是
11．圆F：，抛物线C：，过圆心F的直线l与两曲线的四个交点自下向上依次记为P，M，N，Q，若，，构成等差数列，则直线l的方程可能是（ ）
A．B．C．D．
12．已知双曲线E过点且与双曲线共渐近线，直线l与双曲线E交于A，B两点，分别过点A，B且与双曲线E相切的两条直线交于点P，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线E的标准方程是
B．若AB的中点为，则直线l的方程为
C．若点A的坐标为，则直线AP的方程为
D．若点P在直线上运动，则直线l恒过点
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）
13．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 ．
14．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为
．
15．已知椭圆C：（）的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，总有，则椭圆C离心率的取值范围为 ．
16．在棱长为2的正方体中，动点E在正方体内切球的球面上，则的取值范围是
．
四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本题10分）
求适合下列条件的曲线方程：
（1）与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆的标准方程；
（2）渐近线方程为，经过点双曲线的标准方程，
18．（本题12分）
记为等差数列的前n项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
19．（本题12分）
如图，在棱长为2的正方体中，点M是的中点．
（1）求到平面BDM的距离；
（2）求证：平面MBD⊥平面．
20．（本题12分）
已知数列满足，
（1）记，写出，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．
21．（本题12分）
已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若，求l的方程；
（2）若，求．
22．（本题12分）
已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆C交于B，D两点，B关于x轴的对称点为A，求证：直线AD与x轴交于定点Q．
参考答案
一、单项选择题
1．【双曲线的焦点】A
2．【空间向量】C
3．【数列递推公式】A
4．【抛物线方程】D
5．【直线与圆的位置关系】B
6．【双曲线的离心率】B
7．【双曲线的几何性质】C
8．【椭圆的几何性质】D
二、多项选择题
9．【圆锥曲线的定义】AD
10．【等差数列的通项公式】ABC
11．【直线与抛物线位置关系】CD
12．【直线与双曲线位置关系】BC
三、填空题
13．【数列】
14．【抛物最值】5
15．【椭圆的离心率】
16．【空间向量运算】
四、解答题
17．【圆锥曲线基本量运算】
【详解】
（1）与椭圆有相同的焦点，则椭圆的焦点为，所以，
设椭圆的方程为，
将代入可得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由渐近线方程为，设双曲线的方程为，，
代入点可得，解得，
所以双曲线的标准方程为．
18．【等差数列通项及前n项和最值】
【详解】
（1）设等差数列的公差为d，由得，，解得：，所以．
（2）[方法1]：邻项变号法
由可得．
当，即，解得，
所以的最小值为，
所以的最小值为．
[方法2]：函数法
由题意知，即，
所以的最小值为，
所以的最小值为．
19．【利用空间向量解决立体几何问题】
【详解】
（1）以D为坐标原点，以DA，DC，为x，y，Z轴建立如图所示空间直角坐标系，
所以，，，．
所以，，．
设平面BDM的一个法向量为，
因为，
所以．
令，则，，所以．
设到平面BDM的距离为d，
所以．
（2）因为，，，
所以，．
设平面的一个法向量为，
因为，
所以，
令，则，，
所以．
又因为平面MBD的一个法向量，
所以，所以，
所以平面MBD⊥平面．
20．【数列分组求和】
【详解】解：
（1）[方法一]【最优解】
显然2n为偶数，则，，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是，，．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，，，
所以，．
由（n为奇数）及（n为偶数）可知，
数列从第一项起，
若n为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若n为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以（），则．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，，，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
21．【直线与抛物线的位置关系】
【详解】
（1）设直线l方程为：，，
由抛物线焦半径公式可知：
∴
联立得：
则
∴
∴，
解得：
直线l的方程为：，即：
（2）设，则可设直线l方程为：
联立3得：
则
∴
∴，
∵
∴
∴，
∴
22．【椭圆的定点问题】
【详解】
（1）由离心率可得，
将点代入椭圆方程可得，
又；
解得，
所以椭圆C的方程为
（2）设点，，则，直线PB的方程为，
直线PB与椭圆C：联立，
消去x，得，
则可得，，
易知，得
由题意，直线AD的方程为，
令，所以点Q的横坐标，
所以直线AD与x轴交于定点