特训10 一次函数 压轴题（八大母题型归纳）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版）

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题型1：存在性问题
题型2：取值范围问题
题型3：最值问题
题型4：动点问题
题型5：新定义题型
题型6：旋转问题
题型7：定值问题
题型8：实际应用问题
题型1：存在性问题
1．如图1，已知长方形OABC的顶点O在坐标原点，A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B（8，6），直线y＝﹣x+b经过点A交BC于D、交y轴于点M，点P是AD的中点，直线OP交AB于点E．
(1)求点D的坐标及直线OP的解析式；
(2)点N是直线AD上的一动点（不与A重合），设点N的横坐标为a，请写出△AEN的面积S和a之间的函数关系式，并请求出a为何值时S＝12；
(3)在x轴上有一点T（t，0）（5＜t＜8），过点T作x轴的垂线，分别交直线OE、AD于点F、G，在线段AE上是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，若存在，请写出点Q的坐标及相应的t的值；若不存在，请说明理由．
2．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点．

(1)求的值；
(2)点是直线上一动点．
①如图2，当点恰好在的角平分线上时，求直线的函数表达式；
②是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点记为，直线与轴于点交，与轴交于点，过点的直线与轴于点交，．

(1)求直线的函数表达式；
(2)点在直线上，使得是以为腰的等腰三角形，求点的坐标；
(3)坐标平面内一点，连接交于点，连接，在坐标平面内是否存在点，使得，？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
题型2：取值范围问题
4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点．
(1)求点A的坐标；
(2)若点C在第二象限，的面积是5；
①求点C的坐标；
②直接写出不等式组的解集；
③将沿x轴平移，点C、A、D的对应点分别为、、，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，过点B的直线交轴正半轴于C，且△ABC的面积为56. 点D为线段AB的中点，点E为轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF．
(1)求点C的坐标及直线BC的表达式；
(2)在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标；
(3)设点E的坐标为（0，）；
①用表示点F的坐标；
②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围．
6．如图，在直角中，，若点在斜边上不与，重合满足，则称点是直角的“近点”．
在平面直角坐标系中，，一次函数图象与轴，轴分别交于点，．

(1)若，点是直角的“近点”，则的长度可能是______ ；填序号
① ；② ；③ ；④
(2)若线段上的所有点不含和都是直角的“近点”，求的取值范围；
(3)当时，若一次函数与的交点恰好是直角的“近点”，则直接写出的取值范围是______ ．
题型3：最值问题
7．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，过点作轴，垂足为．

(1)求、两点的坐标；
(2)已知Q在第一象限内，且是以为直角边的等腰直角三角形，求出Q的坐标．
(3)若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，请直接写出点坐标．
8．已知一次函数．
(1)无论k为何值，函数图象必过定点，求该定点的坐标；
(2)如图1，当时，一次函数的图象交x轴，y轴于A、B两点，点Q是直线：上一点，若，求Q点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线：交AB于点P，C点在x轴负半轴上，且，动点M的坐标为，求的最小值．
9．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点，过轴上动点作直线轴分别与直线、交于、两点．

(1)①请直接写出点，点，点的坐标：______，______，______．
②若，求的值；
(2)如图2，若为线段上动点，过点作直线交直线于点，求当为何值时，最大，并求这个最大值．
题型4：动点问题
10．在平面直角坐标系中，对于点，，当时，将点P向右平移c个单位，当时，将点P向左平移个单位，得到点，再将点关于直线对称得到点M，我们称点M为点P关于点Q的跳跃点．
例如，如图1，已知点，，点P关于点Q的跳跃点为．

(1)已知点，，
①若点C为点A关于点B的跳跃点，则点C的坐标为______．
②若点A为点B关于点C的跳跃点，则点C的坐标为______．
(2)已知点D在直线上，点D的横坐标为m，点E的坐标为．
①点K为点E关于点D的跳跃点，若的面积为4，直接写出m的值；
②点E向上平移1个单位得到点F，以一边向右作正方形，点R为正方形的边上的一个动点，在运动过程中，直线上存在点D关于点R的跳跃点，请直接写出m的取值范围．
11．如图①，直线：经过点，，且与直线交于点，．

(1)求直线的表达式；
(2)由图象直接写出关于的不等式的解集；
(3)如图②所示，为轴上点右侧任意一点，以为边作等腰，其中，，直线交轴于点．当点在轴上运动时，线段的长度是否发生变化？若不变，求出线段的长度；若变化，求线段的取值范围．
12．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于、两点，与直线交于点，直线与轴交于点．

(1)求的值及直线的表达式；
(2)在直线上是否存在点，使？若存在，则求出点的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点为线段上的一个动点，一动点从出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点后停止，求点在整个运动过程中所用时间最少时点的坐标．
题型5：新定义题型
13．函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，对函数的图象与性质进行探究．下表是探究过程中的部分信息：
请按要求完成下列各小题：
(1)a的值为______；
(2)在图中画出该函数的图象；
(3)结合函数的图象，解决下列问题：
①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项）
A．函数图像关于x轴对称
B．当时，函数有最小值，最小值为
C．当时，y随x的增大而增大
②直接写出不等式的解集为______．
(4)将该函数图像在直线上方的部分保持不变，下方的部分图像沿直线进行翻折，得到新函数图像，若经过点的一次函数图像与新函数图像W只有1个交点时，请直接写出k满足的条件______．
14．【了解概念】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数（其中k，b为常数，且）的关联函数．
【理解运用】例如：一次函数，它的关联函数为．
(1)点在一次函数的关联函数的图像上，则m的值为______；
(2)已知一次函数．我们可以根据学习函数的经验，对一次函数，它的关联函数为的图像与性质进行探究．下面是小明的探究过程：
①填表，
②根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出一次函数的关联函数的图像；
③若，则y的取值范围为______；
【拓展提升】
(3)在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为、，连接．直接写出线段MN与一次函数的关联函数的图像有1个交点时，b的取值范围为______．
15．在平面直角坐标系中，若，，式子的值就叫做线段的“勾股距”，记作．同时，我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”．在平面直角坐标系中，，，．

(1)线段OA的“勾股距”______________；
(2)已知点，，，，若以点为顶点的四边形边上存在一点，使得，则的最小值为________，最大值为_________；
(3)若点在第三象限，且，求并判断是否为“等距三角形”；
(4)若点在轴上，是“等距三角形”，请直接写出的取值范围________．
题型6：旋转问题
16．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，过点作轴的垂线，与直线交于点．

(1)求点的坐标；
(2)点是线段上一动点，直线与轴交于点．
i）若的面积为8，求点的坐标；
ii）如图2，当点在轴正半轴上时，将直线绕点逆时针旋转后的直线与线段交于点，连接，若，求线段的长．
17．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），AB＝8，C点到x轴的距离CD为2，且∠ABC＝30°．
（1）求点C坐标；
（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为，连接CE、AF，当线段CE+EF+AF有最小值时，请求出这个最小值；
（3）如图3，将△ACB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△BGH，使点A与点H重合，点C与点G重合，将△BGH沿直线BC平移，记平移中的△BGH为△B′G′H′，在平移过程中，设直线B′H′与x轴交于点M，是否存在这样的点M，使得△B′MG′为等腰三角形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
题型7：定值问题
18．如图1所示，直线l：与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于两点．
(1)当时，求点A坐标及直线l的解析式；
(2)在（1）的条件下，如图2所示，设Q为延长线上的一点，作直线，过两点分别作于M，于N，若，求的长．
(3)当m取不同值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，如图3，问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想的长度是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+b（b＜0）与x轴交于点C．点D为直线l上第一象限内一点，过D作DE⊥y轴于点E，CA⊥DE于点A．点B在线段DA上，DB＝AC．连接CB，P为线段CB上一动点，过点P作PR⊥x轴，分别交x轴、CD、DE于点R、Q、S．
(1)若点D坐标为(12，3)．
①求直线BC的函数关系式；
②若Q为RS中点，求点P坐标．
(2)在点P运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．
题型8：实际应用问题
20．我校八年级组织“义卖活动”，某班计划从批发店购进甲、乙两种盲盒，已知甲盲盒每件进价比乙盲盒少5元，若购进甲盲盒30件，乙盲盒20件，则费用为600元．
(1)求甲、乙两种盲盒的每件进价分别是多少元？
(2)该班计划购进盲盒总费用不超过2200元，且甲、乙盲盒每件售价分别为18元和25元．
①若准备购进甲、乙两种盲盒共200件，且全部售出，则甲盲盒为多少件时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？
②因批发店库存有限（如下表），商家推荐进价为12元的丙盲盒可供选择．经讨论，该班决定购进三种盲盒，其中库存的甲盲盒全部购进，并将丙盲盒的每件售价定为22元．请你结合方案评价表给出一种乙、丙盲盒购进数量方案．
21．疫情发生后，口罩成了人们生活的必需品．某药店销售A，B两种口罩，今年3月份的进价如下表：
已知B种口罩每包售价比A种口罩贵20元，9包A种口罩和4包B种口罩总售价相同．
（1）求A种口罩和B种口罩每包售价．
（2）若该药店3月份购进A种和B种口罩共1500包进行销售，且B种口罩数量不超过A种口罩的，如果所进口罩全部售出，应该购进A种口罩多少包，才能使利润最大，并求出最大利润．
（3）为满足不同顾客的需求，该药店准备4月份新增购进进价为每包10元的C种口罩，A种和B种口罩仍按需购进，进价与3月份相同，A种口罩的数量是B种口罩的4倍，共花费12000元，则该店至少可以购进三种口罩共多少包？
x
…
0
1
2
…
…
4
a
1
4
…
x
…
0
1
2
…
y
…
5
3
1
3
5
…
方案评价表
方案等级
评价标准
评分
合格方案
仅满足购进费用不超额
1分
良好方案
盲盒全部售出所得利润最大，且购进费用不超额
3分
优秀方案
盲盒全部售出所得利润最大，且购进费用相对最少
4分
盲盒类型
甲
乙
丙
批发店的库存量（件）
100
78
92
进货量（件）
100
___________
___________
A种口罩
B种口罩
进价（元/包）
12
28
售价（元/包）