山东省聊城市2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份山东省聊城市2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、直线的倾斜角为( )
A.0B.C.D.
2、已知,分别是平面,的法向量,若,则( )
A.-7B.-1C.1D.7
3、抛物线的准线方程为( )
A.B.C.D.
4、数列满足,若,则=( )
A.-1B.C.1D.2
5、抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线,从点发出的一条平行于x轴的光线,经过C上的点A反射后,与C交于另一点B,则点B的纵坐标为( )
A.B.-1C.-2D.-4
6、已知圆与圆相内切,则与的公切线方程为( )
A.B.
C.D.
7、如图,在四面体ABCD中,,,若,,,,则平面ABD与平面CBD的夹角为( )
A.B.C.D.
8、已知F为椭圆的右焦点,P为C上的动点,过F且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,若等于的最小值的3倍,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知曲线,,则( )
A.的长轴长为4
B.的渐近线方程为
C.与的焦点坐标相同
D.与的离心率互为倒数
10、已知直线,则( )
A.l不过第二象限
B.l在y轴上的截距为1
C.不存在k使l与直线平行
D.存在k使l被圆截得的线段长为2
11、记数列的前n项和为,已知,则( )
A.B.
C.有最大值1D.无最小值
12、在棱长为的正方体中,M,N,P均为侧面内的动点,且满足,点N在线段上,点P到点的距离与到平面的距离相等,则( )
A.B.平面平面
C.直线AM与所成的角为定值D.MP的最小值为2
三、填空题
13、已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形,若,则______________.
14、记公差不为0的等差数列的前n项和为,若,则____________.
15、如图,长方体中,若,则到平面的距离为__________.
16、已知双曲线的左、右焦点分别为、,以为圆心,C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点,记为M、N,若四边形的周长为4,则C的焦距的取值范围为___________.
四、解答题
17、已知的边AB,AC所在直线的方程分别为,,点在边BC上.
(1)若为直角三角形,求边BC所在直线的方程;
(2)若P为BC的中点,求边BC所在直线的方程.
18、已知各项均为正数的等比数列满足,.
(1)求的通项公式;
(2)令,将数列与中的项合并在一起,按从小到大的顺序重新排列构成新数列,求的前50项的和.
19、已知直线经过抛物线的焦点F,且与C交于A,B两点.
(1)求C的方程;
(2)求圆心在x轴上,且过A,B两点的圆的方程.
20、如图,在直三棱柱中,,,.M是AB的中点,N是的中点,P是与的交点.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)线段上是否存在点Q,使得平面？
21、已知数列的前n项和为,是等差数列,且,,是,的等差中项.
(1)求,的通项公式;
(2)记,求证：.
22、已知椭圆的左、右焦点分别为,（）,上顶点为A,,且到直线的距离为.
(1)求C的方程;
(2)与l平行的一组直线与C相交时,证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上;
(3)P为C上的动点,M,N为l上的动点,且,求面积的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：因为直线与x轴垂直,
故直线的倾斜角为.
故选：C.
2、答案：B
解析：因为,分别是平面,的法向量,且,
所以,即,解得.
故选：B.
3、答案：A
解析：抛物线方程可化为,则,故抛物线的准线方程为.
故选：A.
4、答案：D
解析：设,则,,.
故数列是以3为周期的周期数列,则.
故选：D.
5、答案：A
解析：抛物线的焦点坐标为,设,,
因为点A在抛物线上,
所以,由题意可知,A,B,F三点在一条直线上,直线AB的斜率为
,即直线AB的方程为,联立,
可得,因为.
故选：A.
6、答案：D
解析：圆的圆心,
圆
可化为,,
则其圆心为,半径为,
因为圆与圆相内切,所以,即,故.
由,可得,
即与的公切线方程为.
故选：D.
7、答案：C
解析：设平面ABD与平面CBD的夹角为,
由题意可得：,
,
则,
即,解得,
由,可得,
故平面ABD与平面CBD的夹角为.
故选：C.
8、答案：B
解析：F为椭圆的右焦点,P为C上的动点,
由椭圆的性质,可得.
过F且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,
.
等于的最小值的3倍,
.
椭圆中,
,即,
则.
,
,解得或（舍）.
故选：B.
9、答案：BD
解析：曲线整理得,
则曲线是焦点在y轴上的椭圆,其中,所以,
离心率为
故曲线的长轴长,故A不正确;
曲线是焦点在轴上的双曲线,其中,
所以,离心率为,故与曲线的焦点位置不同,故C不正确;
的渐近线方程为,故B正确;
又,所以与的离心率互为倒数,故D正确.
故选：BD.
10、答案：AC
解析：对于A：当时,恒成立,即l不过第二象限,故A正确;
对于B：令,即l在y轴上的截距为-1,故B错误;
对于C：若直线和平行,则,且,与矛盾,
即不存在k使l与直线平行,故C正确;
对于D：若l被圆截得的线段长为2,则直线l到圆心的距离为,但是圆心到直线l的距离,即不存在k使l被圆截得的线段长为2,故D错误;
故选：AC.
11、答案：BC
解析：对于A,因为,
当且为奇数时,,
所以,故A错误;
对于B,,
,
所以,故B正确;
对于C,因为n与必然一奇一偶,
所以,
当时,取得最大值1,故C正确;
对于D,因为n与必然同为奇数或同为偶数,
所以,
令,则,
所以,
令,得,又,即,
此时,即,即,
令,得或,又,即或,
当时,此时,即,同时,
当时,,即,
综上：有最小值,即有最小值-3,故D错误.
故选：BC.
12、答案：ACD
解析：以A为原点,分别以AD,AB,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,
所以,,
,,,,
对于A,因为点N在线段上,所以,
所以,所以,
所以,故,所以,故A正确;
对于B,因为点N在线段上,所以平面为平面,
设面的一个法向量为,则,
令,则,故,
设面的一个法向量为,则,
令,则,故,
因为,所以平面与平面不垂直,故B错误;
对于C,因为M为侧面内的动点,,
所以设,则,
所以,所以直线AM与所成的角为定值,故C正确;
对于D,由C选项可得即,所以M的轨迹是以B为圆心,半径为3的圆上（且在侧面内）,
在平面内过P点作,垂足为Q,
易得平面,平面,所以,
因为,,平面,所以平面,
所以点P到平面的距离为PQ的长度,即P到的距离,
所以点P到点的距离与到平面的距离相等,等价于点P到点的距离与到的距离相等,满足抛物线的定义,
所以点P的轨迹为以为焦点,准线为直线的抛物线,
以线段的四等分点O（靠近）为坐标原点,以为m轴的正方向进行平面直角坐标系,

由可得,直线为,
则点P的轨迹为,
所以,由图可得当P与O点重合时,,故,故D正确,
故选：ACD.
13、答案：-1
解析：因为四棱锥的底面ABCD是平行四边形,
所以,
又,由空间向量基本定理可得,,,故.
故答案为：-1.
14、答案：6
解析：因为是公差不为0的等差数列,设公差为d,
所以,,
又,
所以,即
则,
所以,又,
所以,则.
故答案为：6.
15、答案：
解析：因为,所以,,,,
,设平面的法向量为,由,
可得,取,则,
即到平面的距离为.
故答案为：.
16、答案：
解析：易知点M、N关于x轴对称,且,由双曲线的定义可得,
由题意可得,可得,则,
所以,,
所以,,所以,.
当时,,,此时,
即此时以为圆心,C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点,合乎题意.
因此,C的焦距的取值范围为.
故答案为：.
17、答案：(1)或
(2)
解析：（1）由的边AB,AC所在直线的方程分别为,,
可知角A不是直角,
若角B是直角,由点在边BC上,
得边BC所在直线的方程为;
若角C是直角,由边AC所在直线的方程为,
得边BC所在直线的斜率为,又点P在边BC上,
所以边BC所在直线的方程为,即.
（2）由题意可设,由P为BC的中点,得,
将点C的坐标代入边AC所在直线的方程,
得,
所以,解得,所以,
得边BC所在直线的斜率为,
所以边BC所在直线的方程为,
即.
18、答案：(1)
(2)3181.
解析：（1）设等比数列的公比为q,由题意得,
因为等比数列中,,所以,又,解得,
所以,即的通项公式为.
（2）由（1）知,
因为,,
所以的前50项是由的前5项与的前45项组成,
记的前50项的和为,
则
.
所以的前50项的和为3181.
19、答案：(1);
(2).
解析：（1）依题意,抛物线C的焦点在直线上,则,解得,
所以C的方程为.
（2）由（1）知,抛物线C的准线方程为,设,,AB的中点为,
由消去y得,则,有,,即,
因此线段AB的中垂线方程为,即,
令,得,设所求圆的圆心为E,则,
又AB过C的焦点F,则有,
设所求圆的半径为r,则,
故所求圆的方程为.
20、答案：(1)
(2)存在
解析：（1）以A为原点,AC,AB,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为,C,M的坐标分别为,,,所以,.
设是平面的法向量,则,
即,所以,
取,则,,所以是平面的一个法向量.
P点坐标为,所以.
设与平面所成的角为,
则.
（2）由,N的坐标分别为,,故,
设,则,得,
又P点坐标为,所以直线PQ的一个方向向量,
若平面,需,从而,
即,解得,这样的点P存在.
所以线段上存在点Q,使得平面,此时,Q为线段上靠近点N的三等分点.
21、答案：(1),
(2)证明见解析
解析：（1）因为,所以当时,得,
两式作差得,当时,,即时,.
又,,得,解得,所以,
所以是首项为2,公比为2的等比数列,所以.
设等差数列的公差为d,因为是,的等差中项,所以,
又,所以,解得,
所以,
故,.
（2）由（1）知,①
,②
①②,得.
所以.
所以,即.
22、答案：(1)
(2)证明见解析
(3).
解析：（1）设,,由题意得,
解得,所以C的方程为.
（2）证明：设这组平行线的方程为,与联立消去x,
得,
则,得.
设直线被C截得的线段的中点为,则,其中,是方程的两个实数根.
所以,
消去m,得,所以这些直线被C截得的线段的中点均在直线上.
（3）由（2）知,l与C相离,
当直线与C相切时,,解得或.
当时,直线与l的距离为,此时,
当时,直线与l的距离为,此时,
所以面积的取值范围为.