2024邵阳邵东创新高级中学高二上学期创高杯考试数学含解析

这是一份2024邵阳邵东创新高级中学高二上学期创高杯考试数学含解析，共25页。试卷主要包含了 选择题， 多选题， 填空题 ， 解答题等内容，欢迎下载使用。

一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A -2-4iB. -2+4iC. 6-2iD. 6+2i
3. 在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知抛物线的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若的中点到y轴的距离为3，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. 2D. 4
5. 设，，且，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. 5D.
6. 在钝角中，，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 正方体的棱长为1，点在三棱锥的表面上运动，且，则点轨迹的长度是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知点在直线上，点在圆上，则下列说法不正确的是（ ）
A. 点到直线的最大距离为B. 若直线被圆所截得的弦长最大，则
C. 若直线为圆的切线，则的取值范围为D. 若点也在圆上，则到直线的距离的最大值为
二、 多选题：本题共4小题 ，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数f(x)的最小正周期为
C. 函数f(x)的对称轴方程为D. 函数f(x)的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10. 设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. 最大值为D.
11 已知直线，，则（ ）
A. 直线m恒过点B. 若，则
C 若m⊥n，则D. 当时，直线n不经过第三象限
12. 在平面四边形ABCD中，点D为动点， 的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设的前n项和为，则（ ）
A. 为等比数列B. 为等差数列
C. 为递增数列D.
三、 填空题 ：本题共 4 小题，每小题 5分，共20分.
13. 命题“，”的否定是___________．
14. 已知，，当事件，相互独立时， ________.
15. 已知过原点的直线L与双曲线(a>0，b>0)的左、右两支分别交于A，B两点，F是C的右焦点，且．若满足的点P也在双曲线C上，则C的离心率为______.
16. 已知，，且，满足，若对于任意的，均有成立，则实数的最大值是______.
四、 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
18. 数列是等差数列，为其前项和，且，，数列前项和为，且满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求.
19. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且.
（1）求的最小值；
（2）若的面积为，求.
20. 已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立．
（1）判定并证明函数在R上单调性；
（2）讨论函数的奇偶性；
（3）若，求x的取值范围．
21. 如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，，侧面的面积为．
（1）证明：平面平面；
（2）点在棱上，当三棱锥的体积为时，求直线与平面所成的角的正弦值．
22. 已知椭圆E：的离心率为，A，B是它的左、右顶点，过点的动直线l（不与x轴重合）与E相交于M，N两点，的最大面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设是直线AM与直线BN的交点．
（i）证明m为定值；
（ii）试堔究：点B是否一定在以MN为直径的圆内？证明你的结论．创新高级中学2023年下学期创高杯考试高二
数学试题
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算出集合后，运用交集性质运算即可得.
【详解】由，解得，即，
又，则.
故选：D.
2. 若，则（ ）
A. -2-4iB. -2+4iC. 6-2iD. 6+2i
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，得到，结合复数的运算法则，即可求解.
【详解】由复数，可得，所以.
故选：C.
3. 在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用古典概型的计算方法计算即可得.
【详解】由题意可得，向上的数字可能有6种，其中数字是5或6的有2种，
故其概率.
故选：B.
4. 已知抛物线的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若的中点到y轴的距离为3，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由的中点到y轴的距离为3可求得，得出点坐标，即可求出斜率.
【详解】中点到y轴的距离为3，
，即，解得，
代入抛物线方程可得，
因为F点的坐标为，所以直线的斜率为．
故选：B.
5. 设，，且，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用均值不等式“1”的妙用求解作答.
【详解】因为，，且，则有，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
6. 在钝角中，，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理、两角差正弦公式和正切函数的性质求解即可.
【详解】由正弦定理得，
所以，
因为钝角中，，
当为锐角时，，得，则，
所以，则，所以；
当为钝角时，，得，则，
所以，则，所以；
综上：．
故选：C.
7. 正方体的棱长为1，点在三棱锥的表面上运动，且，则点轨迹的长度是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，点在以为球心，半径的球面上，进而依次讨论该球与三棱锥的表面的交线即可得答案.
【详解】解：由题设知点在以为球心，半径的球面上，
所以点P的轨迹就是该球与三棱锥的表面的交线．
由正方体性质易知三棱锥为正四面体，
所以，点到平面的距离，
所以球在平面上的截面圆的半径，
所以，截面圆的圆心是正中心，正的边长为，其内切圆的半径．
因此，点P在面内的轨迹是圆在内的弧长，
如图所示．，所以，
所以，
所以，点P在此面内的轨迹长度为．
因为平面ABCD，所以球在平面ABCD上的截面圆心为A，
其半径，又，
所以点P在平面BCD内的轨迹是一段弧，
如图所示，，
所以，从而，所以．
由于对称性，点P在平面和平面内的轨迹长度都是，
故点P在三棱锥的表面上的轨迹的长度是．
故选：A
8. 已知点在直线上，点在圆上，则下列说法不正确的是（ ）
A. 点到直线的最大距离为B. 若直线被圆所截得的弦长最大，则
C. 若直线为圆的切线，则的取值范围为D. 若点也在圆上，则到直线的距离的最大值为
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心到直线距离的最大值，从而可求得到的最大距离，进而即可判断A；将圆心的坐标代入直线的方程，求出的值，即可判断B；利用圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线的距离公式求出的值，进而即可判断C；分析可知当直线与圆相切时，到的距离的最大值，进而即可判断D．
【详解】对于A，由题意可知，直线过定点，圆的圆心为原点，半径为，
设圆心到直线的距离为，
当时，；当与直线不垂直时，，
则，所以点到最大距离为，故A正确；
对于B，若被圆所截得的弦长最大，则直线过圆心，可得，所以，故B正确；
对于C，若为圆的切线，则，解得，故C错误；
对于D，若也在圆上，则直线与圆相切或相交，
当直线与圆相切时，到的距离取最大值，故D正确．
故选：C．
二、 多选题：本题共4小题 ，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数f(x)的最小正周期为
C. 函数f(x)的对称轴方程为D. 函数f(x)的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于含高次正余弦函数处理顺序一般是降次，运用辅助角公式，或者消元，将其化成正（余）弦型函数，再利用正（余）弦型函数的性质进行求解判断.
【详解】由
对于选项A,由上分析可知，A项正确；
对于选项B，因最小正周期,故B项正确；
对于选项C，由，可知其对称轴可由求得，
故函数的对称轴方程为，故C项正确；
对于选项D，由的图象向左平移个单位长度得到而不是，故D项错误.
故选：ABC.
10. 设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. 的最大值为D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意可得出，，，数列为递增数列，有结合，进行判断即可得.
【详解】对A选项：，又，故，即，故A正确；
对B选项：，由，，故，故B正确；
对C选项：由，，故数列为递增数列，又，故，
，即，，即，故C错误；
对D选项：，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知直线，，则（ ）
A. 直线m恒过点B. 若，则
C. 若m⊥n，则D. 当时，直线n不经过第三象限
【答案】BD
【解析】
【分析】变形后得到，得到直线m恒过点；B选项，根据平行得到方程，求出答案；C选项，根据垂直关系得到方程，求出；D选项，分，和三种情况，得到答案.
【详解】A选项，变形为，
令，解得，故直线m恒过点，A错误；
B选项，，故且，解得，B正确；
C选项，m⊥n，故，解得，C错误；
D选项，当时，，不经过第三象限，
当时，，不经过第三象限，
若时，变形为，
其中，，
故经过第一，二，四象限，不经过第三象限，
综上，当时，直线n不经过第三象限，D正确.
故选：BD
12. 在平面四边形ABCD中，点D为动点， 的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设的前n项和为，则（ ）
A. 为等比数列B. 为等差数列
C. 为递增数列D.
【答案】BD
【解析】
【分析】连交于，根据面积关系推出，根据平面向量知识推出，结合，推出，即，求出，，根据等比数列的定义可判断A；根据等差数列的定义可判断B，根据数列的单调性可判断C；利用错位相减法求出，可判断D.
【详解】如图，连交于，
则，即，
所以，所以，
所以，
设，
因为，
所以，
，所以，
所以，即，
又，所以，
所以是首项为2，公差为的等差数列，
所以，所以，
因为不是常数，所以不为等比数列，故A不正确；
因为，
所以为等差数列，故B正确；
因为，
所以为递减数列，故C不正确；
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：BD
三、 填空题 ：本题共 4 小题，每小题 5分，共20分.
13. 命题“，”的否定是___________．
【答案】，
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.
【详解】命题“，”是全称量词命题，
其否定是：，.
故答案为：，
14. 已知，，当事件，相互独立时， ________.
【答案】
【解析】
【分析】根据独立事件的概率乘法公式求出，最后根据计算可得.
【详解】因为，，且事件，相互独立，
所以，
.
故答案为：
15. 已知过原点的直线L与双曲线(a>0，b>0)的左、右两支分别交于A，B两点，F是C的右焦点，且．若满足的点P也在双曲线C上，则C的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】设左焦点为，，则，连接，，进而根据题意得四边形为矩形，再分别在中和中，结合勾股定理求解即可.
【详解】设左焦点为，，则，连接，，
由双曲线的定义知，，
因为，所以四边形为矩形．
在中，，即，
化简得，
在中，，即，
将代入（*）式得，
所以，所以．
故答案为：.
16. 已知，，且，满足，若对于任意的，均有成立，则实数的最大值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】将两式作差后因式分解可得，则可转化为，求出在上的最小值即可得.
【详解】由 ，
两式作差有
，
由，故，
即，
又，即有，故，
则，又，
故，
又，则，此时，
即，故实数的最大值.
故答案为：.
四、 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为

（1）求频率分布直方图中值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
【答案】（1）0.006；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；
（2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为；
（3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.
【详解】（1）因为，
所以
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为
（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，
即为；
受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，
故所求的概率为
【点睛】本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重､漏的情况.
18. 数列是等差数列，为其前项和，且，，数列前项和为，且满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式求出，利用递推关系可得数列为等比数列，再代入通项公式，即可得到答案；
（2）由（1）得，再利用错位相减法求和，即可得到答案；
【详解】（1）
；
，，两式相减得：，
，
；
（2）由（1）得，
，
，
两式相减得：，
，
.
【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式、错位相减法求和，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
19. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且.
（1）求的最小值；
（2）若的面积为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角逆用两角和的正弦公式，结合化简，再利用正弦定理化角为边以及基本不等式即可求解；
（2）根据三角形的面积求出角或，再由余弦定理检验即可求解.
【小问1详解】
因为，根据正弦定理化边为角可得：，
所以，
所以，所以，，
所以当且仅当时等号成立，
所以当时，取得最小值.
【小问2详解】
由（1）知，所以的面积，
所以.
因为，所以或，
当时，由余弦定理，得，不合题意，
因此不合题意；
当时，由余弦定理，得，
又，所以，或符合题意，所以.
20. 已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立．
（1）判定并证明函数在R上的单调性；
（2）讨论函数的奇偶性；
（3）若，求x的取值范围．
【答案】（1）单调递减，证明见解析
（2）奇函数，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性定义判断函数的单调性；
（2）赋值法得到，进而赋值得到，得到答案；
（3）根据函数奇偶性和单调性解不等式，得到答案.
【小问1详解】
在R上单调递减，理由如下：
任取，且，
因为，所以，
令，
则，
因为当时，恒成立，
又，所以，
所以，，
所以在R上单调递减；
【小问2详解】
令，则，解得，
令，因为，
故，所以，
所以是奇函数；
【小问3详解】
因为，
所以，
因为是奇函数，所以，
因为是R上的减函数，所以，
解得或，所以不等式的解集为或.
21. 如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，，侧面的面积为．
（1）证明：平面平面；
（2）点在棱上，当三棱锥的体积为时，求直线与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形的面积公式可推导出，再由结合线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）取的中点，连接，证明出平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，根据三棱锥的体积以及已知条件求出点的坐标，然后利用空间向量法可求得直线与平面所成的角的正弦值．
【小问1详解】
证明：由侧面的面积为，得，
又，，所以，从而，即，
又因为，，、平面，故平面，
而平面，所以平面平面．
【小问2详解】
解：取的中点，连接，因为，所以，
由（1）平面平面，
而平面，平面平面，所以平面．
以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，，
则、、、
因为，所以，，
，
设，则．
设，即，
所以，从而，，故，于是，
又，，
设是平面的一个法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成的角的正弦值为．
22. 已知椭圆E：的离心率为，A，B是它的左、右顶点，过点的动直线l（不与x轴重合）与E相交于M，N两点，的最大面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设是直线AM与直线BN的交点．
（i）证明m为定值；
（ii）试堔究：点B是否一定在以MN为直径的圆内？证明你的结论．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）点B一定在以MN为直径的圆内，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据最大面积可得，再结合离心率及求解作答.
（2）（i）设出直线l的方程，与椭圆E的方程联立，利用韦达定理结合三点共线的斜率关系列式求解作答；（ii）利用平面向量数量积推导为钝角作答.
【小问1详解】
设椭圆E的焦距为2c，依题意，，设椭圆E上点M的纵坐标为，，
的面积，当且仅当时取等号，
因此，而，且，解得，，
所以椭圆E的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，，设直线l的方程为，
而点在椭圆E内，直线l与E总相交，由得：，
设，，则，，
（i）由P，A，M共线，得，由P，B，N共线，得，
联立两式得，又，即有，
因此，
所以，为定值．
（ii）点B一定在以MN为直径的圆内，
由（i）知，，，即，
因为，，因此，
而2，从而，于是，为钝角，
所以点B一定在以MN为直径的圆内.
【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．