山东省菏泽市第一中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题

这是一份山东省菏泽市第一中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题，共13页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，中国古代有一道数学题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知数列则是它的（ ）
A．第19项 B．第20项 C．第21项 D．第22项
2．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处．已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（ ）
A． B． C． D．
6．已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
7．中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．戊分得34文，己分得31文 B．戊分得31文，己分得34文
C．戊分得28文，己分得25文 D．戊分得25文，己分得28文
8．如图，在正方体中，，点在平面内，，则点到距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，选对但不全得2分，有选错的得0分）
9．已知空间向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
10．直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线与平面所成角的大小为
D．若，则平面夹角的大小为
11．已知在数列中，，则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列 B．是递增数列
C．是等差数列 D．是递增数列
12．在长方体中，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．顶点到平面的最大距离为 B．存在点，使得平面
C．的最小值为 D．当为中点时，为针角
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为________．
14．已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为________．
15．设数列都是等差数列，若，则________．
16．空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为________．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）
如图，在平行六面体中，，，，，．
求：（1）；
（2）的长
18．（本小题12分）
在数列中，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
19．（本小题12分）
（1）求与向量共线，且满足的向量的坐标；
（2）已知点，若空间中一点使得，求点的坐标；
20．（本小题12分）
如图，在直三棱柱中，，点是的中点．
（Ⅰ）求异面直线和所成角的余弦值；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
21．（本小题12分）
如图，在三棱台中，若平面为中点，为棱上一动点（不包含端点）．
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由．
22．（本小题12分）
如图，在四棱雉中，底面是边长为2的正方形，侧面为等边三角形，顶点在底面上的射影在正方形外部，设点分别为的中点，连接．
（1）证明：平面；
（2）若四棱雉的体积为，设点为棱上的一个动点（不含端点），求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
高二年级周末训练数学试题答案
1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．B 7．C
解：依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，则，解得，所以戌分得（文），已分得（文）．
8．【答案】B 解；建立如图所示空间直角坐标系，则平面的方程为，
又点在平面内，且，则的轨迹满足：
设，则，
点到距离
，设，则，
则当时，．此时，即．
9．【答案】ABD 10．【答案】BCD 11．【答案】CD 12．【答案】ABC
解：以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，，
故，
则，
对于D选项，当为中点时，则，
则，所以，
所以为锐角，故D选项错误；
对于B选项，平面等价于，即，
由，解得，
故存在点，使得平面，故B选项正确；
对于C选项，当时，取得最小值，
由B选项得，此时，则，
所以，即的最小值为，故C选项正确；
对于A选项，，设平面的法向量，
则有，可取，
则点到平面的距离为，
当时，点到平面的距离为0，
当时，，
当且仅当时，取等号，所以点到平面的最大距离为，故A选项正确．
13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】35 16．【答案】
解：根据材料可知，由平面的方程为，得为平面的法向量；同理可知：与分别为平面与的法向量；设直线的方向向量，则，即，取，则，设直线与平面所成角为，则，
17．【答案】解：（1）；
（2）
，
18．【答案】（1）证明：将化简，
即，则．
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
（2）解：由（1）可得，所以．
19．【答案】解：（1）因为向量与共线，故可设．
由，得，故，
所以．
（2）设，则．
因为，所以
，解得，所以点的坐标为．
20．【答案】解：直三棱柱中，平面，而平面，
故，而，故以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则各点的坐标为，
（Ⅰ），
故异面直线和所成角的余弦值为；
（Ⅱ），设平面的法向量为，
则，即，取，得，
设直线与平面所成角为，则，
直线与平面所成角的正弦值为．
21．【答案】解：（1）证明：连接，因为分别为中点，可知为的中位线，故，且，而，所以，可得四边形为平行四边形，
则，而平面平面，
所以平面．
（2）由平面可知，两两垂直，
如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设，则，，
令平面的法向量为，则
令，则，则平面的法向量为，
平面法向量为．设平面与平面所成角为，
则，整理得，解得或（舍），
所以．
22．【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
因为为的中点，所以，又因为平面平面，所以平面．又，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，又平面，所以平面．
（2）解：连接，设该四棱雉的高为，则体积为．
以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，过点作平面的垂线，以向上的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
易得，
则，
设，则，
所以，所以．
设平面的一个法向量为，
则即取，得
设直线与平面所成的角为，
则，
令，则且，
所以，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为