四川省泸州市合江县马街中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省泸州市合江县马街中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合抛物线方程运算求解.
【详解】因为抛物线方程为，即，
即，可得，且焦点在y轴正半轴上，
可知抛物线的焦点坐标是.
故选：D.
2. 某社区为迎接2022农历虎年，组织了庆祝活动，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为12：15：13，如果采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个80人的样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为（ ）
A. 20B. 22C. 24D. 26
【答案】D
【解析】
【分析】由分层抽样抽样比可得答案.
【详解】由分层抽样可知，抽取青年人人数为.
故选：D．
3. 已知两直线，平行，则的值是（ ）
A. 7B. 0或7C. D. 7或
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线平行可得关于的方程，解方程求得结果.
【详解】
解得：或
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据直线的位置确定参数范围，关键是明确直线的斜率和截距所处的范围.
4. 已知一组数据的平均数是2，那么另一组数据的平均数为
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均数计算公式可直接求解．
【详解】因为的平均数是2，即
所以平均数为
【点睛】本题主要考查平均数的计算公式，属于基础题型.
5. 圆与直线的交点个数是
A. 2B. 1C. 0D. 与m有关
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线过定点，判断出定点在圆内可得答案.
【详解】把直线化为，
令，，解得，直线过定点，
把代入，
说明定点在圆内，则直线与圆必有2个交点.
故选：A.
6. 若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用与表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出，接着利用，表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离心率．
【详解】解：由题意得椭圆的离心率，
所以．
所以．
所以双曲线的离心率．
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
7. 在平行六面体中，，，，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，利用向量数量积的运算律及已知求的长.
【详解】如下图，
，则，
所以，
又，，
所以.
故选：B
8. 已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得直线l的方程为，再求出圆C的圆心坐标与半径，由面积的最小值为求得，再由点到直线的距离公式求解k，可得直线l的方程，进一步求得直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值．
【详解】解：由题意可得直线l的方程为，
圆C的圆心，半径为1，
如图：

，
又，当取最小值时，取最小值，
此时，可得，，
则，解得，
则直线l的方程为，
则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线（不同时为0），则（ ）
A. 当时，与轴垂直
B. 当时，与轴重合
C. 当时，过原点
D. 当时，的倾斜角为锐角
【答案】BC
【解析】
【分析】根据直线方程的特征一一分析即可.
【详解】对于A：当时直线（），即，表示与轴平行（重合）的直线，故A错误；
对于B：当时直线，即，即与轴重合，故B正确；
对于C：当时直线，此时满足方程，即过原点，故C正确；
对于D：当时直线，即，斜率，
所以的倾斜角为钝角，故D错误；
故选：BC
10. 已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】分焦点在轴，轴上进行讨论，根据条件求出即可
【详解】由于焦点在直线上，
则当焦点在y轴上时，令，
所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线的方程为：
当焦点在x轴上时，令，
所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线的方程为：，
故选：BC.
11. 已知空间中三点、、，则下列结论不正确的有（ ）
A. 与是共线向量
B. 的单位向量是
C. 与夹角余弦值是
D. 平面的一个法向量是
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用共线向量的坐标关系可判断A选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用法向量的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，，，
因为，则、不共线，A错；
对于B选项，的单位向量为，B错；
对于C选项，，，
所以，与夹角的余弦值是，C错；
对于D选项，设为平面的法向量，
则，取，则，，
所以，平面的一个法向量为，D对.
故选：D.
12. 已知双曲线下焦点为，O为坐标原点，在双曲线的一条渐近线上存在一点M使是以M为直角顶点的等腰直角三角形，若点M与双曲线上顶点的连线交双曲线的下支于点N，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的渐近线方程为B. 双曲线的离心率为
C. 点N在圆内D. 的大小为45°
【答案】BD
【解析】
【分析】设点M在上，可得与垂直，可判断AB错误；双曲线的上顶点设为，直线和双曲线方程联立可得，由轴，，，，可判断CD..
【详解】不妨设点M在上，因为是以M为直角顶点的等腰直角三角形，
所以与垂直，，且，
所以渐近线方程为，，故A错误，B正确；
由题意，双曲线的上顶点设为，
所以直线：和双曲线方程联立
，可得，
所以轴，因为，所以，
因为，所以N在圆上.
故选：BD.
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】由双曲线的虚轴长的定义可得.
【详解】双曲线方程为，所以，所以虚轴长为.
故答案为：2.
14. 已知，，人进行射击比赛，且，，一次射击命中环的概率分别为，，，若他们每人射击一次，则至少有人命中环的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据独立事件的乘法公式直接求解.
【详解】人中至少有人命中环即人命中环或人命中环，
故所求概率，
故答案为：.
15. 已知直线：12x－5y＝3与圆x2＋y2－6x－8y＋16＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
【答案】4
【解析】
【分析】首先求圆心到直线的距离，再利用弦长公式求解.
【详解】把圆的方程化成标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝9，所以圆心坐标为(3，4)，半径r＝3，所以圆心到直线12x－5y＝3的距离d＝＝1，则|AB|＝2＝4.
故答案为：
16. 已知点是椭圆上的动点，点为直线上的动点，对给定的点，则的最小值为________．
【答案】16
【解析】
【分析】根据点关于直线对称性，结合两点间距离最短、配方法进行求解即可
【详解】设点关于直线对称的点为，
所以有，
∴，故，
∴当，，三点共线时，可取得最小值，此时，
设，由得
∴
∵，∴当时，，故的最小值为16．
故答案为：16．
【点睛】关键点睛：利用两点间线段最短，结合配方法是解题的关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.

（1）求平行四边形的顶点的坐标；
（2）在中，求边上高线所在直线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出线段中点坐标，再利用平行四边形的性质得为线段中点，从而利用中点坐标公式列方程组求解即可；
（2）通过直线垂直求出高线的斜率，代入点斜式直线公式求解即可.
【小问1详解】
设线段中点为，则点坐标为，
设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有，
解得，所以；
【小问2详解】
因为直线的斜率为，
所以边上的高线所在直线的斜率为，
又，故边上的高线所在直线的方程为，
即为.
18. 为了解我市高三学生参加体育活动的情况，市直属某校高三学生500人参加“体育基本素质技能”比赛活动，按某项比赛结果所在区间分组：第1组：，第2组：，第3组：，第4组：，第5组：，得到不完整的人数统计表如下：
其频率分布直方图为：
（1）求人数统计表中的a和b的值；
（2）根据频率分布直方图，估计该项比赛结果的中位数；
（3）用分层抽样的方法从第1，2，3组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加上一级比赛活动，求参加上一级比赛活动中至少有1人的比赛结果在第3组的概率.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【解析】
【分析】(1)根据频率分布直方图求出比赛结果在及内的频率即可得解；
(2)利用频率分布直方图求中位数的方法计算即得；
(3)求出第1，2，3组中各抽的人数，再用列举法即可求出概率.
【详解】（1）由频率分布直方图得，比赛结果在内的频率为：，则，
比赛结果在内的频率为：，则，
所以人数统计表中的a和b的值分别为200，50；
（2）由频率分布直方图知，比赛结果在内的频率为0.2，比赛结果在内的频率为0.6，则中位数应在内，
所以估计该项比赛结果的中位数为：；
（3）因第1，2，3组的频率分别为0.1，0.1，0.4，则利用分层抽样在第1，2，3组中抽的人数比为，
于是得抽取的6人中，第1组抽取1人，第2组抽取1人，第3组抽取4人，
记第1组抽取的1位同学为A，第2组抽取的1位同学为B，第3组抽取的4位同学为，，，，
则从6位同学中抽两位同学有：，，，，，，，，，
，，，，，，共有15种等可能结果，
其中2人比赛结果都不在第3组的有：，共1种可能，
所以至少有1人比赛结果在第3组的概率为.
19. 已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过的直线l与双曲线的一支交于两点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据渐近线方程即可得，利用顶点坐标即可求得双曲线的标准方程；
（2）根据题意设直线方程为并于双曲线联立，利用交点位置限定出的取值范围，表示出关于的表达式即可求得其取值范围．
【小问1详解】
由渐近线方程为，所以，
右顶点为，所以，，
故双曲线的标准方程为．
小问2详解】
如下图所示：

根据题意易知，直线斜率存在，并设直线l的方程为，
设，
则联立直线和双曲线消去可得．
因为直线与双曲线一支交于两点，
所以，解得，
因此
．
因为，所以，
所以，所以，
故．
20. 如图，在直四棱柱中，，为棱的中点，点在线段上，且．

（1）证明：．
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标表示证明即可；
（2）求出平面，平面的法向量，利用向量夹角公式列出关于的方程，求解即可．
【小问1详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则．

因为，
所以，
所以，故．
【小问2详解】
因为，
所以．
设平面的法向量为，
则，令，得．
易得平面的一个法向量为．
，解得（舍去）．
故的值为．
21. 椭圆：的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用，先得，再由得，即可求得椭圆的方程；
（2）易知直线斜率存在，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，由韦达定理可得和，根据为直角可得，代入即可求得斜率的值.
【小问1详解】
由题，椭圆焦点在轴上，且，，
所以，
又，
所以，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由题，过点满足题意的直线斜率存在，设，
联立，，消去得，
，
令，解得.
设两点的坐标分别为，
则，
因为为直角三角形，则为直角，所以，
即，
所以，
所以，解得.
22. 已知抛物线C：的焦点为，准线与坐标轴的交点为，、是离心率为的椭圆S的焦点.
（1）求椭圆S的标准方程；
（2）设过原点O的两条直线和，，与椭圆S交于A、B两点，与椭圆S交于M、N两点.求证：原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的焦点坐标以及椭圆的离心率可求出椭圆方程；
（2）先根据椭圆的对称性以及平面几何知识证明原点O到直线AM和到直线BN的距离相等，然后设出直线的方程，并与椭圆方程联立，利用根与系数关系和点到直线距离公式可求出结果.
【小问1详解】
化抛物线C：的方程为标准方程，即C：.得抛物线C的焦点，
设椭圆S的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c.则由题意得，，得.
∴，又椭圆S的焦点在y轴上.
∴椭圆S的标准方程为.
【小问2详解】
证明：由题意知A、O、B共线，M、O、N共线，且，又由椭圆的对称性，知，.
∴四边形AMBN为菱形，且原点O为其中心，AM、BN为一组对边.
∴原点O到直线AM和到直线BN的距离相等
下面求原点O到直线AM的距离.
根据椭圆的对称性，不妨设A在第一象限.
当直线AM的斜率为零或不存在时，四边形AMBN为正方形，直线AB和直线MN的方程分别为和，且轴或轴.
设，则或.
于是，有，得.
原点O到直线AM的距离为.
当直线AM的斜率存在且不等于零时，设AM：.
由，消去并整理得，
且.
设，，则，，
∴
.
由，得，即，
得，满足.
∴原点O到直线AM的距离为.
∴原点O到直线BN的距离也为.
综上所述，原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.
比赛结果所在区间
人数
50
50
a
150
b