四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟数学试题（文）A卷（Word版附解析）

这是一份四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟数学试题（文）A卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知纯虚数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．某公司一种型号的产品近期销售情况如表：
根据上表可得到回归直线方程，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额约为（ ）
A．18.85万元 B．19.3万元 C．19.25万元 D．19.05万元
4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体最长的棱长为（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．已知非零向量，，，若，则
B．设x，，则“”是“且”的充分不必要条件
C．用秦九韶算法求这个多项式的值，当时，的值为14
D．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”是两个互斥且不对立的事件
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7．公差为的等差数列的首项为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前100项和等于（ ）
A．B．C．D．1
8．已知函数的图象如图所示，则（ ）
A．a＞0，b＞0，c＜0，d＜0B．a＜0，b＞0，c＜0，d＞0
C．a＜0，b＞0，c＞0，d＞0D．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0
9．如图，棱长为2的正方体中，点P在线段上运动，以下四个命题：
①三棱锥的体积为定值；②；③若，则三棱锥的外接球半径为；④的最小值为．其中真命题有（ ）
A．①②③B．①②④C．①②③④D．③④
10．执行如图所示的程序框图，则输出的值与下面的哪个数最接近？（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数有三个零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
12．已知双曲线的右焦点为，，直线与抛物线的准线交于点，点为双曲线上一动点，且点在以为直径的圆内，直线与以为直径的圆交于点，则的最大值为（ ）
A．80 B．81 C．72 D．71
第Ⅱ卷（共90分）
填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．抛物线的焦点坐标为 ．
14．如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6名球员某份比赛的得分数据（单位：分）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 .
在等腰直角三角形中，，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是 .
已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为 ．
三、解答题（本题共6道小题，共70分）
17．（本小题满分12分）已知向量，，函数.
(1)若，求的值；
(2)，，为的内角，，的对边，，且，求面积的最大值.
18．（本小题满分12分）下图甲是由直角梯形ABCD和等边三角形CDE组成的一个平面图形，其中，，，将沿CD折起使点E到达点P的位置（如图乙），使二面角为直二面角．
(1)证明： ；
(2)求点到平面的距离．
19．（本小题满分12分）石室中学社团为庆祝石室中学2166年校庆，为同学们准备了礼物，计划采用无人机空投的形式发放，进行游戏.现有甲、乙两种类型无人机性能都比较出色，但为了确保实际空投过程中的学生安全得到保障，需预先进行测试。现在社团分别收集了甲、乙两种类型无人机在5个不同的地点测试的某项指标数，，数据如下表所示：
(1)试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若，则线性相关程度很高）
(2)从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，甲型无人机指标数均高于乙型无人机指标数的概率．
附：相关公式及数据：，．
20．（本小题满分12分）已知函数．
(1)若时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若时，求函数的零点个数；
(3)若对于任意，恒成立，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过作不平行于坐标轴的直线交于D，E两点，若轴于点M，轴于点N，直线DN与EM交于点Q.
①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线；
②求面积的最大值.
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数且），分别与x轴、y轴交于A、B两点．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)与坐标轴交于A，B两点，求；
(2)求上的点到直线AB距离的范围．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（本小题满分10分）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若的最小值为，求的最小值.成都石室中学2023-2024年度上期高2024届一诊模拟
文科数学（A卷）参考答案
1.B 【解析】，，故.故选：B.
2. A 【解析】令，则，故，.故选：A.
3. D 【解析】由表中数据可得，，
因为回归直线过样本点的中心，所以，解得，
所以回归直线方程为，
则该公司7月份这种型号产品的销售额为万元.
故选：D.
4. B 【解析】由三视图可知多面体是如图所示的三棱锥，由图可知
，，
所以最长的棱长为.
故选：B.
5. C 【解析】对于A选项，若，则，所以，不能推出，故A错误；
对于B选项，成立时，必有成立，
反之，取，则成立，但不成立，
因此“” 是“”的必要不充分条件，故B错误；
对于选项C，因为，
所以可以把多项式写成如下形式：，
按照从内而外的顺序，依次计算一次多项式当的值：
，，，，故C正确；
对于选项D，至少有一个黑球包含的基本事件有“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件有“一黑一红，两红”，所以两事件不互斥，故D错误；
故选：C.
6. D 【解析】因为，，
所以平方得，，，
即，，
两式相加可得，
即，
故，
.
故选：D.
7. A 【解析】因为直线与圆的两个交点关于直线对称，
所以直线经过圆心，且直线与直线垂直，
所以，即，且，
则，，
所以数列的前100项和为．
故选：A.
8. B 【解析】由图可知，且，
则的两根为1，5，
由根与系数的关系，得－＝6，＝5，
∴a，b异号，a，c同号，排除A、C；
又f(0)＝＜0，∴c，d异号，排除D，只有B项适合.
故选：B
9．A 【解析】正方体中，,所以四边形为平行四边形，所以，
又平面,平面,
所以平面，即当点P在线段上运动时恒为定值，
又, 也为定值，
所以三棱锥的体积为定值，①正确；
在正方体中，平面，平面,所以，
在正方形中：,
又,平面，所以平面，
又平面，所以，②正确；
因为点P在线段上运动, 若，则点P与点A重合，则三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，故半径为，③正确；
如图所示：将三角形沿翻折得到该图形，连接与相交于点，此时取得最小值，延长，过作于点，
在中，，
故的最小值为，④错误.
故选：A.
10. B 【解析】该程序框图相当于在[0，3]上任取10000对数对，其中满足的数对有对.显然该问题是几何概型.
不等式组所表示的区域面积为9，
所表示的区域面积为，
故，因此.
故选：B.
11. D 【解析】令，得，整理得.
令，,原方程化为.
设，
则，令，解得，且，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
则在时，有最大值为，
画出简图，如右图所示，
因为原方程为.
由题可知有三个零点，因此方程有两个不等实根.
结合图象可得：，
设，则，得到，
因为，所以.
故选：D．
12. A 【解析】由题可知，点在以为直径的圆上，故，连接、，如图所示，可得，其中
由图可知，当点运动到双曲线右顶点时，即当时， 取最大值为80.
故选：A.
13. 【解析】抛物线的标准方程为，焦点在轴正半轴上，焦点坐标为.
14. 【解析】由题意得，甲的中位数为：，故乙的中位数①
，
，
因为平均数相同，所以②，
由①②可得，，
所以，
故答案为：.
15．【解析】以为圆心，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
由于所以，
由于点在，不妨设 ，,
，其中，
,
所以，
可看作是上的点到点的距离，
由于点在线段上运动，
故当点运动到点时，此时距离最大，为,
当点运动到点时，此时距离最小为0，
综上可知：.
16．【解析】因为，
所以为上的奇函数．
又，
所以在上单调递增．
不等式对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
令，所以，
所以当时，，在上为增函数；
当时，，在上为减函数．
所以，
设，显然为上的增函数，
因为，，所以存在，使得，
所以，此时，
所以，即的最大值为1．
故答案为：1.
17．解：（1），，则；----------------------------------------------------2分
.------------------------------------------------5分
（2），----------------------------------------------------------------------------7分
又，所以，，得，即，------------------------------------8分
因为，且由余弦定理可知，，
所以，
由基本不等式可得，
所以，（当且仅当时取等）---------------------------------------------------------------------------11分
故,
即面积最大值为.-----------------------------------------------------------------------------------------------12分
（注：若求角的函数值域问题，按步骤对应给分）
18.（1）证明：取AD中点为F，连接AC，CF，由得且.
∴四边形ABCF为平行四边形，
∴，
∴，--------------------------------------2分
又因为二面角为直二面角，且平面平面，
∴平面PCD，因为平面PCD，
所以.--------------------------------------5分
(2) 解：过点作于点,过点作于点,连接.
因为,所以，-----------------------------------------------------------------------6分
所以.---------------------------------------------------------7分
因为,
在中，,
在中，,
所以.---------------------------------------------------------------------------------------------------9分
令点到平面距离为，
所以，
，------------------------------------------------------------------------------------------11分
即点到平面距离为.------------------------------------------------------------------------------------------12分
19．解：（1），，----------------------------------------------------1分
所以，
由于，------------------------------------------3分
相关系数，-------------------------------------------------5分
因为，所以与具有较强的线性相关关系．---------------------------------------------------------------6分
（2）将地点1，2，3，4，5分别记为，，，，，----------------------------------------------------7分
任抽2个地点的可能情况有：，，，，，，，，，，共10种情况，-------------------------------------------------------------------------------------------9分
其中在地点3，4，5，甲型无人机指标数均高于乙型运输机指标数，即，，3种情况，
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11分
令甲型无人机指标数均高于乙型无人机指标数为事件M，
故所求概率．-------------------------------------------------------------------------------------------------12分
20．解：（1）函数，因为，所以切点为，------------------1分
由，得，
所以曲线在点处的切线斜率为0，-----------------------------------------------------------------------------2分
所以曲线在点处的切线方程为．-----------------------------------------------------------3分
（2）由（1）可知，
因为，所以，令，则．--------------------------------------------------4分
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又因为，，-------------------------------------------------6分
所以，由零点存在定理可知，存在唯一的使得，存在唯一的使得．故函数有且仅有两个零点．---------------------------------------------------------------------------7分
（3）因为，当时，由得----------------------------------------------------9分
下面证明：当时，对于任意，恒成立,
即证，即证；
而当时，，------------10分
由（2）知，；所以时，恒成立；
综上所述，．--------------------------------------------------------------------------------------------------12分
21．解：（1）因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，
所以,-------------------------------------------------------------------------------1分
故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且，所以，-----------------------------------------------------------------------------------------2分
所以的轨迹的方程为.------------------------------------------------4分，未挖点扣1分
（2）①依题意，设直线DE方程为.
联立，得，
易知
设，，则，.-----------------------------------------------5分
因为轴，轴，
所以，.
所以直线DN：，
直线EM：，
联立解得.----------------------------------7分
从而点Q在定直线上. --------------------------------------------------------------------------------------------------8分
②因为，----------------------------------------------9分
又，则，
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分
设，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最大值为.--------------------------------------------------------------------------------------------12分
22．解：（1）令，则，解得，或（舍），
则，即，--------------------------------------------------------------------------------------2分
令，则，解得，或（舍），
则，即，-------------------------------------------------------------------------------4分
∴.----------------------------------------------------------------------------------------5分
（2）曲线的极坐标方程为，即，
由，得的普通方程为，-------------------------------------------------------6分
设上点的坐标为，-----------------------------------------------------------------------------------7分
由（1）知直线AB的方程为，
令上的点到直线AB的距离为，
则，---------------------------------------------------------9分
所以上的点到直线AB的距离为.--------------------------------------------------------------10分
23．解：（1）当时，不等式可化为，
∴，或，或，---------------------------------------------------------------------2分
解得或 或，----------------------------------------------------------------------4分
求并集得：，
所以原不等式的解集为．----------------------------------------------------------------------------------------5分
（2）因为，
当且仅当时，即时取到最小值，--------------------------------6分
又因为，所以，所以， ------------------------------------------7分
所以，
因为，---------------------------9分
当且仅当时，即时，
的最小值为.---------------------------------------------------------------------10分月份
2
3
4
5
6
销售额（万元）
15.1
16.3
17.0
17.2
18.4
地点1
地点2
地点3
地点4
地点5
甲型无人机指标数x
2
4
5
6
8
乙型无人机指标数y
3
4
4
4
5