浙教版-2023年七年级上册数学举一反三系列 专题7.9 期末专项复习之图形的初步知识十六大必考点（学生版+教师版）

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专题7.9 图形的初步知识十六大考点【浙教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc30119" 【考点1 直线、射线、线段的条数】  PAGEREF _Toc30119 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc26123" 【考点2 双中点线段问题】  PAGEREF _Toc26123 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc17410" 【考点3 线段的等分点问题】  PAGEREF _Toc17410 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc22119" 【考点4 线段动点的定值计算】  PAGEREF _Toc22119 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc11598" 【考点5 线段中的参数表示(比例关系)问题】  PAGEREF _Toc11598 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc1409" 【考点6 剪绳子(端点重合)问题】  PAGEREF _Toc1409 \h 27 HYPERLINK \l "_Toc4257" 【考点7 动点中线段和差问题】  PAGEREF _Toc4257 \h 32 HYPERLINK \l "_Toc29896" 【考点8 线段的长短比较】  PAGEREF _Toc29896 \h 39 HYPERLINK \l "_Toc13742" 【考点9 时针和分针重合次数与时间】  PAGEREF _Toc13742 \h 41 HYPERLINK \l "_Toc28952" 【考点10 两定角、双角平分线与角度关系】  PAGEREF _Toc28952 \h 45 HYPERLINK \l "_Toc12789" 【考点11 线段、角的规律问题】  PAGEREF _Toc12789 \h 55 HYPERLINK \l "_Toc3520" 【考点12 角度的翻折问题】  PAGEREF _Toc3520 \h 58 HYPERLINK \l "_Toc30762" 【考点13 两块三角板旋转问题】  PAGEREF _Toc30762 \h 62 HYPERLINK \l "_Toc29880" 【考点14 射线旋转与角度的关系】  PAGEREF _Toc29880 \h 68 HYPERLINK \l "_Toc27671" 【考点15 余角和补角的性质】  PAGEREF _Toc27671 \h 78 HYPERLINK \l "_Toc7572" 【考点16 直线的相交】  PAGEREF _Toc7572 \h 87【考点1 直线、射线、线段的条数】【例1】（2022·辽宁锦州·七年级期末）如图，C，D是线段AB上的点，若AB=8，CD=2，则图中以C为端点的所有线段的长度之和为 ______．【答案】10【分析】先根据线段的定义表示出以C为端点的所有线段，再代入数据进行计算即可得解．【详解】解：以C为端点的所有线段分别是AC、CD、CB共3条，∵AB=8，CD=2，∴AC+CD+CB=（AC+CB）+CD=AB+CD=8+2=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了两点间的距离，找线段时要按照一定的顺序做的不重不漏，求和时把相加等于AB的长度的两条线段结合成一组可以使运算更简便．【变式1-1】（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）阅读并填空：问题：在一条直线上有，，，四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？要解决这个问题，我们可以这样考虑，以为端点的线段有，，3条，同样以为端点，以为端点，以为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有______条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有______条线段；若在一条直线上有个点，则这条直线上共有______条线段．知识迁移：若在一个锐角内部画2条射线，，则这个图形中总共有______个角；若在内部画条射线，则总共有______个角．学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备______种不同的车票．【答案】6 ，10，，6，，20【分析】问题：根据线段的定义解答；知识迁移：根据角的定义解答；学以致用：先计算出线段的条数，再根据两站之间需要两种车票解答．【详解】解：问题：根据题意，则；；；知识迁移：在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+n+（n+1）=个不同的角；学以致用：5个火车站代表的所有线段的条数×5×4=10，需要车票的种数：10×2=20（种）．故答案为：6 ，10，，6，，20；【点睛】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．【变式1-2】（2022·北京通州·七年级期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，若直线l经过3枚颜色相同的棋子，则这样的直线共有_____条．【答案】3【分析】根据直线的性质来画图解答.【详解】如图，有3条.【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的应用.直线：直线向两方无限延伸，无法度量长度，经过两点有且只有一条直线，而两条直线相交只有一个交点.【变式1-3】（2022·黑龙江·抚远市第三中学七年级期末）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定28条直线，则n的值是（　　）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【详解】两点确定一条直线；不同三点最多可确定3条直线；不同4点最多可确定（1+2+3）条直线，不同5点最多可确定（1+2+3+4）条直线，因为1+2+3+4+5+6+7=28，所以平面上不同的8个点最多可确定28条直线．故选：C．【考点2 双中点线段问题】【例2】（2022·福建泉州·七年级期末）在一条直线上依次有、、、四点．若点是线段的中点，点是线段的中点，则有（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】依据点F是线段EG的中点，点G是线段EH的中点，即可得到EF＝FG，EG＝GH，进而得出结论．【详解】解：如图所示：∵点F是线段EG的中点，∴EF＝FG，∵点G是线段EH的中点，∴EG＝GH，∴FG＝GH，故选：D．【点睛】本题主要考查由图判断线段关系，涉及线段的中点概念：把一条线段分成两条相等的线段的点，读懂图形中各个线段之间的关系是解决问题的关键．【变式2-1】（2022·山东东营·期末）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．(1)若线段AB＝a，CE＝b且，求a，b的值；(2)在（1）的条件下，求线段CD的长，【答案】(1)a=16，b=4；(2)CD=2．【分析】（1）根据非负数的性质即可推出a、b的值；（2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC=8，然后由AE=AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度，再根据线段的和差关系可求出CD的长度．（1）解：∵，∴a-16=0，2b-8=0，∴a=16，b=4；（2）解：∵点C为线段AB的中点，AB=16，CE=4，∴AC=AB=8，∴AE=AC+CE=12，∵点D为线段AE的中点，∴DE=AE=6，∴CD=DE-CE=6-4=2．【点睛】本题主要考查非负数的性质，线段中点的有关计算，关键在于正确的进行计算，熟练运用数形结合的思想推出相关线段之间的数量关系．【变式2-2】（2022·山东潍坊·七年级期中）已知点在直线上，点，分别为，的中点．(1)如图所示，若在线段上，厘米，厘米，求线段，的长；(2)若点在线段的延长线上，且满足厘米，请根据题意画图，并求的长度（结果用含的式子表示）．【答案】(1)；(2)作图见解析， 【分析】（1）根据“点是的中点”，先求出的长度，再利用，，即可求出线段，的长度；（2）根据题意，点的位置分两种情况：先画图，再根据线段中点的定义得，，然后利用得到 ．【详解】（1）解：是的中点，，，又为的中点，，；（2）解：根据题意，点的位置分两种情况：①点的位置在点左侧，如图所示：是的中点，，是的中点，， ；②点的位置在点右侧，如图所示：是的中点，，是的中点，， ．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段的中点定义，理解线段的中点把线段分成两条相等的线段是解决问题的关键．【变式2-3】（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）一条直线上有，，三点，，，点，分别是，的中点，则______．【答案】或【分析】因为直线上三点A、B、C的位置不明确，所以要分B在A，C两点之间和A在C、B两点之间两种情况，分别结合图形并根据中点的定义即可求解．【详解】解：根据题意由两种情况若B在A，C两点之间，如图：则 , ， (cm)；若C在A，B两点之间，如图：则 ， (cm)，故答案为：13cm或5cm．【点睛】本题主要考查了线段中点定义、线段的和差等知识点，根据题意正确画出符合题意的图形是解答本题的关键.【考点3 线段的等分点问题】【例3】（2022·吉林白城·七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为－10，点B表示的数为2．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，P、Q同时出发，设运动时间为t（t＞0）秒，解答下列问题．（1）数轴上点P表示的数为 ，点Q表示的数为 （用含t的代数式表示）；（2）当点P表示的数和点Q表示的数互为相反数时，求t的值；（3）点P追上点Q时，求t的值；（4）若点B恰好是线段PQ的3等分点时，t的值为 ．【答案】（1），；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据数轴上两点间的距离，在结合路程速度时间，即可解答（2）根据相反数的定义，在结合（1）的结论列方程即可（3）根据题意列方程求解即可（4）根据题意列方程求解即可【详解】解：（1）数轴上点P表示的数为：；点Q表示的数为：    （2）由题意得解得即时，点P表示的数和点Q表示的数互为相反数（3）由题意得解得即当点P追上点Q时，（4）由题意得：或解得：或【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适等量关系流出方程，在求解．【变式3-1】（2022·内蒙古巴彦淖尔·七年级期末）如图，点C在线段AB上，点D是线段AC的中点，点C是线段BD的四等分点．若，则线段AB的长为______．【答案】【分析】根据中点和四等分点的性质可得 ，，可得，进而根据即可求解．【详解】解：∵点D是线段AC的中点，点C是线段BD的四等分点∴ ，， ， ，故答案为：．【点睛】本题考查了线段中点的性质，等分点的计算，解题的关键是利用数形结合的思想求解．【变式3-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB．（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______；（2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．①当点D在线段AB上运动，求的值；②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm．【分析】（1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论；（2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分和两种情况，根据三等分点求出BD的长，进而求出运动时间，求出MD、NB的长即可．【详解】解：（1）图形补充完整如图，∵CB＝AB，∴CA＝，，故答案为：；（2）①AB ＝ 9cm，由（1）得，（cm），设运动的时间为t秒，cm，cm，，②当时，∵AB ＝ 9cm， cm，∴cm，∴cm，cm，运动时间为：18÷3=6（秒），则cm，cm，cm，∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴cm，cm，cm，当时，∵AB ＝ 9cm， cm，∴cm，∴cm，运动时间为：36÷3=12（秒），则cm，cm，cm，∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴cm，cm，cm，综上，MN的长是12cm或24cm．【点睛】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长．【变式3-3】（2022·辽宁锦州·七年级期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．(1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长；③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________；【答案】(1)6(2)①；②；③【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=AC=4，CN=BC=2，故MN=CM+CN=6；（2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=AC，CN=BC，即得MN=AC+BC=AB，故MN=a；②由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a；③由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a．（1）解：∵AB=12，AC=8，∴BC=AB-AC=4，∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC=4，CN=BC=2，∴MN=CM+CN=6；故答案为：6；（2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a；故答案为：a；②∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a；③∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a，故答案为：a．【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．【考点4 线段动点的定值计算】【例4】（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足．(1)如图1，求线段AB的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图2，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值．【答案】(1)4(2)存在，当点P表示的数为-1.5或3.5时，；理由见解析(3)结论①正确，=2【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出AB的长；（2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点P在数轴上对应的数是m，由确定出P位置，即可做出判断；（3）设P点所表示的数为n，就有PA=n+1，PB=n-3，根据条件就可以表示出PM=，BN=，再分别代入①和②求出其值即可．(1)解：∵|a+1|+（b-3）2=0，∴a+1=0，b-3=0，∴a=-1，b=3，∴AB=|-1-3|=4．答：AB的长为4；(2)解：存在，∵，∴x=-2，∴BC==5．设点P在数轴上对应的数是m，∵，∴|m+1|+|m-3|=5，令m+1=0，m-3=0，∴m=-1或m=3．①当m≤-1时，-m-1+3-m=5，m=-1.5；②当-1＜m≤3时，m+1+3-m=5，（舍去）；③当m＞3时，m+1+m-3=5，m=3.5．∴当点P表示的数为-1.5或3.5时，；(3)解：设P点所表示的数为n，∴PA=n+1，PB=n-3．∵PA的中点为M，∴PM=PA=．∵N为PB的四等分点且靠近于B点，∴BN=PB=，∴①PM-2BN=-2×=2（不变），②PM+BN=+×=（随点P的变化而变化），∴正确的结论为①，且PM-2BN=2．【点睛】此题考查了数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，一元一次方程的解，解题的关键是灵活运用两点间的距离公式．【变式4-1】（2022·湖北孝感·七年级期末）如图，已知数轴上点表示的数为9，点表示的数为-6，动点从点出发，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，(1)数轴上点表示的数为__________（用含的式子表示）(2)当为何值时，？(3)若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1).(2)或(3)答案见解析【分析】（1）根据题意列代数式即可；（2）根据题意列一元一次方程，解方程求解即可；（3）分情况讨论，①当点在，两点之间时，②当点运动到点的左侧时，根据线段中点的性质，分别计算，即可求解．(1)数轴上点表示的数为9，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，则数轴上点表示的数为故答案为：(2)，，∵，∴，∴或，解得或，∴当或时，；(3)①当点在，两点之间时，如图1所示..②当点运动到点的左侧时，如图2所示..综上可知，当点在运动过程中，线段的长度为定值.【点睛】本题考查了数轴动点问题，一元一次方程的应用，线段中点的性质，数形结合是解题的关键．【变式4-2】（2022·江苏·南京市科利华中学七年级阶段练习）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．【理解与应用】(1)如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________AB．【拓展与延伸】(2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________；②t为何值时，．【答案】(1)，(2)①3；②2或6【分析】（1）根据“点值”的定义即可得出答案；（2）①设运动时间为t，再根据的值是个定值即可得出m的值；②分点Q从点B向点A方向运动时和点Q从点A向点B方向运动时两种情况加以分析即可（1）解：∵，，∴∴，∵，∴（2）解：①设运动时间为t，则AP=t，AQ=10-3t，则，∵的值是个定值，∴的值是个定值，∴m=3②当点Q从点B向点A方向运动时，∵∴∴t=2当点Q从点A向点B方向运动时，∵∴∴t=6∴t的值为2或6【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义，并能运用是本题的关键．【变式4-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝ 　，n＝ 　；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD ∴MN=CM+CD+DN=AC +CD+BD=AC +CD+BD+CD=(AC +CD+BD)+CD=(AB +CD)=8；②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，依题意有：解得：a=2在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是线段BC的中点∴CE= BE=BC=2+t；Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0∴FC-5 DE =0；Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；综合上述：在整个运动的过程中，FC5 DE的值为定值，且定值为0．【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．【考点5 线段中的参数表示(比例关系)问题】【例5】（2022·浙江舟山·七年级期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝　 　．【答案】（1）①AD＝7；②AD＝或；（2）或【分析】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，①由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②当点C线段DE的三等分点时，可求得CE＝DE＝或CE＝DE＝，则CD＝或，由线段的和差即可得到结论；（2）当点E在线段BC之间时，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论．【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，①∵E为BC中点，∴CE＝3，∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，∴CE＝DE＝或CE＝DE＝，∴CD＝或CD＝，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝或12-=；（2）当点E在线段BC之间时，如图，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵，∴，∴y＝x，∴CD＝1.5x﹣x＝x，∴；当点E在点A的左侧，如图，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，∵，BE＝EC+BC＝x+y，∴，∴y＝4x，∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∴，当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，综上所述的值为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论DE的位置是解题的关键．【变式5-1】（2022·广西河池·七年级期末）如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．(1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长；(2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点．(3)若，是数轴上的一点，且，求的值．【答案】(1)(2)当时点是线段的中点(3)或1【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根据可求；（2）先表示出BD和CD，再根据点是线段的中点，列方程求解；（3）分在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别求解．（1）解：∵，，又∵点表示，点表示7，∴，∴∴．（2）解：∵点，分别表示，6，所以，，，，，当是的中点时，即， ∴当时点是线段的中点．（3）解：①当点在线段上时，如图∵，又∵∴，又∵∴，即②当点在线段的延长线上时，如图∵，又∵∴，即综上所述或1．【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是掌握点的移动路程与线段的关系．【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案；（2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答；（3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解；（1）解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．（2）解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=BM故答案为：．（3）解：由（2）可得：∵BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝AB，①当点N在线段AB上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即=．②当点N在线段AB的延长线上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB，∴=1,即=．综上所述＝或【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答．【变式5-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　 　，DM＝　 　；（直接填空）（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　 　（填空）（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4）或1．【分析】（1）先求出CM、BD的长，再根据线段的和差即可得；（2）先求出BD与CM的关系，再根据线段的和差即可得；（3）根据已知得MB＝2AM，然后根据AM+BM=AB，代入即可求解；（4）分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得．【详解】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案为：2cm，4cm；（2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm；（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝AB＝4，故答案为：4；（4）①当点N在线段AB上时，如图1，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝4∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4∴；②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB＝12∴；综上所述或1故答案为或1．【点睛】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．【考点6 剪绳子(端点重合)问题】【例6】（2022·全国·七年级专题练习）把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况讨论，讨论中抓住最长线段即可解决问题．【详解】解：如图∵，∴2AP=＜PB①若绳子是关于A点对折，∵2AP＜PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB=30cm，∴绳子全长=2PB+2AP=24×2+×24=64cm；②若绳子是关于B点对折，∵AP＜2PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB=24cm∴PB=12 cm∴AP=12×cm∴绳子全长=2PB+2AP=12×2+4×2=32 cm；故选：C．【点睛】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．【变式6-1】（2022·全国·七年级课时练习）将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（　　）A．37 B．36 C．35 D．34【答案】B【分析】先求出每3厘米作一个记号，可以作几个记号；再求出每4厘米作一个记号，可以作几个记号；因为3和4的最小公倍数是12，所以每12厘米处的记号重合，由此即可求出绳子被剪出的段数．【详解】解：∵绳子长72cm，∴每3cm作一记号，可以把绳子平均分成72÷3＝24（段），可以做24−1＝23个记号，每4cm也作一记号，可以把绳子平均分成72÷4＝18（段），可以做18−1＝17个记号，∵3和4的最小公倍数是12，所以重合的记号有：72÷12−1＝5（个），∴有记号的地方共有23＋17−5＝35，∴这段绳子共被剪成的段数为35＋1＝36（段）．故选：B．【点睛】此题主要考查了线段，关键是正确理解每3厘米、4厘米作一个记号，可以作几个记号，有多少的记号重合．【变式6-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，将一股标有0～60均匀刻度的绳子铺平后折叠(绳子无弹性)，使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分某处剪断，将绳于分为A，B，C三段若这三段的长度的比为3：2：1，则折痕对应的刻度是__________．【答案】20【分析】设折痕对应的刻度为x，根据折叠的性质和A，B，C三段的长度的比为3：2：1，列出方程求解即可．【详解】解：设折痕对应的刻度为x，由A，B，C三段长度的比为3：2：1，可得三段长度分别是30、20、10，依题意得：x＝＋10＝20，故答案为：20．【点睛】考查了一元一次方程的应用和图形的剪拼，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．【变式6-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠． （1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在处．①如图2，若恰好重合于点O处，MN= cm，②如图3，若点落在的左侧，且=20cm，求MN的长度；③若=ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在处，在重合部分N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．【答案】（1）①30，②40cm，③cm或cm；（2）25 cm或27.5 cm或32.5 cm或35cm．【分析】（1）①根据MN=MO+NO=AO+BO=AB即可求解；②根据M、N分别为AA′、BB′的中点，得出AM=，BN=，再由MN= AB–（AM+ BN）即可求解；③根据M、N分别为AA′、BB′的中点，得出AM=，BN=，然后分两种情况点A′落在点B′的左侧，点A′落在点B′的右侧，根据MN= AB–（AM+ BN）即可求解；（2）根据三段的长度由短到长的比为3：4：5，得出绳子被剪分为15cm，20cm，25cm三段，然后分6中情况讨论，根据AN=AP+ 即可求解．【详解】解：（1）①MN=MO+NO=AO+BO=AB=30；②因为AB=60 cm，A′B′=20 cm，所以AA′+BB′=AB - A′B′=60 - 20=40 cm．根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，所以AM=，BN=．AM+ BN=+==cm．所以MN= AB–（AM+ BN）=60 - 20=40 cm．③因为M、N分别为AA′、BB′的中点，所以AM=，BN=．（ⅰ）如图，若点A′落在点B′的左侧，AA′+BB′=AB - A′B′=(60– n) cm． AM+ BN=+==cm．所以MN= AB–（AM+ BN）=cm．（ⅱ）如图，若点A′落在点B′的右侧，                    AA′+BB′=AB + A′B′=(60 +n)cm． AM+ BN=+==cm．所以MN= AB–（AM+ BN）=（cm）．  综上，MN的长度为cm或cm．（2）如图，∵三段的长度由短到长的比为3：4：5，∴=15，=20，=25，故绳子被剪分为15cm，20cm，25cm三段当=15，=20，AP=25时，AN=AP+ =25+×20=35；当=15，=25，AP=20时，AN=AP+ =20+×25=32.5；当=20，=15，AP=25时，AN=AP+ =25+×15=32.5；当=20，=25，AP=15时，AN=AP+ =15+×25=27.5；当=25，=20，AP=15时，AN=AP+ =15+×20=25；当=25，=15，AP=20时，AN=AP+ =20+×15=27.5．综上AN所有可能的长度为：25 cm或27．5 cm或32．5 cm或35cm．【点睛】本题主要考查了线段的计算、线段的折叠问题、线段中点的性质，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质，注意审题及分类讨论思想．【考点7 动点中线段和差问题】【例7】（2022·全国·七年级阶段练习）已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；(2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长；(3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值．【答案】(1)，20，30；(2)3或75；(3)．【分析】（1）由题意直接可求解；（2）①当点C在之间时，如图1，②当点C在点B的右侧时，如图2，分别计算和的长，相减可得结论；（3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示的数为：，点H表示的数为：，根据中点的定义得点D和F表示的数，由得的长和点E表示的数，根据数轴上两点的距离可得和的长，相加可得结论．【详解】（1）解：由题意知：，∴，∴的距离为故答案为：，20，30；（2）分两种情况：①当点C在AB之间时，如图1，∵，，∴，∵M是的中点，∴，∴；②当点C在点B的右侧时，如图2，∵，，∴，∵，∴；综上，的长是3或75；（3）由题意得：点G表示的数为：：，点H表示的数为：，∵，，∴点G在线段之间，∵D为的中点，∴点D表示的数为： ，∵F是的中点，∴点F表示的数为：，∵，∵，∴ ，∴点E表示的数为： t，∴ ．【点睛】本题考查多项式和数轴；与中点有关的计算，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据点的运动特点，分情况列出合适的方程，进行求解是关键．【变式7-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．【答案】(1)(2)8或24(3)，见解析【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解；（2）分点在线段上运动和线段的延长线上运动进行讨论，从而求解；（3）先将和表示出来，再求出线段、、之间的数量关系．【详解】（1）解：∵ M为AP的中点，，∴ ，∵线段，N为BP的中点，∴．故答案是：2；（2）解：①当点P在线段AB上，时，如图，∵，，∴，解得：．②当点P在线段AB的延长线上，时，如图，∵，，∴，解得：．综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24．（3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，，∵，，∴．【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．【变式7-2】（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期末）在数轴上，点为原点，点表示的数为9，动点，在数轴上移动（点在点右侧），总保持（大于0且小于4.5），设点表示的数为．(1)如图，当动点，在线段上移动时，①若，且为中点时，则点表示的数为__________，点表示的数为__________；②若，求多项式的值；(2)当线段在射线上移动时，且，求（用含的式子表示）．【答案】(1)①4.5，6.5；②-13；(2)或m=2n-9【分析】（1）①由点A表示的数得到OA=9，根据为中点，得到OB=4.5，可知点表示的数；由=2，点在点右侧，即可得到点表示的数；②根据，，点表示的数为，得到2m+n=9，代入计算即可；（2）分别用n、m表示出AC、OB、AB，进一步利用建立方程求得答案即可．(1)解：①∵点A表示的数为9，∴OA=9，∵为中点，∴OB=4.5，∴点表示的数为4.5；∵=2，点在点右侧，∴4.5+2=6.5，∴点表示的数为6.5；故答案为：4.5，6.5；②∵，，点表示的数为．∴2m+n=9，∴；(2)解：①当点B在原点右侧时，，OB=m，AB=9-m，，解得；②当点B在原点左侧时，，OB=-m，AB=9-m， ，解得m=2n-9；综上，或m=2n-9．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，考查了数轴与两点间的距离的计算，根据数轴确定出线段的长度是解题的关键．【变式7-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）则OA＝　　cm，OB＝　　cm；（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为　　；此时，Q点所到的点表示的数为　　．（用含t的代数式表示）②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．【答案】（1）8，4；（2）cm；（3）①﹣8+2t，4+t；②1.6或8．【分析】（1）由于AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB，则OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，依此即可求解；（2）根据图形可知，点C是线段AO上的一点，可设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时；②点C在线段OB上时，根据AC＝CO+CB，列出方程求解即可；（3）①根据路程＝速度×时间即可求解；②分两种情况：0＜t＜4（P在O的左侧）；4≤t≤12（P在O的右侧）；进行讨论求解即可．【详解】解：（1）∵AB＝12cm，OA＝2OB，∴OA+OB＝3OB＝AB＝12（cm），解得OB＝4，OA＝2OB＝8（cm）．故答案为：8，4；（2）设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝﹣x+4﹣x，3x＝﹣4，解得x＝﹣；②点C在线段OB上时，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝4，解得x＝﹣4（不符合题意，舍）．故CO的长是cm；（3）①t（s）后，P点所到的点表示的数为﹣8+2t；此时，Q点所到的点表示的数为4+t．故答案为：﹣8+2t，4+t；②0＜t＜4（P在O的左侧），OP＝0﹣（﹣8+2t）＝8﹣2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，则2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，解得t＝1.6；4≤t≤12（P在O的右侧），OP＝﹣8+2t﹣0＝﹣8+2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，则2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，解得t＝8．综上所述，t＝1.6或8时，2OP﹣OQ＝4cm．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离，数轴上点的表示，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．【考点8 线段的长短比较】【例8】（2022·陕西·延安市实验中学七年级期末）如图，已知在三角形ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作一条线段EF，使EF的长等于a+b，并比较线段EF与线段AB的长短．（保留作图痕迹，不要求写作法）【答案】见解析【详解】试题分析：直接利用圆规连续截取两条线段分别等于a，b进而得出答案；试题解析：如图所示：EF即为所求，EF＞AB.【变式8-1】（2022·全国·七年级课时练习）为比较两条线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则(      )A．AB＜CD B．AB＞CD C．AB＝CD D．以上都有可能【答案】B【详解】解：由点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，得AB＞CD．故选B．【变式8-2】（2022·浙江·衢州华茂外国语学校七年级期末）如图，已知AC=BD，则AB与CD之间的大小关系是(　　)A．AB>CD. B．AB=CD. C．AB