考点02 变力做功的分析和计算（解析版）—高中物理

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求变力做功的五种方法
典例1 (微元法计算变力做功)(2023·安徽滁州市定远县联考)如图所示，在水平桌面上，长R＝5 m的轻绳一端固定于O点(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球，现对小球施加一个大小不变的力F＝10 N，方向始终与小球在该点的切线成37°角，F拉着物体从M点运动到N点，已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，则拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为( )更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(1,4) D．4
答案 B
解析 将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力F在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cs 37°，W2＝Fl2cs 37°，…，Wn＝Flncs 37°，W＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcs 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcs 37°·eq \f(π,3)R＝eq \f(40,3)π J，同理可得克服摩擦力做功Wf＝μmg·eq \f(π,3)R＝eq \f(20,3)π J，拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为2，故选B.
典例2 (图像法计算变力做功)一物体所受的力F随位移x变化的图象如图所示，求在这一过程中，力F对物体做的功为( )
A.3 JB.6 J
C.7 JD.8 J
答案 B
解析 力F对物体做的功等于图线与横轴x所包围面积的代数和，0～4 s这段时间内力F对物体做的功为W1＝eq \f(1,2)×(3＋4)×2 J＝7 J，4～5 s这段时间内力F对物体做的功为W2＝－eq \f(1,2)×(5－4)×2 J＝－1 J，全过程中，力F对物体做的功为W＝7 J－1 J＝6 J，故选B.
典例3 (平均值法计算变力做功)(2023·黑龙江佳木斯市高三模拟)用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比．已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为( )
A．(eq \r(3)－1)d B．(eq \r(2)－1)d
C.eq \f(\r(5)－1d,2) D.eq \f(\r(2),2)d
答案 B
解析 铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得W＝eq \x\t(F1)d＝eq \f(kd,2)d，W＝eq \x\t(F2)d′＝eq \f(kd＋kd＋d′,2)d′，联立解得d′＝(eq \r(2)－1)d，故A、C、D错误，B正确．
典例4 (等效转换法计算变力做功)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则( )
A．W1>W2
B．W1ΔlBC，故W1>W2，A正确．
典例5 (应用动能定理计算变力做功)如图所示为一水平的转台，半径为R，一质量为m的滑块放在转台的边缘，已知滑块与转台间的动摩擦因数为μ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.若转台的转速由零逐渐增大，当滑块在转台上刚好发生相对滑动时，转台对滑块所做的功为( )
A.eq \f(1,2)μmgR B.2πmgR C.2μmgR D.0
答案 A
解析 滑块即将开始滑动时，最大静摩擦力(等于滑动摩擦力)提供向心力，有μmg＝eq \f(mv2,R)，根据动能定理有Wf＝eq \f(1,2)mv2，解得Wf＝eq \f(1,2)μmgR，A正确.
1.如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F的作用下，沿x轴正方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时拉力F做的功为( )
A．0 B.eq \f(1,2)Fmx0 C.eq \f(π,4)Fmx0 D.eq \f(π,4)x02
答案 C
解析 由于水平面光滑，所以拉力F即为合外力，F随物块所在位置坐标x的变化图像中图线与横轴包围的面积即为F做的功，即W＝eq \f(π,2)Fm2＝eq \f(π,8)x02＝eq \f(π,4)Fmx0，C正确．
2.(2021·山东卷·3)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连．木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动．在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )
A.eq \f(mv02,2πL) B.eq \f(mv02,4πL) C.eq \f(mv02,8πL) D.eq \f(mv02,16πL)
答案 B
解析 在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理
－Ff·2πL＝0－eq \f(1,2)mv02,可得摩擦力的大小Ff＝eq \f(mv02,4πL)，故选B.
3.(多选)如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面.小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为( )
A.eq \f(1,2)Mv2B.Mv2
C.eq \f(1,2)μMglD.μMgl
答案 AC
解析 总质量为M的小方块在进入粗糙水平面的过程中滑动摩擦力由0均匀增大，当全部进入时摩擦力达最大值μMg，总位移为l，平均摩擦力为eq \(F,\s\up6(－))f＝eq \f(1,2)μMg，由功的公式可得Wf＝－eq \(F,\s\up6(－))f·l＝－eq \f(1,2)μMgl，其大小为eq \f(1,2)μMgl，C正确，D错误；用动能定理计算，则为Wf＝0－eq \f(1,2)Mv2＝－eq \f(1,2)Mv2，其大小为eq \f(1,2)Mv2，A正确，B错误.
4. (2021·浙江舟山期中)在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为eq \f(R,2)和R的两个半圆构成(如图所示)，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
A.0 B.FR
C.eq \f(3,2)πFR D.2πFR
答案 C
解析 虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内可以看成恒力，小球的路程为eq \f(3πR,2)，则拉力做的功为eq \f(3,2)πFR，故C正确.
5.水平桌面上，长R＝5 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球，现对小球施加一个大小不变的力F＝10 N，F拉着物体从M点运动到N点，方向始终与小球的运动方向成37°角.已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，则拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为( )
A.eq \r(2)∶1B.eq \r(3)∶1
C.2∶1D.3∶1
答案 C
解析 将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1＝Fl1cs 37°，W2＝Fl2cs 37°…，Wn＝Flncs 37°，W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F(cs 37°)(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcs 37°·eq \f(π,3)R＝eq \f(40,3)π J，同理可得小球克服摩擦力做的功Wf＝μmg·eq \f(π,3)R＝eq \f(20,3)π J，拉力F做的功与小球克服摩擦力做的功之比为2∶1，故选C.
6.(2021·绍兴市高一月考)静置于水平地面上质量为1 kg的物体，在水平拉力F＝4＋2x(式中F为力的大小、x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m)作用下，沿水平方向移动了5 m．已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2，取重力加速度g＝10 m/s2，则在物体移动5 m的过程中拉力所做的功为( )
A．35 J B．45 J C．55 J D．65 J
答案 B
解析 水平拉力F＝4＋2x，则当物体移动5 m时拉力的平均值为eq \x\t(F)＝eq \f(4＋4＋2×5,2) N＝9 N
则拉力的功W＝eq \x\t(F)x＝9×5 J＝45 J，故选B.
7.(多选)如图所示，人以大小恒为10 N的拉力通过一根轻绳拉船，人收绳的速度恒为1 m/s，将船从A位置拉到B位置，A、B位置轻绳与水平方向的夹角分别为30°和60°，A、B间的水平距离为4 m，则( )
A．A位置船速大小为eq \f(\r(3),2) m/s
B．B位置船速大小为2 m/s
C．船从A运动到B的过程中，人的拉力做的功为20eq \r(3) J
D．船从A运动到B的过程中，人的拉力做的功为40(eq \r(3)－1) J
答案 BD
解析 根据速度的合成与分解，可得A位置船速大小为vA＝eq \f(v,cs 30°)＝eq \f(2\r(3),3) m/s，故A错误；同理可得B位置船速大小为vB＝eq \f(v,cs 60°)＝2 m/s，故B正确；船从A运动到B的过程中，人的拉力做的功W＝F(2eq \x\t(AB)sin 60°－eq \x\t(AB))＝10×(2×4×eq \f(\r(3),2)－4) J＝40(eq \r(3)－1) J，故C错误，D正确．
8.(2023·鹤壁市·期末)如图所示，AB为四分之一圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R.一质量为m的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，它由轨道顶端A从静止开始下滑，恰好运动到C处停止，不计空气阻力，重力加速度为g，那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为( )
A.eq \f(1,2)μmgR B.eq \f(1,2)mgR
C.mgR D.(1－μ)mgR
答案 D
解析 设物体在AB段克服摩擦力所做的功为WAB，对物体从A到C的全过程，由动能定理得mgR－WAB－μmgR＝0，故WAB＝mgR－μmgR＝(1－μ)mgR.
9.质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图所示.已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，重力加速度为g，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短(弹簧始终在弹性限度内)，物体克服弹簧弹力所做的功为( )
A.eq \f(1,2)mv02－μmg(s＋x) B.eq \f(1,2)mv02－μmgx C.μmgs D.μmg(s＋x)
答案 A
解析 由动能定理得－W－μmg(s＋x)＝0－eq \f(1,2)mv02，W＝eq \f(1,2)mv02－μmg(s＋x)，A正确，B、C、D错误.
10.一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点缓慢地移动到Q点，如图所示，重力加速度为g，则拉力F所做的功为( )
A.mglcs θB.mgl(1－cs θ) C.Flcs θD.Flsin θ
答案 B
解析 小球缓慢移动，时时处于平衡状态，由平衡条件可知，F＝mgtan θ，随着θ的增大，F也在增大，是一个变化的力，不能直接用功的公式求它所做的功，所以这道题要考虑用动能定理求解.由于小球缓慢移动，动能保持不变，由动能定理得：－mgl(1－cs θ)＋W＝0，所以W＝mgl(1－cs θ)，B正确，A、C、D错误.
11.(多选)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O.现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点由静止开始上升，滑块运动到C点时速度最大.已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g(已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8).则( )
A.拉力F大小为eq \f(5,3)mg
B.拉力F大小为eq \f(5,4)mg
C.滑块由A到C过程轻绳对滑块做功eq \f(25,36)mgd
D.滑块由A到C过程轻绳对滑块做功eq \f(25,48)mgd
答案 AC
解析 滑块到C点时速度最大，其所受合力为零，则有Fcs 53°－mg＝0，解得F＝eq \f(5,3)mg，故A正确，B错误；由能量守恒定律可知，拉力F做的功等于轻绳拉力F对滑块做的功，滑轮与A间绳长L1＝eq \f(d,sin 37°)，滑轮与C间绳长L2＝eq \f(d,sin 53°)，滑轮右侧绳子增大的长度ΔL＝L1－L2＝eq \f(d,sin 37°)－eq \f(d,sin 53°)＝eq \f(5d,12)，拉力做功W＝FΔL＝eq \f(25,36)mgd，故C正确，D错误.
12.如图所示，一质量为m＝1.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变，始终为15 N，方向始终与圆弧在该点的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°，BO边在竖直方向上．求这一过程中拉力F做的功．(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，π＝3.14)
答案 62.8 J
解析 将圆弧AB分成很多小段s1、s2、…、sn，拉力在每一小段上做的功为W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不变，方向始终与圆弧在该点的切线成37°角，所以
W1＝Fs1 cs 37°
W2＝Fs2 cs 37°
…
Wn＝Fsn cs 37°
故WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝F cs 37°(s1＋s2＋…＋sn)＝F cs 37°·eq \f(π,3)R＝62.8 J.
13.(2022·江苏滨海县八滩中学高一月考)力F对物体所做的功可由公式W＝Flcs α求得．但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力．而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功．那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解变力所做的功．如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是( )
A．甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功为W＝F(OA－OC)
B．乙图中，全过程F做的总功为108 J
C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝eq \f(1,2)πRf
D．丁图中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ
答案 A
解析 题图甲中，因沿着同一根绳做功的功率相等，则力对绳做的功等于绳对物体做的功，则物块从A到C过程中力F做的功为W＝F(OA－OC)，故A正确；
题图乙F－x图像与坐标轴围成图形的面积代表功，则全过程F做的总功为W＝15×6 J＋
(－3)×6 J＝72 J，故B错误；
题图丙中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，可用微元法得出小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W＝－f·eq \f(2πR,4)＝－eq \f(1,2)πRf，故C错误；
题图丁中，F始终保持水平，当F为恒力时将小球从P拉到Q，F做的功是W＝Flsin θ
而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不等于Flsin θ，故D错误．方法
举例
微元法
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效
转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(eq \f(h,sin α)－eq \f(h,sin β))
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，F－x图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝eq \f(F0＋F1,2)x0
平均
值法
当力与位移为线性关系，力可用平均值eq \x\t(F)＝eq \f(F1＋F2,2)表示，W＝eq \x\t(F)Δx，可得出弹簧弹性势能表达式为Ep＝eq \f(1,2)k(Δx)2
应用动
能定理
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgL(1－cs θ)＝0，得WF＝mgL(1－cs θ)