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第25讲 功和功率（讲义）（解析版）—高中物理
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这是一份第25讲 功和功率（讲义）（解析版）—高中物理，共17页。
复习目标
网络构建
考点一 恒力做功的分析与计算
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 功及功的正负
知识点2 恒力功的计算
【提升·必考题型归纳】
考向 恒力功的计算
考点二 变力做功的五种计算方法
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点 五种求变力功的方法
【提升·必考题型归纳】
考向 五种变力功的求解
考点三 对功率的理解与计算
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 平均功率的计算
知识点2 瞬时功率的计算
【提升·必考题型归纳】
考向1 平均功率的计算
考向2 瞬时功率的计算
考点四 机车启动
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 两种机车启动方式的规律
知识点2 机车启动a-1/v和F-1/v图像问题
【提升·必考题型归纳】
考向1 两种机车启动方式计算
考向2 机车启动的图像问题
真题感悟
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掌握恒力功和变力功的计算。
掌握功率的计算，理解机车启动问题。
考点一 恒力做功的分析与计算
知识点1 功及功的正负
1．定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
2．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在力的方向上发生的位移。
3．公式：W＝Fl_cs_α。
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
4．功的正负
(1)当0°≤α＜90°时，W＞0，力对物体做正功。
(2)当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。
(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体不做功。
知识点2 恒力功的计算
1．恒力功的计算方法
2．总功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W总＝F合lcs α求功，此法要求F合为恒力。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意代入“＋”“－”再求和。
考向 恒力功的计算
1．如图甲，辘轱是古代民间提水设施，由辘轱头、支架、井绳、水斗等部分构成，如图乙为提水设施工作原理简化图，某次从井中汲取m=2kg的水，辘轱绕绳轮轴半径为r=0.1m，水斗的质量为0.5kg，井足够深且并绳的质量忽略不计，t=0时刻，轮轴由静止开始绕中心轴转动向上提水桶，其角速度随时间变化规律如图丙所示，g取10m/s2，则（ ）
A．水斗速度随时间变化规律为（所涉及物理量均用国际单位制）
B．井绳拉力大小恒定，其值为25N
C．0~10s内水斗上升的高度为4m
D．0~10s内井绳拉力所做的功为255J
【答案】D
【详解】A．由丙图知水斗速度随时间变化规律为（所涉及物理量均用国际单位制）
A错误；
B．水斗匀加速上升时的加速度根据牛顿第二定律解得
井绳拉力大小，B错误；
C．0~10s内水斗上升的高度为，C错误；
D．0~10s内井绳拉力所做的功为，D正确。故选D。
2．C919国产大飞机将于近日进行商业首飞，若C919某次起飞离地速度为v0，离地一段时间内水平方向速度不变，竖直方向升力（竖直方向升力为空气对飞机作用力在竖直方向合力）保持不变，飞机水平位移为x时离地高度为y，已知起飞阶段C919质量为m且保持不变，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．起飞阶段飞机竖直方向升力为
B．起飞阶段飞机竖直方向升力为
C．自起飞至离地高度为y的过程中，竖直升力对飞机做功为
D．自起飞至离地高度为y的过程中，飞机机械能的增加量为
【答案】BC
【详解】AB．由题意，可知水平方向满足竖直方向满足；联立解得故A错误，B正确；
C．自起飞至离地高度为y的过程中，竖直升力对飞机做功为故C正确；
D．自起飞至离地高度为y的过程中，根据功能关系可知飞机机械能的增加量即为竖直升力所做的功，则
故D错误。故选BC。
考点二 变力做功的五种计算方法
知识点 五种求变力功的方法
考向 五种变力功的求解
1．如图所示，一质量为的质点在半径为的半球形容器中（容器固定）由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点时，它对容器的正压力为。重力加速度为，则质点自A滑到的过程中，摩擦力所做的功为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设在B点的速度为，由牛顿第二定律，有则质点在B点的动能为质点从A滑到B的过程中，由动能定理得解得
故选C。
2．水平桌面上，长6m的轻绳一端固定于O点，如图所示（俯视图），另一端系一质量m=2.0kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F=10N，F拉着物体从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cs37°=0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．拉力F对小球做的功为16π（J）B．拉力F对小球做的功为8π（J）
C．小球克服摩擦力做的功为16π（J）D．小球克服摩擦力做的功为4π（J）
【答案】A
【详解】AB．将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1=Fl1cs37°；W2=Fl2cs37°；Wn=Flncs37°
故故A正确，B错误；
CD．同理可得小球克服摩擦力做的功故CD错误。故选A。
3．一质量为4kg的物体，在粗糙的水平面上受水平恒定的拉力F作用做匀速直线运动。物体运动一段时间后拉力逐渐减小，当拉力减小到零时，物体刚好停止运动。如图所示为拉力F随位移x变化的关系图像，重力加速度大小取10m/s2，则可以求得（ ）
A．物体做匀速直线运动的速度为4m/s
B．整个过程拉力对物体所做的功为4J
C．整个过程摩擦力对物体所做的功为-8J
D．整个过程合外力对物体所做的功为-4J
【答案】D
【详解】B．F-x图线与横轴所围区域的面积表示拉力对物体所做的功，所以故B错误；
C．0~2m阶段，根据平衡条件可得所以整个过程中摩擦力对物体做的功
故C错误；
D．整个过程中合外力所做的功为故D正确。
A．根据动能定理可得解得故A错误。故选D。
4．如图所示，在距水平地面高为处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套有一质量小球A，半径的光滑半圆形细轨道，竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量也为的小球B。用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来，杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响，g取。现给小球一个水平向右的恒力，则下列说法正确的是（ ）
A．把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中，力F做的功为
B．小球B运动到C处时的速度大小为
C．小球B被拉到离地时与小球A速度大小相等
D．小球B被拉到C处时小球A的速度为
【答案】ABC
【详解】A．把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中，力F作用点的位移为故恒力F做的功为，A正确；
B．小球B运动至C过程，由动能定理可得代入数据可解得，小球B运动到C处时的速度大小，B正确；
C．小球B被拉到离地时，如图所示，由几何关系可知又OD=0.3m，OP=0.4m，故，小球B的速度沿绳方向，与小球A速度大小相等，C正确；
D．小球B被拉到C处时，小球B速度与绳垂直，沿绳的分速度为零，此时小球A速度为0，D错误。
故选ABC。
5．如图，质量为的物块放置在水平地面上，右端连接一根轻弹簧，现对弹簧施加水平向右缓慢变大的拉力，当弹簧伸长时物块开始运动，物块开始运动后保持拉力不变将物块沿水平地面缓慢拉动距离L，取重力加速度为，已知物块与水平地面的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．物块缓慢向右移动时，拉力B．弹簧的劲度系数为
C．整个过程中拉力做的功为D．整个过程克服摩擦力做的功为
【答案】BC
【详解】AB．物块缓慢运动时，由平衡条件得解得，故A错误，B正确；
C．整个过程中拉力做功为故C正确；
D．整个过程克服摩擦力做的功为故D错误。故选BC。
考点三 对功率的理解与计算
知识点1 平均功率的计算
(1)利用P=Wt。
(2)利用P=Fvcs α,其中v为物体运动的平均速度,α为F与v的夹角。
知识点2 瞬时功率的计算
(1)利用公式P=Fvcs α,其中v为t时刻的瞬时速度,α为F与v的夹角。
(2)利用公式P=FvF,其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P=Fvv,其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
考向1 平均功率的计算
1．如图所示，质量为50kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒。已知重心在c点，a、b分别为两脚、两手连线的中点，c点正下方的O点在ab上，Oa、Ob距离分别为0.9m和0.6m。若她在1min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4m，重力加速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．该运动员1min内克服重力做功约为120J
B．该运动员1min内克服重力做功约为6000J
C．该运动员1min内克服重力做功的功率为60W
D．该运动员1min内克服重力做功的功率为100W
【答案】C
【详解】AB．她完成一次动作重心下降的高度，1min内克服重力做功为
故AB错误；
CD．1min内克服重力做功的功率为 故C正确，D错误。故选C。
2．如图甲所示，物体受到水平推力F的作用，在粗糙水平面上做直线运动。通过力传感器和速度传感器监测到推力F和物体速度v随时间t变化的规律如图乙所示。g=10m/s2。则（ ）
A．物体的质量
B．第内物体克服摩擦力做的功
C．前内推力做功的平均功率
D．前内推力做功的平均功率
【答案】B
【详解】A．物体在粗糙水平面上的摩擦力，物体的加速度根据牛顿第二定律有解得物体的质量故A错误；
B．第内物体的位移第内物体克服摩擦力做的功故B正确；
C．前内推力做功的平均功率故C错误；
D．物体的位移前内推力做功的平均功率故D错误故选B。
考向2 瞬时功率的计算
3．有长度均为的两段水平路面，段光滑，段粗糙。在处静止的小物体质量为（可视为质点）在水平恒力作用下，从点开始运动，到点恰好停下，段动摩擦因数自左往右逐渐增大，具体变化如图所示，重力加速度为。下列判断正确的是（ ）
A．水平恒力的大小
B．水平恒力在两段路面上做功不相等
C．水平恒力在段的平均功率等于段的平均功率
D．水平恒力在段中间时刻瞬时功率小于在段中间时刻瞬时功率
【答案】AD
【详解】A．由到点恰好停下，在段力做的功等于克服摩擦力做的功，根据动能定理得
解得故A正确；
B．在两段做的功相同， 故B错误；
C．小物体在段做匀加速直线运动，在段先做加速度减小的加速运动再做加速度增加的减速运动，故段运动的时间大于在段运动的时间，水平恒力在段的平均功率小于段的平均功率， 故C错误；
D．小物体在段中间时刻的瞬时速度小于在段中间时刻的瞬时速度，故水平恒力在段中间时刻瞬时功率小于在段中间时刻瞬时功率，故 D正确。故选AD。
4．在建筑工地上，建筑工人用如图所示装置将重力为G的建筑材料提升到高处，当工人在高处平台上以大小为v的速度向右做匀速直线运动时（运动过程中手握绳的高度不变），不计绳与滑轮的摩擦及动滑轮的重力，下列说法正确的是（ ）
A．重物以小于的速度匀速上升
B．手对绳的拉力大小大于
C．重物机械能的增量等于地面静摩擦力对人做的功
D．当绳与水平方向夹角为θ=37°时（cs37°=0.8），重物克服重力做功的功率为0.4Gv
【答案】BD
【详解】A．重物上升的速度由此可知，工人向右做匀速直线运动时θ角逐渐减小，则有重物以小于的速度加速上升，A错误；
B．由于重物加速上升，因此手对绳的拉力大于，B正确；
C．静摩擦力对人不做功，C错误；
D．当手牵引的绳与水平方向夹角为时，重物上升的速度大小为此时重物克服重力做功的瞬时功率，D正确。故选BD。
考点四 机车启动
知识点1 两种机车启动方式的规律
知识点2 机车启动a-1/v和F-1/v图像问题
考向1 两种机车启动方式计算
1．高铁已成为中国的“国家名片”，截至2022年末，全国高速铁路营业里程4.2万千米，位居世界第一。如图所示，一列高铁列车的质量为m，额定功率为，列车以额定功率在平直轨道上从静止开始运动，经时间t达到该功率下的最大速度，设高铁列车行驶过程所受到的阻力为，且保持不变．则（ ）
A．列车在时间t内可能做匀加速直线运动
B．如果改为以恒定牵引力启动，则列车达到最大速度经历的时间一定大于t
C．列车达到的最大速度大小为
D．列车在时间t内牵引力做功为
【答案】B
【详解】A．列车以恒定功率运动，根据牛顿第二定律可得列车的速度v逐渐增大，则加速度a逐渐减小，所以列车做加速度减小的加速直线运动，直到达到最大速度，故A错误；
C．当牵引力等于阻力时，列车速度达到最大，则有解得最大速度为故C错误；
B．列车以恒定牵引力启动时先做匀加速直线运动，根据功率，可知列车速度增大，功率增大，达到额定功率后又开始做加速度减小的加速运动，直至达到最大速度，并且此过程与以额定功率启动的最后阶段运动情况完全相同，而开始时的加速度比以额定功率启动的加速度小，所以经历的时间较长，列车达到最大速度经历的时间一定大于t，故B正确；
D．列车从开始到最大速度过程中，根据动能定理将代入解得
故D错误。故选B。
2．一辆新能源汽车以恒定功率行驶时，在内沿平直的公路前进了，速度从恰好增大到最大值。已知整车质量为，行驶过程中所受到的阻力恒为。该时间内，下列说法正确的是（ ）
A．该汽车做匀加速直线运动
B．该汽车的恒定功率为，最大速度为
C．该汽车的恒定功率为，最大速度为
D．该汽车的车速为时，其加速度为
【答案】BD
【详解】A．在恒定功率下，随着速度的增大，汽车的牵引力逐渐减小，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，A项错误；
BC．设汽车的恒定功率为，最大速度为，则同时代入数据解得；或；考虑到汽车做加速度逐渐减小的加速运动，其平均速度满足解得故将、舍去，B项正确，C项错误；
D．当车速达到时，设车的加速度为，有解得，D项正确。故选BD。
考向2 机车启动的图像问题
3．某新能源汽车的生产厂家在测试新产品的性能时，司机驾驶一质量为m的新能源汽车沿平直的公路运动，通过传感器在计算机上描绘出了汽车的牵引力F与汽车速度v的关系图像，已知整个过程中汽车所受的阻力恒为，汽车达到额定功率后功率就保持不变，，图像中未知。则下列说法正确的是（ ）
A．汽车在加速阶段的加速度保持不变
B．
C．汽车的速度为时，汽车的加速度为
D．在~的过程中，汽车的平均速度为
【答案】B
【详解】A．的过程中，汽车的牵引力保持不变，则该过程中汽车做匀加速直线运动，在的过程中，汽车的牵引力逐渐减小，则汽车的合力逐渐减小，加速度逐渐减小，当牵引力等于F2时，汽车的加速度为零，速度达到最大值，故A错误；
B．在的过程中，汽车的功率保持不变，则解得故B正确；
C．汽车的速度为时，汽车的牵引力为由牛顿第二定律得解得故C错误；
D．在的过程中，汽车做加速度减小的加速运动，其速度一时间图象如图所示，显然该过程中汽车的平均速度大于故D错误。
故选B。
4．为了减少环境污染，适应能源结构调整的需要，我国对新能源汽车实行了发放补贴、免征购置税等优惠政策鼓励购买。在某次直线运动性能检测实验中，根据两辆新能源汽车运动过程分别作出甲车速度随时间变化的图像和乙车牵引力随速度倒数变化的图像，甲车8s至28s以额定功率行驶，乙车匀加速后，也以额定功率行驶，两辆汽车的质量均为，均由静止开始沿平直公路行驶，最终匀速运动。假设两辆车行驶中所受阻力恒定，重力加速度g取。则在此次检测中（ ）
A．乙车最大速度为20m/s
B．8s至28s，甲车牵引力做功为
C．甲、乙两车匀加速阶段的加速度均为
D．甲车额定功率小于乙车额定功率
【答案】AC
【详解】A．当乙车速度为10m/s时，牵引力为4000N，恰好达到额定功率，可得当达到最大速度20m/s时，牵引力等于阻力，可得乙车的加速度为，A正确；
C．甲车匀加速的加速度为，C正确；
D．当甲车速度达到16m/s时，刚好达到额定功率，可得当甲车达到最大速度30m/s时，牵引力等于阻力，可得联立解得故甲车额定功率大于乙车额定功率，D错误；
B．8s至28s，甲车牵引力做功为，B错误。故选AC。
1．（2023年山东卷高考真题）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（ ）
A．B．C．D．nmgωRH
【答案】B
【详解】由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面时装有质量为m的水、其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入农田的水的总质量为
m总 = 2πRnm × 60% = 1.2πRnm则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W = 1.2πRnmgH则筒车对灌入稻田的水做功的功率为；联立有故选B。
2．（2023年山西卷高考真题）一质量为1kg的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿x轴运动，出发点为x轴零点，拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．在x = 1m时，拉力的功率为6W
B．在x = 4m时，物体的动能为2J
C．从x = 0运动到x = 2m，物体克服摩擦力做的功为8J
D．从x = 0运动到x = 4的过程中，物体的动量最大为2kg∙m/s
【答案】BC
【详解】由于拉力在水平方向，则拉力做的功为W = Fx可看出W—x图像的斜率代表拉力F。
AB．在物体运动的过程中根据动能定理有则x = 1m时物体的速度为v1= 2m/s
x = 1m时，拉力为则此时拉力的功率P = Fv1= 12W，x = 4m时物体的动能为Ek= 2J，A错误、B正确；
C．从x = 0运动到x = 2m，物体克服摩擦力做的功为Wf= μmgx = 8J，C正确；
D．根据W—x图像可知在0—2m的过程中F1= 6N，2—4m的过程中F2= 3N，由于物体受到的摩擦力恒为f = 4N，则物体在x = 2m处速度最大，且根据选项AB分析可知此时的速度
则从x = 0运动到x = 4的过程中，物体的动量最大为，D错误。故选BC。考点要求
考题统计
考情分析
（1）功的计算
（2）功率的计算
（3）机车启动
2023年山东卷第4题
2023年湖北卷第4题
2023年山东卷第8题
高考对功和功率的考查频率较高，近今年主要以选择题的形式出现，题目难度上有时容易有时比较难，同时，计算题中也会经常出现有关功和功率的计算。
方法
以例说法
应用动能定理
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的功为WF，则有WF－mgl(1－cs θ)＝0，得WF＝mgl(1－cs θ)
eq \a\vs4\al()
微元法
质量为m的木块在水平面内做半径为R的圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
eq \a\vs4\al()
等效转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做的功W＝F·( eq \f(h,sin α) － eq \f(h,sin β) )
eq \a\vs4\al()
平均力法
弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做的功W＝ eq \f(kx1＋kx2,2) ·(x2－x1)
eq \a\vs4\al()
图像法
一水平拉力F0拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F0x0
eq \a\vs4\al()
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
Pt图像
和
vt图像
OA
段
过程
分析
v↑⇒F＝eq \f(P,v)↓
⇒a＝eq \f(F－F阻,m)↓
a＝eq \f(F－F阻,m)不变⇒F不变
eq \(⇒,\s\up6(v↑))P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动
性质
加速度减小的加速运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝eq \f(v1,a)
AB
段
过程
分析
F＝F阻⇒a＝0
⇒vm＝eq \f(P,F阻)
v↑⇒F＝eq \f(P额,v)↓
⇒a＝eq \f(F－F阻,m)↓
运动
性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
无
F＝F阻⇒a＝0⇒
以vm＝eq \f(P额,F阻)做匀速运动
恒定功率启动a-1/v图像
恒定加速度启动F-1/v图像
由F－Ff＝ma，P＝Fv可得：a＝eq \f(P,m)·eq \f(1,v)－eq \f(Ff,m)，
①斜率k＝eq \f(P,m)
②纵截距b=－eq \f(Ff,m)
③横截距c=eq \f(1,vm)=
①AB段牵引力不变，做匀加速直线运动；
②BC图线的斜率k表示功率P，知BC段功率不变，牵引力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动；
③B点横坐标对应匀加速运动的末速度为1/v1；
④C点横坐标对应运动的最大速度1/v2，此时牵引力等于阻力。
复习目标
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考点一 恒力做功的分析与计算
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 功及功的正负
知识点2 恒力功的计算
【提升·必考题型归纳】
考向 恒力功的计算
考点二 变力做功的五种计算方法
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点 五种求变力功的方法
【提升·必考题型归纳】
考向 五种变力功的求解
考点三 对功率的理解与计算
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 平均功率的计算
知识点2 瞬时功率的计算
【提升·必考题型归纳】
考向1 平均功率的计算
考向2 瞬时功率的计算
考点四 机车启动
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 两种机车启动方式的规律
知识点2 机车启动a-1/v和F-1/v图像问题
【提升·必考题型归纳】
考向1 两种机车启动方式计算
考向2 机车启动的图像问题
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掌握恒力功和变力功的计算。
掌握功率的计算，理解机车启动问题。
考点一 恒力做功的分析与计算
知识点1 功及功的正负
1．定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
2．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在力的方向上发生的位移。
3．公式：W＝Fl_cs_α。
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
4．功的正负
(1)当0°≤α＜90°时，W＞0，力对物体做正功。
(2)当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。
(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体不做功。
知识点2 恒力功的计算
1．恒力功的计算方法
2．总功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W总＝F合lcs α求功，此法要求F合为恒力。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意代入“＋”“－”再求和。
考向 恒力功的计算
1．如图甲，辘轱是古代民间提水设施，由辘轱头、支架、井绳、水斗等部分构成，如图乙为提水设施工作原理简化图，某次从井中汲取m=2kg的水，辘轱绕绳轮轴半径为r=0.1m，水斗的质量为0.5kg，井足够深且并绳的质量忽略不计，t=0时刻，轮轴由静止开始绕中心轴转动向上提水桶，其角速度随时间变化规律如图丙所示，g取10m/s2，则（ ）
A．水斗速度随时间变化规律为（所涉及物理量均用国际单位制）
B．井绳拉力大小恒定，其值为25N
C．0~10s内水斗上升的高度为4m
D．0~10s内井绳拉力所做的功为255J
【答案】D
【详解】A．由丙图知水斗速度随时间变化规律为（所涉及物理量均用国际单位制）
A错误；
B．水斗匀加速上升时的加速度根据牛顿第二定律解得
井绳拉力大小，B错误；
C．0~10s内水斗上升的高度为，C错误；
D．0~10s内井绳拉力所做的功为，D正确。故选D。
2．C919国产大飞机将于近日进行商业首飞，若C919某次起飞离地速度为v0，离地一段时间内水平方向速度不变，竖直方向升力（竖直方向升力为空气对飞机作用力在竖直方向合力）保持不变，飞机水平位移为x时离地高度为y，已知起飞阶段C919质量为m且保持不变，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．起飞阶段飞机竖直方向升力为
B．起飞阶段飞机竖直方向升力为
C．自起飞至离地高度为y的过程中，竖直升力对飞机做功为
D．自起飞至离地高度为y的过程中，飞机机械能的增加量为
【答案】BC
【详解】AB．由题意，可知水平方向满足竖直方向满足；联立解得故A错误，B正确；
C．自起飞至离地高度为y的过程中，竖直升力对飞机做功为故C正确；
D．自起飞至离地高度为y的过程中，根据功能关系可知飞机机械能的增加量即为竖直升力所做的功，则
故D错误。故选BC。
考点二 变力做功的五种计算方法
知识点 五种求变力功的方法
考向 五种变力功的求解
1．如图所示，一质量为的质点在半径为的半球形容器中（容器固定）由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点时，它对容器的正压力为。重力加速度为，则质点自A滑到的过程中，摩擦力所做的功为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设在B点的速度为，由牛顿第二定律，有则质点在B点的动能为质点从A滑到B的过程中，由动能定理得解得
故选C。
2．水平桌面上，长6m的轻绳一端固定于O点，如图所示（俯视图），另一端系一质量m=2.0kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F=10N，F拉着物体从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cs37°=0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．拉力F对小球做的功为16π（J）B．拉力F对小球做的功为8π（J）
C．小球克服摩擦力做的功为16π（J）D．小球克服摩擦力做的功为4π（J）
【答案】A
【详解】AB．将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1=Fl1cs37°；W2=Fl2cs37°；Wn=Flncs37°
故故A正确，B错误；
CD．同理可得小球克服摩擦力做的功故CD错误。故选A。
3．一质量为4kg的物体，在粗糙的水平面上受水平恒定的拉力F作用做匀速直线运动。物体运动一段时间后拉力逐渐减小，当拉力减小到零时，物体刚好停止运动。如图所示为拉力F随位移x变化的关系图像，重力加速度大小取10m/s2，则可以求得（ ）
A．物体做匀速直线运动的速度为4m/s
B．整个过程拉力对物体所做的功为4J
C．整个过程摩擦力对物体所做的功为-8J
D．整个过程合外力对物体所做的功为-4J
【答案】D
【详解】B．F-x图线与横轴所围区域的面积表示拉力对物体所做的功，所以故B错误；
C．0~2m阶段，根据平衡条件可得所以整个过程中摩擦力对物体做的功
故C错误；
D．整个过程中合外力所做的功为故D正确。
A．根据动能定理可得解得故A错误。故选D。
4．如图所示，在距水平地面高为处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套有一质量小球A，半径的光滑半圆形细轨道，竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量也为的小球B。用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来，杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响，g取。现给小球一个水平向右的恒力，则下列说法正确的是（ ）
A．把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中，力F做的功为
B．小球B运动到C处时的速度大小为
C．小球B被拉到离地时与小球A速度大小相等
D．小球B被拉到C处时小球A的速度为
【答案】ABC
【详解】A．把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中，力F作用点的位移为故恒力F做的功为，A正确；
B．小球B运动至C过程，由动能定理可得代入数据可解得，小球B运动到C处时的速度大小，B正确；
C．小球B被拉到离地时，如图所示，由几何关系可知又OD=0.3m，OP=0.4m，故，小球B的速度沿绳方向，与小球A速度大小相等，C正确；
D．小球B被拉到C处时，小球B速度与绳垂直，沿绳的分速度为零，此时小球A速度为0，D错误。
故选ABC。
5．如图，质量为的物块放置在水平地面上，右端连接一根轻弹簧，现对弹簧施加水平向右缓慢变大的拉力，当弹簧伸长时物块开始运动，物块开始运动后保持拉力不变将物块沿水平地面缓慢拉动距离L，取重力加速度为，已知物块与水平地面的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．物块缓慢向右移动时，拉力B．弹簧的劲度系数为
C．整个过程中拉力做的功为D．整个过程克服摩擦力做的功为
【答案】BC
【详解】AB．物块缓慢运动时，由平衡条件得解得，故A错误，B正确；
C．整个过程中拉力做功为故C正确；
D．整个过程克服摩擦力做的功为故D错误。故选BC。
考点三 对功率的理解与计算
知识点1 平均功率的计算
(1)利用P=Wt。
(2)利用P=Fvcs α,其中v为物体运动的平均速度,α为F与v的夹角。
知识点2 瞬时功率的计算
(1)利用公式P=Fvcs α,其中v为t时刻的瞬时速度,α为F与v的夹角。
(2)利用公式P=FvF,其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P=Fvv,其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
考向1 平均功率的计算
1．如图所示，质量为50kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒。已知重心在c点，a、b分别为两脚、两手连线的中点，c点正下方的O点在ab上，Oa、Ob距离分别为0.9m和0.6m。若她在1min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4m，重力加速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．该运动员1min内克服重力做功约为120J
B．该运动员1min内克服重力做功约为6000J
C．该运动员1min内克服重力做功的功率为60W
D．该运动员1min内克服重力做功的功率为100W
【答案】C
【详解】AB．她完成一次动作重心下降的高度，1min内克服重力做功为
故AB错误；
CD．1min内克服重力做功的功率为 故C正确，D错误。故选C。
2．如图甲所示，物体受到水平推力F的作用，在粗糙水平面上做直线运动。通过力传感器和速度传感器监测到推力F和物体速度v随时间t变化的规律如图乙所示。g=10m/s2。则（ ）
A．物体的质量
B．第内物体克服摩擦力做的功
C．前内推力做功的平均功率
D．前内推力做功的平均功率
【答案】B
【详解】A．物体在粗糙水平面上的摩擦力，物体的加速度根据牛顿第二定律有解得物体的质量故A错误；
B．第内物体的位移第内物体克服摩擦力做的功故B正确；
C．前内推力做功的平均功率故C错误；
D．物体的位移前内推力做功的平均功率故D错误故选B。
考向2 瞬时功率的计算
3．有长度均为的两段水平路面，段光滑，段粗糙。在处静止的小物体质量为（可视为质点）在水平恒力作用下，从点开始运动，到点恰好停下，段动摩擦因数自左往右逐渐增大，具体变化如图所示，重力加速度为。下列判断正确的是（ ）
A．水平恒力的大小
B．水平恒力在两段路面上做功不相等
C．水平恒力在段的平均功率等于段的平均功率
D．水平恒力在段中间时刻瞬时功率小于在段中间时刻瞬时功率
【答案】AD
【详解】A．由到点恰好停下，在段力做的功等于克服摩擦力做的功，根据动能定理得
解得故A正确；
B．在两段做的功相同， 故B错误；
C．小物体在段做匀加速直线运动，在段先做加速度减小的加速运动再做加速度增加的减速运动，故段运动的时间大于在段运动的时间，水平恒力在段的平均功率小于段的平均功率， 故C错误；
D．小物体在段中间时刻的瞬时速度小于在段中间时刻的瞬时速度，故水平恒力在段中间时刻瞬时功率小于在段中间时刻瞬时功率，故 D正确。故选AD。
4．在建筑工地上，建筑工人用如图所示装置将重力为G的建筑材料提升到高处，当工人在高处平台上以大小为v的速度向右做匀速直线运动时（运动过程中手握绳的高度不变），不计绳与滑轮的摩擦及动滑轮的重力，下列说法正确的是（ ）
A．重物以小于的速度匀速上升
B．手对绳的拉力大小大于
C．重物机械能的增量等于地面静摩擦力对人做的功
D．当绳与水平方向夹角为θ=37°时（cs37°=0.8），重物克服重力做功的功率为0.4Gv
【答案】BD
【详解】A．重物上升的速度由此可知，工人向右做匀速直线运动时θ角逐渐减小，则有重物以小于的速度加速上升，A错误；
B．由于重物加速上升，因此手对绳的拉力大于，B正确；
C．静摩擦力对人不做功，C错误；
D．当手牵引的绳与水平方向夹角为时，重物上升的速度大小为此时重物克服重力做功的瞬时功率，D正确。故选BD。
考点四 机车启动
知识点1 两种机车启动方式的规律
知识点2 机车启动a-1/v和F-1/v图像问题
考向1 两种机车启动方式计算
1．高铁已成为中国的“国家名片”，截至2022年末，全国高速铁路营业里程4.2万千米，位居世界第一。如图所示，一列高铁列车的质量为m，额定功率为，列车以额定功率在平直轨道上从静止开始运动，经时间t达到该功率下的最大速度，设高铁列车行驶过程所受到的阻力为，且保持不变．则（ ）
A．列车在时间t内可能做匀加速直线运动
B．如果改为以恒定牵引力启动，则列车达到最大速度经历的时间一定大于t
C．列车达到的最大速度大小为
D．列车在时间t内牵引力做功为
【答案】B
【详解】A．列车以恒定功率运动，根据牛顿第二定律可得列车的速度v逐渐增大，则加速度a逐渐减小，所以列车做加速度减小的加速直线运动，直到达到最大速度，故A错误；
C．当牵引力等于阻力时，列车速度达到最大，则有解得最大速度为故C错误；
B．列车以恒定牵引力启动时先做匀加速直线运动，根据功率，可知列车速度增大，功率增大，达到额定功率后又开始做加速度减小的加速运动，直至达到最大速度，并且此过程与以额定功率启动的最后阶段运动情况完全相同，而开始时的加速度比以额定功率启动的加速度小，所以经历的时间较长，列车达到最大速度经历的时间一定大于t，故B正确；
D．列车从开始到最大速度过程中，根据动能定理将代入解得
故D错误。故选B。
2．一辆新能源汽车以恒定功率行驶时，在内沿平直的公路前进了，速度从恰好增大到最大值。已知整车质量为，行驶过程中所受到的阻力恒为。该时间内，下列说法正确的是（ ）
A．该汽车做匀加速直线运动
B．该汽车的恒定功率为，最大速度为
C．该汽车的恒定功率为，最大速度为
D．该汽车的车速为时，其加速度为
【答案】BD
【详解】A．在恒定功率下，随着速度的增大，汽车的牵引力逐渐减小，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，A项错误；
BC．设汽车的恒定功率为，最大速度为，则同时代入数据解得；或；考虑到汽车做加速度逐渐减小的加速运动，其平均速度满足解得故将、舍去，B项正确，C项错误；
D．当车速达到时，设车的加速度为，有解得，D项正确。故选BD。
考向2 机车启动的图像问题
3．某新能源汽车的生产厂家在测试新产品的性能时，司机驾驶一质量为m的新能源汽车沿平直的公路运动，通过传感器在计算机上描绘出了汽车的牵引力F与汽车速度v的关系图像，已知整个过程中汽车所受的阻力恒为，汽车达到额定功率后功率就保持不变，，图像中未知。则下列说法正确的是（ ）
A．汽车在加速阶段的加速度保持不变
B．
C．汽车的速度为时，汽车的加速度为
D．在~的过程中，汽车的平均速度为
【答案】B
【详解】A．的过程中，汽车的牵引力保持不变，则该过程中汽车做匀加速直线运动，在的过程中，汽车的牵引力逐渐减小，则汽车的合力逐渐减小，加速度逐渐减小，当牵引力等于F2时，汽车的加速度为零，速度达到最大值，故A错误；
B．在的过程中，汽车的功率保持不变，则解得故B正确；
C．汽车的速度为时，汽车的牵引力为由牛顿第二定律得解得故C错误；
D．在的过程中，汽车做加速度减小的加速运动，其速度一时间图象如图所示，显然该过程中汽车的平均速度大于故D错误。
故选B。
4．为了减少环境污染，适应能源结构调整的需要，我国对新能源汽车实行了发放补贴、免征购置税等优惠政策鼓励购买。在某次直线运动性能检测实验中，根据两辆新能源汽车运动过程分别作出甲车速度随时间变化的图像和乙车牵引力随速度倒数变化的图像，甲车8s至28s以额定功率行驶，乙车匀加速后，也以额定功率行驶，两辆汽车的质量均为，均由静止开始沿平直公路行驶，最终匀速运动。假设两辆车行驶中所受阻力恒定，重力加速度g取。则在此次检测中（ ）
A．乙车最大速度为20m/s
B．8s至28s，甲车牵引力做功为
C．甲、乙两车匀加速阶段的加速度均为
D．甲车额定功率小于乙车额定功率
【答案】AC
【详解】A．当乙车速度为10m/s时，牵引力为4000N，恰好达到额定功率，可得当达到最大速度20m/s时，牵引力等于阻力，可得乙车的加速度为，A正确；
C．甲车匀加速的加速度为，C正确；
D．当甲车速度达到16m/s时，刚好达到额定功率，可得当甲车达到最大速度30m/s时，牵引力等于阻力，可得联立解得故甲车额定功率大于乙车额定功率，D错误；
B．8s至28s，甲车牵引力做功为，B错误。故选AC。
1．（2023年山东卷高考真题）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（ ）
A．B．C．D．nmgωRH
【答案】B
【详解】由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面时装有质量为m的水、其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入农田的水的总质量为
m总 = 2πRnm × 60% = 1.2πRnm则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W = 1.2πRnmgH则筒车对灌入稻田的水做功的功率为；联立有故选B。
2．（2023年山西卷高考真题）一质量为1kg的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿x轴运动，出发点为x轴零点，拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．在x = 1m时，拉力的功率为6W
B．在x = 4m时，物体的动能为2J
C．从x = 0运动到x = 2m，物体克服摩擦力做的功为8J
D．从x = 0运动到x = 4的过程中，物体的动量最大为2kg∙m/s
【答案】BC
【详解】由于拉力在水平方向，则拉力做的功为W = Fx可看出W—x图像的斜率代表拉力F。
AB．在物体运动的过程中根据动能定理有则x = 1m时物体的速度为v1= 2m/s
x = 1m时，拉力为则此时拉力的功率P = Fv1= 12W，x = 4m时物体的动能为Ek= 2J，A错误、B正确；
C．从x = 0运动到x = 2m，物体克服摩擦力做的功为Wf= μmgx = 8J，C正确；
D．根据W—x图像可知在0—2m的过程中F1= 6N，2—4m的过程中F2= 3N，由于物体受到的摩擦力恒为f = 4N，则物体在x = 2m处速度最大，且根据选项AB分析可知此时的速度
则从x = 0运动到x = 4的过程中，物体的动量最大为，D错误。故选BC。考点要求
考题统计
考情分析
（1）功的计算
（2）功率的计算
（3）机车启动
2023年山东卷第4题
2023年湖北卷第4题
2023年山东卷第8题
高考对功和功率的考查频率较高，近今年主要以选择题的形式出现，题目难度上有时容易有时比较难，同时，计算题中也会经常出现有关功和功率的计算。
方法
以例说法
应用动能定理
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的功为WF，则有WF－mgl(1－cs θ)＝0，得WF＝mgl(1－cs θ)
eq \a\vs4\al()
微元法
质量为m的木块在水平面内做半径为R的圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
eq \a\vs4\al()
等效转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做的功W＝F·( eq \f(h,sin α) － eq \f(h,sin β) )
eq \a\vs4\al()
平均力法
弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做的功W＝ eq \f(kx1＋kx2,2) ·(x2－x1)
eq \a\vs4\al()
图像法
一水平拉力F0拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F0x0
eq \a\vs4\al()
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
Pt图像
和
vt图像
OA
段
过程
分析
v↑⇒F＝eq \f(P,v)↓
⇒a＝eq \f(F－F阻,m)↓
a＝eq \f(F－F阻,m)不变⇒F不变
eq \(⇒,\s\up6(v↑))P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动
性质
加速度减小的加速运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝eq \f(v1,a)
AB
段
过程
分析
F＝F阻⇒a＝0
⇒vm＝eq \f(P,F阻)
v↑⇒F＝eq \f(P额,v)↓
⇒a＝eq \f(F－F阻,m)↓
运动
性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
无
F＝F阻⇒a＝0⇒
以vm＝eq \f(P额,F阻)做匀速运动
恒定功率启动a-1/v图像
恒定加速度启动F-1/v图像
由F－Ff＝ma，P＝Fv可得：a＝eq \f(P,m)·eq \f(1,v)－eq \f(Ff,m)，
①斜率k＝eq \f(P,m)
②纵截距b=－eq \f(Ff,m)
③横截距c=eq \f(1,vm)=
①AB段牵引力不变，做匀加速直线运动；
②BC图线的斜率k表示功率P，知BC段功率不变，牵引力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动；
③B点横坐标对应匀加速运动的末速度为1/v1；
④C点横坐标对应运动的最大速度1/v2，此时牵引力等于阻力。
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