【期中复习】人教版 初中数学九年级上册 期末专题复习 二次函数（面积问题）压轴题专题训练（含解析）

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(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，点D是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点D的坐标；
(3)如图2，点E坐标为，在抛物线上存在点P，满足，请直接写出直线的表达式．
2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点， 与轴的另一个交点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点，使?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．
(1)求点的坐标；
(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求三角形面积的最大值；
(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．
(1) ， ；
(2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段的值最小，则试求出点M的坐标．
5．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过点，点是直线上的动点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)当点位于直线上方且面积最大时，求的坐标；
(3)将点向右平移个单位长度得到点，当线段与抛物线只有一个交点时，请直接写出点横坐标的取值范围_______．
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，点是抛物线与轴的交点，点是直线下方抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)是否存在点，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)动点运动到什么位置时，面积最大，求出此时点坐标和的最大面积．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴交于另一点（点在点右侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是线段上一动点，过点的直线平行轴交轴于点，交抛物线于点，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下：当的面积取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．抛物线与轴交于、两点．与轴交于点、点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，连接、，点在对称轴左侧的抛物线上，若，求点的坐标．
(3)如图2，过点的直线，点是直线上方抛物线上一动点，过点作，垂足为点，连接，，，．当四边形的面积最大时，求点的坐标及四边形面积的最大值．
9．如图所示，已知抛物线与一次函数y=kx+b的图像相交于 ，两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点
(1)直接写出抛物线和一次函数的解析式及关于x的不等式的解集；
(2)当点P在直线上方时，求出面积最大时点P的坐标；
(3)是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，如图所示．
(1)分别求出抛物线和直线BC的函数表达式；
(2)在直线BC的下方抛物线的图象上找出一点N，使得△NBC的面积最大；
(3)在线段BC上是否存在点M，使得△MOC为等腰三角形，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于点，与轴交于点、且点，，抛物线的对称轴与交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点是直线上方抛物线上的一动点，连接，，求面积的最大值；
(3)若点是抛物线上一点，在直线上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
12．如图，已知二次函数的图象经过点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的面积；
(3)若P是抛物线上一点且这样的P有几个？请直接写出它们的坐标．
13．如图1所示，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，3）两点，并与x轴交于另一点A．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)如图2所示，设P（x，y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线1⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
①若点P在第一象限内．试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
②求以BC为底边的等腰△BPC的面积．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点是拋物线在轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点D的横坐标为m．连接AC，BC，，DC．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当△BCD的面积与△AOC的面积和为时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，为顶点的四边形是平行四边形．请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与 轴交于点，，与 轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称，点为直线下方抛物线上一动点，连接 ，，求面积的最大值；
（3）在（2）中面积取最大值的条件下，将抛物线（ ）沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点 为点的对应点，点为 的对称轴上任意一点，在确定一点 ，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
16．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点和点，与轴交于点．
（1）求，的值及抛物线的解析式；
（2）在图1中，把向上平移个单位长度，始终保持点的对应点在第二象限抛物线上，点，的对应点分别为，，若直线与的边有两个交点，求的取值范围；
（3）如图2，在抛物线上是否存在点（不与点重合），使和的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）首先由抛物线的解析式可求得点C的坐标，由，可求得点B的坐标，再把点B的坐标代入解析式，即可求解；
（2）首先可求得点A的坐标，记直线交于点F，由直线恰好平分的面积，可知点F为的中点，即可求得点F的坐标，即可求得直线的解析式，再与抛物线的解析式联立成方程组，解方程组，即可求解；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况；当点P在x轴上方时，在y轴上取，连接，过点B作直线交抛物线于点P，交y轴于点M，使，则，过点G作于点H，根据角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，即可求得点M的坐标，据此即可求解；同理可得点P在x轴下方时的解．
【详解】（1）解：令，则，
，，
∵，
，
，
把点B代入得：，解得：，
故抛物线表达式为；
（2）解：由（1）知抛物线的表达式为，
故令得：解得：，，
点A的坐标为，
如图：记直线交于点F，

直线恰好平分的面积，
点F为的中点，
，，
点F的坐标为，
设直线的解析式为，
把点B、F的坐标分别代入，得
解得
直线的解析式为，
解得或(舍去)，
故点D的坐标为；
（3）解：当点P在x轴上方时，
如图：在y轴上取，连接，过点B作直线交抛物线于点P，交y轴于点M，使，
则，过点G作于点H，

点E坐标为，
，
，，，
，
又，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，(舍去)，
，
，
，
设直线的解析式为，
把点M、B的坐标分别代入解析式，得
解得
故此时直线的解析式为；
当点P在x轴下方时，
同理可得，直线的解析式为，
综上，直线的解析式为或．
2．(1)
(2)
(3)点或
【分析】（1）首先求得点，然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可；
（2）过点作交于点，首先求得点，设点，则点，可求得，进而可得四边形面积，由二次函数的图像与性质即可获得答案；
（3）分点在上方和点在下方两种情况进行分析，即可获得答案．
【详解】（1）解：直线与x轴交于点，
∴可有，解得，
∴点，
∵抛物线经过点，
∴将点代入，可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如下图，过点作交于点，
∵抛物线与轴的交点为，
当时，可有，
解得，
∴点，
设点，则点，
∴，
∵四边形面积，
∴当时，四边形面积有最大值，
此时点；
（3）如下图，当点在上方时，设交轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点，
设直线解析式为，将点，点代入，
可得，解得，
∴直线解析式为，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点，
当点在下方时，
∵，
∴，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为．
综上所述，点坐标为或．
3．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为：或或
【分析】（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可；
（2）过作于点，过点作轴交于点，垂足为F，利用勾股定理可得，即有，
当取最大值时，三角形面积为最大值．证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）（1）∵点在抛物线的图象上，
∴，
∴，
即抛物线解析式为：，
当时，有，
∴点的坐标为；
（2）过作于点，过点作轴交于点，垂足为F，如图：
∵，
∴，，
∴，
当取最大值时，三角形面积为最大值．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，
将、代入，
得：，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴此时最大为，
∴ 面积的最大值：，
即面积最大值为：；
（3）存在．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为，点M的坐标为
分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，如图，
∵、，
∴，即，
解得，.
∴，
∴点M的坐标为
②当为平行四边形的对角线时，如图，
方法同①可得，，
∴，
∴点M的坐标为；
③当AC为平行四边形的对角线时，如图，
∵、，
∴线段的中点H的坐标为，即H，
∴，解得，，
∴，
∴点M的坐标为，
综上，点的坐标为：或或．
4．(1)2，3
(2)当时，四边形的面积最小，最小值为4
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴，垂足为E，利用表示出四边形的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；
（3）直接利用对称点的性质得出M点位置，进而得出答案．
【详解】（1）∵二次函数的图象经过点A，B，
则 ，
解得：；
故答案为：2；3；
（2）令，则有，即有；
∵，，，
∴，，即，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由点P、Q的运动可知：，，
结合，可得：，
即：，
过点P作轴，垂足为H，如图，
∴，即，
∴
，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，且，
∴即，，
∴当时，四边形的面积最小，最小值为4；
（3）由（2）可知，当时，可得点P的坐标为（2，1），
根据抛物线的对称性可知，点A，B关于对称轴：对称，
连接，与抛物线对称轴交于点M，点M即为所求，

∵，，
∴利用待定系数法可得直线的解析式为：，
当时，．
即点M的坐标为．
5．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）求出点的坐标，再由待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点的坐标，根据的面积列出函数解析式，再根据函数最大值求出坐标；
（3）用表示出点的坐标，根据与抛物线有一个交点，进而可以得出取值范围．
【详解】（1）解：∵将代入
∴
解得
∴
令，则
∴
将代入
∴
解得
∴
令，则
解得或
∴
故答案为：，
（2）解：设，则
∴
∴
∴当时，面积最大，
此时；
故答案为：
（3）解：∵
∴抛物线的顶点
∵点横坐标，
∴则
如图1，当经过抛物线的顶点时
解得
此时线段与抛物线有一个交点；
如图2，当点与点重合时，，
解得
当点与点重合时，
∴时，此时线段与抛物线有一个交点；
综上所述：或时，此时线段与抛物线有一个交点，
故答案为：或
6．(1)
(2)（，）
(3)当P点坐标为时，的最大面积为8
【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求得抛物线解析式即可；
（2）由题意可知点P在线段的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；
（3）过P作轴，交x轴于点E，交直线于点F，用P点坐标可表示出的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得面积的最大值及P点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线解析式为，
把A、B点坐标代入可得，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：∵
∴
作的垂直平分线，交于点D，交下方抛物线于点P，如图1，
∴，此时P点即为满足条件的点，
∵，
∴，
∴P点纵坐标为，
代入抛物线解析式可得，
解得（小于0，舍去）或，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（，）．
（3）解：∵点P在抛物线上，
∴可设，
过P作轴于点E，交直线于点F，如图2，
∵，
∴直线BC解析式为，
∴，
∴，
∴
=，
∴当时，最大值为8，此时，
∴当P点坐标为时，的最大面积为8．
7．
【分析】（1）由抛物线经过、两点得二次函数解析式；
（2）设点的横坐标为，用含的代数式表示点、点的坐标及线段的长，再根据二次函数的性质求出线段的最大值及点的坐标；
（3）在轴上存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．由（3）得，，由勾股定理求出，由等腰的腰长为或求出的长即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，由，得，，
；
设直线的解析式为，
则，解得，
；
设，，则，
，
当时，，
面积的最大值
∵点M在直线上，
∴当时，，
∴．
故面积的最大值，点
（3）解：存在．如图，
由（2）得，当最大时，当的面积取得最大值时，则，，
；
，
．
点、、、在轴上，
当点与原点重合时，则，
；
当时，则，
；
当点与点重合时，则，
∴；
当时，则，
．
综上所述，存在以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为或或或．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）抛物线与轴交于，与轴交于点，用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求出点坐标，直线的解析式，如图所示（见详解），由平行的性质可知过点与直线垂直的直线与平行，从而求出过点与直线垂直的直线解析式为，再联立方程组，求出点，设点关于直线的对称点为，再求出直线的解析式为，联立方程组，即可求点坐标；
（3）如图所示（见详解），过点作交于点，过点作轴于点，根据，，，求出，设，则，则，当时，有最大值，此时的值也是最大的，此时，由等积法，求得，即可得到四边形面积的最大值为．
【详解】（1）解：将于、代入，
∴，解方程组得，，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：将点代入，
∴，
∴或，且，
∴，
抛物线与轴的交点，令，
∴，解得或，
∴，，则是等腰直角三角形，，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，则直线与直线平行，
如图所示，过点于，交于，
∵是等腰直角三角形，，
∴与平行，设直线的解析式为，且，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得，
∴，
设点关于直线的对称点为，
∴，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得或，
∴．
（3）解：如图所示，过点作交于点，过点作轴于点，
∵，，
∴，，已知，，
∴，，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当，有最大面积，最大面积是，此时的值也是最大，即，
∴，
∴，
∴四边形面积的最大值为．
9．(1)，，或
(2)
(3)存在，或或；
【分析】（1）先运用待定系数法求出解析式，再根据函数图像得出不等式的解集即可；
（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接，根据三角形面积公式表示出面积，然后根据函数的增减性即可解答；
（3）根据平行四边形对角线相互平分的性质和平行四边形对角线中点坐标特点求解即可．
【详解】（1）解：把代入抛物线，解得，
∴抛物线解析式为 ，
把，两点代入一次函数，
得，解得，
∴一次函数的解析式为，
由图像得，关于x的不等式的解集是或
（2）解：如图：过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC，
∵，
∴，，
设P点的坐标为m，则点P的纵坐标为，
如图，过点P作PD⊥AC延长线于点D，作PE⊥BC于点E，
则
∴ ，
∴
=
=
=，
∵．
∴当m=﹣=时，有最大值，
∴当m=时，=﹣，
∴面积最大时点P的坐标为．
（3）解：存在，理由如下：
∵P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，
∴，
∵，，
设P，根据平行四边形对角线中点坐标性质，分情况讨论：
①若该平行四边形的对角线是，则，解得，
把代入，解得，则；
②若该平行四边形的对角线是，则，解得，
把代入，解得，则；
③若该平行四边形的对角线是，则，解得，
把代入，解得，则；
故符合条件的P点坐标为：或或．
10．(1)，；
(2)N（2，﹣）；
(3)M（2，）或（，）或（，）
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把直线BC向下平移到与抛物线相切时，此时平移的距离最大，点N到直线BC的距离最大即△NBC的面积最大，设出平移后的解析式：y′＝﹣x+3+m，联立方程组，由Δ＝0求出m的值，并求出N的坐标；
（3）分MC＝OM，OC＝MC，OC＝OM三种情况讨论即可.
（1）
解：由图象得：A（1，0），B（4，0），C（0，3），
把A，B，C坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c得：
解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+3；
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把B，C代入解析式得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）
解：平移直线BC使其与抛物线相切，切点为N，此时三角形NBC面积最大，
设直线为B′C′：y′＝﹣x+3+m，
由得：x2﹣3x﹣m＝0，
∵直线BC与抛物线相切，
∴Δ＝9﹣4××（﹣m）＝0，
∴m＝﹣3，
∴B′C′：y′＝﹣x.
把m＝﹣3代入x2﹣3x﹣m＝0得：x2﹣4x+4＝0，
解得：x＝2，
则y＝﹣，
∴N（2，﹣）；
（3）
解：存在，理由如下：
①当MC＝OM时，y＝﹣x+3，
yM＝OC＝，
∴＝﹣x+3，
∴x＝2，
∴M（2，）；
②当OC＝MC时，设M（n，﹣n+3），
∴32＝n2+（﹣n+3﹣3）2，
解得：n＝，
∴M（，）；
③当OC＝OM时，设M（n，﹣n+3），
32＝n2+（﹣n+3）2，
解得：n＝，
∴M（，）．
综上，M（2，）或（，）或（，）；
11．(1)
(2)
(3)存在，或或或
【分析】将点，坐标代入二次函数解析式中，建立方程求解，即可求出答案；
先确定出点坐标，直线的解析式，过点作轴交于，利用三角形面积公式得出，即可求出答案；
分为边和为对角线两种情况进行求解：当为平行四边形的边时，由建立方程求解；当为对角线时，由与互相平分建立方程组求解即可．
（1）解：∵点，在抛物线上，，，二次函数的解析式为；
（2）如图， ，，直线的解析式为，点是抛物线的对称轴与直线的交点，，由知，二次函数的解析式为，过点作轴交于，设，，，，当时，，即面积的最大值为；
（3）∵抛物线的对称轴与交于点，，设，，若，四边形为平行四边形，，解得或，或；若，四边形为平行四边形，同理求出；若为对角线，则，解得不合题意舍去或 综合以上可得出点的坐标为或或或．
12．(1)
(2)3
(3)有2个点，的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）利用抛物线的对称性求得的坐标，然后利用三角形的面积公式求得即可；
（3）利用题意求得点到轴的距离为4，即可得到，解方程即可求得点的坐标．
（1）
解：设二次函数解析式为，
由题意得，
解得：，
所以，二次函数解析式为：．
（2）
解：，
对称轴为直线，
点关于对称轴的的对称点，
，
；
（3）
解：设点到轴的距离为，
，
，
，
，
，
解得，，
有2个点，的坐标为或．
13．(1)
(2)①存在；最大值为，
②或
【分析】（1）利用B、C两点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式．
（2）①设点P的坐标为，则N的坐标为，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案；
②求出BC的垂直平分线的解析式，用方程组求出点P的坐标即可解决问题．再利用三角形面积之间的关系，可求出等腰的面积
【详解】（1）解：B（3，0），C（0，3）在抛物线上，
得，
解得：，
∴所求函数关系式为；
（2）①如图：
∵点在抛物线上，
且轴，
∴设点P的坐标为，
同理可设点N的坐标为，
又点P在第一象限，
，
，
，
，
∴当时，
线段PN的长度的最大值为．
②如图：
由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，
又由①知，OB=OC，
∴BC的中垂线同时也是的平分线，
∴设点P的坐标为，
又点P在抛物线上，于是有，
，
解得，，
∴点P的坐标为：或，
若点P的坐标为，此时点P在第一象限，
在和中，，
，
，
，
若点P的坐标为，此时点P在第三象限，
则，
，
综上所述面积为或．
14．(1)
(2)m＝
(3)存在，M点的坐标为或或或．
【分析】（1）把，代入中进行求解即可；
（2）如图，连接，求解对称轴为， 由题意可知，，，结合，与，利用即可得到答案；
（3）由（2）得：D点为，再分两种情况讨论，①当BD是平行四边形的一条边时， 如图，当在轴的上方时，由平行四边形的性质与抛物线的性质可得关于抛物线的对称轴对称，重合， 设点， 如图，当在轴的下方时，由平行四边形对角线中点坐标相同得到，， 解方程求解，可得，；②如图，当BD是平行四边形的对角线时， 则，同理可得关于抛物线的对称轴对称，从而可得 从而可得答案．
【详解】（1）（1）把，代入：
，
解得：
∴抛物线表达式为：；
（2）如图，连接，
∵抛物线解析式为：，且抛物线与y轴交于点C
∴抛物线的对称轴为，
∴OC=4，
∵点D的横坐标为m，
∴，
∵，，
∴AO=1，BO=2，
∴
又∵
∴，


解得：，，
当时，点在对称轴上，不合题意，舍去，所以取，
综上，；
（3）当时，
D点为，
①当BD是平行四边形的一条边时， 如图，当在轴的上方时，
由平行四边形可得，
关于抛物线的对称轴对称，

重合，

如图，当在轴的下方时，设点， ，
∴，（平行四边形对角线中点坐标相同），
∴，
解得或
∴或，
∴或；

②如图，当BD是平行四边形的对角线时， 则，
∴，关于抛物线的对称轴对称，
，


综上，点的坐标为： 或或或．
15．（1）；（2）8；（3）或或．
【分析】（1）直接代入点，坐标即可；
（2）作轴交直线于，于，通过点，点的坐标可求得直线的函数关系式，，可得直线与轴正方向夹角为，可得，设，则，根据可求解；
（3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，得出平移后的抛物线关系式和的坐标，从而平行四边形中，根据线段，分别为平行四边形的边，或者是对角线，分类讨论，通过点的平移得出 的横坐标所在的直线，然后代入抛物线得函数关系式，即可求得坐标．
【详解】解：（1）将，代入 得
，
，
，
（2）如图示，
作轴交直线于，于 ，
当时，，
点的坐标是，
点与点关于直线对称，
∴，
∴
∴（取非零值）
∴点的坐标是，
∵点的坐标是，点的坐标是，
∴直线的函数关系式为：，且
∴，
∴直线与轴正方向夹角为，
∴，
则有：，
∴，
设，
，
，
，
∴当时，最大为8，
（3）直线与轴正方向夹角为，
沿方向平移，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，
由（2）可知，点的坐标是，且
∴点的坐标是，
∴平移后，点的对应点的坐标为，
∵抛物线
∴平移后，
抛物线的对称轴为：直线：，
当时，在抛物线中，，
即点在抛物线上，
当为平行四边形的边时：
如图1所示，
若点平移到对称轴上点，即点往右平移个单位长度，到对称轴上点，
则，点往右平移个单位长度，
∴点的横坐标为，
∴点在直线上，
又∵点在抛物线上，
代入得，
点的坐标是；
如图2所示，
若平移到对称轴上点，即点往右平移个单位长度，到对称轴上 点，
则，点往右平移个单位长度，
∴点的横坐标为，
∴点在直线上，
又∵点在抛物线上，
代入得，
点的坐标是；
如图3示，
若为平行四边形的对角线时，
若平移到对称轴上点，即点往右平移个单位长度，到对称轴上 点，
则，点往左平移个单位长度，
∴点的横坐标为，
∴点在直线上，
又∵点在抛物线上，
代入得，
点的坐标是；
∴综上所述，所有符合条件的点的坐标是或 或．
16．（1），，；（2） ；（3）存在，符合条件的点的坐标为（－1，－4）或（3，12）或（－4，5）
【分析】（１）将点A、B的横、纵坐标代入直线AB的函数解析式可求m、n的值，再用待定系数法可求二次函数的解析式；
（2）确定的边与直线 AB有唯一公共点时的临界位置，即可求出m的取值范围；
（3）分两种情况讨论：点Q在直线AB下方的抛物线上和点Q在直线AB上方的抛物线上．
【详解】（1）∵点、在直线上，
∴，．
∴，．
∴、．
又∵、在抛物线上，
∴，解得，．
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，当点移动到上时，是与直线AB有唯一公共点M的终止临界位置，
过点B作BR⊥x轴于点R，则
∴AR=BR．
∴是等腰直角三角形，∠BAR=∠ABR=45°．
∵OA=OC=3，
∴是等腰直角三角形，∠CAO=45°，且
过点 P作PH⊥x 轴，交 AB于点 H，则∠PHM=∠HBR=45°．
由平移的性质可知，PM∥AC且PM=AC．
∴∠PMH=∠BAC=90°，
∴是等腰直角三角形，且
令，则，
∴，解得，（不合题意，舍去）．
当t=-4时，
∴，此时．
∵初始位置时，的边与直线AB有唯一公共点 A，
∴符合条件的m的取值范围是．
（3）存在．点的坐标为（－1，－4）或（3，12）或（－4，5）．
分两种情况：
①当点在直线的下方时，过点作的平行线与抛物线的交点即为满足题意的点，如图2所示，
∵，可设直线的解析式为．将代入，得，
∴直线的解析式为．联立直线和抛物线的解析式，
解得，或（舍去）．
故点的坐标为（－1，－4）．
②当点在直线的上方时，设．
过点作于点，如图所示，则．
∵和的面积相等，
∴
∴四边形为平行四边形．
∴线段的中点在直线上，
则，
解得，或－4，故点的坐标为（3，12）或（－4，5）．
综上所述，符合条件的点的坐标为（－1，－4）或（3，12）或（－4，5）．