山东省济宁市兖州区2023-2024学年高二上学期期中数学试题(Word版附解析)
展开一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的事件是( )
A. 至少有一个白球与都是红球B. 恰好有一个白球与都是红球
C. 至少有一个白球与都是白球D. 至少有一个白球与至少一个红球
2. 若两条平行直线与之间的距离是,则( )
A. B. C. D.
3. 如图,二面角的度数为,其棱上有两点、,线段、分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱,若,,则线段的长为( )
A. B. C. D.
4. 已知平面的一个法向量为,其中,则点到平面的距离为( )
A B. C. D.
5. 在正四棱锥中,为顶点S在底面内的射影,为侧棱的中点,且,则直线与平面所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6. 有6个相同球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )
A 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
7. 已知圆的方程为,直线,点是直线上的一动点,过作圆的两条切线,切点分别为,当四边形的面积最小时,直线的方程为( )
A. B.
C. D.
8. 在棱长为的正方体中,是正方体外接球的直径,点是正方体表面上的一点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 已知直线过点,且在,轴上截距相等,则直线的方程为
B. 直线的倾斜角为120°
C. ,,“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件
D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度,再沿轴向上平移2个单位长度后,回到原来的位置,则该直线的斜率为
10. 关于空间向量,以下说法正确的是( )
A. 已知两个向量,且,则
B. 已知,则在上的投影向量为
C. 设是空间的一个基底,则也是空间的一个基底
D. 若对空间中任意一点,有,则四点共面
11. 下列说法正确的是( )
A. 圆与圆的公共弦长为
B. 过点作圆的切线,则切线的方程为
C. 圆与圆关于直线对称
D. 圆心为,半径为5的圆的标准方程是
12. 在正三棱柱中,,点满足,其中,,则( )
A. 当时,的周长为定值
B. 当时,三棱锥的体积为定值
C. 当时,有且仅有一个点,使得
D. 当时,有且仅有一个点,使得平面
三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.
13. 假如,,且与相互独立,则___________.
14. 直线经过点,且直线的一个方向向量为,若直线与轴交于点,则______.
15. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________.
16. 如图,在直三棱柱中,,、分别是线段、上的点,是直线上的点,满足平面,且、不是三棱柱的顶点,则长的最小值为______.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. 如图,在空间四边形中,,点为的中点,设.
(1)试用向量表示向量;
(2)若,求的值.
18. 袋中有7只大小形状相同颜色不全相同的小猫摆件,分别为黑猫、白猫、红猫,某同学从中任意取一只小猫摆件,得到黑猫或白猫的概率是,得到白猫或红猫的概率是,试求:
(1)某同学从中任取一只小猫摆件,得到黑猫、白猫、红猫的概率各是多少?
(2)某同学从中任取两只小猫摆件,得到两只小猫颜色不相同的概率是多少?
19. 已知圆,直线()恒过定点.
(1)求定点的坐标;
(2)求直线被圆截得的弦长最短时的值、直线的方程以及最短弦长.
20. 甲,乙两人进行游戏比赛,采取积分制,规则如下:每胜1局得1分,负1局或平局都不得分,积分先达到2分者获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,则积分多的一方获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,且积分相等,则比赛最终打平.假设在每局比赛中,甲胜的概率为,负的概率为,且每局比赛之间的胜负相互独立.
(1)求第三局结束时甲获胜的概率;
(2)求乙最终以分获胜的概率.
21. 如图,在正四棱柱中,.点分别在棱,上,.
(1)证明:;
(2)点在棱上,当二面角时,求.
22. 中国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍是茅草屋顶.”现有一个刍甍如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯形,,,,.
(1)当点N为线段AD的中点时,求证:直线平面EFN;
(2)当点N在线段AD上时(包含端点),求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围.2023-2024学年第一学期期中质量检测
高二数学试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的事件是( )
A. 至少有一个白球与都是红球B. 恰好有一个白球与都是红球
C. 至少有一个白球与都是白球D. 至少有一个白球与至少一个红球
【答案】B
【解析】
【分析】列举每个事件所包含的基本事件,结合互斥事件和对立事件的定义,依次验证即可.
【详解】解:对于A,事件:“至少有一个白球”与事件:“都是红球”不能同时发生,但是对立,故A错误;
对于B,事件:“恰好有一个白球”与事件:“都是红球”不能同时发生,但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球,
所以两个事件互斥而不对立,故B正确;
对于C,事件:“至少有一个白球”与事件:“都是白球”可以同时发生,所以这两个事件不是互斥的,故C错误;
对于D,事件:“至少有一个白球”与事件:“至少一个红球”可以同时发生,即“一个白球,一个红球” ,所以这两个事件不是互斥的,故D错误.
故选:B.
2. 若两条平行直线与之间的距离是,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两直线平行可求出的值,利用平行线间的距离公式可求出的值,即可得出的值.
【详解】因为直线与平行,则,
且这两条直线间的距离为,解得,故.
故选:A.
3. 如图,二面角的度数为,其棱上有两点、,线段、分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱,若,,则线段的长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析可知,,,,,利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长.
【详解】由题意可知,,,,,,
则,
因为,
所以,
,
因此,.
故选:D.
4. 已知平面的一个法向量为,其中,则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量求点到面的距离.
【详解】由题意可得:,
所以点到平面的距离为.
故选:C.
5. 在正四棱锥中,为顶点S在底面内的射影,为侧棱的中点,且,则直线与平面所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以O为坐标原点,以OA为x轴,以OB为y轴,以OS为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求解.
【详解】如图,以O为坐标原点,以OA为x轴,以OB为y轴,以OS为z轴,建立空间直角坐标系,
设,
则,
则,,,
设平面PAC一个法向量为,则,
令,则,可得,
则,
设直线BC与平面PAC的夹角为,
可得直线BC与平面PAC的夹角的正弦值为,
所以直线BC与平面PAC的夹角的余弦值.
故选:C
6. 有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ,
故选:B
【点睛】判断事件是否独立,先计算对应概率,再判断是否成立
7. 已知圆的方程为,直线,点是直线上的一动点,过作圆的两条切线,切点分别为,当四边形的面积最小时,直线的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得当点到圆心的距离最小时,切线的长度最小,此时四边形的面积最小,求出点的坐标,以为直径的圆的方程,两圆相减得到直线的方程.
【详解】
由圆的方程为可知圆心,半径,点到圆心的距离最小时,切线的长度最小,此时四边形的面积最小,
所以,,所以直线的方程为,
联立,解得,
以为直径,以中点为圆心的圆方程为,
两圆方程相减可得直线的方程,
故选:D
8. 在棱长为的正方体中,是正方体外接球的直径,点是正方体表面上的一点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设正方体的外接球的球心为,球的半径为,分析可得,求出的取值范围,即可得出的取值范围.
【详解】设正方体的外接球的球心为,球的半径为,
则,可得,所以,
又
,
当为正方体某个面的中心时,取最小值;
当与正方体的顶点重合时,取最大值.
则,所以.
故选:A.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 已知直线过点,且在,轴上截距相等,则直线的方程为
B. 直线的倾斜角为120°
C. ,,“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件
D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度,再沿轴向上平移2个单位长度后,回到原来的位置,则该直线的斜率为
【答案】BCD
【解析】
【分析】考虑直线截距为0时可以判断A;
先求出斜率,进而求出倾斜角,然后判断B;
先求出直线与直线垂直的等价结论,进而判断C;
设出原直线方程,再求出平移后的直线方程,进而通过两条直线重合求出答案,进而判断D.
【详解】对A,若直线过原点,则方程为:,A错误;
对B,直线斜率:,则倾斜角为120°,B正确;
对C,直线与直线垂直,等价于或a=3,C正确;
对D,若直线斜率不存,设直线,它沿轴向左平移3个单位长度,再沿轴向上平移2个单位长度后得到:,不与原来重合,舍去;
若直线斜率存在,设直线,它沿轴向左平移3个单位长度,再沿轴向上平移2个单位长度后得到:,因为它回到原来的位置,所以,D正确.
故选:BCD
10. 关于空间向量,以下说法正确的是( )
A. 已知两个向量,且,则
B. 已知,则在上的投影向量为
C. 设是空间的一个基底,则也是空间的一个基底
D. 若对空间中任意一点,有,则四点共面
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据空间向量共线的知识判断A;根据投影向量计算公式判断B;根据空间向量共面的知识判断C和D.
【详解】对于A,因为,所以,
因为,所以,
解得,所以,故A正确;
对于B,因为,所以,,
所以在上的投影向量为,故B正确;
对于C,设是空间中的一组基底,则不共面,
假设共面,则,显然无解,所以不共面,
则也是空间的一组基底,故C正确;
对于D,,但,则四点不共面,故D错误.
故选:ABC.
11. 下列说法正确的是( )
A. 圆与圆的公共弦长为
B. 过点作圆的切线,则切线的方程为
C. 圆与圆关于直线对称
D. 圆心为,半径为5的圆的标准方程是
【答案】AC
【解析】
【分析】求出两圆公共弦所在直线方程,再求出弦长判断A;由直线与圆相切判断B;求出两圆连心线的中垂线方程判断C;求出圆的标准方程判断D.
【详解】对于A,圆的圆心,半径,圆的
圆心,半径,显然,即两圆相交,
把两个圆的方程相减得公共弦所在直线方程,点到此直线距离
,因此公共弦长为,A正确;
对于B,直线过点,且与相切,即切线的方程可以为,B错误;
对于C,圆的圆心,圆的圆心,
显然这两个圆是等圆,则它们关于线段的中垂线对称,而线段的中点,
直线的斜率为,于是线段的中垂线方程为,即,C正确;
对于D,圆心为,半径为5的圆的标准方程是,D错误.
故选:AC
12. 在正三棱柱中,,点满足,其中,,则( )
A. 当时,的周长为定值
B. 当时,三棱锥的体积为定值
C. 当时,有且仅有一个点,使得
D. 当时,有且仅有一个点,使得平面
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A,由于等价向量关系,联系到一个三角形内,进而确定点的坐标;
对于B,将点的运动轨迹考虑到一个三角形内,确定路线,进而考虑体积是否为定值;
对于C,考虑借助向量的平移将点轨迹确定,进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数;
对于D,考虑借助向量的平移将点轨迹确定,进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数.
【详解】
易知,点在矩形内部(含边界).
对于A,当时,,即此时线段,周长不是定值,故A错误;
对于B,当时,,故此时点轨迹为线段,而,平面,则有到平面的距离为定值,所以其体积为定值,故B正确.
对于C,当时,,取,中点分别为,,则,所以点轨迹为线段,不妨建系解决,建立空间直角坐标系如图,,,,则,,,所以或.故均满足,故C错误;
对于D,当时,,取,中点为.,所以点轨迹为线段.设,因为,所以,,所以,此时与重合,故D正确.
故选:BD.
【点睛】本题主要考查向量的等价替换,关键之处在于所求点的坐标放在三角形内.
三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.
13. 假如,,且与相互独立,则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件求出,再借助全概率公式即可计算作答.
【详解】因与相互独立,且,,则,
所以.
故答案为:
14. 直线经过点,且直线的一个方向向量为,若直线与轴交于点,则______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用方向向量可得斜率为,求得直线的方程代入点可得.
【详解】由的一个方向向量为可得直线斜率为,
所以直线的方程为,即,
将代入直线方程可得,可得.
故答案为:
15. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________.
【答案】或或
【解析】
【分析】先判断两圆位置关系,分情况讨论即可.
【详解】[方法一]:
显然直线的斜率不为0,不妨设直线方程为,
于是,
故①,于是或,
再结合①解得或或,
所以直线方程有三条,分别为,,
填一条即可
[方法二]:
设圆的圆心,半径为,
圆的圆心,半径,
则,因此两圆外切,
由图像可知,共有三条直线符合条件,显然符合题意;
又由方程和相减可得方程,
即为过两圆公共切点的切线方程,
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为,
直线OC与直线的交点为,
设过该点的直线为,则,解得,
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]:
圆的圆心为,半径为,
圆的圆心为,半径为,
两圆圆心距为,等于两圆半径之和,故两圆外切,
如图,
当切线为l时,因为,所以,设方程为
O到l的距离,解得,所以l的方程为,
当切线为m时,设直线方程为,其中,,
由题意,解得,
当切线为n时,易知切线方程为,
故答案为:或或.
16. 如图,在直三棱柱中,,、分别是线段、上的点,是直线上的点,满足平面,且、不是三棱柱的顶点,则长的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用空间向量的坐标运算,根据平行、垂直关系的坐标表示,和空间距离的坐标表示求解.
【详解】如图,由已知,,两两互相垂直,
以点A为坐标原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴,
建立空间直角坐标系,
可得,,,,
设,,,
,,
,,
设平面的一个法向量为,
则,即,
令,,
因为平面,所以,
,
又,
,可得,
,,
,
当时,取最小值,最小值为.
故答案为: .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. 如图,在空间四边形中,,点为的中点,设.
(1)试用向量表示向量;
(2)若,求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)先把表示出来,然后由点E为的中点得,化简即得结果;
(2)把、用表示,然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果.
【小问1详解】
因为,所以,
所以,
因为点E为的中点,所以
.
【小问2详解】
因为,,
所以
=
18. 袋中有7只大小形状相同颜色不全相同的小猫摆件,分别为黑猫、白猫、红猫,某同学从中任意取一只小猫摆件,得到黑猫或白猫的概率是,得到白猫或红猫的概率是,试求:
(1)某同学从中任取一只小猫摆件,得到黑猫、白猫、红猫的概率各是多少?
(2)某同学从中任取两只小猫摆件,得到的两只小猫颜色不相同的概率是多少?
【答案】(1),,
(2)
【解析】
【分析】(1)从中任取一只小猫摆件,分别记得到黑猫、白猫、红猫为事件,由已知列出的方程组即可得解;
(2)求出从只小猫摆件中取出两只小猫摆件的基本事件总数,再求出两只小猫颜色相同的基本事件总数,从而利用古典概型与对立事件的概率公式即可得解.
【小问1详解】
从中任取一只小猫摆件,分别记得到黑猫、白猫、红猫为事件,
由于为互斥事件,
所以由题意得,,解得,
所以任取一只小猫摆件,得到黑猫、白猫、红猫的概率分别是,,.
【小问2详解】
由(1)知黑猫、白猫、红猫摆件的个数别为,
记黑猫摆件为,白猫摆件为,红猫摆件为,
则从只小猫摆件中取出两只小猫摆件的基本事件有:,
,,,,共有件,
其中两只摆件是黑猫的基本事件有:,共3件,
两只白猫的基本事件有:,共1件,两只红猫的基本事件有:,共1件,
于是两只小猫摆件同色的概率为,
则两只小猫摆件颜色不相同的概率是.
19. 已知圆,直线()恒过定点.
(1)求定点的坐标;
(2)求直线被圆截得弦长最短时的值、直线的方程以及最短弦长.
【答案】(1)
(2),,
【解析】
【分析】(1)由直线l的方程变形为,联立即可求得直线恒过的定点;
(2)要使直线l被圆C所截得的弦长最短,则,化圆C的方程为标准方程,求出圆心坐标,得到,再由两直线垂直与斜率的关系列式求解m值及弦长.
【小问1详解】
直线的方程整理得,
该方程对于任意实数成立,则,解得,
所以直线恒过定点.
【小问2详解】
因为直线恒经过圆内的定点,
当直线垂直于时被截得的弦长最短.
由,可知,
所以当直线被圆截得的弦最短时,直线的斜率为2,
于是有,解得,
此时直线的方程为,即,
又因为,所以最短弦长为.
20. 甲,乙两人进行游戏比赛,采取积分制,规则如下:每胜1局得1分,负1局或平局都不得分,积分先达到2分者获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,则积分多的一方获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,且积分相等,则比赛最终打平.假设在每局比赛中,甲胜的概率为,负的概率为,且每局比赛之间的胜负相互独立.
(1)求第三局结束时甲获胜的概率;
(2)求乙最终以分获胜的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)对甲来说共有两种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜),根据独立事件的乘法公式即可求解.
(2)以比赛结束时的场数进行分类,在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.
【小问1详解】
设事件为“第三局结束甲获胜”,
由题意知,甲每局获胜的概率为,不获胜的概率为.
若第三局结束甲获胜,则甲第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).
故.
【小问2详解】
由题知,每局比赛中,乙获胜的概率为,平的概率为,负的概率为,
设事件为“乙最终以分获胜”.
若第二局结束乙获胜,则乙两局连胜,此时的概率.
若第三局结束乙获胜,则乙第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).
此时的概率.
若第四局结束乙以分获胜,则乙第四局必定获胜,前三局为1胜2平或1胜1平1负,总共有9种情况:
(胜,平,平,胜),(平,胜,平,胜),(平,平,胜,胜),(胜,平,负,胜),
(胜,负,平,胜),(平,胜,负,胜),(负,胜,平,胜),(平,负,胜,胜),(负,平,胜,胜).
此时的概率
故.
21. 如图,在正四棱柱中,.点分别在棱,上,.
(1)证明:;
(2)点在棱上,当二面角为时,求.
【答案】(1)证明见解析;
(2)1
【解析】
【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用向量坐标相等证明;
(2)设,利用向量法求二面角,建立方程求出即可得解.
【小问1详解】
以为坐标原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图,
则,
,
,
又不在同一条直线上,
.
【小问2详解】
设,
则,
设平面的法向量,
则,
令 ,得,
,
设平面的法向量,
则,
令 ,得,
,
,
化简可得,,
解得或,
或,
.
22. 中国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍是茅草屋顶.”现有一个刍甍如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯形,,,,.
(1)当点N为线段AD的中点时,求证:直线平面EFN;
(2)当点N在线段AD上时(包含端点),求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)根据线面垂直的判定定理即可证明结论;
(2)建立空间直角坐标系,利用空间角的向量求法求出平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的表达式,进行合理变形,结合二次函数的性质求得余弦的最值,即可求得答案.
【小问1详解】
证明:因为点N为线段AD中点,且,
所以,
因为,且四边形ABCD为正方形,故,
所以,而平面,
故平面;
【小问2详解】
设正方形ABCD的中心为O,分别取的中点为,
设点H为线段AD的中点,由(1)知四点共面,且平面,
连接平面,故,
又平面,故平面平面,
且平面平面,
由题意可知四边形为等腰梯形,故,
平面,故平面,
故以O为坐标原点,为轴建立空间直角坐标系,
因为,则,
又,故,
设到底面的距离为h,
四边形ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯形,且,
故,又,
故,则,
,,
设,
设平面的一个法向量为,
则,令,
设平面的一个法向量为,
则,令,
故,
令,则,
令,则,
令,则在上单调递增,
故当时,,当时,,
故,
即平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值得取值范围为.
【点睛】难点点睛:本题考查了线面垂直的证明以及空间面面角的向量求法,解答的难点在于求出平面夹角的余弦值之后,要对其表达式进行变形,从而结合二次函数的单调性求得余弦的最值,从而得到其取值范围.
2023-2024学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中数学试题含答案: 这是一份2023-2024学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中数学试题含答案,共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,问答题,应用题等内容,欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省济宁市兖州区高一(上)期中数学试卷(含解析): 这是一份2023-2024学年山东省济宁市兖州区高一(上)期中数学试卷(含解析),共13页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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