2021-2022年上海市杨浦区高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2021-2022年上海市杨浦区高一数学下学期期中试卷及答案，共5页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．已知向量，则＝ ．
2．已知i为虚数单位，则复数2+i的虚部是 1 ．
3．已知tan（x+）＝2，则tanx的值为 ．
4．函数的严格减区间为 [2kπ﹣，2k]，k∈Z ．
5．已知，则＝ ．
6．将函数y＝f（x）图像上的点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍后得到函数y＝f1（x）的图像，再将y＝f1（x）的图像向上平移1个单位后得到函数y＝sinx的图像，则y＝f（x）的函数表达式是y＝ sin2x﹣1 ．
7．设平行四边形ABCD中，△BCD的重心为H，，则μ3λ＝ ．
8．已知i为虚数单位，|z|＝1，则＝ 9 ．
9．设函数y＝f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，且，则ω的最小值为 ．
10．设锐角△ABC的外心为O，且，则tanA+ctA＝ 8 ．
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．①加速度是向量；
②若且，则；
③若，则直线AB与直线CD平行．
上面说法中正确的有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
B．
12．在△ABC中，下列说法中错误的是（ ）
A．sinA＞0
B．csA+csB＞0
C．sinA+sinB＞sinC
D．cs2A+cs2B﹣cs2C＜1，则△ABC为锐角三角形
D．
13．设函数y＝f（x）＝tan3x+x﹣3π，则f（x）在[﹣π，7π]上所有零点的和为（ ）
A．36πB．39πC．72πD．75π
D．
14．有下面两个命题：
①若y＝f（x）是周期函数，则y＝f（f（x））是周期函数；
②若y＝f（f（x））是周期函数，则y＝f（x）是周期函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．①②都正确B．①正确②错误C．①错误②正确D．①②都错误
B．
三、解答题（共4小题，满分60分）
15．已知向量．
（1）若，求实数m的值；
（2）若可以构成平面上的一个基底，求实数m的取值范围．
解：（1）由已知可得2m﹣4﹣m2+m+2＝0，解得m＝1或2．
（2）因为可以构成平面上的一个基底，所以不平行，
所以m﹣2≠﹣2m2+2m+4，所以m≠2且，
即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，2）∪（2，+∞）．
16．设m是实数，关于x的方程x2﹣（m+2）x+m2+3m+1＝0有两根x1，x2．
（1）若，求m的取值范围；
（2）若|x1﹣x2|＝2，求m的取值范围．
解：（1）∵，∴方程有两实根或一对虚根，
∴Δ≤0，即（m+2）2﹣4（m2+3m+1）＝﹣3m2﹣8m≤0，
解得．
（2）①若有两个不等实根，由Δ＞0，∴﹣＜m＜0，
∵|x1﹣x2|＝2，∴﹣4x1•x2＝4，
则（m+2）2﹣4（m2+3m+1）＝﹣3m2﹣8m＝4，
∴3m2+8m+4＝0，于是或﹣2，
②若是两个虚根，则两根为，
于是，得到3m2+8m﹣4＝0，于是．
∴m的取值范围为{﹣，﹣2，}．
17．（16分）在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A为的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件△ABC．
（1）小宋的师傅拿出了一个工件样品△ABC，其中，求sinB，sinC的值；
（2）师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且AD＝1，并要求小宋加工的工件△ABC的BC边经过点D，则：
①用角B表示工件△ABC的面积S；
②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小．
解：（1）因为，所以且B为三角形内角，
所以或B＝，
所以或C＝．
所以或sinB＝，．
（2）①在△ABD和△ACD中由正弦定理，得＝，＝，
所以，
于是；
②利用二倍角公式和积化和差公式可得
由题意可得．所以
当即时，S取到最小值．
18．（18分）已知函数y＝f（x），x∈D．若存在a＞0使得g（x）＝f（x）+ax是严格增函数，那么称f（x）为缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当时，sinx＜x．）
（1）判断以下函数是否是“缓降函数”①y＝﹣2x﹣10②y＝﹣x3（无需写出理由）；
（2）求证：y＝g（x）＝csx是“缓降函数”；
（3）已知m≥0，求证：是“缓降函数”的充要条件是m＞0．
解：（1）①是“缓降函数”，②不是“缓降函数”．
（2）证明：当时，由题意得，所以再结合所给事实可得：
当x∈（0，+∞）时，sinx＜x．
令g（x）＝csx+ax，再取a≥1，x2＞x1，
于是g（x2）﹣g（x1）＝csx2﹣csx1+a（x2﹣x1）＝
这说明y＝csx是“缓降函数”．
（3）证明：令
充分性：已知m＞0，取，
则，
于是是严格增函数，所以是缓降函数．
必要性：用反证法，当m＝0时，若存在a＞0使g（x）＝f（x）+ax是严格增函数，
令k＝[a]+1，这里[a]代表不大于a的最大整数，
取．此时
我们知道，这说明g（x2）﹣g（x1）＜0与严格增函数矛盾．
此即说明不是缓降函数．