23秋长郡外国语九上第三次月考数学试卷解析版

这是一份23秋长郡外国语九上第三次月考数学试卷解析版，共14页。试卷主要包含了的相反数是，如图，直线，直线，若， 则，小宇设计了一个随机碰撞模拟器等内容，欢迎下载使用。
A．B．2023C．D．
【答案】B
【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）即可得．
【详解】解：的相反数是2023，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的概念是解题关键．
2．如图所示图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”，中心对称图形的定义“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形”；由此问题可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键．
3．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“大”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A．江B．北C．水D．城
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“大”与“城”是相对面，
“江”与“水”是相对面，
“美”与“北”是相对面．
故选：．
4．今年是共建“一带一路”倡议提出10周年．十年来，作为“一带一路”重要节点城市，长沙实现了内陆腹地到开放前沿的“华丽蜕变”．据海关统计，年，长沙与“一带一路”共建国家进出口贸易额为元．数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
5．如图，直线，直线，若， 则（ ）

A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】根据垂直，求出，根据平行线的性质得出，即可求出答案．本题考查了平行线的性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
故选：B．
6．如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的内接四边形对角互补，圆心角是对弧的圆周角的2倍计算即可．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，而，
∴，
∴．
故选：B．
7．如图，和是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查的是位似图形及位似中心的定义，根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心，掌握位似中心的确定方法：位似图形的各个对应点连线的交点即为位似中心是解决此题的关键．
【详解】解：连接，，，如图，交点即为所求，由图可知位似中心的坐标是：．

故选：．
8．二次函数的图象如图，则函数与函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，正确记忆相关图象的分布是解题关键．
直接利用抛物线图象得出a,b,c的符号，进而利用一次函数和反比例函数的性质得出符合题意的图象．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴a.b同号，
，
∵抛物线与y轴交在正半轴，
，
，
则函数的图象分布在第二、四象限，
函数的图象经过第一、二、四象限．
故选：B．
9．伴随2023城市自然行动——“1864大熊猫巡展”在长沙站的正式启动，湖南省地质博物馆迅速成了巡展的热门打卡地．某学校九年级学生去距学校的湖南省地质博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了实际问题抽象出分式方程，首先表示出汽车的速度，然后根据汽车行驶的时间等于骑车行驶的时间减去时间差列方程即可，读懂题目信息，理解两种行驶方式的时间的关系是解题的关键．
【详解】设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，根据题意得：
，
故选：D．
10．小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有，，三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相撞的情况）．若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个型小球和一个型小球发生碰撞，会变成一个型小球．现在模拟器中有型小球12个，型小球9个，型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下说法：
①最后剩下的小球可能是型小球；
②最后剩下的小球一定是型小球；
③最后剩下的小球一定不是型小球．
其中正确的说法是：（ ）
A．①B．②③C．③D．①③
【答案】D
【分析】假设剩下的是A、B、C型小球，分别讨论，列举结果，进行排除即得．
【详解】（1）最后剩下的小球可能是型小球．理由如下：12个A型小球两两碰撞，形成6个C型小球；9个B型小球中8个两两碰撞，形成4个C型小球；所有的20个C型小球两两碰撞剩下一个C型小球；这个C型小球和剩下的B型小球碰撞形成A型小球，故①正确；
（2）最后剩下的小球可能是型小球．理由如下：12个A型小球中的9个与9个B型小球两两碰撞，形成9个C型小球；剩下的3个A型小球中的2个碰撞形成1个C型小球，所有的20个C型小球两两碰撞，最后剩下一个C型小球；这个C型小球与剩下的1个A型小球碰撞形成B型小球，故②错误；
（3）最后剩下的小球一定不是型小球．理由如下：A、B、C三种小球每一次碰撞有以下6种可能的情况：A与A碰撞，会产生一个C型小球，减少两个A型小球（C多一个，A、B共减少两个）；
B与B碰撞，会产生一个C型小球，减少两个B型小球（C多一个，A、B共减少两个）；
C与C碰撞，会产生一个C型小球，减少一个C型小球（C减少一个，A、B总数不变）；
A与B碰撞，会产生一个C型小球，减少一个A型小球和一个B型小球（C多一个，A、B共减少两个）；
A与C碰撞，会产生一个B型小球，减少一个A型小球和一个C型小球（C少一个，A、B总数不变）；
B与C碰撞，会产生一个A型小球，减少一个B型小球和一个C型小球（C少一个，A、B总数不变）；
如上可得出规律：1.从C型小球的角度看：每碰撞一次，C型小球的数量增多一个或少一个，题目中共有31个小球，经过30次碰撞剩下一个小球，整个过程变化了偶数次，C的变化即为偶数次，因为最初C型小球有10个，则剩余的C型小球必定是偶数个，不可能为1个，所以最后剩下的不可能是C型．
2.从A、B型小球的角度看：每次碰撞后，A、B型小球总数或者不变、或者减少两个、题目中A、B型小球之和为21个，无论碰撞多少次，A、B型小球都没了是不可能的．故③正确．
故选：D．
【点睛】本题考查逻辑推理及分类讨论思想，解题关键假设出现的情况，逆向推导出各个情况，注意思路严谨，分类讨论要不重不漏．
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】根据提取公因式，再运用公式法，可分解因式．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，先提取公因式，再运用公式，分解到不能再分解为止．
12．掷一枚正方形骰子，掷的结果比3大的概率是 ；
【答案】/
【分析】根据直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
∵掷一枚正方形骰子由6种可能，结果比3大的情况有：4，5，6，
∴结果比3大的概率是：，
故答案为：；
【点睛】本题考查概率，解题的关键是熟练掌握及找到所有情况及可能情况．
13．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为

【答案】4
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是：根据垂径定理的推论得，再根据勾股定理得，即可求出答案．
【详解】解：，
，
在中，，
，
．
故答案为：4．
14．如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ．

【答案】40°/40度
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质。根据旋转，得到，利用等边对等角，进行计算即可。掌握旋转的性质，是解题的关键。
【详解】解：根据旋转的性质，可得：，
∴．
故答案为：．
15．如图点是反比例函数的图象上的一点，过作轴，垂足为．已知面积为3，则这个反比例函数的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查已知图形面积，求反比例函数的解析式．根据值的几何意义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：面积为，
∴，
∵图象在第二象限，
∴，
∴，
∴解析式为：；
故答案为：．
16．在中，，，，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，证明．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
故答案为：．
17．计算：．
【答案】0
【分析】原式第一项根据实数绝对值意义化简，第二项根据零指数幂的法则化简，第三项化简二次根式，最后一项进行有理数的乘方运算，然后再合并即可得到答案．
【详解】解：
=
=0
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．先化简，再求值：，其中，.
【答案】，
【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后化简，最后代入求值即可．
【详解】
当，时，原式．
【点睛】本题考查整式混合运算的化简求值，解题的关键是根据完全平方公式和平方差公式展开．
19．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
（1）求证：EF＝MF；
（2）当AE＝1时，求EF的长．

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由旋转的性质可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝MF；
（2）由第一问的全等得到AE＝CM＝1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．
【解答】（1）证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，F，C，M三点共线，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝45°，
∴∠EDF＝∠FDM．
又∵DF＝DF，DE＝DM，
∴△DEF≌△DMF，
∴EF＝MF；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3，
∴EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，
∴BF＝BM﹣MF＝4﹣x．
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝ ，
则EF的长为 ．

【点评】此题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
20．某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球、B乒乓球、C跳绳、D踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；将条形统计图补充完成；
（2）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【专题】概率及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）200人，见解答；
（2）．
【分析】（1）由题意可知这次被调查的学生共有20÷＝200（人），首先求得C项目对应人数，继而可补全条形统计图；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：这次被调查的学生共有20÷＝200（人）．
C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人），
补充如图．
故答案为：200；
（2）列表如下：
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P（选中甲、乙）＝＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，与轴交于点．

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象，请直接写出不等式的解集；
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)3
【分析】（1）待定系数法求出的值，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）图象法求不等式的解集即可；
（3）分割法求面积即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，
∴，
∴，
∴，，
把，代入一次函数的解析式，得：
，解得：，
∴；
（2）由图象可知：不等式的解集为或；
（3）∵，当时，，
∴，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
22.为改善校园环境，提升办学品质，重庆市鲁能巴蜀中学计划拆除网球场，新建综合大楼．已知2辆甲型除渣车和3辆乙型除渣车每天可以除渣170吨，3辆甲型除渣车和2辆乙型除渣车每天可以除渣180吨．
(1)求甲、乙两种型号的除渣车每辆每天分别可以除渣多少吨？
(2)施工期间，学校决定租甲、乙两种型号的除渣车共20辆，已知每辆甲型除渣车租赁价格为15万元，每辆乙型除渣车租赁价格为12万元，要想使租赁除渣车的总费用不超过261万元，且每天除渣总量又不低于650吨，请你求出所有的租赁方案．
【答案】(1)甲型号的除渣车每辆每天可以除渣40吨，乙型号的除渣车每辆每天可以除渣30吨．
(2)有3种租赁方案：①租甲除渣车5辆，乙除渣车15辆；②租甲除渣车6辆，乙除渣车14辆；③租甲除渣车7辆，乙除渣车13辆．
【分析】（1）设甲型号的除渣车每辆每天可以除渣x吨，乙型号的除渣车每辆每天可以除渣y吨，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设租甲型号的除渣车m辆，则租乙型号的除渣车辆，根据题意列一元一次不等式组求解即可．
【详解】（1）设甲型号的除渣车每辆每天可以除渣x吨，乙型号的除渣车每辆每天可以除渣y吨，
根据题意可得，
解得
∴甲型号的除渣车每辆每天可以除渣40吨，乙型号的除渣车每辆每天可以除渣30吨．
（2）设租甲型号的除渣车m辆，则租乙型号的除渣车辆，
根据题意可得，
解得
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴有3种租赁方案：①租甲除渣车5辆，乙除渣车15辆；②租甲除渣车6辆，乙除渣车14辆；③租甲除渣车7辆，乙除渣车13辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和一次不等式在方案选择中的实际应用，利用不等式的性质进行方案选择是解题关键．
23．如图，为的直径，为上一点，，．
(1)求证：为的切线；
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是解题的关键.
（1）连接,由,,得,则,所以， 即可证明为的切线；
（2）由为的直径，得，则，而，所以，则，可求得，由勾股定理得.
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴为的切线．
（2）解：为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴.
24．若函数G在m≤x≤n（m＜n）上的最大值记为ymax，最小值记为ymin，且满足ymax﹣ymin＝1，则称函数G是在m≤x≤n上的“最值差函数”．
（1）函数①；②y＝x+1；③y＝x2．其中函数 是在1≤x≤2上的“最值差函数”；（填序号）
（2）已知函数G：y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）．
①当a＝1时，函数G是在t≤x≤t+1上的“最值差函数”，求t的值；
②函数G是在m+2≤x≤2m+1（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求a的值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】新定义；二次函数图象及其性质；函数的综合应用；运算能力．
【答案】（1）②；
（2）①t＝1或t＝2；
②．
【分析】（1）根据概念分别将①y＝；②y＝x+1；③y＝x2的最大值，最小值求出，再根据定义进行判断即可得出答案；
（2）①分别求出x＝t、x＝t+1、x＝2时的y值，再分t＞2．号≤t≤2、1≤t＜、t＜1进行讨论，即可得出t的值；
②由m+2≤x≤2m+1，可得出m＞1，即可知2＜m+2≤x≤2m+I，此时x在抛物线的对称轴右侧，y随x的增大而增大，即可得出k＝的表达式，再根据k为整数，求出m的值，即可求出a的值．
【解答】解：（1）对于①y＝，
当x＝1时，y＝1，
当x＝2时，y＝，
∴ymax﹣ymin≠1，不符合题意；
对于②y＝x+1，
当x＝1时，y＝2，
当x＝2时，y＝3，
∴ymax﹣ymin＝1，符合题意；
对于③y＝x2，
当x＝1时，y＝1，
当x＝2时，y﹣4，
∴ymax﹣ymin≠1，不符合题意；
故答案为：②；
（2）①当a＝1时，二次函数G：y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）为y＝x2﹣4x+3，对称轴为直线x＝2．
当x＝t时，，
当x＝t+1时，，
当x＝2时，y3＝﹣1．
若t＞2，则y2﹣y1＝1，解得t＝2（舍去）；
若，则y2﹣y3＝1，解得t＝0（舍去），t＝2；
若，则y1﹣y3＝1，解得t＝1，t＝3（舍去）；
若t＜1，则y1﹣y2＝1，解得t＝1（舍去）．
综上所述，t＝1或t＝2；
②∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）的对称轴为直线x＝2，
又∵m+2≤x≤2m+1，
∴m＞1，
∴2＜m+2≤x≤2m+1，
∴当2＜m+2≤x≤2m+1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝2m+1时取得最大值，x＝m+2时取得最小值，
∴，
∴m，k为整数，且m＞1，
∴m的值为3，
又∵ymax﹣ymin＝1，
∴a（6+1）2﹣4a（6+1）+3a﹣[a（3+2）2﹣4a（3+2）+3a]＝1，
∴．
【点评】此题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，新定义问题，解题的关键是分类讨论，分析在一定范围内的最值问题，属于中考压轴题．
25．如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知．点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足．设．
(1)求半圆O的半径．
(2)求y关于x的函数表达式．
(3)如图2，过点P作于点R，连结．
①当为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值．
【答案】(1) (2) (3)①或；②
【分析】（1）连接OD，设半径为r，利用，得，代入计算即可；
（2）根据CP=AP十AC，用含x的代数式表示 AP的长，再由（1）计算求AC的长即可；
（3）①显然，所以分两种情形，当 时，则四边形RPQE是矩形，当 ∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H， 则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答案；
②连接，由对称可知，利用相似表示出和BF的长度，从而解决问题．
甲
乙
丙
丁
甲
一
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
一
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
一
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
一
【详解】（1）解：如图1，连结．设半圆O的半径为r．
∵切半圆O于点D，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，即半圆O的半径是．
（2）由（1）得：．
∵，
∴．
∵，
∴．
（3）①显然，所以分两种情况．
ⅰ）当时，如图2．
∵，
∴．
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
易知△PRC∽△BEC，有，
∵，
∴，
∴．
ⅱ）当时，过点P作于点H，如图3，
则四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
易知△PRC∽△BEC，有，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：，
∴．
综上所述，x的值是或．
②如图4，连结，
由对称可知，
∵BE⊥CE，PR⊥CE，
∴PR∥BE，
∴∠EQR=∠PRQ，
∵，，
∴EQ=3-x，
∵PR∥BE，
∴，
∴，
即：，
解得：CR=x+1，
∴ER=EC-CR=3-x，
即：EQ= ER
∴∠EQR=∠ERQ=45°，
∴
∴，
易知△∽△BEC，有，
∴．
∵是半圆O的直径，
∴，
易知△BFA∽△BEC，有，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键．