北师大版七年级数学上册同步精品讲义 第31讲+角的比较

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第31讲 角的比较目标导航知识清单知识点01 角的大小比较方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB<∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB=∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB>∠A′O′B′．知识点02 角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB=∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1=∠AOB-∠2．【说明】（1）用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．（2）利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知识点03 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，∠AOC=∠BOC =∠AOB． 知识点04 余角和补角（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．（2）性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．考点精析考点一 角的大小比较例1已知，，则与的大小关系为（ ）【答案】C【分析】根据1°等于60′，把分化成度，比较大小可得答案．【详解】解：∵37°36′=37.6°，37.6°>37.36°，∴∠1>∠2．故选：C．例2若，，，则（ ）【答案】A【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大小比较，即可得到结论．【详解】∵，，=25°，∴．故选A．变1如果，，则∠1与∠2的大小关系是（ ）【答案】A【分析】将转化成，再与比较即可．【详解】解：∵，且∴，故选：A．变2若，，，则（ ）【答案】A【分析】将三个角的度数都转化成度分秒的形式后，即可得到三个角的大小关系．【详解】解：∵1°=60′；∴0.25°=60′×0.25=15′；∴∠C=32°15′；∴32°18′>32°15′30″>32°15′；∴∠A>∠B>∠C．故选：A．例3在AOB的内部任取一点C，作射线OC那么有（ ）【答案】D【分析】利用角的大小进行比较，即可完成解答．【详解】解：因为射线OC在∠AOB的内部，那么∠AOC在∠AOB的内部，且有一公共边；则一定存在∠AOB>∠AOC．故选D．例4如图，∠AOC=∠BOD，那么（ ） 【答案】B【分析】根据题意∠AOC=∠BOD，再根据图得知∠COD为∠AOC与∠BOD公共角，从而得出答案．【详解】解：∠AOC=∠BOD，∠COD为∠AOC与∠BOD公共角，∠AOC-∠COD =∠BOD-∠COD，∠AOD=∠BOC，故选B．变3如图，比较下列各角的度数，用“>”或“<”填空： ∠AOC_____∠AOB，∠BOD_____∠COD，∠AOC_____∠AOD，∠BOD_____∠BOC．【答案】     <；     >；     >；     >.【分析】根据图即可判断出角的大小关系.【详解】因为在的内部，所以；因为在的内部，所以；因为在的内部，所以；因为在的内部，所以.故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）.变4如图，若∠AOB=∠BOC，则（ ） 【答案】B【分析】根据在的内部，可知，又因为，即可判断.【详解】，，.故选：.变5如图，射线、分别在的内部外部，下列各式中错误的是（ ） 【答案】C【分析】根据所给出的图形，再利用图形中角的和差关系，分别进行解答即可．【详解】解：A、∵OD在∠AOB的外部，∴∠AOB<∠AOD，正确；B、∵OC在∠AOB的内部，∴∠BOC<∠AOB，正确；C、∵OC在∠AOD的内部，∴∠COD<∠AOD，错误；D、∵OC在∠AOD的内部，∴∠AOD>∠AOC，正确；故选：C．例5如图，正方形网格中有∠α和∠β，则∠α与∠β的大小关系为（ ） 【答案】A【分析】可截取与的两边并使其水平方向的边长相等，然后再比较两角张开的大小.【详解】观察角张开的大小，可知.故选：.变6如图所示的网格是正方形网格，_____（填“>”，“=”或“<”） 【答案】< 【分析】依据图形即可得到∠ABC=45°，∠DEF<45°，进而得出两个角的大小关系．【详解】解：由图可得，∠ABC=45°，∠DEF<45°，∴∠DEF<∠ABC，故答案为：<．考点二 余角与补角例1已知∠α=25°30'，则它的补角为（ ）【分析】由补角的概念，即可计算．【解答】解：180°﹣25°30′=154°30′．故选：D．变1已知，则的补角的度数为（ ）【分析】根据互补，即两角的和为，由此即可得出的补角度数．【解答】解：，的补角的度数为．故选：．变2若，则的余角的度数为（ ）【分析】根据互为余角的两个角的和等于列式进行计算即可得解．【解答】解：，的余角．故选：．例2若与互余，且，则（ ）【分析】根据与互余，可得，与组成二元一次方程组即可求解．【解答】解：由题意得：，．解得：．故选：．例3若一个角的补角比它余角的2倍大，则这个角的度数为　 　．【分析】设这个角为，根据题意可列代数式，求出即可得出答案．【解答】解：设这个角为，则，解得：．故答案为：．例4一个角的余角比它的补角的多，则这个角为　 　．【分析】根据余角和补角的定义解决此题．【解答】解：设这个角的度数为．由题意得，．．这个角为．故答案为：．例5一个角比它的补角的少，这个角等于　 　．【分析】根据补角的意义，设未知数列方程求解即可．【解答】解：设这个角为，则它的补角为，由题意得，，解得，故答案为：．变3如果与互余，与互补，则与的关系是（ ）【分析】根据与互余，与互补，可得①，②，通过求差，可得与的关系．【解答】解：由题意得，①，②，②①得，，变形为：，故选：．变4一个角的补角比这个角的余角的3倍小，则这个角的度数是　 　．【分析】设这个角为，根据“互为余角的两角和等于，互为补角的两角和等于”表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可．【解答】解：设这个角为，则它的补角为，余角为，根据题意得，，解得．故答案为：．变5一个角比它的补角的少，这个角等于　 　．【分析】根据补角的意义，设未知数列方程求解即可．【解答】解：设这个角为，则它的补角为，由题意得，，解得，故答案为：．变6已知一个角的余角比它的补角的还少，求这个角．【分析】设这个角的度数是，根据题意得出，再求出方程的解即可．【解答】解：设这个角的度数是，则，解得：，即这个角的度数是，答：这个角的度数是．考点三 角平分线类型一 角平分线（1）例1如图，OM平分∠AOB，下列说法错误的是（ ） 【答案】C【分析】根据角平分线的定义逐一判断即可．【详解】解：∵OM平分∠AOB，∴∠AOB=2∠AOM=2∠BOM， ，∴只有C选项符合题意，故选C．例2如图，平分，平分，那么下列各式正确的是______．（多选） 【答案】BC【分析】设，根据角平分线的定义可得，，，，然后逐项判断即可．【详解】解：设，∵平分，平分，，，，，，故A错误，不符合题意；，故B正确，符合题意；，故C正确，符合题意；D错误，不符合题意．故选：BC．变1已知三条不同的射线OA、OB、OC，有下列条件，其中能确定OC平分∠AOB的有（ ）①∠AOC=∠BOC；②∠AOB=2∠AOC；③∠AOC+∠COB=∠AOB；④∠BOC∠AOB.【解题思路】根据角平分线的定义即可判断．【解答过程】解：①由∠AOC=∠BOC能确定OC平分∠AOB；②如图1，∠AOB=2∠AOC所以不能确定OC平分∠AOB；③∠AOC+∠COB=∠AOB不能确定OC平分∠AOB；④如图2，∠BOC∠AOB，不能确定OC平分∠AOB；所以只有①能确定OC平分∠AOB；故选：A．例3如图，∠EOC=4∠COD,∠COD=20°，OE为∠AOD的平分线，求∠AOD的大小，请补全解题过程． 解：∵∠EOC=4∠COD，∠COD=20°，∴∠EOC=________°，∴∠DOE=∠EOC−∠COD=_______°，∵OE平分∠AOD，则∠AOD=2∠________=120°．【答案】80，60，DOE【分析】根据角的和差，可得∠DOE的大小，根据角平分线的定义，可得答案．【详解】解：∵∠EOC=4∠COD，∠COD=20°，∴∠EOC=80°，∴∠DOE=∠EOC−∠COD=60°，∵OE平分∠AOD，则∠AOD=2∠DOE =120°．故答案为：80，60，DOE．例4如图，直线、相交于，，是的角平分线，，求的度数． 解：，（已知），　56　．是的角平分线，　　（角平分线的性质）．　　．　　，，　　　　．【分析】根据角平分线的定义、余角的概念解答．【解答】解：，，，是的角平分线，，，，，（同角的余角相等），故答案为：56；；22；；22；同角的余角相等．变2如图所示，∠AOB=100°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON 平分∠BOC，求∠MON的度数． 解：因为射线 ， 分别平分∠ 和∠ ，所以∠NOB=∠NOC= ∠BOC，∠AOM=∠COM= ∠AOC，所以∠MON=∠ +∠ = = = °【答案】OM；ON；AOC；BOC；；；CON；COM； ；；50【分析】根据射线OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，可得∠NOB=∠NOC=∠BOC，∠AOM=∠COM=∠AOC，从而得到∠MON=，即可求解．【详解】解：因为射线OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠NOB=∠NOC=∠BOC，∠AOM=∠COM=∠AOC，所以∠MON=∠CON+∠COM== =50°．故答案为：OM；ON；AOC；BOC；；；CON；COM； (∠BOC+∠AOC)；∠AOB；50变3已知：如图，∠AOB=40°，∠BOC=60°，OD平分∠AOC，求∠BOD的度数． 解：∵∠AOC=∠AOB+∠　 　，又∵∠AOB=40°，∠BOC=60°，∴∠AOC=　 　°．∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠AOC（ 　 　）．∴∠AOD=50°．∴∠BOD=∠AOD﹣∠　 　．∴∠BOD=　 　°．【答案】，，角平分线定义，，．【分析】根据题意结合角平分线定义填空即可．【详解】∵，又∵，∴．∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠AOC（角平分线定义）．∴，∴，∴．故答案为：，，角平分线定义，，．类型二 角平分线（2）例1如图所示，点O是直线AB上一点，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOC，若∠AOC=68°，则∠BOF和∠EOF是多少度？ 【解题思路】由角平分线的定义，结合平角的定义，易求∠BOF和∠EOF的度数．【解答过程】解：点O是直线AB上一点，则∠AOB=180°，若∠AOC=68°，则∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=180°﹣68°=112°，∵OF平分∠BOC，∴∠BOF∠BOC112°=56°；又∵OE平分∠AOC，∴∠EOF∠AOC∠BOC=34°+56°=90°．故∠BOF和∠EOF分别是56°和90°．例2如图，为的平分线，是的平分线． （1）若，，求为多少度？（2）若，，求为多少度？ 【分析】（1）根据角平分线的定义可以求得；（2）根据角平分线的定义易求得，所以由图中的角与角间的和差关系可以求得，最后由角平分线的定义求解．【解答】解：（1）为的平分线，是的平分线，，，；（2）是的平分线，，．，．又为的平分线，．变1如图，O 为直线 AB 上一点，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC， 则图中互余的角有_____对． 【答案】4【分析】根据角平分线的定义和平角的概念求出∠MOC+∠NOC=90°，根据余角的概念判断即可．【详解】∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOM=∠AOC，∠NOC=∠BON=∠BOC，∴∠MOC+∠NOC=（∠AOC+∠BOC）=90°，∴∠MOC与∠NOC互余，∠MOA与∠NOC互余，∠MOC与∠NOB互余，∠MOA与∠NOB互余，共4对．故答案为：4．变2如图，OB是的平分线，OD是的平分线，，．求的度数． 【答案】【分析】先由OB是的平分线求出，从而求出，再用OD是的平分线求出，最后用计算即可．【详解】∵OB是的平分线，，∴，∴．又∵OD是的平分线， ∴，又∵，∴．变3如图，已知∠AOB=160°，OD是∠AOB内一条射线，OE平分∠AOD，OC平分∠BOD． （1）若∠AOE=55°，求∠EOC的度数；（2）若∠BOC=19°，求∠EOD的度数．【答案】(1)∠EOC=80°(2)∠EOD=61°【分析】（1）先根据角平分线定义，结合∠AOE=55°得到∠EOD=∠AOE=55°，∠AOD=110°，求出∠DOB=50°，再根据角平分线的定义求出∠DOC=25°，根据∠EOC=∠EOD+∠DOC=80°；（2）先根据角平分线定义得到∠DOB=2∠BOC=38°，再求出∠AOD=∠AOB﹣∠DOB=122°，然后根据角平分线定义得出∠EOD=∠AOD=61°．（1）解：∵OE平分∠AOD，∠AOE=55°，∴，，∵∠AOB=160°，∴，∵OC平分∠BOD，∴，∴∠EOC=∠EOD+∠DOC=55°+25°=80°．（2）解：∵OC平分∠BOD，∠BOC=19°，∴∠DOB=2∠BOC=38°，∵∠AOB=160°，∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=122°，∵OE平分∠AOD，∴∠EOD=∠AOD=61°．变4如图，是的平分线，是的平分线． （1）若，，那么是多少度？（2）若，，那么是多少度？【分析】（1）根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可；（2）根据角平分线的定义进行计算即可．【解答】解：（1）是的平分线，，是的平分线，，；（2）是的平分线，，，是的平分线，．考点四 三角板中的角度计算类型一 三角板中的角度计算（1）例1将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠ACD的度数为（ ） 【答案】C【分析】根据三角板的内角度数可知∠DCB=45°，∠ACB=30°，相加即可．【详解】解：由题意得：∠ACD=∠DCB+∠ACB=45°+30°=75°，故选：C．例2如图，将一副三角尺的两个直角项点O按如图方式叠放在一起，若∠AOC=130°，则∠BOD=（ ） 【答案】B【分析】根据题意可得，推算出的度数，即可得出的度数．【详解】解：由题可知，，∵∠AOC=130°，∴∴故选B．例3如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点O重合，若∠AOB=165°，则∠COD的度数为______． 【答案】15°##15度【分析】先根据直角三角板的性质得出∠AOD+∠COB=180°，进而可得出∠COD的度数．【详解】解：∵△AOD与△BOC是一副直角三角板，∴∠AOD+∠COB=180°，∴∠AOC+2∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°．∵∠AOB=165°，∴∠COD=180°﹣∠AOB=180°﹣165°=15°．故答案为15°．变1如图，直角三角板的直角顶点A在直线l上，如果∠1=35°，那么∠2的度数是（ ） 【答案】A【分析】根据图形可判断∠1＋∠2=90°，继而可得出答案．【详解】解：由图形可得∠1＋∠2=180°－90°=90°，∵∠1=35°，∴∠2=90°﹣35°=55°．故选：A．变2如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知∠AOB =160°，则∠COD的度数为（ ） 【答案】A【分析】先根据直角三角板的性质得出，进而可得出的度数．【详解】解：，是一副直角三角板，，，，，故选：．变3如图，是一副三角板的摆放图，将一个三角板60°的角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小是（ ） 【答案】B【分析】根据题意可求得∠CAE=40°，再由∠CAE+∠CAD=90°可求得∠CAD的度数．【详解】解：由题意得：∠DAE=90°，∠BAC=60°，∵∠BAE=20°，∴∠CAE=∠BAC−∠BAE=60°-20°=40°，∵∠CAE+∠CAD=∠DAE=90°，∴∠CAD=90°−∠CAE=90°-40°=50°，故选：B．变4将一副三角尺按如图所示的方式放置，∠BOC=35°，∠AOD的度数是_____． 【答案】145°##度【分析】根据三角板可得∠BOC+∠BOD=90°，∠BOC+∠AOC=90°，∠BOC=35°，可求出∠BOD=55°，∠AOC=55°，根据角的和差关系即可求出∠AOD．【详解】解：∵∠BOC+∠BOD=90°，∠BOC+∠AOC=90°，∠BOC=35°，∴∠BOD=55°，∠AOC=55°，∴∠AOD=∠AOC+∠BOC+∠BOD=55°+35°+55°=145°．故答案为：145°．类型二 三角板中的角度计算（2）例1如图，将两个三角尺的直角与顶点O重合在一起，若，OE为的平分线，则的度数为（ ） 【答案】D【分析】根据∠AOD+∠BOC=180°，∠AOD=4∠BOC，求出∠BOC的度数，再根据角平分线求出∠COE的度数，利用∠DOE=∠COD﹣∠COE即可解答．【详解】解：∵∠AOB=90°，∠COD=90°，∴∠AOB+∠COD=180°，∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠BOC+∠BOD，∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD=180°，∴∠AOD+∠BOC=180°，∵∠AOD=4∠BOC，∴4∠BOC+∠BOC=180°，∴∠BOC=36°，∵OE为∠BOC的平分线，∴∠COE∠BOC=18°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣18°=72°，故选：D．变1一副三角板如图叠放，已知∠OAB=∠OCD=90°，∠AOB=45°，∠COD=60°，OB平分∠COD，则∠AOC=_____度． 【答案】15【分析】先根据OB平分∠COD求出∠BOC，即可根据∠AOC=∠AOB-∠BOC求解【详解】∵OB平分∠COD，∠COD=60°，∴∠BOC=30°，∵∠AOB=45°，∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=45°-30°=15°，故答案为：15．例2如图1，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段是三角板的两条直角边，射线是的平分线． （1）当时，求的度数；（2）当时，则________（用含的式子表示）；（3）当三角板绕点O逆时针旋转到图2位置时，，它条件不变，则________（用含的式子表示）【答案】(1)60°(2)2α(3)360°-2α【分析】（1）利用已知求得∠DOE=60°，利用角平分线的性质得到∠AOD=2∠DOE，再利用平角的定义，∠BOD可求；（2）利用（1）中方法可求；（3）利用已知可求∠DOE=α-90°，然后利用（1）中的方法求得∠BOD的度数．（1）∵∠COD=90°，∠COE=30°，∴∠DOE=90°-30°=60°．∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠DOE=2×60°=120°．∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-120°=60°．（2）∵∠COD=90°，∠COE=α，∴∠DOE=90°-α．∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠DOE=2×（90°-α）=180°-2α．∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（180°-2α）=2α．故答案为：2α．（3）由题意：∠DOE=α-90°．∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠DOE=2α-180°．∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（2α-180°）=180°-2α+180°=360°-2α．故答案为：360°-2α．例3如图1所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． （1）若∠DCE=25°，则∠ACB=________°；若∠ACB=130°，则∠DCE=_________°．（2）如图2所示，若两个同样的三角板，将60°锐角的顶点A叠放在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．（3）如图3所示，已知∠AOB=，∠COD=（，都是锐角）．若把它们的顶点O叠放在一起，将∠AOD与∠BOC的数量关系用含与的式子表示出来，直接写出结论．【答案】(1)155，50(2)∠DAB＋∠CAE=120°，理由见解析(3)∠AOD＋∠BOC=＋【分析】(1)当∠DCE=25°时，先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；当∠ACB=130°时，先求出∠BCD，再代入∠DCE=∠BCE-∠BCD求出即可；(2)根据∠DAB=∠DAE+∠BAE求出即可；(3)根据∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．（1）解:当∠DCE=25°时，∵∠BCE=90°，∴∠BCD=∠BCE-∠DCE=65°，∵∠ACD=90° ，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；故答案为∶155；当∠ACB=130°时，∵∠ACD=90° ，∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=130°-90°=40°，∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-40°=50°，故答案为∶50；（2）∠DAB＋∠CAE=120°，理由如下：∵∠CAD=∠BAE=60°，∴∠DAE=∠CAD－∠CAE=60°－∠CAE，∴∠DAB=∠DAE＋∠BAE=120°－∠CAE，∴∠DAB＋∠CAE=120°；（3），理由如下，∵∴，故答案为：．变2如图，将两块三角板的直角顶点重合． （1）写出以C为顶点的所有相等的角．（2）若，求∠DCE的度数．（3）猜想：∠ACB与∠DCE之间的数量关系为________．【答案】(1)∠ACD=∠BCE，∠ACE=∠BCD(2)32°(3)∠ACB＋∠DCE=180°【分析】（1）根据同角的余角相等求解即可；（2）由图得∠DCE=90°﹣∠ACE，求∠ACE的度数即可；（3）根据∠ACB+∠DCE=∠BCE+∠ACE+∠DCE，即可得出．（1）解：由题意得∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACE+∠DCE=∠BCD+∠DCE，∴∠ACE=∠BCD；（2）解：∵∠ACB=148°，∠BCE=90°，∴∠ACE=148°﹣90°=58°，∴∠DCE=90°﹣∠ACE=90°﹣58°=32°；（3）解：∵∠ACB+∠DCE=∠BCE+∠ACE+∠DCE=90°+90°=180°，∴∠ACB＋∠DCE=180°，故答案为：∠ACB＋∠DCE=180°．变3如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一块直角三角板DOE直角顶点放在点O处． （1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=_______°；（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD、∠COE的度数；（3）如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．【答案】(1)20(2)∠BOD=50°；∠COE=70°(3)∠COE﹣∠BOD=20°，理由见解析【分析】（1）根据图形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；（2）根据角平分线定义求出∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD=∠BOE-∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD=∠BOC-∠BOD即可求解；（3）根据图形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相减即可求出答案．（1）解：如图①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，故答案为：20；（2）如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，∴∠EOB=2∠BOC=140°，∵∠DOE=90°，∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=50°，∵∠BOC=70°，∴∠COD=∠BOC-∠BOD=20°,∴∠COE=∠EOD-∠COD=70°；（3）∠COE-∠BOD=20°理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD）=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD=∠COE-∠BOD=90°-70°=20°，即∠COE-∠BOD=20°．变4在一次数学活动课上，李磊同学将一副宜角三角板、按如图1放置，点A、C、D在同一直线上，（°、），并将三角板绕点A顺时针旋转一定角度，且始终保持． （1）在旋转过程中，如图2，当点A、C、E在同一直线上时，则____；（2）在旋转过程中，如图3，当时．请说明平分；（3）在旋转过程中，如图4，当时，求此时的度数．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据计算；（2）计算的度数，得到，得出结论；（3）设，表示出，根据，求出，得出答案；(1)解：点在同一直线上，，，故答案为：；(2)如图3，，∵，，∴，∵，，∴，∴平分；(3)如图4，，设，则，∵，∴，∵，∴，解得，∴．变5如图1，一块三角板的一条直角边OC放在直线AB上．将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，使它的两直角边OC、OD均在直线AB的上方，得图2；将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使它的直角边OC在直线AB下方，OD在直线AB的上方得图3．OE始终平分． （1）图1中，的度数为______，______；图2中，若，则______．（2）在图2中，猜想与数量关系，并说明理由．（3）在图3中，直接写出与的数量关系．不必说明理由．【答案】(1)，，(2)∠BOD=2∠COE．理由见解析(3)∠BOD=2∠COE【分析】（1）由角的平分线的定义及平角、补角的定义来求解；（2）由角的平分线的定义及平角、余角补角的定义来求解；（3）由角的平分线的定义及平角、余角补角的定义来求解；（1）由题意知，∠AOD=90°，则∠BOD=180°-90°=90°∵OE平分．∴图2中，∵OE平分∠AOD=2∠DOE =，故答案是：45°，90°，70°；（2）猜想: ∠BOD=2∠COE；理由如下：设∠COE=.得∠DOE=，∴∠AOD=2∠DOE =2()∴∠BOD=∠AOD=2()=2∴∠BOD=2∠COE．（3）∠BOD=2∠COE，理由如下：设∠COE=.得∠DOE=，∴∠AOD=2∠DOE =2()∴∠BOD=∠AOD=2()=2∴∠BOD=2∠COE．考点五 角n等分线的计算例1如图，若，，且OC在∠AOB的内部，则（ ） 【答案】D【分析】根据，分析出∠AOC与∠AOB的倍分关系即可解决问题．【详解】解：∵，∴．故选：D．例2如图，，，，则（ ） 【答案】B【分析】根据，可得，根据，，即可求解．【详解】解：∵， ，即，，，，．故选B变1如图，已知，平分，且．请求出的度数． 【分析】设，则，可得，，由求得，得到结果．【解答】解：设，则，，平分，，，，．变2如图，与的度数比为，平分，若，求的度数． 【分析】先设，再根据，列出关于的方程进行求解，最后计算的度数．【解答】解：设，则，，平分，，，解得，．例3如图所示，平分，，，求的度数． 【分析】由角平分线的定义可得，根据角的和差可得，进而可得答案．【解答】解：平分，，，，．例4已知，，平分，平分．（1）如图1，若，求的度数；（2）将顺时针旋转至图2的位置，求的度数． 【分析】（1）设，则，根据角平分线的定义可得，解方程可得答案；（2）设，则，，根据角平分线的定义与角的和差计算即可．【解答】解：（1）设，则，平分，平分，，，，，解得，，，，，，答：的度数是；（2）设，则，，平分，平分．，，，．答：的度数是．变3如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，再计算出的度数，再根据邻补角互补可得的度数．【解答】解：平分，，，设，则，，，解得：，，，，平分，，，．变4如图，点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB． （1）求∠DCF的大小，并说明理由；（2）当∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB时，直接写出∠DCF的大小（用含n的代数式表示）．【答案】(1)∠DCF=60°，理由见解析(2)∠DCF=．【分析】（1）利用角的和与角的差，平角的定义来计算即可；（2）根据（1）的计算模式，把换成就可得出结果．（1）解：∵点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB，∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=（∠ECA+∠ECB）=×180°=60°；（2）解：∵点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB，∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=（∠ECA+∠ECB）=×180°=．变5点在直线上，在直线的同侧作射线，．（1）如图1，若，，求的度数；（2）如图2，若平分，平分，，求的度数． 【分析】（1）先利用平角定义求出，然后设，，列出方程进行计算即可解答；（2）先利用平角定义求出，然后根据角平分线的定义求出，即可解答．【解答】解：（1），，，，设，，，，，的度数为；（2），，平分，平分，，，，，的度数为．考点六 求角度综合例1阅读并解答：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线，如图，OM是的平分线，ON是的平分线， （1）如图1，当是直角，时，的度数是多少？（2）如图2，当，时，猜想与的数量关系；（3）如图3，当，时，猜想与、有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．【答案】(1)45°(2)∠MON=α．(3)∠MONα，与β的大小无关【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可；（3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可．（1）解：如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=90°+60°=150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC∠AOC=75°，∠NOC∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．（2）如图2，∠MONα，理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，∴∠AOC=α+60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC∠AOCα+30°，∠NOC∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+30°）﹣30°α．（3）如图3，∠MONα，与β的大小无关．    理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=α+β．         ∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC∠AOC（α+β），∠NOC∠BOCβ，∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+ββ=αβ．       ∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC（α+β）α即∠MONα．例2如图，以的顶点O为端点画一条射线，分别是和的角平分线． （1）如图①，若，则的度数是_________；（2）如图②，若，则的度数是_________．（3）根据以上解答过程，完成下列探究：①探究一：如图③，当射线位于内部时，请写出与的数量关系：__________．②探究二：如图④，当射线位于外部时，请写出与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)①；②，见解析【分析】（1）直接根据角平分线的进行计算即可求解；（2）先求得，再根据角平分线的性质即可求解；（3）直接根据角平分线的进行分类计算探究即可．(1)解：∵，，分别是和的角平分线∴，∴(2)解：∵，∴∵，分别是和的角平分线∴，∴；(3)解：①，理由如下：如图③，当射线位于内部时，证明：，分别是和的角平分线，，，②如图④，当射线位于外部时，，理由如下：，分别是和的角平分线，，，变1如图，是的平分线，是的平分线． （1）如图①，当是直角，时，则___________（2）如图②，当，时，猜想与的数量关系，并说明理由．（3）如图③，当，时，猜想：与、有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．【答案】(1)45°(2)∠MON=，理由见解析(3)∠MON=，与的大小无关，理由见解析【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；（3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可．（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=90°+60°=150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC-∠NOC=45°．故答案为：45°；（2）∠MON=，理由是：∵∠AOB=，∠BOC=60°，∴∠AOC=＋60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=＋30°，∠NOC=∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC－∠NOC=（＋30°）－30°=．（3）∠MON=，与的大小无关． 理由：∵∠AOB=，∠BOC=，∴∠AOC=＋．                                ∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC=∠AOC=（＋），∠NOC=∠BOC=，∴∠MON=∠MOC－∠NOC=（＋）－=，  即∠MON=变2已知为直线上一点，以为顶点作，射线平分． （1）如图1，与的数量关系为_________，和之间的数量关系为_________．（2）若将绕点旋转至图2位置，射线仍然平分，请写出和这间的数量关系，并说明理由；（3）若将绕点旋转至图3的位置，射线仍然平分，请写出和之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)互余；(2)；理由见解析(3)；理由见解析【分析】（1）根据已知条件和图形可知：，，从而可以得到与的数量关系；射线平分，根据与的数量关系，从而可以得到和的数量关系；（2）由图2可以得到各个角之间的关系，从而可以得到和之间的数量关系；（3）由图3和已知条件可以建立各个角之间的关系，从而可以得到和之间的数量关系．（1）解：∵，，∴，∴与互余；∵射线平分，∴，∴．故答案为：互余；．（2）．理由如下：∵平分，∴，∵，∴，∴．（3）．理由如下：∵平分，∴，∴．例3如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． （1）如图1，、分别是、的角平分线，已知，，求的度数；（2）如图2，若，，且，求的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再由，求出，再由角平分线的定义求出答案；（2）设，由，可得，进而得出，由可得，由列方程求出，进而求出答案．【解答】解：（1）如图1，、分别是、的角平分线，，，，，；（2）如图2，由于，设，则，，又，，，，，．例4如图1，射线、分别是，的平分线，．，三点，，在一直线上将从现在位置开始绕点逆时针每秒旋转，当与重合时，立即再将绕点顺时针每秒旋转，当与重合时，旋转停止．（1）若，求；（2）求的度数；（3）当旋转时，的大小不变，设边对应射线，边对应射线，旋转时间为秒，直接写出为何值时，对于（1）中，使成立． 【分析】（1）利用以及角的和差可得的值；（2）设，根据题意列出方程，解方程可得的度数；（3）分和两种情况，分别列出方程可得的值．【解答】解：（1），，，；（2）设，由（1）得，由，得，故，三点，，共线，，得，；（3）由（2）得，，①当时，，，，解得或0（舍去）；②当时，，，，解得或16．综上，为或或16．变3已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC=120°，∠DOE=80°． （1）如图1，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；（2）点F在射线OB上，若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0”“=”“<”填空）．【答案】< 【分析】将∠1进行换算，再和∠2比较即可判断大小．【详解】解：∵0.45°=27′，∴∠1=30.45°=30°+0.45°=30°27′，∵∠2=30°28′，∴∠1<∠2．故答案为：<．2.若∠A=20°19´，∠B=20°15´30＂，∠C=20.25°，则（ ）【答案】A【分析】先把∠C化为度、分、秒的形式，再根据角的大小比较法则解答即可．【详解】解：∵1°=60′，∴∠C =20.25°=20°+0.25×60′=，∵，∴∠A>∠B>∠C．故选：A．3.如图，在∠AOB的内部取一点C，在∠AOB的外部取一点D，作射线OC，OD．下列结论错误的是（ ） 【答案】A【分析】利用图形中角的和差关系计算.【详解】因为在的内部，所以；因为在的内部，所以；因为在的内部，所以.故选：.4.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠AOB　　∠COD．（填“>”，“<”或“=”） 【解题思路】取格点E，作射线OE，则∠AOB=∠COE，依据叠合法即可得出结论．【解答过程】解：如图所示，取格点E，作射线OE，则∠AOB=∠COE，由图可得，∠COE>∠COD，∴∠AOB>∠COD，故答案为：>.5.如图所示，其中最大的角是　 　，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是　 　． 【解题思路】直接根据图形即可得出结论．【解答过程】解：由图可知，最大的角是∠AOD；∠DOA>∠DOB>∠DOC．故答案为：∠AOD，∠DOA>∠DOB>∠DOC．6.若，则的余角的度数为（ ）【分析】根据互余两角之和等于即可得出答案．【解答】解：，的余角．故选：．7.互为补角的两个角的比是，则较小角的余角等于（ ）【分析】先根据补角的定义求出较大的角和较小的角，再利用余角的定义进行计算即可解答．【解答】解：互为补角的两个角的比是，较大的角，较小的角，较小角的余角，故选：．8.若一个角的补角加上后等于这个角余角的3倍，则这个角的度数为（ ）【分析】设这个角为，表示出它的余角和补角，然后列出方程求解即可．【解答】解：设这个角为，则它的余角为，补角，根据题意得，，解得．故选：．9.一个角的补角与这个角的余角的和比平角少，则这个角的度数是　 　．【分析】首先根据余角与补角的定义，设这个角为，则它的余角为，补角为，再根据题中给出的等量关系列方程即可求解．【解答】解：设这个角为，则它的余角为，补角为，依题意得，，解得：．这个角的度数为．故答案为：10.是的3倍，且的补角比的余角大，求的度数．【分析】根据余角和补角的定义解决此题．【解答】解：由题意得，，．，．11.一个角的余角比它的补角的一半还小10度，求这个角．【分析】设这个角为，根据“一个角的余角比这个角的补角的一半还小”，列出方程，即可解答．【解答】解：设这个角为，根据题意得：，解得：．故这个角的度数为．12.一个角的余角比它的补角的还少，则这个角为　 　度．【分析】设这个角的度数为，由题意列出方程，从而解决此题．【解答】解：设这个角的度数为．由题意得，．．这个角为．故答案为：30．几何计算：13.如图，已知∠AOB=40°，∠BOC=3∠AOB，OD平分∠AOC，求∠COD的度数． 解：因为∠BOC=3∠AOB，∠AOB=40°，所以∠BOC= °．所以∠AOC= + = °+ °= °．因为OD平分∠AOC，所以∠COD= =× °= °．【答案】120；∠AOB；∠BOC；40；120；160；∠AOC；160；80【分析】先求出∠BOC的度数，再求出∠AOC的度数，根据角平分线的定义求解即可．【详解】解：因为∠BOC=3∠AOB，∠AOB=40°，所以∠BOC=120°．所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=40°+120°=160°．因为OD平分∠AOC，所以∠COD= ∠AOC=× 160°=80°．故答案为：120；∠AOB；∠BOC；40；120；160；∠AOC；160；80．14.如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数． 【答案】120°，30°【分析】先根据角平分线，求得的度数，再根据角的和差关系，求得的度数，最后根据角平分线，求得、的度数．【详解】解：∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠BOE=∠AOB =45°，又∵∠EOF=60°，∴∠BOF=∠EOF－∠BOE= 15°，又∵OF平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOF=30°，∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°，故∠AOC=120°，∠COB=30°．15.如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． （1）如果∠AOB=50°，∠DOE=35°，那么∠BOD是多少度？（2）如果∠AOE=160°，∠COD=25°，那么∠AOB是多少度？【答案】(1)85°(2)55°【分析】（1）可以根据角平分线的定义求得∠COD，∠BOC的度数，即可求∠BOD；（2）根据角平分线的定义可求∠COE的度数，进而可求∠AOC的度数，再由角平分线定义即可求解∠AOB．（1）解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∴∠COD=∠DOE=35°，∠COB=∠BOA=50°．∴∠BOD=∠COD+∠COB=85°．（2）解：∵OD是∠COE的平分线，∴∠COE=2∠COD=2×25°=50°，∴∠AOC=∠AOE-∠COE=160°-50°=110°，又∵OB是∠AOC的平分线，∴∠AOB=∠AOC=×110°=55°．16.如图，是平角，分别是的角平分线． （1）若，求的度数；（2）若，用含和的式子表示出的度数．【答案】(1)30°(2)∠AOP（α﹣2β）【分析】（1）由平角的定义可求得∠AOC+∠COD=110°，结合角平分线的定义可求解∠AOC的度数，即可求得∠COD的度数，再利用角平分线的定义可求解；（2）由角平分线的定义可求得∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解．(1)∵∠AOB是平角，∴∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∵∠BOD=70°，∴∠AOC+∠COD=110°，∵OP是∠AOC的角平分线，∠AOP=25°，∴∠AOC=2∠AOP=50°，∴∠COD=110°﹣50°=60°，∵OQ是∠COD的角平分线，∴∠DOQ∠COD=30°；(2)∵OQ是∠COD的角平分线，∠QOD=β，∴∠COD=2∠QOD=2β，∵∠AOD=α，∴∠AOC=∠AOD﹣∠COD=α﹣2β，∵OP是∠AOC的角平分线，∴∠AOP∠AOC（α﹣2β）．17.一副三角板摆放在一起的示意图如下，若，则∠2的度数是______． 【答案】35°##35度【分析】根据图形直接用平角减去一个直角及∠1即可得出结果．【详解】解：根据图形可得：∠2=180°-90°-∠1=35°，故答案为：35°．18.如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若∠1=25°40′，则∠2=______． 【答案】55°40′【分析】根据题目的已知可求出∠EAC的度数，再利用90°减去∠EAC的度数即可解答．【详解】解：∵∠BAC=60°，∠1=25°40'，∴∠EAC=∠BAC-∠1=60°-25°40′=59°60′-25°40′=34°20′，∵∠EAD=90°，∴∠2=∠EAD-∠EAC=90°-34°20′=89°60′-34°20′=55°40′，故答案为：55°40′．19.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起． （1）若∠DCE=35°，则∠ACB的度数为______；（2）若∠ACB=144°42′，则∠DCE的度数为______；（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用∠ACD减去∠DCE求出∠ACE，然后再利用∠ACE加上∠ECB即可解答；（2）利用∠ACB减去∠ACD求出∠DCB，然后再利用∠ECB减去∠DCB即可解答；（3）根据已知可得∠ACE＋∠ECD＋∠DCB＋∠ECD=180°，结合图形可知∠ACE＋∠ECD＋∠DCB=∠ACB，然后进行计算即可解答．(1)解：∵∠ACD=90°，∠DCE=35°，∴∠ACE=∠ACD−∠DCE=90°−35°=55°，∵∠ECB=90°，∴∠ACB=∠ACE＋∠ECB=145°，故答案为：145；(2)∵∠ACD=90°，∠ACB=144°42′，∴∠DCB=∠ACB−∠ACD=144°42′−90°=54°42′，∵∠ECB=90°，∴∠DCE=∠ECB−∠DCB=90°−54°42′=35°18′，故答案为：35°18′；(3)，理由是：∵∠ACD=90°，∠ECB=90°，∴∠ACE＋∠ECD＋∠DCB＋∠ECD=180°，∵∠ACE＋∠ECD＋∠DCB=∠ACB，∴∠ACB＋∠DCE=180°．【点睛】本题考查了角的大小比较，角的计算，度分秒的换算，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．20.如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究． （1）如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分线，请你猜想此时CB是不是∠ECD的平分线，并简述理由；（2）如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由；（3）如图③，若将两个同样的三角板中60°锐角的顶点A叠放在一起，请你猜想∠DAB与∠CAE有何关系，并说明理由．【答案】(1)CB是∠ECD的平分线，理由见解析(2)∠ACE=∠DCB，理由见解析(3)∠DAB+∠EAC=120°，理由见解析【分析】（1）根据角平分线的定义求得∠ECB=45°，进而求得∠BCD=45°，证得∠ECB=∠DCB即可解答；（2）根据等角的余角相等解答即可；（3）根据角的运算求解即可．(1)解：CB是∠ECD的平分线．理由：∵∠ACB=90°，CE恰好是∠ACB的平分线，∴∠ECB=45°，∵∠DCE=90°，∴∠DCB=90°－45°=45°，∴∠ECB=∠DCB，∴CB是∠ECD的平分线 ；(2)解：∠ACE=∠DCB．理由：∵∠ACB=∠DCB=90°,∴∠ACE+∠ECB=90°，∠DCB+∠ECB=90°，∴∠ACE=∠DCB；(3)解：∠DAB+∠EAC=120°．             理由：∵∠BAE=∠CAD=60°，∴∠DAE+∠EAC=60°，∠EAC+∠CAB=60°，∴∠DAE+∠EAC+∠EAC+∠CAB=120°，∵∠DAE+∠EAC+∠CAB=∠DAB，∴∠DAB+∠CAE=120°．21.如图，已知，平分，且．请求出的度数． 【分析】设，则，可得，，由求得，得到结果．【解答】解：设，则，，平分，，，，．22.如图，与的度数比为，平分，若，求的度数． 【分析】先设，再根据，列出关于的方程进行求解，最后计算的度数．【解答】解：设，则，，平分，，，解得，．23.如图，，，平分，求的度数． 【分析】由角的和差可求解的度数，再根据角平分线的定义可求解的度数，进而可求解．【解答】解：，，，平分，，，24.如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC=70°，∠BOE=∠BOC，∠BOD=∠AOB，则∠DOE=_______°．（用含n的代数式表示） 【答案】【分析】根据角的和差即可得到结论．【详解】解：∵∠BOE=∠BOC，∴∠BOC=n∠BOE，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，∴∠BOD=∠AOB=+∠BOE，∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=，故答案为：．25.如图1，OC是∠AOB的平分线，且． （1）当时，求∠AOB的度数：（2）如图2，若射线OP在的内部，且，请直接写出图中相等的四对角．（和除外）【答案】(1)60°(2)、、、【分析】（1）根据角平分线的定义，找出角的对应关系，列出代数式并求解即可；（2）看图分析，根据角的对应关系，即可找出相等的四对角．（1）解：∵OC是∠AOB的平分线，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）根据图2分析可得：、、、．26.已知在的内部，且，，射线平分． （1）若，求的度数；（2）若，求的度数．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）根据，，可得，根据以及角平分线的定义即可求解；（2）根据已知条件可得，根据角平分线的定义可得，进而根据，即可求解．（1）因为，，所以．因为，所以．因为平分，所以．（2）因为，，所以．因为平分，所以．所以，所以．27.如图，是的平分线，是的平分线．（1）如果，，求的度数；（2）如果，求的度数；（3）如果平分，，，求的度数． 【分析】（1）利用角平分线的定义求出和的度数即可解答；（2）利用双角平分线的定义求出，即可解答；（3）根据已知设，则，利用角平分线的定义求出，，从而求出，再根据平分，求出，最后利用，进行计算即可解答．【解答】解：（1）平分，，，平分，，，；（2）平分，平分，，，；（3），设，则，平分，平分，，，，平分，，，，，．28.如图1，在∠AOB中，OC是∠AOB内部任意一条射线，ON、OM分别平分∠AOC和∠BOC． （1）若∠AOB=100°，求∠MON的度数．（2）若∠AOB=ɑ，直接写出∠MON的度数=　 　（结果用含α的代数式表示）．（3）若射线OC在∠AOB外部（∠BOC<180°），其它条件不变，如图2所示，∠AOB=，求∠MON的度数（结果用含的代数式表示）．【答案】(1)50°(2)(3)或【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，再根据，即可计算；（2）根据（1）中的结论直接得到答案；（3）根据角平分线的性质可得∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，再根据角的和差计算．（1）解：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，所以∠MON=∠COM+∠CON=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）==50°；（2）∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，所以∠MON=∠COM+∠CON=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）==；故答案为：；（3）如图2所示：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，所以∠MON=∠COM﹣∠CON=∠BOC﹣∠AOC=（∠BOC﹣∠AOC）==．如图3所示，∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，所以∠MON=∠COM+∠CON=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）==，综上所述，∠MON的度数或．29.多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线． （1）如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；（2）如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；（3）若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据角的和差、角平分线的定义可得，然后根据即可得；（2）先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得；（3）如图（见解析），先根据角平分线的定义可得，再分①射线在的内部，②射线在的内部，③射线在的内部三种情况，分别根据角的和差即可得．（1）解： 是的平分线，，，，，是的平分线，，；（2），，是的平分线，是的平分线，，故答案为：（3）是的平分线，是的平分线，，由题意，分以下三种情况：①如图，延长至点，当射线在的内部时，，，；②如图，延长至点，延长至点，当射线在的内部时，，，；③如图，延长至点，当射线在的内部时，，，；综上，的度数为或．课程标准1.掌握角的大小比较的方法； 2.掌握角平分线的定义及相关计算； 3.掌握角的n等分的相关计算；4.掌握余角和补角的定义及运算.A．B．C．D．无法比较A．B．C．D．A．B．C．D．无法确定A．B．C．D．A．AOC=BOCB．AOC >BOCC．BOC >AOBD．AOB >AOCA．∠AOD>∠BOCB．∠AOD=∠BOCC．∠AOD<∠BOCD．两角关系不能确定A．∠COD>∠AOBB．∠AOB>∠CODC．∠AOB=∠CODD．∠AOB与∠COD的大小不能确定A．B．C．D．A．∠α<∠βB．∠α=∠βC．∠α>∠βD．无法判断A．25°30′B．64°30'C．164°30'D．154°30′A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．∠AOB=2∠AOMB．∠AOM=∠BOMC．∠AOM=2∠BOMD．∠AOM=∠AOBA．B．C．D．A．1个B．2个C．3个D．4个A．45°B．60°C．75°D．80°A．45°B．50°C．55°D．60°A．55°B．45°C．35°D．25°A．20°B．30°C．40°D．50°A．60°B．50°C．40°D．30°A．36B．45C．60D．72A．22°B．42°C．72°D．44°A．10°B．15°C．20°D．25°A．∠A>∠B>∠CB．∠B>∠A>∠CC．∠A>∠C>∠BD．∠C>∠A>∠BA．∠AOB<∠AODB．∠BOC<∠AOBC．∠COD>∠AODD．∠AOB>∠AOCA．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．