2022-2023学年陕西省西安市第六中学高一上学期期末数学试题

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册．
考试时间：120分钟 分值：150
一、单选题
1. “”是“”成立（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意分别考查充分性和必要性即可求得最终结果.
【详解】当时，一定有，即必要性满足；
当时，其正切值不存在，所以不满足充分性；
所以“”是“”成立的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：该题主要考查的是有关充分必要条件的判断，正确解题的关键是要注意正切值不存在的情况.
2. 若，则下列不等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质判断.
【详解】由，得，即，故A错误；
则，则，即，故B错误；
则，，所以，故C正确；
则，所以，故D错误；
故选：C
3. 下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出各选项中函数的定义域与值域，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，值域为；
对于B选项，函数，定义域为，值域为；
对于C选项，对于函数，有，可得，该函数的定义域为，
当时，，则，此时，
当时，，则，，
故函数的值域为；
对于D选项，函数的定义域为，值域也为.
故选：D.
4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先研究函数的奇偶性，排除选项BD，再通过计算确定答案.
【详解】解：设，
所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项BD.
当时，，所以排除C，选择A.
故选：A
5. 已知点是第三象限的点，则的终边位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数在各象限的符号即可求出．
【详解】因为点是第三象限的点，所以，故的终边位于第四象限．
故选：D．
6. 已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判断函数的单调性，依题意恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可.
【详解】解：因为且，又单调递减，在定义域上单调递增，
所以在定义域上单调递减，
因为在区间上恒成立，所以恒成立，
所以，解得，即；
故选：C
7. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性、幂函数的单调性比较即可求解.
【详解】是增函数，
，
是减函数，在上是增函数，
故选：B
8. 已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数解析式作出函数的图象，设，且，根据，确定以及的范围，即可得出的取值范围.
【详解】作出函数的图象如图，
设，且，
则函数与直线的三个交点从左到右依次为：，，，
点与在上，，
则与关于直线对称，则，
若，解得，
若满足，，且由，则有，
即，
故选：C.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
二、多选题
9. 下列各式中，值可取的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用余弦的二倍角公式化简可判断A；由两角和与差的正弦公式化简可判断BC；.
由正切的两角和的展开公式化简可判断D.
【详解】，故A错误；
，
由得
可得B正确；.
，故C错误；
，
故D正确.
故选：BD.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 函数的最小值为
C. 函数的值域为，则实数m的取值范围是
D. 若函数，则在区间上单调递增.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项利用差比较法判断；B选项利用换元法以及函数单调性进行判断；C选项利用判别式进行判断；D选项根据幂函数的单调性进行判断.
【详解】A选项，，，
，当且仅当时等号成立，所以，故A选项正确.
B选项，令，则，
函数在区间上递增，没有最小值.所以B选项错误.
C选项，函数的值域为，
当时，，值域为，符合题意.
当时，，所以的值域为，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是，C选项正确.
D选项，函数，定义域是，，
是偶函数，在上递减，所以在区间上单调递增，D选项正确.
故选：ACD
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的单调递增区间是B. 函数的值域是
C. 函数的图象关于对称D. 不等式的解集是
【答案】BC
【解析】
【分析】根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.
【详解】对A：令，解得或，故的定义域为，
∵在定义域内单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增，A错误；
对B：∵，即的值域，
∵，故函数的值域是，B正确；
对C：∵，即，
故函数的图象关于对称，C正确；
对D：，且在定义域内单调递增，
可得，解得或，
故不等式的解集是，D错误.
故选：BC.
12. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数图象为轴对称图形
B. 函数在单调递减
C. 存在实数，使得有三个不同的解
D. 存在实数a，使得关于x不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的对称性、单调性、方程的解、不等式的解等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】，
，，
所以的图象关于直线对称，A选项正确.
由于函数在区间上递减，在区间上递减，
所以函数在单调递减，B选项正确.
由上述分析可知：的图象关于直线对称，在区间上递减，在区间上递增，
所以不存在实数使得有三个不同的解，C选项错误.
有上述分析可知：的图象关于直线对称，在区间上递减，在区间上递增，
令，解得，
此时不等式的解集为，D选项正确.
故选：ABD
三、填空题
13. 已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是___．
【答案】[0，4]
【解析】
【分析】命题P为假命题，则为真命题，进而求出a的范围.
【详解】根据题意，恒成立，所以.
故答案为：.
14. 已知函数的最小正周期为，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正切型三角函数确定最小正周期的表达式，即可求的值.
【详解】解：函数的最小正周期为，所以.
故答案为：.
15. 已知，满足，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到的值，然后由正弦的和差角公式，代入计算即可得到结果.
【详解】因为，则，
因为，则，
所以，
，
则
故答案为:
16. 定义为，中的最大值，函数的最小值为，如果函数在R上单调递减，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据图象，将函数写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得，由减函数的定义可得，解得的范围，即可得答案．
详解】
由题意，在同一坐标系下画出的图象，可知
，且
则，因为为减函数，
必有，
解可得：，即m的取值范围为；
故答案为．
四、解答题
17. 计算下列各式的值．
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算法则、对数恒等式及对数运算性质，化简求解；
（2）利用同角关系式、辅助角公式得到，再利用诱导公式及二倍角公式，化简求解．
【小问1详解】
解：，
，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
．
18. 已知，函数一个零点为1.
（1）求的最小值；
（2）解关于的不等式
【答案】（1）10 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数零点可得，又，结合基本不等式即可求得的最小值；
（2）解含参一元二次不等式不等式，由方程的两根，，比较两根大小，即可求得不等式的解集.
【小问1详解】
函数的一个零点为1，得即，又，
所以，
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为10；
【小问2详解】
由整理得，因为，方程的两根，
①当时，原不等式为，则其解集为；
②当时，则，所以不等式的解集为；
③当时，则，原不等式的解集为.
19. 某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：
（1）根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调递减区间.
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）直接利用五点法的应用求出函数的关系式；
（2）利用（1）的结论, 进一步利用函数的定义域求出函数的值域, 进一步求出最大值和最小值.
【小问1详解】
根据五点法的表格，所以
所以的最小正周期
令，
解之得
又，所以或
即在上的单调递减区间为，
【小问2详解】
由于
所以
所以
所以
当即时，函数的最小值为;
当即时，函数的最大值为.
20. 设．
（1）求使不等式成立的的取值集合；
（2）先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移个单位；最后向下平移个单位得到函数的图象．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可得，因此等价于，利用正弦函数的性质可求不等式的解集.
（2）根据图象变换可得，从而原不等式可化为在，换元后利用二次函数的性质可求的取值范围.
【详解】解：.
（1）即：
，
所以原不等式的解集为：.
（2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变,得；再向右平移个单位，得；最后向下平移个单位得到函数，
∴.
设，由可得：，
则原不等式等价于：在上恒成立；
设，，则在递增，在递减，所以，
所以．
【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据正弦函数的性质求与相关的不等式或方程的求解问题．另外，含的二次式的恒成立问题，常通过换元转化为一元二次不等式在相应范围上的恒成立问题.
21. 在新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为200万元，每生产x千件需另投入成本，当年产量不足60千件时，（万元），当年产量不小于60千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完．
（1）写出利润（万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式；
（2）该公司决定将此药品所获利润的10%用来捐赠防疫物资，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？
【答案】（1）；
（2）当年产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.
【解析】
【分析】（1）分、两种情况讨论，结合利润销售收入成本，可得出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）利用二次函数的基本性质、基本不等式可求得函数的最大值及其对应的值，由此可得出结论.
【小问1详解】
由题意可知，
当时，，
当时，，
故有；
【小问2详解】
当时，，
即时，，
当时，有，
当且仅当时，,
因为，所以时，，
答：当产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.
22. 已知，函数
（1）若函数过点，求此时函数的解析式；
（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将点代入可求出，进而得到解析式；
（2）由复合函数的单调性知在区间上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由已知得到问题的等价不等式对任意恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.
【小问1详解】
解：因为函数过点，
即，
解得，
故；
【小问2详解】
因为是复合函数，设，，
，在区间单调递增，单调递增，
故函数在区间上单调递增，，
由题意对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
设，，只需即可，
因为的对称轴为，图像是开口向下的抛物线，
故在单调递减，
故，
故.0
0
0