重庆市铜梁区巴川初级中学校2023-—2024学年上学期第一次月考九年级数学试题

这是一份重庆市铜梁区巴川初级中学校2023-—2024学年上学期第一次月考九年级数学试题，共34页。试卷主要包含了解答题解答题时每小题必须给出等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．
C．y＝8x2+1D．y＝x2﹣（x﹣3）2
2．（4分）用公式法解一元二次方程3x2＝2x﹣3时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A．a＝3，b＝2，c＝3B．a＝﹣3，b＝2，c＝3
C．a＝3，b＝2，c＝﹣3D．a＝3，b＝﹣2，c＝3
3．（4分）将抛物线y＝（x﹣1）2+2先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，5）B．（﹣1，﹣1）C．（3，﹣1）D．（3，5）
4．（4分）根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与y的对应值，判断关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（ ）
A．1＜x＜2B．﹣1＜x＜1C．﹣7＜x＜﹣1D．﹣1＜x＜5
5．（4分）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1
6．（4分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（4分）从前，有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为x尺，则下列方程，满足题意的是（ ）
A．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2B．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x
C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2D．x2+（x﹣4）2＝（x﹣2）2
8．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣4，0）和原点．下列说法正确的是（ ）
A．abc＞0B．4ac﹣b2＞0C．3a﹣b＜0D．5a+c＜0
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（ ）
A．52B．60C．68D．76
10．（4分）已知函数f（x）＝x2+2x，g（x）＝2x2+6x+n2+3，当x＝1时，f（1）＝12+2×1＝3，g（1）＝2+6+n2+3＝n2+11．则以下结论正确的有（ ）
①若函数g（x）的顶点在x轴上，则；
②无论x取何值，总有g（x）＞f（x）；
③若﹣1≤x≤1时，g（x）+f（x）的最小值为7，则n＝±3；
④当n＝1时，令，则h（1）•h（2）…h（2023）＝2024．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）若二次函数y＝x2﹣bx+b﹣2的图象经过原点，则b＝ ．
12．（4分）
如图是一个计算程序，当输出值y＝100时，输入x的值为 ．
13．（4分）若一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则＝ ．
14．（4分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2，若y≥5，则x的取值范围是 ．
16．（4分）如图，图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m，如图（2）建立平面直角坐标系，当水面下降0.5m时，水面宽增加 m．
17．（4分）如果关于x的分式方程有整数解，且二次函数y＝（m﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，那么符合条件的所有整数m的和为 ．
18．（4分）一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“等和数”，将这个“等和数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新的四位数m，记，则D（1254）＝ ；若某个“等和数”n的千位与十位上的数字之和为8，D（n）为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则满足条件的最大“等和数”n是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，其它各题每小题8分，共78分）解答题时每小题必须给出
19．（8分）在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边△ABC中，点D是AB边上任意一点，连接CD，过点A的射线AE交BC于点E，交CD于点F，当∠BAE＝∠ACD时，则必有BD＝CE．为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作∠BAE＝∠ACD，再通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规在图的基础上作∠BAE＝∠ACD，AE交BC于点E，交CD于点F．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
（2）证明：∵△ABC为等边三角形
∴AC＝AB＝BC， ①
在△ACD和△BAE中
∴△ACD≌△BAE（ASA）
∴ ③
又∵AB＝BC
∴AB﹣AD＝ ④
∴BD＝CE．
20．（10分）解方程：
（1）x2﹣4x＝7；
（2）3x（3x+1）＝6x+2．
21．（10分）巴川中学STEAM创新教育学部为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
（1）根据以上信息可以求出：a＝ ，b＝ ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
（2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
（3）若STEAM创新教育学部七、八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
22．（10分）重庆中国三峡博物馆（重庆博物馆）是一座集巴渝文化、三峡文化、抗战文化、移民文化和城市文化等为特色的历史艺术类综合性博物馆，也是国家4A级风景名胜区．每到假期各地游客纷纷前来游玩．据统计，今年国庆小长假第一天的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到6050人次．
（1）求今年国庆小长假第一天至第三天游客人数的平均日增长率；
（2）博物馆附近某商店推出了木质旅游扇，每把扇子的成本为6元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降价1元，平均每天可多售出20把．设每把扇子降价x元，商店每天所获利润为w元，求每把扇子的定价为多少元时，商店每天所获利润最大？最大利润是多少元？
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从点B出发，沿折线B﹣C﹣D﹣A运动，当点P运动到点A时停止运动．设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，（1）直接写出y1与x的函数关系，并注明x的取值范围；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出y1的函数图象，并写出它的一条性质；
（3）函数y2＝x2﹣8x+17的图象如图所示，请利用图象，直接写出当y1＝y2时，自变量x的值．（结果精确到0.1，误差不超过0.2）
24．（10分）今年贵州榕江村超爆火出圈，全国各地足球爱好者闻讯而至．在某一场足球比赛中，进攻方甲队三名球员A、C、D，与乙队的防守球员B的位置如图所示．此时足球在球员A脚下，他想将球绕过对手B传至队友D处，再由D经线路DC回传给队友C．已知对手B在A的北偏东60°方向，AB＝12米．球员C在对手B的正东方向，BC＝3米．球员D在队友C的正北方向，且在队友A的北偏东30°方向．（参考数据：≈1.73）
（1）求传球线路CD的长（结果精确到1米）；
（2）根据对手B的跑动和拦截范围估计，对手B可以破坏掉在B点5米范围内的球．球员D经线路DC传球给队友C的同时，队友C沿CD方向去接球，已知球速为10m/s，球员C的平均速度为5m/s．计算说明球员C是否能避开防守顺利接到球？
25．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴正半轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线BC上方该抛物线上任意一点，过点P作PFlly轴交BC于点F，作PE⊥BC于点E，当PF的值最大时，求点P的坐标，并求出此时PF+PE的最大值；
（3）如图2，在（2）问的条件下，将该抛物线沿射线CB的方向平移个单位后得到新抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线的交点为M．在新抛物线y′的对称轴上有一点N，在平面内有一点K，是否存在以点P，K，M，N为顶点的四边形是以PN为边的菱形？若存在，请直接写出点K的坐标并写出求解K点坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．
26．（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D在线段AB上运动．
（1）如图1，连接CD，过点C作CE⊥CD交BA的延长线于点E．过点A作AF⊥AB交CE于点F，若BD＝2，EA＝3，求EF的长；
（2）如图2，点H是BC边上一点，连接DH，过点A作AG∥BC交HD延长线于点G．若BH＝AG，将AD绕点D顺时针旋转60°得到线段MD，MD交AC于点K，连接AM，过点C作CN⊥MD交AM于点N，垂足为P．求证：MN+MC＝MD；
（3）如图3，若AB＝4，连接CD并将CD绕点D逆时针旋转90°得到线段QD，连接CQ、BQ，取CQ中点T，点R在AC上且AC＝4CR，连接RT，直接写出当RT+QB取得最小值时△BDQ的面积．
2023-2024学年重庆市铜梁区巴川中学九年级（上）第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、
1．（4分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．
C．y＝8x2+1D．y＝x2﹣（x﹣3）2
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．函数y＝x2+的分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．函数y＝的根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．函数y＝8x2+1是二次函数，故本选项符合题意；
D．y＝x2﹣（x﹣3）2，
整理得：y＝6x﹣9，是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义（形如y＝ax2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0）的函数叫二次函数．
2．（4分）用公式法解一元二次方程3x2＝2x﹣3时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A．a＝3，b＝2，c＝3B．a＝﹣3，b＝2，c＝3
C．a＝3，b＝2，c＝﹣3D．a＝3，b＝﹣2，c＝3
【分析】先根据等式的性质进行变形，再得出a、b、c的值即可．
【解答】解：3x2＝2x﹣3，
移项，得3x2﹣2x+3＝0，
这里a＝3，b＝﹣2，c＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的一般形式，能正确化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键．
3．（4分）将抛物线y＝（x﹣1）2+2先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，5）B．（﹣1，﹣1）C．（3，﹣1）D．（3，5）
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），
∵向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的性质是解题的关键．
4．（4分）根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与y的对应值，判断关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（ ）
A．1＜x＜2B．﹣1＜x＜1C．﹣7＜x＜﹣1D．﹣1＜x＜5
【分析】仔细看表，可发现y的值﹣1和5最接近0，再看对应的x的值即可得．
【解答】解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
故关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是1＜x＜2．
故选：A．
【点评】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．
5．（4分）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣x2+1的开口向下，对称轴为y轴，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+1上的三点，而A（﹣3，y1）离y轴的距离最远，B（1，y2）离y轴的距离最近，
∴y2＞y3＞y1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（4分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＞0、b＞0、c＜0是解题的关键．
7．（4分）从前，有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为x尺，则下列方程，满足题意的是（ ）
A．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2B．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x
C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2D．x2+（x﹣4）2＝（x﹣2）2
【分析】根据题意，门框的长，宽，以及竹竿长是直角三角形的三个边长，等量关系为：门框长的平方+宽的平方＝门的两个对角长的平方，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．
∴门框的长为（x﹣2）尺，宽为（x﹣4）尺，
∴可列方程为（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2，
故选：C．
【点评】本题考查用一元二次方程解决实际问题，得到门框的长，宽，竹竿长是直角三角形的三个边长是解决问题的关键．
8．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣4，0）和原点．下列说法正确的是（ ）
A．abc＞0B．4ac﹣b2＞0C．3a﹣b＜0D．5a+c＜0
【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．
【解答】解：A、由图象可知c＝0，故abc＝0，不符合题意；
B、函数与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，不符合题意；
C、函数对称轴是x＝﹣2，﹣，b＝4a，a＜0，3a﹣b＝3a﹣4a＝﹣a＞0，不符合题意；
D、a＜0，5a＜0，c＝0，所以5a+c＜0，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数系数与图象的位置关系是解答本题的关键．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（ ）
A．52B．60C．68D．76
【分析】过点G作DH⊥AB于H，过G作MN∥AB交DA的延长线于M，交CB的延长线于N，设AF＝x，先证四边形AHGM和四边形BHGN均为矩形，再证△HGF和△AEF全等，进而得GH＝AE＝2，HF＝AF＝x，MG＝AH＝2x，AM＝GH＝NB＝2，NG＝4﹣2x，在Rt△EMG中，由勾股定理得EG2＝4x2+16，在Rt△CGN中由勾股定理得：CG2＝4x2﹣16x+52，据此得EG2+CG2＝8x2﹣16x+68＝8（x﹣1）2+60，由此可得出EG2+CG2的最小值．
【解答】解：过点G作DH⊥AB于H，过G作MN∥AB交DA的延长线于M，交CB的延长线于N，如图：
设AF＝x，
∵四边形ABCD为正方形，AD＝4，点E为AD的中点，
∴AB＝AD＝BC＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AE＝DE＝2，
∴∠MAB＝∠NBA＝90°，
又MN∥AB，GH⊥AB，
∠M＝∠N＝90°，∠GHA＝∠GHB＝90°，
∴四边形AHGM和四边形BHGN均为矩形，
∴∠GHF＝∠EAF＝90°，
在△HGF和△AEF中，
，
∴△HGF≌△AEF（AAS），
∴GH＝AE＝2，HF＝AF＝x，
∴MG＝AH＝2x，AM＝GH＝NB＝2，
∴NG＝BH＝AB﹣AH＝4﹣2x，
在Rt△EMG中，MG＝2x，ME＝AM+AE＝4，
由勾股定理得：EG2＝MG2+ME2＝4x2+16，
在Rt△CGN中，NG＝4﹣2x，CN＝BC+NB＝6，
由勾股定理得：CG2＝NG2+CN2＝（4﹣2x）2+36＝4x2﹣16x+52，
∴EG2+CG2＝8x2﹣16x+68＝8（x﹣1）2+60，
∵8（x﹣1）2≥0，
∴8（x﹣1）2+60≥60，
∴EG2+CG2≥60，
∴EG2+CG2的最小值为60．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，非负数的性质，理解正方形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
10．（4分）已知函数f（x）＝x2+2x，g（x）＝2x2+6x+n2+3，当x＝1时，f（1）＝12+2×1＝3，g（1）＝2+6+n2+3＝n2+11．则以下结论正确的有（ ）
①若函数g（x）的顶点在x轴上，则；
②无论x取何值，总有g（x）＞f（x）；
③若﹣1≤x≤1时，g（x）+f（x）的最小值为7，则n＝±3；
④当n＝1时，令，则h（1）•h（2）…h（2023）＝2024．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据所给函数，分别判断即可．
【解答】解：①若函数g（x）的顶点在x轴上，
则Δ＝0，
即36﹣4×2（n2+3）＝0，
解得n＝±，故①错误；
②∵g（x）﹣f（x）
＝2x2+6x+n2+3﹣x2﹣2x
＝x2+4x+n2+3
＝（x+2）2+n2﹣1，
∴当x＝﹣2，n＝0时，（x+2）2+n2﹣1＝﹣1，即g（x）＜f（x），
故②错误；
③∵g（x）+f（x）
＝2x2+6x+n2+3+x2+2x
＝3x2+8x+n2+3，图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，
∴当﹣1≤x≤1时，x＝﹣1，g（x）+f（x）有最小值，
∴3﹣8+n2+3＝7，
解得n＝±3，故③正确；
④当n＝1时，＝＝＝1+＝，
∴h（1）•h（2）…h（2023）
＝××…×
＝2024，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质以及最值是关键．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）若二次函数y＝x2﹣bx+b﹣2的图象经过原点，则b＝ 2 ．
【分析】直接把原点坐标代入解析式得到b的方程，然后解关于b的方程即可．
【解答】解：把（0，0）代入y＝x2﹣bx+b﹣2得b﹣2＝0，
解得b＝2，
即b的值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．
12．（4分）
如图是一个计算程序，当输出值y＝100时，输入x的值为 11或﹣9 ．
【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算．
【解答】解：根据题意得：（x﹣1）2＝y，
当y＝100时，（x﹣1）2＝100，
∴x﹣1＝±10，解得x＝11或﹣9．
故答案为：11或﹣9．
【点评】本题考查了有理数的混合运算法则，掌握有理数的混合运算法则是关键．
13．（4分）若一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则＝ ﹣3 ．
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，再通分得到＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
所以＝＝＝﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
14．（4分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2，若y≥5，则x的取值范围是 ﹣4≤x≤0 ．
【分析】根据图象的对称性可知图象过点（﹣4，5），再根据图象开口向下，即可得当y≥5时，x的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2，
∴图象过点（﹣4，5），
∵图象开口向下，
∴当y≥5时，x的取值范围是﹣4≤x≤0．
故答案为：﹣4≤x≤0．
【点评】此题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
16．（4分）如图，图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m，如图（2）建立平面直角坐标系，当水面下降0.5m时，水面宽增加 （2﹣4） m．
【分析】先设抛物线解析式，然后根据题意可知，点（2，﹣2）在抛物线上，从而可以求得抛物线解析式，然后将y＝﹣2.5代入抛物线，求出相应的x的值，从而可以计算出当水面下降0.5m时，水面宽增加的数值．
【解答】解：设抛物线为y＝ax2，
由题意可得，点（2，﹣2）在抛物线上，
则﹣2＝a×22，
解得a＝﹣，
∴抛物线为y＝﹣x2，
当y＝﹣2.5时，﹣2.5＝﹣x2，
解得x1＝﹣，x2＝，
∴当水面下降0.5m时，水面宽增加[﹣（﹣）]﹣4＝（2﹣4）m，
故答案为：（2﹣4）．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出抛物线解析式．
17．（4分）如果关于x的分式方程有整数解，且二次函数y＝（m﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，那么符合条件的所有整数m的和为 0 ．
【分析】先根据分式方程有整数解求出m的整数值，再根据二次函数与x轴有交点求出m的范围，求出m的整数值，进而求和．
【解答】解：在分式方程两边通乘以（x﹣2）得：mx﹣1＝2（x﹣2）﹣3，
∴（m﹣2）x＝﹣6，
由题意得：x＝≠2，且x，m为整数，
∴m的值为：1，3，8，﹣4，5，0，4，
∵二次函数y＝（m﹣2）x2+2x+1，
∴m﹣2≠0，且Δ＝4﹣4（m﹣2）≥0，
解得：m≤3且m≠2，
∴m的值为：1，﹣4，0，3，
∴所有整数m的和为：0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了抛物线与x的交点，掌握二次函数与方程的关系是解题的关键．
18．（4分）一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“等和数”，将这个“等和数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新的四位数m，记，则D（1254）＝ ﹣3 ；若某个“等和数”n的千位与十位上的数字之和为8，D（n）为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则满足条件的最大“等和数”n是 8404 ．
【分析】（1）根据“等和数”的定义解答即可．
（2）设“和等数“n的千位、百位分别为a、b，可得D（n）＝a+d﹣8，再根据D（n）能表示为两个连续偶数的平方差，确定出a、b的值即可．
【解答】（1）D（1254）＝＝＝﹣3．
故答案为﹣3．
（2）设“等和数“n的千位、百位分别为a、b，
则十位数为（8﹣a），个位数为（8﹣b），
n＝990a+99b+88，
m＝8800﹣990b﹣99a，
n﹣m＝1089 （a+b﹣8）
D（n）＝＝a+b﹣8．
∵D（n）能表示两个连续偶数的平方差，
可设D （n）＝（2k+2）2﹣（2k）2（k为自然数），
∴D（n）＝8k+4＝4（2k+1）＝a+b﹣8，
即a+b﹣8为4的奇数倍，
∵n的千位与十位上的数字之和为8，
..1≤a≤8，1≤b≤7，
..a+b﹣8＝4，
..a+b＝12，
当a最大是8，b为4，
满足条件的最大“等和数”n是8404．
故答案为8404．
【点评】考查了阅读理解能力，平方差公式的运用．
三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，其它各题每小题8分，共78分）解答题时每小题必须给出
19．（8分）在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边△ABC中，点D是AB边上任意一点，连接CD，过点A的射线AE交BC于点E，交CD于点F，当∠BAE＝∠ACD时，则必有BD＝CE．为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作∠BAE＝∠ACD，再通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规在图的基础上作∠BAE＝∠ACD，AE交BC于点E，交CD于点F．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
（2）证明：∵△ABC为等边三角形
∴AC＝AB＝BC， 等边三角形的性质 ①
在△ACD和△BAE中
∴△ACD≌△BAE（ASA）
∴ AD＝BE ③
又∵AB＝BC
∴AB﹣AD＝ BC﹣BE ④
∴BD＝CE．
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝BC（等边三角形的性质）①，
在△ACD和△BAE中，
，
∴△ACD≌△BAE（ASA），
∴AD＝BE③，
又∵AB＝BC
∴AB﹣AD＝BC﹣BE④，
∴BD＝CE．
故答案为：等边三角形的性质，AC＝AB，AD＝BE，BC﹣BE．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
20．（10分）解方程：
（1）x2﹣4x＝7；
（2）3x（3x+1）＝6x+2．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x＝7，
x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11，
∴x﹣2＝，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）3x（3x+1）＝6x+2，
3x（3x+1）﹣2（3x+1）＝0，
（3x+1）（3x﹣2）＝0，
∴3x+1＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝﹣，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
21．（10分）巴川中学STEAM创新教育学部为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
（1）根据以上信息可以求出：a＝ 9 ，b＝ 10 ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
（2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
（3）若STEAM创新教育学部七、八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
【分析】（1）根据中位数的定义可确定a的值；根据众数的定义可确定b的值；先求出七年级C等级的人数，再将七年级竞赛成绩统计图补充完整即可；
（2）根据平均分，中位数，众数，方差的意义回答即可；
（3）分别将样本中七八年级优秀所占比例乘以800即可作出估计．
【解答】解：（1）∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分，
∴a＝9，
∵八年级A等级人数最多，
∴b＝10，
故答案为：9，10；
七年级成绩C等级人数为：25﹣6﹣12﹣5＝2（人），
七年级竞赛成绩统计图补充完整如下：
（2）七年级更好，
理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好．
（3）＝480（人），
答：估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有480人．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数众数，方差，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
22．（10分）重庆中国三峡博物馆（重庆博物馆）是一座集巴渝文化、三峡文化、抗战文化、移民文化和城市文化等为特色的历史艺术类综合性博物馆，也是国家4A级风景名胜区．每到假期各地游客纷纷前来游玩．据统计，今年国庆小长假第一天的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到6050人次．
（1）求今年国庆小长假第一天至第三天游客人数的平均日增长率；
（2）博物馆附近某商店推出了木质旅游扇，每把扇子的成本为6元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降价1元，平均每天可多售出20把．设每把扇子降价x元，商店每天所获利润为w元，求每把扇子的定价为多少元时，商店每天所获利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率是m，得到5000（1+m）2＝6050，求出m的值即可；
（2）w＝（25﹣6﹣x）（300+20x）＝﹣20（x﹣2）2+5780≤5780，即可解决问题．
【解答】解：（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率是m，
由题意得：5000（1+m）2＝6050，
∴（1+m）2＝1.21，
∴m+1＝1.1（舍去负值），
∴m＝0.1＝10%，
答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率是10%；
（2）w＝（25﹣6﹣x）（300+20x）＝﹣20（x﹣2）2+5780≤5780．
∴当x＝2时，商店每天所获利润最大，
∵25﹣x＝25﹣2＝23（元），
∴每把扇子的定价为23元时，商店每天所获利润最大，最大利润是5780元．
【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，关键是由题意列出关于平均日增长率的方程；商店利润w关于x的函数关系式．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从点B出发，沿折线B﹣C﹣D﹣A运动，当点P运动到点A时停止运动．设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，（1）直接写出y1与x的函数关系，并注明x的取值范围；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出y1的函数图象，并写出它的一条性质；
（3）函数y2＝x2﹣8x+17的图象如图所示，请利用图象，直接写出当y1＝y2时，自变量x的值．（结果精确到0.1，误差不超过0.2）
【分析】（1）分三种情况，根据三角形面积公式可得y1与x的函数关系；
（2）结合（1），描出特殊点即可画出图象，观察图象可写出它的一条性质；
（3）观察图象即可得当y1＝y2时x的值．
【解答】解：（1）当0＜x≤4时，如图：
y1＝×3•x＝x；
当4＜x≤7时，如图：
y1＝×3×4＝6；
当7＜x＜11时，如图：
y1＝×3•（11﹣x）＝﹣x；
∴y1＝；
（2）当x＝0时，y1＝0；当x＝4时，y1＝6；当x＝11时，y1＝0；
作出函数图象如下：
由图象可知，y1在最大值为6；当0＜x≤4时，y随x的增大而增大；当7＜x＜11时，y随x的增大而减小（答案不唯一，写出一条即可）；
（3）观察图象可得，当y1＝y2时，x≈2.4或x≈6.3．
【点评】本题考查四边形综合应用，涉及一次函数及应用，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用．
24．（10分）今年贵州榕江村超爆火出圈，全国各地足球爱好者闻讯而至．在某一场足球比赛中，进攻方甲队三名球员A、C、D，与乙队的防守球员B的位置如图所示．此时足球在球员A脚下，他想将球绕过对手B传至队友D处，再由D经线路DC回传给队友C．已知对手B在A的北偏东60°方向，AB＝12米．球员C在对手B的正东方向，BC＝3米．球员D在队友C的正北方向，且在队友A的北偏东30°方向．（参考数据：≈1.73）
（1）求传球线路CD的长（结果精确到1米）；
（2）根据对手B的跑动和拦截范围估计，对手B可以破坏掉在B点5米范围内的球．球员D经线路DC传球给队友C的同时，队友C沿CD方向去接球，已知球速为10m/s，球员C的平均速度为5m/s．计算说明球员C是否能避开防守顺利接到球？
【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可；
（2）计算出球与队员C相遇的时间，再求出相遇时，队员C所行进的路程，比较得出答案．
【解答】解：（1）如图，过点B、点C分别作AM的垂线，垂足分别为E、F，
由题意可知，AB＝12米，∠NAB＝60°，∠NAD＝30°，BC＝EF＝3米，
在Rt△ABE中，∠BAE＝90°﹣60°＝30°，AB＝12米，
∴BE＝CF＝AB＝6（米），AE＝AB＝6（米），
∴AF＝AE+EF＝（6+3）米，
在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣37°＝53°，AF＝（6+3）米，
∴DF＝tan60°•AF＝（6+3）≈23.2（米），
∴CD＝23.2﹣6≈17.2（米），
答：传球线路CD的长约为17.2米；
（2）设以B为圆心，5米为半径的圆与DF相交于点G，连接BG，则BG＝5米，
在Rt△BCG中，BG＝5米，BC＝3米，
∴CG＝＝4（米），
球与队员C相遇的时间为：（12+3）÷（10+5）＝（s），
而s，队员C移动的路程为：5×＝（4+）米，
∵4+＝5，
∴球员C可以避开防守顺利接到球．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
25．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴正半轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线BC上方该抛物线上任意一点，过点P作PFlly轴交BC于点F，作PE⊥BC于点E，当PF的值最大时，求点P的坐标，并求出此时PF+PE的最大值；
（3）如图2，在（2）问的条件下，将该抛物线沿射线CB的方向平移个单位后得到新抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线的交点为M．在新抛物线y′的对称轴上有一点N，在平面内有一点K，是否存在以点P，K，M，N为顶点的四边形是以PN为边的菱形？若存在，请直接写出点K的坐标并写出求解K点坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明PF+PE＝（1+）PF，即可求解；
（3）当PK或PM为对角线时，由中点坐标公式和PM＝PN或PN＝PK，列出方程组，即可求解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，c＝3＝OC＝OB，
则点B（3，0），
设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3①；
（2）由OB＝CO知，△BOC为等腰直角三角形，
则∠CBO＝45°＝∠PFE，
则PF+PE＝（1+）PF，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点F（x，﹣x+3），
则PF＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
即PF的最大值为，此时点P（，）；
则PF+PE的最大值＝（1+）×＝；
（3）存在，理由：
将该抛物线沿射线CB的方向平移个单位相当于向右平移2个单位向下平移2个单位，
则y′＝﹣（x﹣2）2+2（x﹣2）+3＝﹣x2+6x﹣7②，
联立①②得：﹣x2+2x+3＝﹣x2+6x﹣7，
解得：x＝，则点M（，）；
设点N（3，m），点K（s，t），
由点P、M、N的坐标得：PN2＝+（m﹣）2，PM2＝5，
当PK或PM为对角线时，由中点坐标公式和PM＝PN或PN＝PK得：
或，
解得：或，
则点N的坐标为：（4，）或（1，）．
【点评】本题以二次函数为背景考查了待定系数法求解析式、勾股定理、菱形的性质、二次函数的性质、一次函数的性质等知识，学会运用图形平移和分类讨论的思想是解题的关键．
26．（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D在线段AB上运动．
（1）如图1，连接CD，过点C作CE⊥CD交BA的延长线于点E．过点A作AF⊥AB交CE于点F，若BD＝2，EA＝3，求EF的长；
（2）如图2，点H是BC边上一点，连接DH，过点A作AG∥BC交HD延长线于点G．若BH＝AG，将AD绕点D顺时针旋转60°得到线段MD，MD交AC于点K，连接AM，过点C作CN⊥MD交AM于点N，垂足为P．求证：MN+MC＝MD；
（3）如图3，若AB＝4，连接CD并将CD绕点D逆时针旋转90°得到线段QD，连接CQ、BQ，取CQ中点T，点R在AC上且AC＝4CR，连接RT，直接写出当RT+QB取得最小值时△BDQ的面积．
【分析】（1）先证得△CAF≌△CBD（ASA），得出AF＝BD＝2，再运用勾股定理可得出答案；
（2）过点C作CL⊥AM于L，作CQ⊥CM交AM的延长线于Q，连接CD，可证得△BDH≌△ADG（AAS），则AD＝BD，利用旋转的性质可得△ADM是等边三角形，进而证得△CMQ是等腰直角三角形，△CMQ是等腰直角三角形，得出MQ＝MC，进而可证得结论；
（3）过点C作CH⊥AB于H，过点Q作QK⊥AB于K，可证得△CDH≌△DQK（AAS），进而推出△AQK是等腰直角三角形，得出∠CAQ＝90°，则点Q在经过点A，且与AC垂直的直线上运动，在AR上截取RE＝CR，连接EQ，作点E关于直线AC的对称点F，连接FQ、BF，当且仅当B、Q、F在同一条直线上时，RT+QB取得最小值，过点F作FM⊥AB于M，过点Q作QK⊥AB于K，设BD＝HK＝x，则AK＝QK＝2﹣x，BK＝x+2，再证得△BQK∽△BFM，即可求得答案．
【解答】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠CAB＝∠B＝45°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∵CE⊥CD，
∴∠ACE+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∵AF⊥AB，
∴∠CAF+∠CAB＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣45°＝45°＝∠B，
在△CAF和△CBD中，
，
∴△CAF≌△CBD（ASA），
∴AF＝BD＝2，
∵EA＝3，∠EAF＝90°，
∴EF＝＝＝；
（2）证明：过点C作CL⊥AM于L，作CQ⊥CM交AM的延长线于Q，连接CD，
∵AG∥BC，
∴∠B＝∠DAG，
在△BDH和△ADG中，
，
∴△BDH≌△ADG（AAS），
∴AD＝BD，
∵△ABC是等腰直角三角形，CA＝CB，
∴CD＝AD，∠ADC＝90°，∠CAD＝∠ACD＝45°，
∵将AD绕点D顺时针旋转60°得到线段MD，
∴MD＝AD，∠ADM＝60°，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠MAD＝∠AMD＝60°，
∴CD＝MD，∠CDM＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DCM＝∠DMC＝＝75°，
∴∠CMQ＝180°﹣∠AMD﹣∠DMC＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵CQ⊥CM，
∴△CMQ是等腰直角三角形，
∴MQ＝MC，
∵CL⊥MQ，
∴MQ＝2CL，
∵CN⊥MD，
∴∠CPD＝∠CPM＝90°，
∴∠MCP＝90°﹣75°＝15°，∠DCP＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACN＝∠DCP﹣∠ACD＝60°﹣45°＝15°，
∵∠CAN＝∠MAD﹣∠CAD＝60°﹣45°＝15°，
∴∠CNL＝∠CAN+∠ACN＝15°+15°＝30°，∠ACN＝∠CAN，
∴AN＝CN，
在Rt△CNL中，∠CNL＝30°，
∴CN＝2CL，
∴CN＝MQ＝AN，
∵MN+AN＝AM＝MD，
∴MN+MC＝MD；
（3）解：如图3，过点C作CH⊥AB于H，过点Q作QK⊥AB于K，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB，AB＝4，CH⊥AB，
∴CH＝AH＝BH＝AB＝2，CA＝CB＝2，
∵AC＝4CR，
∴CR＝AC＝，AR＝AC﹣CR＝2﹣＝，
∵∠CHD＝∠DKQ＝90°，
∴∠CDH+∠DCH＝90°，
由旋转得：∠CDQ＝90°，DC＝DQ
∴∠CDH+∠QDK＝90°，
∴∠DCH＝∠QDK，
在△CDH和△DQK中，
，
∴△CDH≌△DQK（AAS），
∴DK＝CH，DH＝QK，
∴DK＝AH，
即DH+HK＝AK+HK，
∴AK＝DH＝QK，
∴△AQK是等腰直角三角形，
∴∠QAK＝45°，
∴∠CAQ＝∠CAB+∠QAK＝45°+45°＝90°，
∴点Q在经过点A，且与AC垂直的直线上运动，
在AR上截取RE＝CR，连接EQ，作点E关于直线AC的对称点F，连接FQ、BF，
则AF＝AE＝AC＝，
∵点T是CQ的中点，
∴RT＝EQ，
∴RT+QB＝EQ+QB＝（EQ+QB），
当且仅当B、Q、F在同一条直线上时，RT+QB取得最小值，
如图4，过点F作FM⊥AB于M，过点Q作QK⊥AB于K，
则AM＝FM＝AF＝1，
∴BM＝AB+AM＝4+1＝5，
设BD＝HK＝x，则AK＝QK＝2﹣x，BK＝x+2，
∵∠BKQ＝∠M＝90°，∠QBK＝∠FBM，
∴△BQK∽△BFM，
∴＝，即＝，
解得：x＝，
∴BD＝，QK＝2﹣＝，
∴S△BDQ＝BD•QK＝××＝．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关x
﹣1
0
1
2
3
4
y
﹣7
﹣5
﹣1
5
13
23
年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
8.76
a
9
1.06
八年级
8.76
8
b
1.38
x
﹣1
0
1
2
3
4
y
﹣7
﹣5
﹣1
5
13
23
年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
8.76
a
9
1.06
八年级
8.76
8
b
1.38