期末复习专题二：生活与实际—分数、百分数、比的应用【五大篇目】-2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

这是一份期末复习专题二：生活与实际—分数、百分数、比的应用【五大篇目】-2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版，文件包含期末复习专题二生活与实际分数百分数比的应用五大篇目原卷版doc、期末复习专题二生活与实际分数百分数比的应用五大篇目解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共144页， 欢迎下载使用。

【五大篇目】
专题解读
本专题是期末复习专题二：生活与实际——分数、百分数、比的应用。本部分内容包括分数、百分数、比的典型应用题和拓展题型，该部分根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为五个篇目，欢迎使用。
目录导航
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc1243" 【第一篇】分数乘除法应用题“基本题型”
\l "_Tc18055" 【知识总览】 PAGEREF _Tc18055 \h 4
\l "_Tc22584" 【考点一】单位“1”与数量关系式 PAGEREF _Tc22584 \h 5
\l "_Tc6389" 【考点二】分数乘法应用题基本题型 PAGEREF _Tc6389 \h 8
\l "_Tc18306" 【考点三】分数除法应用题基本题型 PAGEREF _Tc18306 \h 13
\l "_Tc13055" 【第二篇】分数乘除法应用题“提高题型”
\l "_Tc28360" 【知识总览】 PAGEREF _Tc28360 \h 24
\l "_Tc21916" 【考点一】分数乘法应用题进阶型 PAGEREF _Tc21916 \h 25
\l "_Tc21444" 【考点二】分数乘法中的单位“1”变化问题 PAGEREF _Tc21444 \h 26
\l "_Tc32208" 【考点三】量率对应问题 PAGEREF _Tc32208 \h 27
\l "_Tc7379" 【考点四】工程问题 PAGEREF _Tc7379 \h 37
\l "_Tc2118" 【第三篇】分数乘除法应用题“拓展题型”
\l "_Tc19629" 【知识总览】 PAGEREF _Tc19629 \h 44
\l "_Tc22659" 【考点一】基础型 PAGEREF _Tc22659 \h 44
\l "_Tc24984" 【考点二】一般型 PAGEREF _Tc24984 \h 45
\l "_Tc6460" 【考点三】分率和与分量差 PAGEREF _Tc6460 \h 47
\l "_Tc25175" 【考点四】拓展型 PAGEREF _Tc25175 \h 49
\l "_Tc15580" 【第四篇】比的应用——求比和按比例分配问题
\l "_Tc14844" 【知识总览】 PAGEREF _Tc14844 \h 52
\l "_Tc31610" 【考点一】在实际问题中求比 PAGEREF _Tc31610 \h 52
\l "_Tc2929" 【考点二】按比例分配问题 PAGEREF _Tc2929 \h 69
\l "_Tc21385" 【考点三】三种类型的不变量问题 PAGEREF _Tc21385 \h 80
\l "_Tc31668" 【第五篇】百分数的应用
\l "_Tc2190" 【知识总览】 PAGEREF _Tc2190 \h 85
\l "_Tc32225" 【考点一】百分数乘除法应用题 PAGEREF _Tc32225 \h 87
\l "_Tc1652" 【考点二】百分率问题 PAGEREF _Tc1652 \h 100
\l "_Tc16007" 【考点三】比与百分数 PAGEREF _Tc16007 \h 103
\l "_Tc16026" 【考点四】浓度问题 PAGEREF _Tc16026 \h 110
【第一篇】分数乘除法应用题“基本题型”
【知识总览】
一、单位“1”与数量关系式。
1.“的”相当于“×”、“占”、“是”、“比”相当于“=”；
2.分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量；
3.分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量。
二、分数乘法解决问题。
1.画线段图：
①两个量的关系：画两条线段图；
②部分和整体的关系：画一条线段图。
2.找单位“1”：在分率句中分率的前面；或“占”、“是”、“比”的后面。
3.已知单位“1”，求一个数的几倍或求一个数的几分之几是多少。
一个数×几倍或乘几分之几。
4.连续求一个数的几分之几是多少。
连续求一个数的几分之几是多少，用单位“1”连续乘对应的分率。
5.已知单位“1”，求比一个数多几分之几，是多少。
单位“1”×（1+分率）=一个数。
6.已知单位“1”，求比一个数少几分之几，是多少。
单位“1”×（1-分率）=一个数。
三、分数除法解决问题。
1.已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
方程解法：
（1）找出单位“1”，设未知量为x；
（2）找出题中的数量关系式；
（3）列出方程。
算术法：
（1）找出单位“1”；
（2）找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几；
（3）列除法算式。即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量。
2.分数连除应用题。
（1）分数连除应用题的结构特点：题中有3个数量，两个单位“1”，都是未知的。
（2）分数连除应用题的解题方法：
①方程解法：设所求单位“1”的量为x，根据等量关系列方程解答。
②算术解法：用已知量连续除以它们所对应的单位“1”的几分之几。
（3）解题关键：找准单位“1”，求出中间量。
3.已知比一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数。
分量÷（1+分率）=单位“1”。
分量÷（1-分率）=单位“1”。
【考点一】单位“1”与数量关系式。
【典型例题】
1．六（一）班女生人数是全班人数的。这句话中把( )看作单位“1”，数量关系式是：( )×( )＝女生人数。
【答案】 全班人数 全班人数
【分析】确定单位“1”，找含有分率的这句话中的关键词，如：比、相当于、等于、是、占……根据整体数量×部分对应分率＝部分数量，确定等量关系式。
【详解】六（一）班女生人数是全班人数的。这句话中把全班人数看作单位“1”，数量关系式是：全班人数×＝女生人数。
【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数乘法的意义。
2．九月份用水量比八月份节约了，这句话是把( )看作单位“1”，相等关系式是( )。
【答案】 八月份用水量 九月份用水量＝八月份用水量×（1－）
【分析】主要考虑两个量之间单位“1”的确定：找含有分率的这句话中的关键词，如：比、相当于、等于、是、占……。所以题目中是把八月份用水量看作单位“1”，九月份用水量相当于八月份用水量的（1－）。据此解答。
【详解】九月份用水量比八月份节约了，这句话是把八月份用水量看作单位“1”，相等关系式是：九月份用水量＝八月份用水量×（1－）。
【点睛】此题主要通过确定单位“1”，掌握求比一个数少几分之几的数是多少的计算方法。
【对应练习】
1．男生人数比女生少，是把( )看作单位“1”，那么女生人数是男生的。
【答案】女生人数；
【分析】一般将分数“的”字前面的量看作单位“1”，把“是”“占”“比”后面的量看作单位“1”；A是B的几分之几的计算方法：A÷B＝，结果化为最简分数，据此解答。
【详解】
1÷（1－）
＝1÷
＝1×
＝
所以，男生人数比女生少，是把女生人数看作单位“1”，那么女生人数是男生的。
【点睛】掌握单位“1”的确定方法和一个数占另一个数几分之几的计算方法是解答题目的关键。
2．桃树的棵数比苹果树多，是把( )看作单位“1”，那么苹果树棵数比桃树少( )。
【答案】 苹果树棵数
【分析】一般“比”字之后为单位“1”或者说平均分的是谁谁就是单位“1”；若苹果树的棵数为1，则桃树的棵数是1×（1＋），先求出苹果树棵数比桃树少多少，再除以桃树的棵数即可。
【详解】桃树的棵数比苹果树多，是把苹果树棵数看作单位“1”。
1×（1＋）
＝1×
＝
（－1）÷
＝÷
＝×
＝
那么苹果树棵数比桃树少。
【点睛】本题考查求一个数比另一个数少几分之几，明确用除法是解题的关键。
3．在“一个班男生人数比女生多”中，把( )看作单位“1”，男生人数是女生的，女生人数是男生人数的，男生人数是全班人数的。
【答案】女生人数；；；
【分析】根据判断单位“1”的方法，一般是把分率“的”字前面的量看作单位“1”，或把“是、占、比”后面的量看作单位“1”。即：在“一个班男生人数比女生多”中，把女生人数看作单位“1”，那么男生人数是女生的（1＋＝），女生人数是男生人数的1÷＝，全班人数是女生的（1＋1＋＝），男生人数是全班人数的（÷＝）。
【详解】根据分析，把女生人数看作单位“1”，可得：
1＋＝
1÷＝
÷（1＋1＋）
＝÷
＝
所以，在“一个班男生人数比女生多”中，把女生人数看作单位“1”，男生人数是女生的，女生人数是男生人数的，男生人数是全班人数的。
【考点二】分数乘法应用题基本题型。
【典型例题1】（连续）求一个数的几分之几是多少。
学校图书馆新购进540本书，其中故事书的本数是这批书的，故事书有多少本？
【答案】240本
【分析】把书的总本数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用540×即可求出故事书的本数。
【详解】540×＝240（本）
答：故事书有240本。
【点睛】本题主要考查了分数乘法的应用，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
【对应练习】
1．三个同学踢建子，玲玲踢了72个，小洋踢得是玲玲的，小梅踢得是小洋的，小梅踢了多少个。
【答案】
【分析】连续求一个数的几分之几是多少的问题，用分数连乘计算，所以小梅踢的个数＝玲玲踢的个数乘，再乘。
【详解】
答：小梅踢了45个。
【点睛】本题考查分数乘法的应用，连续求一个数的几分之几是多少，用分数连乘计算。
2．正常成年人的全身共有骨骼206块，人手骨骼的数量是人全身骨骼数量的。人手骨骼的数量和其他部位骨骼的数量各是多少块？
【答案】54块；152块
【分析】把人全身骨骼数量看作单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法，用人全身骨骼数量乘即可求出人手骨骼的数量，继而求出其他部位骨骼的数量。
【详解】206×＝54（块）
206－54＝152（块）
答：人手骨骼的数量是54块，其他部位骨骼的数量是152块。
【点睛】此题的解题关键是理解分数乘法的意义，掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法，从而解决问题。
3．疫情期间，滨江小学储备了5000个口罩，红星小学的储备量比滨江小学的多450个，红星小学储备了多少个口罩？
【答案】4450个
【分析】把滨江小学储备的口罩数量看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法，用滨江小学储备的口罩数量乘后，再加上450个，即可求出红星小学储备了多少个口罩。
【详解】5000×＋450
＝4000＋450
＝4450（个）
答：红星小学储备了4450个口罩。
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法。
【典型例题2】已知单位“1”，求比一个数多或少几分之几，是多少。
1．只列式不计算（列综合算式）。
五年级同学进行垃圾分类，共收集了165个易拉罐，六年级比五年级多收集了，六年级收集了多少个易拉罐？
【答案】165×（1＋）
【分析】把五年级收集的易拉罐的数量看作单位“1”，六年级是五年级的（1＋），用五年级收集的易拉罐的数量×（1＋），即可求出六年级收集易拉罐的数量。
【详解】165×（1＋）
＝165×
＝195（个）
答：六年级收集195个易拉罐。
【点睛】熟练掌握求比一个数多或少几分之几的数是多少的计算方法是解答本题的关键。
2．火车提速后，磁悬浮列车运行速度可达630千米/时，普通列车比它慢，普通列车的速度是多少？
【答案】180千米/时
【分析】把磁悬浮列车运行的速度看作单位“1”，则普通列车的速度是磁悬浮列车运行速度的（1－），再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用630乘（1－）计算即可。
【详解】630×（1－）
＝630×
＝180（千米/时）
答：普通列车的速度是180千米/时。
【对应练习】
1．修路队修一条42千米的公路，第一周修了全长的，第二周比第一周多修，第二周修了多少千米？
【答案】
【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用42乘即可得到第一周修的长度；把第一周修的长度看作单位“1”，则第二周修的长度是第一周的（1＋），同理，用第一周修的长度乘（1＋）即可求解。
【详解】
＝
＝
＝（千米）
答：第二周修了千米。
【点睛】本题考查求比一个数多几分之几的数是多少，明确单位“1”是解题的关键。
2．2022年卡塔尔世界杯，据统计全球有大约340万球迷前往现场观看比赛，在世界杯历史上观赛人数排名第三。在本届世界杯到现场观看比赛的球迷中，欧洲球迷占全部球迷人数的，而亚洲球迷的人数比欧洲球迷的人数少，请问到现场观看世界杯的亚洲球迷有多少万人？
【答案】102万人
【分析】用全球球迷的总人数乘，求出欧洲球迷的人数；再根据亚洲球迷的人数比欧洲球迷的人数少，把欧洲球迷的人数看作单位“1”，亚洲球迷的人数是欧洲球迷的人数的1－，用欧洲球迷的人数×（1－），即可求出亚洲球迷的人数。
【详解】340×＝136（万人）
136×（1－）
＝136×
＝102（万人）
答：现场观看世界杯的亚洲球迷有102万人。
【点睛】本题考查了分数乘法应用题，关键是确定单位“1”；求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
3．在创建文明城市活动中，五年级同学收集了153个易拉罐，六年级同学比五年级多收集了，四年级比六年级少收集了，四年级同学收集了多少个易拉罐？
【答案】34个
【分析】把五年级收集的易拉罐个数看作单位“1”，则六年级收集的易拉罐个数是五年级的（1＋），根据分数乘法的意义，用153×（1＋）即可求出六年级收集的易拉罐个数；再把六年级收集的易拉罐个数看作单位“1”，则四年级收集的易拉罐个数是六年级的（1－），根据分数乘法的意义，用六年级收集的易拉罐个数×（1－）即可求出四年级收集的易拉罐个数。
【详解】153×（1＋）×（1－）
＝153××
＝34（个）
答：四年级同学收集了34个易拉罐。
【点睛】本题主要考查了分数乘法的应用，明确求比一个数多（少）几分之几的数是多少，用乘法计算。
【典型例题3】分量和分率的区分问题
一根电线长26.4米，第一次用去，第二次用去米，两次一共用去多少米？
解析：
26.4×＋
＝6.6＋0.5
＝7.1（米）
答：两次一共用去7.1米。
【对应练习】
一根电线长20米，第一次用去它的，第二次又用去米，还剩多少米？
解析：
20－（20×＋）
＝20－（5＋）
＝20－5－
＝15－
＝（米）
答：还剩米。
【考点三】分数除法应用题基本题型。
【典型例题1】已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几？
山前村计划造林200公顷，实际造林250公顷，实际造林增加了几分之几？
【答案】
【分析】）A比B多几分之几的计算方法：（A－B）÷B，据此计算。
【详解】（250－200）÷200
＝50÷200
＝
答：实际造林增加了。
【点睛】实际造林面积比计划造林面积多几分之几，把计划造林面积看作标准量。
【对应练习】
17.5吨比20吨少几分之几？
【答案】少
【详解】试题分析：先求出17.5吨比20吨少多少吨，然后用少的重量除以20吨即可．
解：（20﹣17.5）÷20，
=2.5÷20，
=；
答：少．
点评：本题属于基本的分数除法应用题：求一个数是另一个数的几分之几，用除法求解．
【典型例题2】已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
一个县前年绿色蔬菜总产量是720万千克，是去年总产量的。去年全县蔬菜总产量是多少万千克？
【答案】720÷（万千克）
【分析】总量＝分量÷分率，已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法计算，则想求去年蔬菜的总产量用720÷即可。
【详解】720÷
＝720×
＝800（万千克）
答：去年全县的蔬菜总产量是800万千克。
【点睛】此题考查分数除法的应用，掌握总量、分量、以及分率之间的关系是解题的关键。
【对应练习】
1．实验小学美术组人数是科技组的，科技组人数是体育组的，美术组有40人，体育组有多少人？
【答案】54人
【分析】已知美术组有40人，美术组人数是科技组的，先把科技组人数看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出科技组人数；
又已知科技组人数是体育组的，再把体育组人数看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出体育组人数。
【详解】40÷÷
＝40××
＝45×
＝54（人）
答：体育组有54人。
【点睛】本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，区分两个单位“1”的不同，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。
2．在2022年秋学期学生健康体检中，向阳小学六年级男生平均体重为43千克，小明的体重是45千克，小海的体重是小明体重的，又是小军体重的，小军的体重是多少千克？
【答案】42千克
【分析】把小明的体重看作单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法，用小明的体重乘即可求出小海的体重。再把小军的体重看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，用小海的体重除以，即可求出小军的体重。
【详解】45×÷
＝35÷
＝35×
＝42（千克）
答：小军的体重是42千克。
【点睛】此题的解题关键是理解分数乘法和分数除法的意义，掌握求一个数的几分之几是多少和已知一个数的几分之几是多少，求这个数的计算方法，从而解决问题。
3．人体血液在动脉中的流动速度是50厘米/秒，在静脉中的流动速度是动脉中的，静脉中的流动速度只有毛细血管中的，血液在毛细血管中每秒流动多少厘米？
【答案】
【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用50乘即可求出血液在静脉中的流动速度；再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即用血液在静脉中的流动速度除以即可求解。
【详解】
＝
＝20×40
＝800（厘米）
答：血液在毛细血管中每秒流动800厘米。
【点睛】本题考查已知一个数的几分之几是多少，求这个数，明确用除法是解题的关键。
【典型例题3】分量和分率区分问题（分数平均分）。
把米的绳子平均分成8段，每段长( )米，每段是绳子的( )。
【答案】
【分析】把这根绳子的长度看作单位“1”，把它平均分成8段，每段是总长度的；求每段长度，用这根绳子的长度米除以平均分成的段数；据此解答。
【详解】1÷8＝
÷8
＝×
＝（米）
把米的绳子平均分成8段，每段长米，每段是绳子的。
【点睛】解决此题关键是弄清求的是“分率”还是“具体的数量”，求分率：平均分的是单位“1”；求具体的数量：平均分的是具体的数量，要注意：分率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称。
【对应练习】
1．小明把米长的丝带剪成同样长的5段，每段丝带长( )米，每段占全长的( )。
【答案】
【分析】把这根丝带的长度看作单位“1”，把它平均剪成同样长的5段，每段是总长度的；求每段长度，用这根丝带的总长度米除以平均剪成的段数；据此解答。
【详解】1÷5＝
÷5
＝×
＝（米）
小明把米长的丝带剪成同样长的5段，每段丝带长米，每段占全长的。
【点睛】解决此题关键是弄清求的是“分率”还是“具体的数量”，求分率：平均分的是单位“1”；求具体的数量：平均分的是具体的数量，要注意：分率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称。
2．把一根绳子折成两段，第一段长米，第二段占全长的，这根绳子全长( )米；将这根绳子对折两次后沿对折处剪开，每段长( )米，每段是全长的( )。
【答案】
【分析】把这根绳子的全长看作单位“1”，第二段占全长的，则第一段占全长的（1－），然后用第一段的长度除以（1－）即可求出全长；对折两次，相当于把这根绳子平均分成4份，用全长除以4即可求出每段的长度；把这根绳子的全长看作单位“1”，用1除以段数即可求出每段是全长的几分之几。据此解答。
【详解】÷（1－）
＝÷
＝×
＝（米）
÷4
＝×
＝（米）
1÷4＝
所以，把一根绳子折成两段，第一段长米，第二段占全长的，这根绳子全长米；将这根绳子对折两次后沿对折处剪开，每段长米，每段是全长的。
【点睛】本题考查了分数除法应用题，关键是确定单位“1”，找到具体数量对应的分率。
【典型例题4】已知比一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数。
1.市动物园星期天有4200人参观，比星期一参观的人数多，这个动物园星期一有多少人参观？
【答案】2700人
【分析】根据题意，星期天参观的人数比星期一参观的人数多，把星期一参观的人数看作单位“1”，则星期天参观的人数是星期一的（1＋），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出星期一参观的人数。
【详解】4200÷（1＋）
＝4200÷
＝4200×
＝2700（人）
答：这个动物园星期一有2700人参观。
【点睛】本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。
2.学校图书室购进300本故事书，比科技书少。购进科技书多少？
【答案】500本
【分析】根据题意，购进的故事书比科技书少，把科技书的本数看作单位“1”，则故事书的本数是科技书的（1－），单位“1”未知，用故事书的本数除以（1－），求出科技书的本数。
【详解】300÷（1－）
＝300÷
＝300×
＝500（本）
答：购进科技书500本。
【点睛】本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。
【对应练习】
1．红星小学去年上半年用电8640千瓦时，比下半年多用了。红星小学下半年用电量多少千瓦时？
【答案】7680千瓦时
【分析】根据题意可知，把下半年的用电量看作单位“1”，则上半年用电量是下半年的（1＋），根据分数除法的意义，用上半年用电量除以（1＋）即可求出下半年的用电量。
【详解】8640÷（1＋）
＝8640÷
＝8640×
＝7680（千瓦时）
答：红星小学下半年用电量7680千瓦时。
【点睛】本题主要考查了分数除法的应用，明确已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数用除法计算。
2．商场搞活动，某品牌冰箱降价促销，现价是2984元，原价是多少元？（列方程解答）
【答案】3730元
【分析】由题意可知，设原价是x元，根据等量关系：冰箱的原价×（1－）＝冰箱的现价，据此列方程解答即可。
【详解】解：设原价是x元。
（1－）x＝2984
x＝2984
x÷＝2984÷
x＝2984×
x＝3730
答：原价是3730元。
【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。
3．实验学校五年级人数比六年级少，五年级的人数是四年级的，四年级有学生400人，六年级有多少人？
【答案】540人
【分析】把四年级的学生人数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用400×即可求出五年级人数；再把六年级人数看作单位“1”，五年级人数是六年级的（1－），根据分数除法的意义，用五年级人数除以（1－），即可求出六年级人数。
【详解】400×÷（1－）
＝400×÷
＝450÷
＝450×
＝540（人）
答：六年级有540人。
【点睛】本题考查了分数乘除法的计算和应用，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算以及已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数用除法计算。
【典型例题5】已知比一个数的几分之几多或少多少是多少，求这个数。
1.某停车场有普通车位和充电桩车位。充电桩车位有60个，比普通车位的多20个。这个停车场有普通车位多少个？
【答案】240个
【分析】由题意，某停车场充电桩车位有60个，是普通车位的还多20个，可得数量关系：普通车位的个数×＋20＝60；现在要求得普通车位的个数，可设其为x个，根据数量关系列方程：x＋20＝60，解这个方程即可。
【详解】解：设普通车位的个数为x个，由题意得，
x＋20＝60
x＝60－20
x＝40
x＝40÷
x＝40×6
x＝240
答：这个停车场普通车位有240个。
【点睛】考查了用方程解决实际问题，需要明确数量关系，合理设出未知数。
2.某小学开展第二课堂活动，美术小组有20人，比航模小组人数的少5人，航模小组有多少人？（用方程解答）
【答案】30人
【分析】设航模小组有x人，根据等量关系：航模小组的人数×－5＝美术小组的人数，列方程解答即可。
【详解】解：设航模小组有x人。
x－5＝20
x＝20＋5
x＝25
x＝25÷
x＝30
答：航模小组有30人。
【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，关键是认真读题找出等量关系。
【对应练习】
1．校园里栽的杨树有48棵，比栽的柳树棵数的还多20棵，柳树有多少棵？
【答案】56棵
【分析】由题意，杨树的棵数比柳树棵数的还多20棵，也就是说杨树棵数减去20棵后，剩下的棵数恰好占柳树棵数的，把柳树棵数看作单位“1”，根据：对应量÷对应分率＝单位“1”的量，用杨树剩下的棵数除以，就是柳树的棵数。
【详解】（48－20）÷
＝28÷
＝28×2
＝56（棵）
答：柳树有56棵。
【点睛】本题比一般的分数除法应用题稍复杂些，如果能画线段图辅助分析，则可较快的确定好单位“1”、对应量以及对应分率。
2．新华书城新到一批历史文献，每套售价650元，第一天卖出28套，是第二天卖出的，第三天卖的比第一天的多2套。第二天和第三天各卖出多少套？
【答案】第二天卖出36套；第三天卖出23套
【分析】根据题意可知，把第二天卖出的数量看作单位“1”，根据分数除法的意义，用28÷即可求出第二天卖出的数量；再把第一天卖出的数量看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用28×即可求出第一天的是多少，再加上2套即可求出第三天卖出的套数。
【详解】28÷
＝28×
＝36（套）
28×＋2
＝21＋2
＝23（套）
答：第二天卖出36套；第三天卖出23套。
【点睛】本题主要考查了分数乘除法的混合应用，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算以及求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
【第二篇】分数乘除法应用题“提高题型”
【知识总览】
一、稍复杂的分数除法应用题（量率对应问题）。
1.稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题的结构特征：单位“1”是未知的，已知的比较量与所给的几分之几不对应。
2.解题方法：
①用方程解：找到题中数量间的等量关系，设未知量为x，列出方程。
②算术法解：找到题中单位“1”，计算出已知量占单位“1”的几分之几，利用已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量（标准量）列式解答。
3.解题关键：
找准单位“1”，弄清谁是谁的几分之几，谁比谁多几分之几，计算出已知量是单位“1”的几分之几。
二、单位“1”转化问题。
单位“1”转化问题是分数应用题的常考题型，先统一单位“1”，再按照量率对应的方法解决问题。
三、工程问题。
1. 工程问题的意义：
工程问题指的与工程建造有关的数学问题，在小学数学中，常见的有修路、建筑、工作等，有时也包括行路、水管注水等。
工程问题的特征：
（1）工作总量：
工作总量指的是工作的多少，但在工程问题中，我们通常把工作总量看作单位“1”，因为在已知条件中，常常不会给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，所以，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
（2）工作效率：
工作效率表示单位时间内工作量的多少，通俗来说就是工作的快慢，其中单位时间可以是天、也可以是时、分、秒等。
3. 工程问题的解法：
解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
4.工程问题基本数量关系：
①工作效率×工作时间=工作总量
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
【考点一】分数乘法应用题进阶型。
【典型例题】
一桶油重35千克，倒出后，还剩多少千克？
【答案】28千克
【分析】把这桶油的重量看作单位“1”，倒出后，还剩下这桶油的（1－），再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算即可。
【详解】35×（1－）
＝35×
＝28（千克）
答：还剩28千克。
【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。
【对应练习】
1．同学们参加植树活动，两天共植树1500棵。第一天植了。第二天植了多少棵？
【答案】900棵
【分析】把两天共植树的总数看作单位“1”，第一天植了总数的，那么第二天植了总数的（1－），单位“1”已知，用植树的总数乘（1－），即是第二天植树的棵数。
【详解】1500×（1－）
＝1500×
＝900（棵）
答：第二天植了900棵。
2．学校食堂为了保证同学们的身体健康，特地买来吨栗子大米，同学们都觉得好吃，所以上周吃了它的。现在还剩多少吨大米？
【答案】吨
【分析】把买来的大米总吨数看作单位“1”，吃了它的，则还剩它的（1－），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出还剩的吨数。
【详解】×（1－）
＝×
＝（吨）
答：现在还剩吨大米。
【点睛】本题考查分数乘法的应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义解答。
【考点二】分数乘法中的单位“1”变化问题。
【典型例题】
一本书有225页，小红第一天看了，第二天看了剩下的，第三天应从多少页看起？
解析：
225×＝50（页）
（225－50）×
＝175×
＝70（页）
50＋70＋1＝121（页）
答：第三天应从121页看起。
【对应练习】
1.《庄子天下篇》中有一句话，“一尺之锤，日取其率，万世不漏。”意思就是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，即。明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……这样取下去，永运也取不完。那么第四天取的长度是( )。
【答案】尺
【分析】因为每天取前一天取过的一半，所以第n天取的长度＝这根木棒的长度×（几个相乘）。
【详解】第1天取的长度：1×＝（尺）
第2天取的长度：×＝（尺）
第3天取的长度：×＝（尺）
第4天取的长度：×＝（尺）
【点睛】从古文中明确数学信息和数学问题，逐天进行计算是解决本题的关键。
2.一根绳长米，先剪掉它的一半，再把余下的剪掉一半，还剩下多少米？
解析：
（米）
答：还剩下米。
【考点三】量率对应问题。
【典型例题1】“分率和”。
修路队修一段公路，第一天修了50米，第二天修了70米，两天正好修了全长的，这段路共多少米？
【答案】280米
【分析】把这段公路的全长看作单位“1”，已知两天一共修了（50＋70）米，正好修了全长的，单位“1”未知，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用两天一共修的长度除以，即可求出这段公路的全长。
【详解】（50＋70）÷
＝120÷
＝120×
＝280（米）
答：这段路共280米。
【点睛】本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。
【典型例题2】“分量和”。
1.一辆汽车从甲地开往乙地，第1小时行了全程的，第2小时行了全程的，这时共行了140千米。甲乙两地相距多少千米？（列方程解答）
【答案】240千米
【分析】假设甲乙两地相距x千米，第1小时行了全程的，第2小时行了全程的，求一个数的几分之几是多少，用乘法，所以用x×和x×分别表示出第1小时和第2小时行驶的路程，把这2小时行驶的路程加起来等于140千米，据此列出方程，解方程即可得解。
【详解】解：设甲乙两地相距x千米。
x＋x＝140
x＋x＝140
x＝140
x＝140÷
x＝140×
x＝240
答：甲乙两地相距240千米。
【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把甲乙两地的距离设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
2.小明买了一个笔记本和一支钢笔，共花了24元，其中笔记本的价格正好是钢笔价格的，一个笔记本和一支钢笔的价格各是多少元？
【答案】9元；15元
【分析】将钢笔的价格看成单位“1”，笔记本的价格正好是钢笔价格的，则24元对应钢笔价格的（1＋）＝，根据分数除法的意义，用24÷即可求出一支钢笔的价格；继而求出一个笔记本的价格；据此解答。
【详解】24÷（1＋）
＝24÷
＝24×
＝15（元）
24－15＝9（元）
答：一个笔记本的价格是9元，一支钢笔的价格是15元。
【点睛】此题考查了分数除法的应用，找出与已知量对应的分率是解答此类问题的关键。
3.今年植树节六年级共植树280棵，男生植树棵数比女生的多10棵，六年级女生共植树多少棵？
【答案】150棵
【分析】根据“男生植树棵数比女生的多10棵”，设六年级女生植树棵，则六年级男生植树（＋10）棵；
根据“六年级共植树280棵”可得出等量关系：六年级女生植树的棵数＋六年级男生植树的棵数＝六年级植树的总棵数，据此列出方程，并求解。
【详解】解：设六年级女生植树棵，则六年级男生植树（＋10）棵。
＋＋10＝280
＋10＝280
＋10－10＝280－10
＝270
÷＝270÷
＝270×
＝150
答：六年级女生共植树150棵。
【点睛】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。
【典型例题3】“分量差”。
1.新学期开学时，小明把他积蓄的用来买文具，用来买课外读物，他发现买课外读物的钱比买文具多花了20元，小明有积蓄多少钱？
【答案】400元
【分析】把小明的积蓄看作单位“1”，买课外读物用的钱数比买文具用的钱数多占积蓄的（－），且买课外读物比买文具多花20元，根据量÷对应的分率＝单位“1”求出小明的积蓄，据此解答。
【详解】20÷（－）
＝20÷
＝20×20
＝400（元）
答：小明有积蓄400元。
【点睛】本题主要考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。
2.一批水果，卖出这批水果的，这时剩下的比卖出的多150千克。这批水果还剩多少千克？
【答案】450千克
【分析】把这批水果的总数看作单位“1”，卖出这批水果的，剩下这批水果的（1），由此可以150千克相当于这批水果的（1），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出这批水果的总数，然后根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出剩下多少千克。
【详解】150÷（1）×（1）
＝×
＝150×5×
＝750×
＝450（千克）
答：这批水果还剩450千克。
【点睛】此题属于基本的分数乘除法应用题，只要找清单位“1”，利用基本数量关系解决问题。
3.鲜蜜果园的橘子树比枇杷树多120棵，已知枇杷树的棵数是橘子树的。鲜蜜果园的枇杷树有多少棵？
【答案】80棵
【分析】把橘子树的棵数看作单位“1”，橘子树棵数的（1）是120棵，根据分数除法的意义，用120棵除以（1），就是橘子树的棵数；再根据分数乘法的意义，用橘子树的棵数乘，就是枇杷树的棵数。
【详解】120÷（1
＝120
＝200
＝80（棵）
答：鲜蜜果园的枇杷树有80棵。
【点睛】此题是考查分数乘、除法的意义及应用。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率；求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。
【典型例题4】“分率差”。
1.曙光小学开辟“农耕园”，六年级学生共种植80棵茄子，120棵青菜，青菜比花菜多种了，六年级学生种植了多少棵花菜？
【答案】96棵
【分析】已知青菜比花菜多种了，则把花菜的棵数看作单位“1”，青菜的棵数是花菜的（1＋），又已知种植了120棵青菜，根据分数除法的意义，用120÷（1＋）即可求出花菜的棵数。
【详解】120÷（1＋）
＝120÷
＝120×
＝96（棵）
答：六年级学生种植了96棵花菜。
【点睛】本题主要考查了分数除法的应用，明确已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数用除法计算。
2.国庆期间，我校共有660名学生观看了阅兵仪式直播，其中观看阅兵仪式直播的男生人数比女生人数多，观看阅兵仪式直播的女生有多少人？
【答案】300人
【分析】把女生人数看作单位“1”，已知男生人数比女生人数多，则男生人数占女生人数的（1＋），男、女生人数和占女生的（1＋1＋），又已知男、女生人数和为660人，根据分数除法的意义，用660÷（1＋1＋）即可求出观看阅兵仪式直播的女生人数。
【详解】660÷（1＋1＋）
＝660÷
＝300（人）
答：观看阅兵仪式直播的女生有300人。
【点睛】本题主要考查了已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，关键是明确具体的数量对应的分率。
【典型例题5】剩余分量或分率。
1.工程队修一条铁路，第一周修了全长的，第二周修了全长的，还剩下400米没有修，这条铁路共长多少米？
解析：
400÷（1－－）
＝400÷
＝960（米）
答：这条铁路共长960米。
2.修路队修一段公路，第一天修了320米，第二天修了400米，还剩下这段路的。这段公路全长多少米？
解析：
（米）
答：这段公路全长1620米。
【对应练习】
1．一套运动服的价格是300元，其中裤子的价格是上衣价格的。上衣和裤子的价格分别是多少元？
【答案】上衣：200元；裤子：100元
【分析】设上衣的价格是x元，裤子的价格是上衣价格的，则裤子的价格是x元；一套运动服的价格是300元，即上衣的价格＋裤子的价格＝300元，列方程：x＋x＝300，解方程，即可解答。
【详解】解：设上衣的价格是x元，则裤子的价格是x元。
x＋x＝300
x＝300
x＝300÷
x＝300×
x＝200
裤子：200×＝100（元）
答：上衣的价格是200元，裤子的价格是100元。
2．甲乙两车分别从A、B两地同时相向而行，当甲到达中点时，乙行了全程的，此时乙比甲少行30千米，A、B两地的路程是多少千米？
【答案】300千米
【分析】当甲到达中点时，甲行了全程的。此时乙行了全程的，比甲少行30千米，说明30千米是全程的（－），根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用30除以（－）即可求出A、B两地的路程是多少千米。
【详解】
＝30÷
＝30×10
＝300（千米）
答：A、B两地的路程是300千米。
【点睛】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，据此求出30千米是全程的几分之几是解题的关键。
3．乐乐看一本书第一天看全书的，第二天看了全书的，第一天比第二天多看14页，这本书共有多少页？
【答案】168页
【分析】由题意可知，第一天看的页数比第二天多看了全书的（－），即14页，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即用14除以（－）即可。
【详解】14÷（－）
＝14÷
＝14×12
＝168（页）
答：这本书共有168页。
【点睛】本题考查已知一个数的几分之几是多少，求这个数，明确用除法是解题的关键。
4．国家推行“双减”政策切实减轻了同学们的作业负担。欢欢做了记录，她现在每天的作业时间大约是过去的，比过去少12分钟。请你算一算，落实“双减”政策前小红每天花在作业上的时间是多少分钟？
【答案】48分钟
【分析】已知欢欢现在每天的作业时间大约是过去的，则把过去每天的作业时间看作单位“1”，现在每天的作业时间比过去少（1－），又已知现在每天的作业时间比过去少12分钟；根据分数除法的意义，用12÷（1－）即可求出过去每天的作业时间。
【详解】12÷（1－）
＝12÷
＝12×4
＝48（分钟）
答：落实“双减”政策前小红每天花在作业上的时间是48分钟。
【点睛】本题主要考查了分数除法的应用，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。
5．妈妈买回一袋大米，第一周吃了这袋大米的，第二周吃了这袋大米的，两周一共吃了18千克，这袋大米原来有多少千克？
【答案】40千克
【分析】由题意可知：这袋大米原来的总质量是单位“1”，求这袋大米原来的总质量，求单位“1”用除法计算，即已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题的解法：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。18千克所对应的分率是（＋），用18÷（＋）可求出这袋大米原来的千克数。
【详解】18÷（＋）
＝18÷（）
＝18÷
＝18×
＝40（千克）
答：这袋大米原来有40千克。
【点睛】确定单位“1”的量是解决分数问题的关键。单位“1”未知，可以列方程解答或者用除法解答。用除法解答时要注意量率对应。
6．聪聪看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，还剩45页没有看，这本书一共多少页？
（1）请在图上表示出“第二天看了全书的”和“剩下的45页”。
（2）根据线段图，列式计算并解答。
【答案】（1）见详解
（2）120页
【分析】（1）根据分数的意义，把整条线段看作单位“1”，平均分成8份，第一天看了全书的，即，第二天看的第二天看了全书的，其中2份表示第一天看的页数，3份表示第二天看的页数，剩下的为45页。据此解答。
（2）根据题意，把这本书的页数看作单位“1”，第一天看了全书的，第二天看了全书的，则还剩（1－－）；还剩45页没有看，也就是45页占全书的（1－－），根据公式：对应量÷对应分率＝单位“1”。进而解决问题。
【详解】（1）
（2）45÷（1－－）
＝45÷（－）
＝45÷（－）
＝45÷
＝45×
＝120（页）
答：这本书一共120页。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握分数的意义以及分数除法的应用，找准对应量和对应分率是解题的关键。
【考点四】工程问题。
【典型例题1】“基础版”。
修一条水渠，张师傅单独修要15天完成，李师傅单独修要12天完成。李师傅和张师傅合修，多少天能修完？
【答案】天
【分析】把这条水渠的工作总量看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出张师傅、李师傅各自的工作效率，两人的工作效率相加即是合作工效；
再根据“合作工时＝工作总量÷合作工效”，求出两人合作修完这条水渠需要的天数。
【详解】张师傅的工作效率：1÷15＝
李师傅的工作效率：1÷12＝
1÷（＋）
＝1÷（＋）
＝1÷
＝1×
＝（天）
答：天能修完。
【点睛】本题考查工程问题，掌握工作效率、工作时间、工作总量之间的关系是解题的关键。
【对应练习】
1．一批玩具，甲组单独加工需要8天完成，乙组单独加工需要12天完成，甲乙两组合作，多少天能完成这批玩具的？
【答案】4天
【分析】将这批玩具看成单位“1”，则甲组每天完成这批玩具的1÷8＝，乙组每天完成这批玩具的1÷12＝；由此得出效率和为（＋），最后根据工作总量÷工作效率＝工作时间，代入数据求出多少天能完成这批玩具的；据此解答。
【详解】÷（1÷8＋1÷12）
＝÷（＋）
＝÷
＝×
＝4（天）
答：4天能完成这批玩具的。
【点睛】本题考查简单的工程问题，求出两组的效率和是解题的关键。
2．加工一批零件甲单独做3小时完成六分之一，乙单独做12小时完成，现甲乙合作，需要完成全部零件的一半，共需多少小时？
【答案】小时
【分析】把这批零件总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别用÷3和1÷12求得甲和乙各自的工作效率，然后根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，用除以两人的工作效率和，求得两人合作完成这批零件总量的一半需要的时间。
【详解】÷3
＝ ×
＝
1÷12＝
÷（＋）
＝÷
＝×
＝（小时）
答：共需小时。
【点睛】本题主要考查了工程问题，熟记相关公式是解题的关键。
【典型例题2】“进阶版”。
生产一批零件，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成。甲乙二人同时做，完成了任务的后，剩下的乙单独完成，还要几天？
【答案】5天
【分析】把这批零件看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，据此可知甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲乙二人同时做，完成了任务的后，此时剩下的工作总量为（1－），再根据工作总量÷乙的工作效率＝工作时间，据此进行计算即可。
【详解】
＝
＝
＝5（天）
答：还要5天。
【点睛】本题考查分数除法，明确工作总量、工作时间和工作效率之间的关系是解题的关键。
【对应练习】
1．修一条水渠，甲单独做12天完成，乙单独做15天完成，乙队先做了6天，剩下的甲、乙两队合修，还需要多少天才能完成？
【答案】4天
【分析】把这项工程总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别用1÷12和1÷15求得甲和乙各自的工作效率，然后根据工作总量＝工作时间×工作效率，用6×即可求出乙队工作6天的工作量，然后求出剩下的工作量为（1－6×），再工作时间＝工作总量÷工作效率和，求得两队合作完成剩下的工程量需要的时间。
【详解】1÷12＝
1÷15＝
1－6×
＝1－
＝
÷（＋）
＝÷
＝×
＝4（天）
答：还需要4天才能完成。
【点睛】本题主要考查了工程问题，熟记相关公式是解题的关键。
2．为了响应国家的乡村振兴计划，大池村计划修一条振兴路，聘请了两个工程队来修。甲队每天修它的，乙队每天修它的。甲队单独修了10天后，乙队接着也单独修了10天。
（1）甲乙两队单独修了后，这条路还剩下多少？
（2）剩下的由两队一起合修。还要几天才能修完这条路？
【答案】（1）；（2）2天
【分析】（1）把这条公路的长度看作单位“1”，则甲10天的的工作总量为，乙10天的的工作总量为，用单位“1”减去甲乙的工作总量，即可求出这条路还剩下几分之几。
（2）用这条公路剩下的分率除以甲、乙的工作效率和即可解答。
【详解】（1）
答：这条路还剩下。
（2）
＝
＝×12
＝2（天）
答：还要2天才能修完这条路。
【点睛】此题解答的关键是把这条公路的长度看作单位“1”，进而求出剩余的工作量，再进一步解决问题。
【典型例题3】“拓展版”。
甲乙两人一起加工一批零件，5天可以完成，中途甲因事停工2天，因此两人共用了6天才能完成，如果甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？
【答案】10天
【分析】把零件总数看成单位“1”，甲乙合作的工作效率是。最后6天完成，甲停工2天，那么合作了6－2＝4天，求出合作4天的工作量，再用总工作量减去合作4天的工作量，就是乙2天的工作量，再除以2天，就是乙的工作效率；然后用合作的工作效率减去乙的工作效率就是甲的工作效率，进而求出甲独的工作时间。
【详解】6－4＝2（天）
＝1÷[]
＝1÷[]
＝1÷
＝1×10
＝10（天）
答：如果甲单独加工这批零件，需要10天才能完成。
【点睛】解题关键是要找到乙单独做2天的工作量，根据工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系进行求解。
【对应练习】
1．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，现两人合作，若干天后，乙因事请假，甲继续做完，从开工到结束共用14天，甲、乙合作了多少天？
【答案】9天
【分析】把这项工程看作单位“1”，甲单独做20天，甲的工作效率是1÷20＝，乙单独做30天，乙的工作效率是1÷30＝，甲从开工到结束干了14天，甲14天的工作量是×14＝，用1减去甲14天的工作量，求出乙的工作量，再用乙的工作量÷乙的工作效率，即可求出乙工作的天数，也就是甲、乙合作的天数，据此解答。
【详解】（1－×14）÷
＝（1－）÷
＝÷
＝×30
＝9（天）
答：甲、乙合作了9天。
【点睛】本题考查工程问题，利用工作效率、工作时间和工作总量之间的关系，进行解答。
2．修一条公路，甲队单独10天修完，乙队单独12天修完，丙队单独15天修完，现在三队合修，但中途甲队撤离到其他工地，结果一共用了6天把这条公路修完，修这条公路甲队工作了几天？
【答案】1天
【分析】根据题意可知，工作总量为单位“1”，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，丙队的工作效率为，再根据“甲、乙、丙三队的工作效率和×天数＋乙、丙两队的工作效率和×（6－天数）＝1”，据此列方程解答即可。
【详解】解：设三队总共修了x天，乙、丙两队总共修了（6－x）天。
（＋＋）x＋（＋）（6－x）＝1
x＋（6－x）＝1
x＋－x＝1
x＝
x＝1；
答：修这条公路甲队工作了1天。
【点睛】明确单位“1”，进而确定甲队、乙队和丙队的工作效率，再根据工作总量、工作效率和工作时间的关系解答。
【第三篇】分数乘除法应用题“拓展题型”
【知识总览】
单位“1”转化问题。
分数乘除法应用题复杂题型主要以单位“1”转化问题为主，题型的难点在于分率句的单位“1”有所变化，需要分析题目已知条件，先统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率求出单位“1”。
【考点一】基础型。
【典型例题】
1甲班人数比乙班人数多，乙班人数是甲班人数的（ ）。
A．B．C．D．
解析：
假设乙班人数为1，则甲班人数为1＋＝。
1÷＝
所以，乙班人数是甲班人数的。
2.甲数的等于乙数的，甲数是乙数的（ ），乙数是甲数的（ ）。
解析：甲数看作4份，乙数看作5份。
【对应练习】
1.桃树的棵数比苹果树多，是把( )看作单位“1”，那么苹果树棵数比桃树少( )。
【答案】 苹果树棵数
【分析】一般“比”字之后为单位“1”或者说平均分的是谁谁就是单位“1”；若苹果树的棵数为1，则桃树的棵数是1×（1＋），先求出苹果树棵数比桃树少多少，再除以桃树的棵数即可。
【详解】桃树的棵数比苹果树多，是把苹果树棵数看作单位“1”。
1×（1＋）
＝1×
＝
（－1）÷
＝÷
＝×
＝
那么苹果树棵数比桃树少。
【点睛】本题考查求一个数比另一个数少几分之几，明确用除法是解题的关键。
2.甲、乙两数之和是180，甲数的等于乙数的，甲、乙两数各是多少？
解析：把甲数看作4份，乙数看作5份，则
每一份：180÷（4+5）=20
甲数：20×4=80
乙数：20×5=100
答：略。
【考点二】一般型。
【典型例题】
某水果店购进一批水果，第一天卖掉吨，第二天卖掉了剩下的，还剩下2吨，这批水果一共多少吨？
【答案】6吨
【分析】方法1：把这批水果的总吨数设为未知数，等量关系式：这批水果的总吨数－第一天卖出的吨数－第二天卖出的吨数＝剩下的水果吨数；
方法2：把第一天卖完之后剩下的水果吨数看作单位“1”，第二天卖掉第一天剩下的，那么第二天卖完之后剩下的吨数占第一天剩下的（1－），第二天卖完之后剩下2吨，根据量÷对应的分率＝单位“1”求出第一天卖完之后剩下的水果吨数，最后加上第一天卖出的水果吨数求出这批水果的总吨数，据此解答。
【详解】方法1：解：设这批水果一共x吨。
x－－（x－）×＝2
x－－x＋×＝2
x－x－＋×＝2
x－＋＝2
x－（－）＝2
x－＝2
x＝2＋
x＝
x＝÷
x＝×
x＝6
答：这批水果一共6吨。
方法2：2÷（1－）＋
＝2÷＋
＝2×＋
＝＋
＝6（吨）
答：这批水果一共6吨。
【点睛】分析题意找出题目中隐含的等量关系或者确定题目中的单位“1”并找出量和对应的分率是解答题目的关键。
【对应练习】
一段路，第一周修了全长的，第二周修了余下的，这时还剩下300米没有修，这段路全长多少米？
【答案】500米
【分析】这段路的全长＝还剩下没修的米数÷[1－第一天修了全长的几分之几－第二天修了全长的几分之几]，第二天修了全长的几分之几＝（1－第一天修了全长的几分之几）×第二天修了余下的几分之几，代入数值计算即可。
【详解】300÷[1－－（1－）×]
＝300÷[1－－×]
＝300÷[1－－]
＝300÷
＝500（米）
答：这段路全长500米。
【点睛】找到单位“1”，根据分数除法的意义进行解答即可。
【考点三】分率和与分量差。
【典型例题】
1.依依从家去外婆家，第一个小时走了全程的，第二个小时走了剩下路程的，已知第一个小时比第二个小时多走了1050米，依依家与外婆家相距多少千米？
【答案】4.8千米
【分析】第二个小时走了剩下路程的，也就是的 ，求出第一个小时比第二个小时多走了1050米相当于是全程的，量率对应求出依依家与外婆家的距离。
【详解】
（米）
4800米＝4.8千米
答：依依家与外婆家相距4.8千米。
【点睛】本题考查的是分数除法应用题，一个量除以其所占单位“1”的分率，求得单位“1”是多少。
2.甲乙两人生产一批零件，甲生产了这批零件的后，乙生产了剩下零件的，这时，甲乙两人一共生产了26个零件。这批零件原来共有多少个？
解析：
（1－）×
＝×
＝
26÷（＋）
＝26÷
＝30（个）
答：这批零件原来共有30个。
【对应练习】
1.李阿姨闲来无事看小说，她第一天看了全书的，第二天看的剩下的，李阿姨算了一下，第二天刚好比第一天少看了20页，这本小说一共有多少页？
解析：
解：设这本小说一共有x页。
x－（1－）x×＝20
x－x＝20
x＝20
x＝420
答：这本小说一共有420页。
2.一批煤第一天烧去这批煤的，第二天烧去余下的，两天共烧去2吨，这堆煤共多少吨？
解析：
第一天烧去：
第二天烧去：（1-）×=
这批煤共有：2÷（+）=（吨）
答：略。
【考点四】拓展型。
【典型例题】
1.甲、乙、丙、丁合修一条路，甲修的是其他三队的，乙修的是其他三队的，丙修的是其他三队的，丁修了米，这条路全长多少米？
解析：
甲修了全部的÷（1＋）＝
乙修了全部的；
丙修了全部的；
丁修了全部的：1－－－＝；
全长：68÷＝（米）
答：这条路全长米。
2.橘子的千克数是苹果的，香蕉的千克数是橘子的，香蕉和苹果共220千克，橘子有多少千克？
解析：
方法一：求橘子的数量，把橘子看做单位“1”。
①橘子是苹果的，则苹果是橘子的
②香蕉是橘子的
③苹果和香蕉一共占橘子的+=2
橘子的数量是：220÷2=110（千克）
答：略。
方法二：把苹果看作单位“1”，则橘子是，香蕉是×=
每一份（即苹果）：220÷（1+）=165（千克）
橘子：165×=110（千克）
答：略。
方法三：把橘子看作2份，苹果看作3份，则香蕉是1份。
每一份：220÷（1+3）=55（千克）
橘子：55×2=110（千克）
答：略。
3.某校派出100名学生参加竞赛，其中女生占，后来有几名女生因故退出，这样参赛女生占参赛人数的，正式参赛的女生有多少名？
解析：
100×（1－）
＝100×
＝80（名）
80÷（1－）
＝80
＝95（名）
95－80＝15（名）
答：正式参赛的女生有15名。
【对应练习】
1.一盆金鱼，红鱼是总数的， 黑鱼是红鱼的，其余的是24条花鱼，红鱼有多少条？
解析：
红鱼是总数的，则黑鱼是总数的×=，剩下的花鱼是总数的1--=
总数是：24÷=40（条）
红鱼：40×=10（条）
答：略。
2.甲存款是乙存款，乙存款是丙存款的，甲比丙少存70元，求三人各存款多少元？
解析：
把甲看作9份，乙看作10份，则丙是12.5份
每一份：70÷（12.5-9）=20（元）
甲：9×20=180（元）
乙：10×20=200（元）
丙：12.5×20=250（元）
答：略。
3.某校六年级有甲、乙两个班，甲班人数是乙班的，如果从乙班调3人到甲班，甲班人数是乙班人数的，甲、乙两班原来各有多少人？
解析：
3÷(-)=108(人)
乙班：108÷(l+)=63(人)
甲班：63×=45(人)
【第四篇】比的应用——求比和按比例分配问题
【知识总览】
一、在实际问题中求比。
在实际问题中求比，利用比和分数的转化关系，找出对应份数，再根据实际情况求出对应比。
二、按比例分配问题。
1.按比例分配问题主要分为和比问题、差比问题、单一量与比的问题等三种基础题型，总体来说，三种问题解答方法大同小异，关键在于分析已知条件，判断不同题型，再根据方法解答。
2.按比例分配问题主要存在两种解答方法：
其一是平均分法，即先求出每份数（和或差÷份数和或差=每份数），再分别求出各部分数量是多少。
其二是转化法，即将比例形式转化为分数形式，再根据分数乘除法应用解题方法解答。
【考点一】在实际问题中求比。
【典型例题1】分数与比。
1.女同学人数是男同学的。
（1）男、女同学人数之比是( )，女同学和总人数之比是( )。
（2）男同学人数比女同学多，女同学人数比男同学少。
【答案】（1）5∶4；4∶9
（2）；
【分析】（1）根据“女同学人数是男同学的”，把女同学的人数看作4份，男同学的人数看作5份，总人数是4＋5＝9份，由此写出男、女同学人数之比；女同学人数和总人数之比；
（2）用男同学人数的份数减去女同学人数的份数，再除以女同学人数的份数求出男同学人数比女同学多几分之几；男同学人数的份数减去女同学人数的份数，再除以男同学人数的份数求出女同学人数比男同学少几分之几。
【详解】（1）把女同学的人数看作4份，男同学的人数看作5份，则总人数是4＋5＝9份
即男、女同学人数之比是5∶4，女同学和总人数之比是4∶9。
（2）（5－4）÷4
＝1÷4
＝
（5－4）÷5
＝1÷5
＝
则男同学人数比女同学多，女同学人数比男同学少。
【点睛】关键是把比看作份数，再根据比的意义和求比一个数多（或少）几分之几的计算方法进行解答。
2.实验小学六（3）班男生人数比女生人数多，则男生人数是女生人数的( )，女生人数比男生人数少( )，女生人数与全班人数的比是( )。
【答案】 3∶7
【分析】把女生的人数看作单位“1”，则男生人数有1×（1＋）；然后用男生人数除以女生人数即可；先求出女生人数比男生人数少多少，再除以男生人数即可；用女生人数比上全班人数即可。
【详解】假设女生的人数为1。
1×（1＋）
＝1×
＝
÷1＝
（－1）÷
＝÷
＝×
＝
1∶（1＋）
＝1∶
＝（1×3）∶（×3）
＝3∶7
则男生人数是女生人数的，女生人数比男生人数少，女生人数与全班人数的比是3∶7。
【点睛】本题考查比的意义和求一个数比另一个数少几分之几，明确用除法计算是解题的关键。
3.甲数的和乙数的相等，则甲∶乙＝( )∶( )，比值是( )。
【答案】 4 5 /0.8
【分析】根据分数乘法的意义，可知甲数×＝乙数×，假设甲数×＝乙数×＝1，分别求出甲数和乙数，再写出它们的比即可。求比值用比的前项除以比的后项即可。
【详解】假设甲数×＝乙数×＝1。
甲：1÷
＝1×4
＝4
乙：1÷
＝1×5
＝5
4÷5＝
甲∶乙＝4∶5，比值是。
【点睛】本题主要考查了比和分数的混合应用，掌握求比值和分数除法的计算方法是解答本题的关键。
4.公鸡与母鸡只数的比是8∶9，公鸡比母鸡少( )，母鸡比公鸡多( )，公鸡占总只数的( )，母鸡占总只数的( )。
【答案】
【分析】已知公鸡与母鸡只数的比是8∶9，则把公鸡的只数看作8份，母鸡的只数看作9份；根据求一个数比另一个数多（少）几分之几，用相差数除以另一个数，则用（9－8）÷9即可求出公鸡比母鸡少几分之几；用（9－8）÷8即可求出母鸡比公鸡多几分之几；根据求一个数占另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，则用8÷（8＋9）即可求出公鸡占总只数的几分之几；用9÷（8＋9）即可求出母鸡占总只数的几分之几。
【详解】（9－8）÷9
＝1÷9
＝
（9－8）÷8
＝1÷8
＝
8÷（8＋9）
＝8÷17
＝
9÷（8＋9）
＝9÷17
＝
公鸡比母鸡少，母鸡比公鸡多，公鸡占总只数的，母鸡占总只数的。
【点睛】本题主要考查了比和分数的关系，明确求一个数比另一个数多（少）几分之几，以及求一个数占另一个数的几分之几，用除法计算。
【对应练习】
1．弟弟的体重比哥哥轻，弟弟与哥哥的体重比是( )。
【答案】9∶10
【分析】把哥哥的体重看作单位“1”，弟弟的体重比哥哥轻，则弟弟的体重是哥哥的（1－）；
根据比的意义写出弟弟与哥哥的体重比，再化简比即可。
【详解】（1－）∶1
＝∶1
＝（×10）∶（1×10）
＝9∶10
弟弟与哥哥的体重比是9∶10。
【点睛】本题考查比的意义以及化简比，求出弟弟的体重是哥哥体重的几分之几是解题的关键。
2．甲数的等于乙数的，甲数与乙数的最简整数比是( )。
【答案】8∶5
【分析】根据题意可得出：甲数×＝乙数×，设它们的积都等于1；然后根据因数＝积÷另一个因数，分别求出甲数、乙数的值，再根据比的意义，写出甲数与乙数的比，并化简成最简整数比。
【详解】设甲数×＝乙数×＝1；
甲数＝1÷＝1×4＝4
乙数＝1÷＝1×＝
甲数∶乙数
＝4∶
＝（4×2）∶（×2）
＝8∶5
甲数与乙数的最简整数比是8∶5。
【点睛】本题考查比的意义以及化简比，运用赋值法，根据乘法中各部分的关系求出甲数、乙数的值是解题的关键。
3．甲、乙两数的比是2∶5，则甲数是乙数的。乙数是甲乙两数和的。
【答案】；
【分析】根据题意，甲、乙两数的比是2∶5，设甲数是2，乙数是5，用2÷5，求出甲数是乙数的几分之几；用5÷（2＋5），求出乙数是甲乙两数和的几分之几，据此解答。
【详解】设甲数是2，乙数是5；
2÷5＝
5÷（2＋5）
＝5÷7
＝
甲、乙两数的比是2∶5，则甲数是乙数的。乙数是甲乙两数和的。
【点睛】熟练掌握比的意义以及求一个数占另一个数的几分之几的计算方法是解答本题的关键。
4．六（1）班女生人数是男生人数的，女生人数与全班人数的比是( )，男生人数比女生人数多。
【答案】2∶5；
【分析】由题意可知，六（1）班女生人数是男生人数的，则假设女生的人数为2，男生的人数为3，则全班的人数为（2＋3），然后用女生人数比上全班人数即可；先求出男生人数比女生人数多多少人，再除以女生的人数即可。
【详解】假设女生的人数为2，男生的人数为3
2∶（2＋3）
＝2∶5
（3－2）÷2
＝1÷2
＝
则女生人数与全班人数的比是2∶5，男生人数比女生人数多。
【点睛】本题考查比的意义，结合分数的意义是解题的关键。
【典型例题2】比与生活问题。
50克糖和300克水制成的糖水，糖与糖水的最简整数比是( )∶( )。
【答案】 1 7
【分析】已知用50克糖和300克水制成的糖水，先用糖的质量加上水的质量，求出糖水的质量；再根据比的意义，写出糖与糖水的质量比，最后化简比即可。
【详解】50∶（50＋300）
＝50∶350
＝（50÷50）∶（350÷50）
＝1∶7
糖与糖水的最简整数比是1∶7。
【点睛】本题考查比的意义和化简比，注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。
【对应练习】
1．将盐溶解在水中，盐与盐水的质量比是( )∶( )。
【答案】 1 7
【分析】将盐的质量加上水的质量，求出盐水的质量。将盐的质量比上盐水的质量，求出盐与盐水的质量比。
【详解】20∶（20＋120）
＝20∶140
＝（20÷20）∶（140÷20）
＝1∶7
所以，盐与盐水的质量比是1∶7。
【点睛】本题考查了比，掌握比的意义和比的化简是解题关键。
2．一款手机的广告语是“充电5分钟，通话2小时”，那么这款手机在这种情况下通话时间与充电时间的比是( )。
【答案】24∶1
【分析】先把高级单位换算为低级单位，再根据比的意义化简求出通话时间与充电时间的最简整数比，据此解答。
【详解】通话时间∶充电时间
＝2小时∶5分钟
＝（2×60）分钟∶5分钟
＝120分钟∶5分钟
＝120∶5
＝（120÷5）∶（5÷5）
＝24∶1
所以，这款手机在这种情况下通话时间与充电时间的比是24∶1。
【点睛】掌握比的意义和化简比的方法是解答题目的关键。
【典型例题3】比与工程问题。
完成一份稿件，甲用小时，乙用小时，甲、乙的工作效率的最简整数比是( )，甲、乙的工作时间的最简整数比是( )。
【答案】 3∶5 5∶3
【分析】把这份稿件看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，分别求出甲、乙的工作效率，然后写出甲、乙的工作效率的比和工作时间的比，再化简即可，化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变；据此解答。
【详解】1÷
＝1×
＝
1÷
＝1×
＝
∶
＝（×2）∶（×2）
＝3∶5
∶
＝（×）∶（×）
＝5∶3
甲、乙的工作效率的最简整数比是3∶5，甲、乙的工作时间的最简整数比是5∶3。
【点睛】此题主要考查了化简比的方法，要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。
【对应练习】
1．加工同一批零件，师傅单独完成需要8小时，徒弟单独完成要12小时。如果师徒两人合作完成任务需要( )小时，师徒二人的工作效率之比是( )。
【答案】 4.8 3∶2
【分析】把加工这批零件的工作量看作单位“1”，先依据工作总量＝工作时间×工作效率，求出师傅和徒弟的工作效率，两人合作后，把两人工作效率相加，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率和即可解答；再根据比的意义，用师傅的工作效率比徒弟的工作效率可求出师徒的工作效率比。
【详解】1÷8＝
1÷12＝
1÷（＋）
＝1÷
＝1×
＝4.8（小时）
如果师徒两人合作完成任务需要4.8小时。
∶
＝（×24）∶（×24）
＝3∶2
师徒二人的工作效率之比是3∶2。
【点睛】本题考查知识点：依据工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系解决问题。
2．如图是甲、乙、丙三人完成一项工程所用的时间，甲和丙的工作效率比是( )：( )，乙和丙合作完成这项工程需要( )天。
【答案】 5 4 6
【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别用1÷8、1÷15和1÷10即可求出甲、乙和丙的工作效率，据此写出甲和丙的工作效率比，再化简即可；根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，用1除以乙和丙的工作效率和，即可求出乙和丙合作完成这项工程需要的时间。据此解答。
【详解】1÷8＝
1÷15＝
1÷10＝
∶
＝（×40）∶（×40）
＝5∶4
1÷（＋）
＝1÷
＝1×6
＝6（天）
甲和丙的工作效率比是5∶4；乙和丙合作完成这项工程需要6天。
【点睛】本题主要考查了分数除法的应用以及最简整数比，熟练掌握相关公式是解答本题的关键。
【典型例题4】比与行程问题。
1.一段路，甲6分钟走完，乙8分钟走完，甲、乙走完这段路的时间比是( )，他们的速度比是( )。
【答案】 3∶4 4∶3
【分析】要求甲、乙走完这段路的时间比，用甲走完这段的时间∶乙走完这段路的时间，化简即可；把这段路的长度看作单位“1”，甲6分钟走完，甲的速度是1÷6＝；乙8分钟走完，乙的速度1÷8＝，求他们的速度比，用甲的速度∶乙的速度，化简即可。
【详解】6∶8
＝（6÷2）∶（8÷2）
＝3∶4
（1÷6）∶（1÷8）
＝∶
＝（×24）∶（×24）
＝4∶3
一段路，甲6分钟走完，乙8分钟走完，甲、乙走完这段路的时间比是3∶4，他们的速度比是4∶3。
【点睛】本题考查比的意义，比的化简以及利用速度、时间、路程三者的关系进行解答。
2.小华和小刚分别从各自的家到电影院看电影，小华比小刚走的路程少，而小刚比小华花的时间多，求两人的速度比。
解析：
小刚路程：1；小华路程：；小华时间：1；小刚时间：
小刚速度：1÷=；小华速度：÷1=
速度比：:=6:5
【对应练习】
1．从A地到B地，甲车用7时，乙车用9时，甲、乙两车所用的时间比是( )，速度比是( )。
【答案】 7∶9 9∶7
【分析】用甲车所用的时间比上乙车所用的时间即可；把A地到B地的路程看作单位“1”，根据路程÷时间＝速度，据此可知甲的速度为，乙的速度为，进而求出它们的速度比，最后根据比的基本性质化简即可。
【详解】甲所用的时间∶乙所用的时间＝7∶9
∶
＝（×63）∶（×63）
＝9∶7
则从A地到B地，甲车用7时，乙车用9时，甲、乙两车所用的时间比是7∶9，速度比是9∶7。
【点睛】本题考查比的意义，明确路程、时间和速度之间的关系是解题的关键。
2．楠楠和凯凯分别从学校去博物馆，楠楠走了15分钟，凯凯走了18分钟，楠楠和凯凯的时间比是( )，速度比是( )。
【答案】 5∶6 6∶5
【分析】将路程看作单位“1”，时间分之一可以看作速度，根据比的意义，写出两人时间比和速度比，化简即可。
【详解】15∶18＝（15÷3）∶（18÷3）＝5∶6
∶＝18∶15＝6∶5
楠楠和凯凯的时间比是5∶6，速度比是6∶5。
【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，理解比的意义，掌握化简比的方法。
3．从图书馆到家，明明要走小时，妈妈要走小时，明明和妈妈的时间比是( )（填最简整数比），明明和妈妈的速度比是( )（填最简整数比）。
【答案】 3∶2 2∶3
【分析】根据题意，用明明回家所用的时间小时比上妈妈回家所用的时间小时即可；把路程看成单位“1”，根据“速度＝路程÷时间”这一公式分别求出明明和妈妈的速度，再用明明的速度比上妈妈的速度即可。
【详解】（1）∶
＝（×6）∶（×6）
＝3∶2
（2）明明：1÷
＝1×2
＝2
妈妈：1÷
＝1×3
＝3
所以明明和妈妈的速度比：2∶3
【点睛】此题考查了比的性质，求比值以及路程、速度、时间三者之间的关系。
【典型例题5】比与几何图形。
1．如图，平行四边形的面积是20cm2，图中甲、乙、丙三个三角形的面积比是( )，涂色部分的面积是( )cm2。
【答案】 5∶2∶3 4
【分析】观察图形可知，平行四边形底是（2＋3）cm，根据平行四边形面积公式：面积＝底×高；高＝面积÷底，代入数据，求出平行四边形的高；甲、乙、丙三个三角形的高等于平行四边形的高，甲的底等于平行四边形的底，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出甲、乙、丙三个三角形面积，再根据比的意义，用甲的面积∶乙的面积∶丙的面积，求出三个三角形面积比；涂色部分等于乙三角形面积，据此解答。
【详解】高：20÷（2＋3）
＝20÷5
＝4（cm）
甲：（2＋3）×4÷2
＝5×4÷2
＝20÷2
＝10（cm2）
乙：2×4÷2
＝8÷2
＝4（cm2）
丙：3×4÷2
＝12÷2
＝6（cm2）
10∶4∶6
＝（10÷2）∶（4÷2）∶（6÷2）
＝5∶2∶3
涂色面积是4cm2。
如图，平行四边形的面积是20cm2，图中甲、乙、丙三个三角形的面积比是5∶2∶3，涂色部分的面积是4cm2。
2．图A和图B的面积比是( )，图A和图B的周长比是( )。（填最简整数比，每个小方格的边长相同）
【答案】 5∶9 1∶1
【分析】根据“A和B中每个小正方形大小相等”，图A和图B分别有5个和9个小正方形组成，由此得出它们的面积比；设小正方形的边长是a，分别求出图A和图B两个图形的周长，即可得出答案。
【详解】图A中有5个小正方形，图B有9个小正方形，且每个小正方形的面积相等，
所以图A和图B面积的比是5∶9；
设小正方形的边长是a，
则图A的周长是：3a×4＝12a，图B的周长是：3a×4＝12a
周长的比是：12a∶12a＝1∶1。
【点睛】解答此题的关键是，根据所给的图，分别求出两个图形的面积和周长，写出对应的比，再化成最简整数比即可。
【对应练习】
1．大小两个圆的直径之比是，则它们的周长之比是( )，面积之比是( )。
【答案】 5∶4 25∶16
【分析】假设大圆的直径为5，小圆的直径为4，根据C＝πd，d＝2r，S＝πr2解答分别求出周长和面积，再根据比的意义求比即可。
【详解】设大圆的直径为5，小圆的直径为4，则大圆的半径为2.5，小圆的半径为2，
大圆周长∶小圆周长
＝5π∶4π
＝（5π÷π）∶（4π÷π）
＝5∶4
大圆面积∶小圆面积
＝π2.52∶π22
＝（π2.52÷π）∶（π22÷π）
＝2.52∶22
＝6.25∶4
＝（6.25×100）∶（4×100）
＝625∶400
＝（625÷25）∶（400÷25）
＝25∶16
它们的周长之比是5∶4 ，面积之比是25∶16 。
【点睛】结合圆的周长、面积的计算求比，关键要熟记公式并能熟练化最简整数比。熟记一些规律：两个圆的半径比＝直径比＝周长比，两个圆的面积比＝半径平方的比。
2．大圆和小圆的半径比是5∶4，它们的周长比是( )，面积比是( )。
【答案】 5∶4 25∶16
【分析】圆的面积S＝πr2，圆的周长C＝2πr，所以，两个圆的周长比等于它们的半径比，两个圆的面积比等于它们半径的平方比。据此解答。
【详解】C大圆∶C小圆＝5∶4
S大圆∶S小圆＝52∶42＝25∶16
所以，大圆和小圆的半径比是5∶4，它们的周长比是5∶4，面积比是25∶16。
【点睛】本题考查圆的周长公式、面积公式以及比的应用，可以记住此题的结论。
【典型例题5】比与算式。
减法算式中，差与减数的比是3∶5，那么减数是被减数的( )。
解析：
5÷（3＋5）
＝5÷8
＝
【对应练习】
甲数除以乙数的商是0.75，甲数和乙数的最简比是( )。
解析：
甲数∶乙数
＝0.75
＝
＝3∶4
【典型例题6】溶液混合问题。＊
两个相同的瓶子里装满酒精溶液。一瓶中酒精与水的体积之比是3∶1，另一瓶中酒精与水的体积之比是4∶1。若把两瓶酒精溶液混合，混合溶液中酒精和水的体积之比是多少？
解析：
方法一：
在第一个瓶子中，酒精占溶液的，水占溶液的；
在第二个瓶子中，酒精占溶液的，水占溶液的
混合后，酒精和水的体积之比是：
（+）:（+）=31:9
方法二：
两个瓶子相同，因此两个瓶子的总份数也应该一样
3+1=4份
4+1=5份
4和5的最小公倍数是20,即
第一个瓶子酒精与水的体积之比为15:5
第二个瓶子酒精与水的体积之比为16:4
混合溶液中酒精与水的体积之比为（15+16）:（5+4）=31:9
【对应练习】
1．李医生在两个相同的杯子里装满了酒精溶液，一个杯子中酒精与水的体积比是3∶2，另一个杯子中酒精与水的体积比是2∶1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精与水的体积比是( )。
【答案】19∶11
【分析】根据题意，第一个杯子，酒精与水的体积比是3∶2，酒精占杯子容量的，水占杯子容量的；第二个杯子，酒精与水的体积比是2∶1，酒精占杯子容量的，水占杯子容量的；最后将两杯酒精所占的份数相加比两杯水所占份数的和。
【详解】（）∶（）
＝（）∶（）
＝∶
＝19∶11
所以，混合后的酒精与水的体积比是19∶11。
【点睛】本题考查比的应用，关键要抓住混合前后酒精与水的体积变化关系。
2.两个盒子都装有水果糖和奶糖，且两盒糖果的质量相等。第一个盒子里的水果糖占奶糖质量的，第二个盒子里的水果糖占奶糖质量的。若把这两个盒子里的糖果混合在一起，则水果糖和奶糖的质量比是多少？
解析：（）:（）=23:37
【考点二】按比例分配问题。
【典型例题1】“基础版”。
1.某条公路上，停着小客车、小轿车共56辆，这两种车的辆数比为3∶4，求客车、轿车各有多少辆？（用两种方法解答）
【答案】客车：24辆；货车：32辆
【分析】由题意可知：把56辆按3∶4分配可求出客车、轿车的辆数。方法一：平均分法。把比的各项之和看作平均分的份数，先求出每份是多少，再解答。方法二：转化法。转化成分数乘法来解答。
【详解】方法一：
总份数：3＋4＝7（份）
每份数：56÷7＝8（辆）
客车的辆数：8×3＝24（辆）
货车的辆数：8×4＝32（辆）
方法二：
客车的辆数：56×
＝56×
＝24（辆）
货车的辆数：56×
＝56×
＝32（辆）
答：客车有24辆，货车有32辆。
【点睛】可以把按比分配问题转化成“平均分”问题来解答，也可以转化成分数问题来解答。
2.某果园桃树和李树的棵数比是3∶8，桃树比李树少90棵，该果园共有桃树和李树多少棵？
【答案】桃树有54棵；李树有144棵
【分析】由题意可知，桃树和李树的棵数比是3∶8，即桃树占3份，李树占8份，所以桃树比李树少（8－3）份，即90棵，据此求出1份表示的棵数，进而求出桃树和李树分别有多少棵。
【详解】90÷（8－3）
＝90÷5
＝18（棵）
18×3＝54（棵）
18×8＝144（棵）
答：该果园桃树有54棵，李树有144棵。
【点睛】本题考查比的应用，求出1份表示的棵数是解题的关键。
3.中华人民共和国的国旗的长和宽的比是，教室前面的国旗长是48厘米，宽是多少厘米？
解析：
48×＝32（厘米）
答：宽是32厘米。
4.希望小学把栽80棵树的任务按照六年级三个班的人数分配给各班，一班有50人，二班有54人，三班有56人，三个班各应栽多少棵树？
【答案】一班：25棵；二班：27棵；三班：28棵
【分析】求出三个班人数之比，再将80棵树根据三班人数按比例分配。
【详解】50∶54∶56＝25∶27∶28
80×
＝80×
＝25（棵）
80×
＝80×
＝27（棵）
80×
＝80×
＝28（棵）
答：一班应栽25棵，二班应栽27棵，三班应栽28棵。
【点睛】本题主要考查按比例分配问题，关键是要找到比。
【对应练习】
1．六年级（1）班和六年级（2）班订《数学家故事》的人数比是，六年级（2）班有45人订，两个班一共有多少人订？
【答案】85人
【分析】六年级（2）班订的人数÷对应份数，求出一份数，一份数×两个班订的总份数＝两个班订的总人数，据此列式解答。
【详解】45÷9×（8＋9）
＝5×17
＝85（人）
答：两个班一共有85人订。
【点睛】关键是理解比的意义，将比的前后项看成份数。
2．红花和黄花共有150朵，红花的朵数与黄花的朵数比是2∶3，红花和黄花各有多少朵？
【答案】红花：60朵；黄花：90朵
【分析】根据比的应用公式：总数÷总份数＝1份量，即150÷（2＋3），再用1份量分别乘红花和黄花的份数即可。
【详解】150÷（2＋3）
＝150÷5
＝30（朵）
30×2＝60（朵）
30×3＝90（朵）
答：红花有60朵；黄花有90朵。
【点睛】本题主要考查比的应用，熟练掌握它的公式并灵活运用。
3．学校把50棵树的任务按照六年级两个班的人数分配给各班，一班有52人，二班有48人。两个班各应栽多少棵树？
【答案】一班26棵；二班24棵
【分析】求出两个班人数的最简整数比，根据比的意义，总棵数÷总份数，求出一份数，一份数分别乘两个班的对应份数即可。
【详解】52∶48＝（52÷4）∶（48÷4）＝13∶12
50÷（13＋12）
＝50÷25
＝2（棵）
2×13＝26（棵）
2×12＝24（棵）
答：一班应栽26棵，二班应栽24棵。
【点睛】关键是理解比的意义，掌握按比分配问题的解题方法。
【典型例题2】“进阶版”。
1.红星果园共有640平方米，赵伯伯准备用种杏树，剩下的按4∶1的面积比种梨树和石榴树。三种果树的面积分别是多少平方米？
【答案】杏树：240平方米；梨树：320平方米；石榴：80平方米
【分析】把红星果园的总面积看作单位“1”，赵伯伯准备用中杏树，用640×，求出种杏树的面积；再用总面积－种杏树的面积，求出剩下的面积；再根据按比例分配的计算方法，再把剩下的面积分成（4＋1）份，用剩下的面积÷分成总的份数，求出一份的面积；进而求出种梨树的面积和种石榴的树的面积，据此解答。
【详解】杏树：640×＝240（平方米）
4＋1＝5（份）
（640－240）÷5
＝400÷5
＝80（平方米）
梨树：80×4＝320（平方米）
石榴：80×1＝80（平方米）
答：种杏树的面积是240平方米，种梨树的面积是320平方米，种石榴的面积是80平方米。
【点睛】熟练掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法，按比例分配的计算方法是解答本题的关键。
2.有一块长方形的菜地，长方形的长和宽的比是，它的周长为24米，求这块长方形菜地的面积是多少？
【答案】35平方米
【分析】根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，据此求出长方形的长与宽的和，然后根据按比分配问题，求出长方形菜地的长和宽，最后根据长方形的面积公式：S＝ab，据此求出长方形菜地的面积。
【详解】
（米）
（平方米）
答：这块长方形菜地的面积是35平方米。
【点睛】本题考查按比分配问题，结合长方形的周长和面积的计算方法是解题的关键。
3.一个长方体棱长总和为96厘米，长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体的长、宽、高各是多少？
【答案】长是12厘米，宽是8厘米，高是4厘米。
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4， 先求出长方体的长、宽、高之和；接下来利用按比分配的方法求出长方体的长、宽、高与长、宽、高和的比，结合上步所得，用乘法即可得解。
【详解】长：96÷4
＝24×
＝12（厘米）
宽：96÷4
＝24×
＝8（厘米）
高：96÷4
＝24×
＝4（厘米）
答：这个长方体的长是12厘米，宽是8厘米，高是4厘米。
【点睛】此题考查了按比分配应用题，解题的关键是利用按比分配的方法求出长、宽、高所占的分率。
4.甲、乙两地相距360千米，客车与货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后相遇。客车与货车的速度比是3∶2，货车的速度是多少？
【答案】48千米/时
【分析】根据路程和÷相遇时间＝速度和，用360÷3即可求出客车与货车的速度和；已知客车与货车的速度比是3∶2，把客车的速度看作3份，货车的速度看作2份，用360÷3÷（3＋2）即可求出每份是多少，进而求出2份，也就是货车的速度。
【详解】360÷3÷（3＋2）
＝360÷3÷5
＝24（千米/时）
24×2＝48（千米/时）
答：货车的速度是48千米/时。
【点睛】本题主要考查了相遇问题以及按比分配问题，要熟练掌握相应的公式。
【对应练习】
1．大友家有温室菜地1200平方米，其中种黄瓜，剩下的按7∶5种西红柿和茄子。三种蔬菜各种了多少平方米？
【答案】黄瓜960平方米；西红柿140平方米；茄子100平方米
【分析】把温室菜地看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用1200×即可求出种黄瓜的面积；然后用菜地的总面积减去种黄瓜的面积，即可求出种西红柿和茄子的面积和；已知剩下的按7∶5种西红柿和茄子，则把种西红柿的面积看作7份，种茄子的面积看作5份，用剩下的总面积÷（7＋5）即可求出每份是多少，进而求出西红柿和茄子的面积。
【详解】1200×＝960（平方米）
1200－960＝240（平方米）
240÷（7＋5）
＝240÷12
＝20（平方米）
20×7＝140（平方米）
20×5＝100（平方米）
答：种黄瓜的面积是960平方米，种西红柿的面积是140平方米，种茄子的面积是100平方米。
【点睛】本题主要考查了分数乘法的应用以及按比分配问题，注意要求出每份的量是多少。
2．将一根384厘米的铁丝焊成一个长、宽、高的比是3∶2∶1的长方体模型。这个模型的长、宽、高各是多少厘米？表面积是多少？
【答案】48厘米、32厘米、16厘米；5632平方厘米
【分析】铁丝的长度是长方体的棱长总和，则用棱长总和÷4即可求出一组长宽高的和；设长是3份，宽是2份，高是1份，用长宽高和÷总份数，求出一份数，一份数分别乘长、宽、高的对应份数，即可求出长宽高；根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式解答即可。
【详解】384÷4＝96（厘米）
96÷（3＋2＋1）
＝96÷6
＝16（厘米）
长：16×3＝48（厘米）
宽：16×2＝32（厘米）
高：16×1＝16（厘米）
表面积为：
（48×32＋48×16＋32×16）×2
＝（1536＋768＋512）×2
＝2816×2
＝5632（平方厘米）
答：这个模型的长48厘米、宽32厘米、高16厘米，表面积是5632平方厘米。
【点睛】关键是理解比的意义，掌握长方体棱长总和以及表面积公式。
3．A、B两城相距800千米，甲乙两车分别从两城同时出发相向而行，5小时后相遇。甲乙两车的速度比是2∶3。甲车每小时行驶了多少千米？
【答案】64千米
【分析】用A、B两城的总路程除以相遇的时间，得出甲乙两车的速度和，甲乙两车的速度比是2∶3，则甲车是甲乙两车速度和的，用乘法计算即可。
【详解】800÷5＝160（千米）
160×
＝160×
＝64（千米）
答：甲车每小时行驶了64千米。
【点睛】掌握比的应用以及相遇问题中速度和的计算方法是解答题目的关键。
【典型例题3】“拓展版”。
1.箱子里有大中小零件共140个，其中大零件与中零件的个数比是2∶3，中零件与小零件的个数比是4∶5。这三种零件各有多少个？
解析：
大零件∶中零件＝2∶3＝8∶12
中零件∶小零件＝4∶5＝12∶15
大零件∶中零件∶小零件＝8∶12∶15
8＋12＋15＝35
140×＝32（个）
140×＝48（个）
140×＝60（个）
答：大零件有32个，中零件有48个，小零件有60个。
2.有一个长方体，棱长和是352厘米，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2，这个长方体的体积是多少立方厘米？
解析：
长+宽+高：352÷4=88（厘米）
长:宽:高=6:3:2
长：88×=48（厘米）
宽：88×=24（厘米）
高：88×=16（厘米）
体积：48×24×16=18432（立方厘米）
答：略。
3.甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙丙三个数的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？
解析；
甲数与乙数的比是5∶6
乙数与丙数的比是3∶4＝6∶8
甲数、乙数、丙数的比是5∶6∶8
5＋6＋8＝19
甲数：152÷19×5＝40
乙数：152÷19×6＝48
丙数：152÷19×8＝64
答：甲、乙、丙三个数各是40，48，64。
4.某食堂第一周用去面粉总袋数的，第二周用去的面粉袋数与面粉总袋数的比是3∶10，现在还剩50袋面粉，食堂一共有多少袋面粉？
【答案】250袋
【分析】将面粉总袋数看作单位“1”，根据第二周用去的面粉袋数与面粉总袋数的比是3∶10，可以确定第二周用去面粉总袋数的，还剩面粉总袋数的（1－－），还剩下的袋数÷对应分率＝总袋数，据此列式解答。
【详解】50÷（1－－）
＝50÷
＝50×5
＝250（袋）
答：食堂一共有250袋面粉。
【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法和比的意义。
【对应练习】
1．淘气与奇思两人赛跑，淘气跑到全程处时，奇思已跑路程与未跑路程的比是3∶1，这时两人相距50米，问全程多少米？
【答案】400米
【分析】把两人赛跑的全程看作单位“1”，淘气跑到全程处时，奇思已跑路程与未跑路程的比是3∶1，即奇思跑了全程的；此时两人相距50米占全程的（－），单位“1”未知，用除法计算，求出全程。
【详解】50÷（－）
＝50÷（－）
＝50÷
＝50×8
＝400（米）
答：全程400米。
【点睛】本题考查分数除法的应用，先把比转化成分数，找出单位“1”，单位“1”未知，分析出50米占全程的几分之几，然后根据分数除法的意义解答。
2．甲、乙两人各带了一些钱去买书，甲买书用去24元，乙买书用去36元，这时两人剩下的总钱数与原来总钱数的比是4∶7，问：原来两人共带了多少元钱？
【答案】140元
【分析】根据题意，甲、乙买书一共用去了（24＋36）元，已知剩下的总钱数与原来总钱数的比是4∶7，即剩下的总钱数占原来总钱数的；把甲、乙两人原来的总钱数看作单位“1”，那么用去的钱数占原来总钱数的（1－），单位“1”未知，用除法计算，即可求出两人原来的总钱数。
【详解】（24＋36）÷（1－）
＝60÷
＝60×
＝140（元）
答：原来两人共带了140元。
【点睛】关键是把比转化成分数，找出单位“1”，单位“1”未知，分析出两人用去的钱数占原来总钱数的几分之几，然后根据分数除法的意义解答。
3．在“经典诵读”活动中，姐姐看一本儿童文学，第一天读了全书的，第二天读了14页，这时已读的页数与剩下的页数的比是3∶5，这本书一共有多少页？
【答案】80页
【分析】这本书的总页数是单位“1”，求这本书的总页数，单位“1”未知用除法计算，即已知量÷已知量所对应的分率＝单位“1”量。已读的页数与剩下的页数的比是3∶5也就是已读的页数占这本书总页数的，所以第二天所读的页数14页所对应的分率是－，二者相除即可求出这本书的总页数。
【详解】14÷（－）
＝14÷（－）
＝14÷（－）
＝14÷
＝14×
＝80（页）
答：这本书一共有80页。
【点睛】在把关于比的问题转化为分数问题时，通常把题中的不变量看作单位“1”。
【考点三】三种类型的不变量问题。
【典型例题】
1.厨房里原有苹果和橘子的个数之比为3:4，妈妈又买了7个苹果，此时苹果和橘子的个数之比为了4:3，那么厨房里原有苹果和橘子的个数分别是多少？
解析：
由题意可知，橘子的数量不变。
方法一:
因为橘子的数量不变，所以份数统一为4×3=12份
即原来苹果和橘子的比为9:12
现在苹果和橘子的比为16:12
苹果从9份变为16份，对应的数量为7个
每一份：7÷（16-9）=1（个）
原来苹果：1×9=9（个）
原来橘子：1×12=12（个）
方法二：
因为橘子的数量不变，因此把橘子看作单位“1”
原来苹果占橘子的，现在苹果占橘子的
根据量率对应，橘子的数量为7÷（-）=12（个）
原来苹果为12×=9（个）
答：略。
2.壮壮和苹苹存钱数的比是，如果壮壮再存入400元，就和苹苹存的钱一样多，苹苹存了多少元？
解析：
（元
答：苹苹存了1000元。
3.小红和小明一共有105元钱。小红给小明18元后，小红与小明钱数的比正好是2∶3。小红、小明原来各有多少元钱？
解析：
105÷（2＋3）
＝105÷5
＝21（元）
小红现有钱：21×2＝42（元）
小明现有钱：21×3＝63（元）
小红原来有钱数：42＋18＝60（元）
小明原来有钱数：63－18＝45（元）
答：小红原来有60元，小明原来有45元。
【对应练习】
1．“双减”课后服务活动中，数学文化研究小组有42人，其中男、女生人数的比是6∶1。后来又加入一些女生，这时男、女生数的比为4∶3。这个小组增加了多少名女生？
【答案】21人
【分析】根据题意可知，男生人数不变，有42×＝36（名），女生有42－36＝6（名），后来女生人数占男生人数的，根据分数乘法的意义，用36×即可求出变化后的女生人数，再减去原来的女生人数即可。
【详解】42×＝36（名）
42－36＝6（名）
36×－6
＝27－6
＝21（名）
答：这个小组增加了21名女生。
【点睛】解答本题的关键是明确男生人数不变，进而根据分数乘法的意义求出后来女生人数。
2．六一班原来有48人，其中女生有18人，本期转入若干名女生后，现在女生人数与全班人数的比是2∶5，本期转入了多少名女生？
【答案】2名
【分析】根据题意可知，男生的人数不变，先用原来全班人数减去原来女生人数，求出男生人数；
已知转入若干名女生后，现在女生人数与全班人数的比是2∶5，即现在女生人数占现在全班人数的，把现在全班人数看作单位“1”，那么男生人数占现在全班人数的（1－）；
根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用男生人数除以（1－），即可求出现在全班人数，再减去原来全班人数，即是转入的女生人数。
【详解】男生：48－18＝30（人）
男生人数占现在全班人数的：1－＝
现在全班人数：
30÷
＝30×
＝50（人）
转入女生：50－48＝2（名）
答：本期转入了2名女生。
【点睛】本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，抓住男生人数不变，把比转化成分数，求出男生人数以及男生人数占现在全班人数的几分之几，然后根据分数除法的意义解答。
3．甲、乙两个粮仓的存粮数的比是4∶3，如果从甲粮仓拿出1200千克放入乙粮仓，这时甲粮仓存粮数是乙粮仓存粮数的。甲粮仓原有粮多少千克？
【答案】4000千克
【分析】根据“甲、乙两个粮仓的存粮数的比是4∶3”可知，乙粮仓的存粮数相当于甲粮仓存粮数的，假设甲粮仓原有粮x千克，则乙粮仓原有粮x千克，根据题目中的数量关系：甲粮仓原有存粮数－1200＝（乙粮仓原有存粮数＋1200）×，据此列出方程，解方程即可求出甲粮仓原有粮多少千克。
【详解】解：设甲粮仓原有粮x千克，则乙粮仓原有粮x千克，
x－1200＝（x＋1200）×
x－1200＝x×＋1200×
x－1200＝x＋800
x－x＝1200＋800
x＝2000
x＝2000÷
x＝2000×2
x＝4000
答：甲粮仓原有粮4000千克。
【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把甲粮仓原有存粮数设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
【第五篇】百分数的应用
【知识总览】
一、百分数乘除法应用题。
百分数乘除法应用题绝大多部分是分数乘除法应用题的变式，因此，我们可以说，掌握了分数乘除法应用题也就掌握了百分数乘除法应用题。
（注意：请可尽多的参考“分数应用题部分”，此部分考点考题只作简略赘述）
1.百分数应用题与分数乘法应用题基本题型的结合。
（1）求一个数的百分之几是多少？
单位“1”×百分率=分率所对应的量
（2）求一个数比另一个数多（少）百分之几的数是多少？
单位“1”×（1+百分率）=分率所对应的数量
（3）在单位“1”已知的情况下，单位“1”×对应分率=对应分量。
2.百分数应用题与分数除法应用题基本题型的结合。
（1）求一个数是另一个数的百分之几？
一个数÷另一个数×100%=百分率
（2）求一个数比另一个数多（少）百分之几：
相差数÷单位“1”=多（少）百分之几（口诀：作差除比后）
（3） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
分量÷分量所对应的百分率=单位“1”
（4）已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数。
分量÷（1+对应百分率）=单位“1”
3.百分数应用题与量率对应问题。
“量率对应”是使用算术方法解决分数除法应用题的核心思路，关键在于明确分量和分率代表的意义是否一样，即是否一一对应，在百分数应用题中也同样适用，
对应分量÷对应分率=单位“1”。
4.百分数应用题与单位“1”转化问题。
单位“1”转化问题是分数应用题的常考题型，也常与百分数问题结合，方法不变，先统一单位“1”，再按照量率对应的方法解决问题。
5.百分数应用题与“不变量”问题。
寻找不变量属于量率对应类型题的一种，题目的关键是找到不变量，然后以不变量作为单位“1”统一，再用对应数量÷对应分率=单位“1”。
二、百分率问题。
1.百分率：
指两个数相除的商所化成的百分数，一般是求部分量占总量的百分之几。
2.百分率通用公式：
部分量÷总数量×100%=百分率
例如：合格率是指合格的产品数量占产品总数量的百分之几；发芽率是指发芽种子数占种子总数的百分之几。
3.下列是常见的百分率公式：
小麦的出粉率= ×100%
出勤率=×100%
花生的出油率=×100%
达标率=×100%
发芽率=×100%  
成活率=×100% 
合格率=×100%
投球的命中率=×100%
利润率= ×100%（利润=售价-进价）
4.注意事项：
百分率问题随着题型的变化而有所不同，因此首先要注意理解百分率的含义，再根据不同题型化用百分率公式，切忌死记硬背百分率公式。
三、浓度问题。
1.浓度的定义：溶质占溶液的百分比。
2.浓度三要素：溶质、溶剂、溶液。
（1）溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。
（2）溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。
（3）溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。
（4）三者关系：溶质+溶剂=溶液
3.浓度问题基本公式：
浓度=×100%
溶质=溶液×浓度
溶液=溶质÷浓度
【考点一】百分数乘除法应用题。
【典型例题1】“基本题型”。
1．南梁诗人萧绎的一首描写春景的古诗中写道：“春还春节美，春日春风过。春心日日异，春情处处多。”这四句诗中出现次数最多的字的数量占总字数的百分之几？
你还知道哪些描写春景的古诗？
【答案】30%；《春晓》是描写春景的古诗。
【分析】根据题意可知，先数出这首诗有20个字，再找出这首诗中出现最多次的字是“春”，出现了6次，所以用6÷20×100%即可算出答案。
【详解】6÷20×100%
＝0.3×100%
＝30%
答：这四句诗中出现次数最多的字的数量占总字数的30%，《春晓》是描写春景的古诗。
2．中国四十多年的改革开放，取得了举世瞩目的成就。1978年改革之初，中国GDP（国内生产总值）仅0.15万亿美元，不足当时世界第一的美国GDP2.35万亿美元的零头。2019年中国GDP已超过了14万亿美元，大约相当于美国2019年GDP的70%。国际权威机构预测，按当下的发展势头，再用不到十年时间，中国将超越美国，成为世界第一。请问2019年美国的GDP大约是多少万亿美元？
【答案】20万亿美元
【分析】把美国2019年GDP看作单位“1”，根据百分数除法的意义，用14÷70%即可求出2019年美国的GDP。
【详解】14÷70%＝20（万亿美元）
答：2019年美国的GDP大约是20万亿美元。
3．某鞋店第一周卖出200双鞋，第二周卖出的比第一周多25%。第二周卖出多少双鞋？
【答案】250双
【分析】第二周卖出的比第一周多25%，把第一周卖出的鞋看作单位“1”，用200×（1＋25%）即是第二周卖出的鞋。
【详解】200×（1＋25%）
＝200×1.25
＝250（双）
答：第二周卖出250双鞋。
4．某市2019年人均月收入为2700元，比2020年人均月收入少了10%。2020年人均月收入为多少元？
【答案】3000元
【分析】将2020年人均月收入看作单位“1”，2019年人均月收入÷对应百分率＝2020年人均月收入，据此列式解答。
【详解】2700÷（1－10%）
＝2700÷0.9
＝3000（元）
答：2020年人均月收入为3000元。
【对应练习】
1．苏宁电器在“元旦”期间搞促销活动，原价3500元的康佳牌电视机，现在只卖3080元。这种康佳牌电视机的价格降低了百分之几？
【答案】12%
【分析】求这种康佳牌电视机的价格降低了百分之几，实际是求一个数比另一个数少百分之几，解决这类问题，首先要把原价看作单位“1”，接着求出现价比原价少的钱数，用少的钱数除以单位“1”的量，即可得解。
【详解】（3500－3080）÷3500
＝420÷3500
＝0.12
＝12%
答：这种康佳牌电视机的价格降低了12%。
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数比另一个数少百分之几的计算方法。
2．2021年我国居民医疗保险人均财政补助标准为580元，与2019年相比增加了60元。已知2019年居民医疗保险人均财政补助标准比2014年增加了62.5%。2014年我国居民医疗保险人均财政补助标准是多少元？
【答案】
320元
【分析】由题意知：以2014年居民医疗保险人均财政补助标准金额数为单位“1”，2019年是2014年的1＋62.5%＝162.5%，520元对应着这个分率，用除法计算即可得解。
【详解】
（元）
答：2014年我国居民医疗保险人均财政补助标准是320元。
【点睛】本题考查百分数，解答本题的关键是掌握已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算。
3．在2022年“西江筑梦·爱心助学”义卖活动中，六（1）班筹集义卖款600元，六（1）班筹集的义卖款比六（2）班少20%，六（2）班筹集义卖款多少元？（先画线段图，再列式计算）
【答案】图见详解；750元
【分析】把六（2）班筹集的义卖款看作单位“1”，则六（1）班筹集的义卖款相当于六（2）班筹集的义卖款的（1－20%），根据已知条件画出线段图；已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法，用六（1）班筹集的义卖款除以（1－20%），即可得解。
【详解】如图：
600÷（1－20%）
＝600÷80%
＝750（元）
答：六（2）班筹集义卖款750元。
【点睛】此题的解题关键是掌握已知比一个数少百分之几的数是多少，求这个数的计算方法。
4．自2021年6月起，中国空间站“天宫”开启有人长期驻留时代，航天员多次进行出舱活动。在空间站中，分解1升的水可以制备620升的氧气，比一个航天员每天所需氧气量的90%还多125升。一个航天员每天所需氧气量是多少升？
【答案】550升
【分析】将620升减去125升，求出一个航天员每天所需氧气量的90%是多少升。将每天需要的氧气量看作单位“1”，单位“1”未知，用620升减去125升的差除以对应的百分率90%，求出一个航天员每天所需氧气量是多少升。
【详解】（620－125）÷90%
＝495÷90%
＝550（升）
答：一个航天员每天所需氧气量是550升。
【点睛】本题考查了含百分数的运算，已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法。
5．双十一活动即将来临，淘宝网一家服装店卖出两件不同的衣服，它们的售价都是240元，按成本价计算，其中一件赚了，另一件亏了。
（1）两件衣服一共卖了多少钱？
（2）售出这两件衣服后，服装店赚了还是亏了？赚了或亏了百分之几？
【答案】（1）480元
（2）亏了；4%
【分析】（1）根据“淘宝网一家服装店卖出两件不同的衣服，它们的售价都是240元”可知，两件衣服一共卖了（240×2）元钱。
（2）根据题意，分别把两件衣服的原价看作单位“1”，用售价240元除以（1＋），即可求出赚钱的那件衣服的原价；用售价240元除以（1－），即可求出亏钱的那件衣服的原价；用两件衣服的原价之和与售价之和比较得出服装店是赚了还是亏了，进而求出差额；用这个差额除以两件衣服的原价之和，再乘100%即可。
【详解】（1）240×2＝480（元）
答：两件衣服一共卖了480元钱。
（2）240÷（1＋）＋240÷（1－）
＝240÷＋240÷
＝240×＋240×
＝200＋300
＝500（元）
500＞480
（500－480）÷500×100%
＝20÷500×100%
＝0.04×100%
＝4%
答：售出这两件衣服后，服装店亏了，亏了4%。
【点睛】本题考查了分数的四则混合运算，分别把两件衣服的原价看作单位“1”，求单位“1”的量，用除法计算出每件衣服的原价，用两件衣服的原价之和与售价之和比较得出服装店是赚了还是亏了。
【典型例题2】“提高题型”。
1．小明看一本故事书，第一天看了30页，第二天比第一天多看了20%，还剩下95页没有看。这本故事书一共有多少页？
【答案】161页
【分析】把第一天看的页数看作单位“1”，第二天看的页数是第一天的（1＋20%），根据百分数乘法的意义，用30×（1＋20%）即可求出第二天看的页数；然后用第一天看的页数＋第二天看的页数＋剩下的页数即可求出总页数。
【详解】30×（1＋20%）
＝30×1.2
＝36（页）
30＋36＋95＝161（页）
答：这本故事书一共有161页。
【点睛】本题考查了百分数乘法的计算和应用，明确求比一个数多百分之几的数是多少，用乘法计算。
2．一种电脑销售中第一次比原价3600元降低了，第二次上涨了。这种电脑现价多少元？
【答案】3564元
【分析】把这种电脑的原价看作单位“1”，则降低了10%后的价格为3600×（1－10%）；再把降价后的价格看作单位“1”，又上涨10%后，此时的价格为3600×（1－10%）×（1＋10%），据此解答即可。
【详解】3600×（1－10%）×（1＋10%）
＝3600×0.9×1.1
＝3240×1.1
＝3564（元）
答：这种电脑现价3564元。
【点睛】本题考查求比一个数多（少）百分之几的数是多少，明确单位“1”的变化是解题的关键。
3．根据防疫要求，2022年北京冬奥要招募4000名安保志愿者。第一天报名人数是总人数的15%，第二天报名人数是总人数的，第二天比第一天多报名多少人？
【答案】200人
【分析】由题意可知：总人数是单位“1”，总人数是4000人，单位“1”已知用乘法计算，求一个数的几（百）分之几是多少用乘法计算，即一个数（单位“1”的量）×几分之几＝部分量。据此用4000×15%求出第一天报名的人数；再用4000×求出第二天报名的人数；最后用第二天报名的人数减去第一天报名的人数即可求出第二天比第一天多报名的人数。
【详解】4000×－4000×15%
＝800－600
＝200（人）
答：第二天比第一天多报名200人。
【点睛】确定单位“1”的量是解决分数问题的关键。单位“1”已知，用乘法解答；单位“1”未知，用除法解答。
4．水果店运来一批橘子和香蕉，其中橘子占总数的35%，橘子比香蕉少1440千克，运来橘子多少千克？（列方程解答）
【答案】1680千克
【分析】设运来橘子和香蕉一共x千克；把橘子和香蕉的总数看作单位“1”，橘子占总数的35%，橘子运来35%x千克；香蕉占总量的（1－35%），香蕉运来（1－35%）x千克；橘子比香蕉少1440千克，即香蕉的数量－橘子的数量＝1440千克，列方程：（1－35%）x－35%x＝1440，解方程，求出香蕉和橘子一共运来的数量，进而求出橘子的数量。
【详解】解：设橘子和香蕉一共x千克。
（1－35%）x－35%x＝1440
65%x－35%x＝1440
30%x＝1440
x＝1440÷30%
x＝4800
4800×35%＝1680（千克）
答：运来橘子1680千克。
【点睛】本题考查方程的实际应用，利用原来橘子、香蕉以及总数量之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。
【对应练习】
1．雷老师开车从A城到B城，第一天行了全程的44%，第二天行了全程的，已知第二天比第一天少行了56千米。第一天行了多少千米？
【答案】308千米
【分析】把从A城到B城的路程看作单位“1”，第二天比第一天少行了全程的（44%－），又知第二天比第一天少行了56千米，用除法计算即可得从A城到B城的路程，再乘第一天行了全程的百分率，即可得第一天行了多少千米。
【详解】56÷（44%－）×44%
＝56÷（44%－36%）×44%
＝56÷8%×44%
＝700×44%
＝308（千米）
答：第一天行了308千米。
【点睛】本题主要考查了分数百分数复合应用题，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算；已知一个数，求它的百分之几是多少，用乘法计算。
2．向阳小学开展了“节约用水”活动。10月份水费比9月份节约了10%，11月份水费又比10月份节约了10%，11月份水费比9月份水费节约了百分之几？
【答案】19%
【分析】把9月份水费看作单位“1”，已知10月份水费比9月份节约了10%，则10月份水费是9月份的（1－10%），再把10月份水费看作单位“1”，又11月份水费又比10月份节约了10%，则11月份水费是10月份的（1－10%），根据百分数乘法的意义，用（1－10%）×（1－10%）即可求出11月份水费是9月份的百分之几；然后用1－11月份水费占9月份的百分率，即可求出11月份水费比9月份水费节约了百分之几。
【详解】（1－10%）×（1－10%）
＝90%×90%
＝81%
1－81%＝19%
答：11月份水费比9月份水费节约了19%。
【点睛】本题考查了百分数的计算和应用，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。
【典型例题3】“拓展题型”。
1．跳绳是一项极佳的健体运动，能有效训练个人的反应能力和耐力。红旗小学原来有短绳和长绳共120根，其中短绳根数与长绳根数的比是3∶5，后来又买进一批短绳，这时短绳根数占总数的75%。红旗小学后来买进多少根短绳？
【答案】180根
【分析】根据题意，短绳和长绳共120根，短绳与长绳根数的比是3∶5，即一共是（3＋5）份；用短绳和长绳的总数除以总份数，求出一份数，再乘长绳的份数，即可求出长绳的根数；
从题中可知，短绳的数量在发生变化，但长绳的数量没有变化；已知后来又买进一批短绳，这时短绳根数占总数的75%，把后来跳绳的总数看作单位“1”，则长绳根数占后来总数的（1－75%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出后来跳绳的总数；再用后来跳绳的总数减去原来跳绳的总数，即是后来买进短绳的数量。
【详解】一份数：
120÷（3＋5）
＝120÷8
＝15（根）
长绳有：15×5＝75（根）
后来跳绳的总数：
75÷（1－75%）
＝75÷0.25
＝300（根）
后来买进短绳：300－120＝180（根）
答：红旗小学后来买进180根短绳。
【点睛】本题考查比的应用以及百分数除法的实际应用，先把比看作份数，求出一份数，进而求出长绳的数量；明确长绳的数量不变，把后来跳绳的总数看作单位“1”，单位“1”未知，根据百分数除法的意义求出后来跳绳的总数是解题的关键。
2．某市修一条路，第一周修了25千米，第二周修的比第一周少20%，如果再修15千米就正好还剩全长的，这条路全长多少千米？
【答案】90千米
【分析】根据“第二周修的比第一周少20%”，把第一周修的长度看作单位“1”，则第二周修的长度是第一周的（1－20%），单位“1”已知，用乘法计算，求出第二周修的长度；将第一周修的长度、第二周修的长度与15千米相加，求出已修的长度；
把这条路的全长看作单位“1”，未修的长度占全长的，那么已修的长度占全长的（1－），单位“1”未知，用已修的长度除以（1－），即可求出这条路的全长。
【详解】第二周修了：
25×（1－20%）
＝25×0.8
＝20（千米）
全长：
（25＋20＋15）÷（1－）
=60÷
＝60×
＝90（千米）
答：这条路全长90千米。
【点睛】本题考查分数、百分数乘除法的应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据分数（百分数）乘法的意义列式计算；单位“1”未知，根据分数（百分数）除法的意义列式计算。
3．甲、乙两人同时分别加工同样多的一种零件，当甲做了他的时，乙还有46个没有做。这时甲效率提高20%，乙效率不变。当甲又做了余下的时，乙还有没有做完。两人一共要加工零件多少个？
【答案】128个
【分析】根据在相同时间内甲乙工作总量可得甲乙工作量的比，再根据比求得乙在甲做他的时乙的工作量，然后求出乙做46个零件时的工作量，就可得甲乙总的工作量。
【详解】甲做余下的相当于用原工作效率做了零件的：（1－）×÷（1＋20%）
＝×÷1.2
＝÷1.2
＝
甲乙在相同时内的工作量的比是：
（＋）∶（1－）
＝∶
＝（×12）∶（×12）
＝8：9
甲做他的时，乙的工作量是：÷
＝×
＝
甲乙加工零件总数：46÷（1－）×2
＝46÷×2
＝46××2
＝64×2
＝128（个）
答：两人一共要加工零件128个。
【点睛】明确相同时间内甲乙两人工作量的比是解决本题的关键。
【对应练习】
1．甲、乙、丙三个数的和是158，其中甲数是乙数的，乙数比丙数多26%。甲、乙、丙三个数各是多少？
【答案】45；63；50
【分析】将丙数看作单位“1”，乙数是丙数的（1＋26%），丙数×乙数对应百分率＝乙数；将乙数看作单位“1”，乙数×甲数对应分率＝甲数，设丙数是x，分别用x表示出乙数和甲数，根据甲数＋乙数＋丙数＝158，列出方程求出x的值是丙数，根据丙数再求出乙数和甲数即可。
【详解】解：设丙数是x。
（1＋26%）x×＋（1＋26%）x ＋x＝158
1.26x×＋1.26x＋x＝158
0.9x＋1.26x＋x＝158
3.16x＝158
3.16x÷3.16＝158÷3.16
x＝50
50×（1＋26%）
＝50×1.26
＝63
63×＝45
答：甲、乙、丙三个数各是45、63、50。
【点睛】整体数量×部分对应分率或百分率＝部分数量，用方程解决问题的关键是找到等量关系。
2．一个水果店购进苹果的质量比橘子多25%，橘子与菠萝质量的比是8∶3，苹果比菠萝多140千克，该水果店购进苹果多少千克？
【答案】200千克
【分析】假设该水果店购进苹果x千克，则购进菠萝（x－140）千克，把橘子的质量看作8份，菠萝的质量看作3份，用菠萝的质量除以对应的份数，求出1份量是多少千克，再乘橘子对应的份数，即可表示出橘子的质量；再根据苹果的质量是橘子质量的（1＋25%），即苹果的质量＝橘子的质量×（1＋25%），据此列出方程，解方程即可求出该水果店购进苹果多少千克。
【详解】解：设该水果店购进苹果x千克，购进菠萝（x－140）千克，购进橘子（x－140）÷3×8千克，
x＝（x－140）÷3×8×（1＋25%）
x×3＝（x－140）×8×（1＋0.25）
3x＝（x－140）×（8×1.25）
3x＝（x－140）×10
3x＝x×10－140×10
10x－3x＝1400
7x＝1400
x＝1400÷7
x＝200
答：该水果店购进苹果200千克。
【点睛】此题主要考查比的应用以及比一个数多百分之几的数是多少的计算方法，把水果店购进苹果的质量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
3．家家乐水果店运进一批苹果，第一天卖出37.5%，第二天卖出剩下的，还剩下210千克苹果，第一天卖出多少千克苹果？
【答案】180千克
【分析】把这批苹果的总质量看作单位“1”，第一天卖出37.5%，那么还剩下总质量的1－37.5%＝62.5%；已知第二天卖出剩下的，则第二卖出总质量的62.5%×＝18.75%；
根据减法的意义，用“1”减去第一天、第二天卖出总质量的百分比，求出还剩下的苹果质量占总质量的百分比；然后根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出苹果的总质量；
最后根据求一个数的百分之几是多少，用苹果的总质量乘第一天卖出的百分比，即可求出第一天卖出苹果的质量。
【详解】第二天卖出全部的：
（1－37.5%）×
＝62.5%×0.3
＝18.75%
苹果的总质量：
210÷（1－37.5%－18.75%）
＝210÷0.4375
＝480（千克）
第一天卖出：
480×37.5%
＝480×0.375
＝180（千克）
答：第一天卖出180千克苹果。
【点睛】本题考查百分数乘除法的意义及应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据百分数除法的意义列式计算，求出苹果的总质量是解题的关键。
【考点二】百分率问题。
【典型例题】
1.科研人员培育了一种治沙植物“红柳”，在离沙漠边缘40千米处种了8000株红柳，成活了6800株。这批红柳的成活率是多少？
解析：
6800÷8000×100%
＝0.85×100%
＝85%
答：这批红柳的成活率是85%。
2.六（2）班今天到校47人，请病假的3人，该班的出勤率是多少？
解析：
47÷（47＋3）×100%
＝47÷50×100%
＝0.94×100%
＝94%
答：该班的出勤率是94%。
3.六年级学生共植树60棵，成活了56棵，马上又补种了4棵，并全部成活，这批树的成活率是( )。
解析：
（56＋4）÷（60＋4）×100%
＝60÷64×100%
＝93.75%
4. 300kg的小麦可以磨出面粉225kg，小麦的出粉率是( )，照这样计算，480kg小麦可以磨出面粉( )kg；要磨出面粉1050kg，需要( )kg的小麦。
解析：
小麦的出粉率是：
225÷300×100%
＝0.75×100%
＝75%
480kg小麦可以磨出面粉：
480×75%
＝480×0.75
＝360（kg）
要磨出面粉1050kg，需要小麦：
1050÷75%
＝1050÷0.75
＝1400（kg）
【对应练习】
1．学校六年级举行“重走长征红路，弘扬革命精神”活动。六年级3个班一共有120人，六年级一班2人请假，六年级二班3人请假，六年级三班全部到齐，本次活动的出勤率是( )。（除不尽的，百分号前保留两位小数）
【答案】95.83%
【分析】根据题意，结合“出勤率＝出勤人数÷总人数”这一公式可知，先算出出勤人数，即（120－2－3）人，再用出勤人数除以120，计算即可。
【详解】（120－2－3）÷120
＝115÷120
≈0.9583
0.9583×100%＝95.83%
所以本次活动的出勤率是95.83%。
2．六年级（1）班人数40人，39人出勤，出勤率是( )；花生油的出油率是65%，现有500千克的花生仁能榨出( )千克花生油。
【答案】 97.5% 325
【分析】将出勤人数除以班级总人数，求出出勤率；
将花生仁的质量乘出油率，求出500千克的花生仁能榨出多少花生油。
【详解】39÷40＝97.5%
500×65%＝325（千克）
所以，出勤率是97.5%；500千克的花生仁能榨出325千克花生油。
3．把8克盐溶入80克水中，盐与水的质量比是( )，这种盐水的含盐率是( )。（百分号前保留一位小数）
【答案】 1∶10 9.1%
【分析】根据题意，把8克盐比上80克水，即可求出盐与水的质量比；先求出盐水的质量，进而根据“含盐率＝盐的质量÷盐水的质量×100%”，据此解答。
【详解】盐与水的质量比：8∶80＝1∶10
含盐率：8÷（8＋80）×100%
＝8÷88×100%
≈0.091×100%
＝9.1%
【点睛】此题考查了比的应用以及百分数的应用和含盐率、盐的质量、盐水的质量三者之间的关系。
4．一杯糖水的含糖率是10%，往这杯糖水中再放5克糖，要使这杯糖水的含糖率不变，还要往杯子里加( )克水。
【答案】45
【分析】根据含糖率＝糖的质量÷糖水的质量可知，先算出加入糖和水的总质量为5÷10%，再用5÷10%－5可以得出答案。
【详解】5÷10%－5
＝50－5
＝45（克）
还要往杯子里加45克水。
【点睛】此题考查了百分数的应用以及含糖率、糖的质量和糖水的质量三者之间的关系。
【考点三】比与百分数。
【典型例题1】求比。
1.甲班男生人数是女生人数的，男生人数与女生人数的比是( )，女生人数占全班人数的( )%，男生人数比女生人数少( )%。
【答案】 3∶5 62.5 40
【分析】根据题意，甲班男生人数是女生人数的，假设男生有3人，则女生有5人，根据比的意义，求出男生与女生人数比；
用女生人数÷全班人数×100%，代入数据，求出女生人数占全班人数的百分比；
用男生与女生的人数差，除以女生人数，再乘100%，即可求出男生人数比女生人数少的百分比，据此解答。
【详解】假设男生有3人，则女生有5人，全班人数有3＋5＝8（人）
男生人数与女生人数比：3∶5
5÷（3＋5）×100%
＝5÷8×100%
＝0.625×100%
＝62.5%
（5－3）÷5×100%
＝2÷5×100%
＝0.4×100%
＝40%
六甲班男生人数是女生人数的，男生人数与女生人数的比是3∶5，女生人数占全班人数的62.5%，男生人数比女生人数少40%。
【点睛】熟练掌握比的意义，求一个数是另一个数的百分之几，求一个数比另一个数多或少百分之几的计算方法是解答本题的关键。
2. 甲、乙两个数的比是2∶5，则甲数是乙数的( )%，甲数比乙数少( )%。
【答案】 40 60
【分析】根据题意，甲、乙两个数的比是2∶5，可以把甲数看作2份，则乙数看作5份；求甲数是乙数的百分之几，用甲数除以乙数即可；
求甲数比乙数少百分之几，先用减法求出少的份数，再除以乙数即可。
【详解】2÷5×100%
＝0.4×100%
＝40%
甲数是乙数的40%。
（5－2）÷5×100%
＝3÷5×100%
＝0.6×100%
＝60%
甲数比乙数少60%。
【点睛】本题考查比的意义以及百分数的应用，先把比看作份数，然后根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算；求一个数比另一个数少百分之几，用两数的差值除以另一个数。
【对应练习】
1. 学校书法组中女生人数占60%，女生和男生人数的比是( )∶( )，男生人数与总人数的比值是( )，如果书法组中有女生12人，则男生有( )人。
【答案】 3 2 8
【分析】（1）根据“书法组的女生人数占60%”，可知书法组的男生人数占1－60%＝40%，进而写出男生和女生人数对应的分率比，根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变。据此解答即可；
（2）把书法组的总人数看作单位“1”，再写出男生人数与总人数的比，进而根据求比值的方法，用比的前项除以后项即得比值；
（3）根据男生人数占总人数的1－60%＝40%，有12人，已知女生有12人，用12除以对应分率，即可求得单位“1”的量，即总人数，进而用总人数乘男生人数占的分率就是男生人数。
【详解】（1）60%∶（1－60%）
＝60%∶40%
＝∶
＝（×100）∶（×100）
＝60∶40
＝（60÷20）∶40÷20
＝3∶2
即女生和男生人数的比是3∶2。
（2）（1－60%）∶1
＝40%∶1
＝0.4∶1
＝（0.4×5）∶（1×5）
＝2∶5
＝
即男生人数与总人数的比值是。
（3）12÷60%×（1－60%）
＝12÷0.6×0.4
＝20×0.4
＝8（人）
如果书法组中有女生12人，则男生有8人。
【点睛】解答此题用到的知识点：比的意义、求比值的方法以及百分数和比的应用。
2. 商店运进桔子120筐，梨的筐数和桔子的筐数的比是5∶3，桔子占梨的( )%，桔子比梨少( )%。
【答案】 60 40
【分析】已知梨的筐数和桔子的筐数的比是5∶3，可以把梨的筐数看作5份，桔子的筐数看作3份；
求桔子占梨的百分之几，用桔子的份数除以梨的份数即可；
求桔子比梨少百分之几，先用减法求出少的份数，再除以梨的份数即可。
【详解】3÷5×100%
＝0.6×100%
＝60%
（5－3）÷5×100%
＝2÷5×100%
＝0.4×100%
＝40%
桔子占梨的60%，桔子比梨少40%。
【点睛】本题考查比的意义以及百分数的实际应用，先把比看作份数，然后根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算；求一个数比另一个数多或少百分之几，用两数的差值除以另一个数。
【典型例题2】按比例分配问题。
1. 小刚和小强一共有240张画片，小刚的画片数是小强的60%，小刚和小强各有多少张画片？
【答案】90张；150张
【详解】60%＝3∶5
3＋5＝8
小刚：240×＝90（张）
小强：240×＝150（张）
答：小刚90张，小强150张。
2. 学校运来200棵树苗，老师栽种了10%，余下的按5∶4分配给五、六两个年级栽，五、六年级各分到多少棵？
【答案】五年级分到100棵；六年级分到80棵
【分析】把树苗的总棵数看作单位“1”，老师栽种了10%，则余下的占总棵数的（1－10%），根据百分数乘法的意义，用200×（1－10%）即可求出余下的棵数，余下的按5∶4分配给五、六两个年级栽，则把五年级分到的看作5份，六年级分到的看作4份，用余下的棵数÷（5＋4）即可求出一份的量是多少，进而求出5份和4份，也就是五年级和六年级各自分到的棵数。
【详解】200×（1－10%）
＝200×90%
＝180（棵）
180÷（5＋4）
＝180÷9
＝20（棵）
五年级：20×5＝100（棵）
六年级：20×4＝80（棵）
答：五年级分到100棵，六年级分到80棵。
【点睛】本题主要考查了百分数的应用以及按比分配问题，注意求一个数的百分之几是多少，用乘法计算。
3. 某果园里的桃树比苹果树少50棵，苹果树的和桃树的40%相等，梨树的棵数与苹果树的棵数之比是2∶3，这个果园里梨树有多少棵？
【答案】200棵
【分析】苹果树棵数的和桃树的40%相等，苹果树是桃树的40%÷＝120%，即苹果树比桃树多120－1＝20%，桃树比苹果树少50棵，则桃树有50÷20%＝250（棵），则苹果树有250＋50＝300（棵），梨树与苹果树的比是2∶3，则梨树有300×＝200（棵）。
【详解】桃树有：
50÷（40%÷－1）
＝50÷（120%－1）
＝50÷20%
＝250（棵）
苹果树有：250＋50＝300（棵）
梨树有：300×＝200（棵）
答：梨树有200棵。
【点睛】先根据已知条件求出桃树有多少棵是完成本题的关键。
3. 仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物重量比为2∶7，如果又运走64吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的60%。仓库原有货物多少吨？
【答案】360吨
【分析】把仓库原有货物看作单位“1”，运走的货物与剩下的货物的重量比为2∶7，也就是剩余货物占总重量的，又运走64吨，剩下的货物只有仓库原有货物的60%，先求出第二次剩余货物重量比运走第一次后剩余货物占的分率，也就是64吨占货物重量的分率，依据分数除法意义即可解答。
【详解】2＋7＝9
64÷（－60%）
＝64÷
＝64×
＝360（吨）
答：仓库原有货物360吨。
【点睛】根据按比例分配问题以及已知一个数的几分之几是多少，求这个数的知识进行解答。
【对应练习】
1. 流行了一段时间的H7N9禽流感病毒，让很多人“谈禽色变”。最近天津传来好消息，当某种特效药与水的比为1∶4时可有效抑制H7N9禽流感病毒。现有一桶药水重160千克，其中含特效药15%。
（1）这种药水中有特效药多少千克？
（2）如果再放入10千克特效药，这桶药水可配制成抑制H7N9的药水吗？请用计算说明。
【答案】（1）24千克
（2）可以制成
【分析】（1）现有一桶药水重160千克，其中含特效药15%，用药水的重量乘15%，求出特效药多少千克。
（2）用现在特效药的质量∶药水的质量，看是否等于1∶4，据此解答即可。
【详解】（1）（千克）
答：这种药水中有特效药24千克。
（2）
＝34∶136
＝1∶4
答：这桶药水可以配制成抑制H7N9的药水。
【点睛】本题考查比、百分数，解答本题的关键是掌握题中的数量关系式。
2. 仓库里有水泥80000千克，现取出其中的40%，余下的按5︰3分配给甲、乙两个建筑队，两队各分得多少千克水泥？
【答案】甲队分到30000千克水泥；乙队分到18000千克水泥
【分析】把水泥的总重量看作单位“1”，取出其中的40%，则余下的占总重量的（1－40%），根据百分数乘法的意义，用80000×（1－40%）即可求出余下的重量，余下的按5︰3分配给甲、乙两个建筑队，则把甲队分到的看作5份，乙队分到的看作3份，用余下的重量÷（5＋3）即可求出一份的量是多少，进而求出5份和3份，也就是甲队和乙队各自分到的重量。
【详解】80000×（1－40%）
＝80000×60%
＝48000（千克）
48000÷（5＋3）
＝48000÷8
＝6000（千克）
甲：6000×5＝30000（千克）
乙：6000×3＝18000（千克）
答：甲队分到30000千克水泥，乙队分到18000千克水泥。
【点睛】本题主要考查了百分数的应用以及按比分配问题，注意求一个数的百分之几是多少，用乘法计算。
3. 生产一批零件，第一周生产了这批零件的20%，第二周生产了480个，这时已经生产的和没有生产的零件的个数比是3∶2，还要生产多少个零件才能完成任务？
【答案】480个
【分析】已经生产的和没有生产的零件的个数比是3∶2，按比例分配，把已经生产的零件个数看作3份，没有生产的零件个数看作2份，已经生产的零件个数占总零件个数的，减去第一周生产的零件个数的占比，即是第二周生产的零件个数的占比，和第二周生产的零件个数对应上，用零件个数除以第二周生产的零件个数的占比，求出这批零件的总个数。总数乘没有生产零件个数占总数的占比，即可得出结果。
【详解】480÷（－20%）
＝480÷（0.6－0.2）
＝480÷0.4
＝1200（个）
1200×＝1200×＝480（个）
答：还要生产480个零件才能完成任务。
【点睛】此题的解题关键是找到第二周生产零件所对应的分率，利用“量÷对应的分率＝总量”，求出这批零件的总数，从而求出最终的结果。
【考点四】浓度问题。
【典型例题1】基础题型。
在下表中填入适当的数据。（单位：克）
解析：
①40；37.5%
②100；150
③340；400
【对应练习】
在下表中填入适当的数据。（单位：克）
解析：
①100；20%
②10；80%
③270；200
【典型例题2】不变量问题。
1.将20克含盐量是5%的盐水倒入80克的水中，混合后盐水的含盐量是( )%。
解析：
20×5%÷（20＋80）×100%
＝1÷100×100%
＝0.01×100%
＝1%
2.在40克水中放入10克糖，这时糖占糖水的( )%；再加入( )克水，糖水浓度降为10%。
解析：
10÷（40＋10）×100%
＝10÷50×100%
＝0.2×100%
＝20%
10÷10%－（40＋10）
＝10÷10%－50
＝100－50
＝50（克）
3.丁丁现有浓度为10%的糖水20克，牛牛往里面加入了5克的糖，那么现在这杯糖水的浓度变成了多少？
解析：
糖：20×10%=2（克）
新的糖：2+5=7（克）
糖水：20+5=25（克）
浓度：7÷25×100%=28%
答：略。
4.现有浓度为20%的糖水60g，要把它变成浓度为40%的糖水，需要加糖多少克？
解析：
水：60×（1-20%）=48（克）
现在的糖水：48÷（1-40%）=80（克）
加糖：80-60=20（克）
答：略。
【对应练习】
1.田田现有浓度为30%的糖水500克，牛牛往里面加入了500克水，浓度变为了多少?
解析：
5000×30%=150（克）
500＋500=1000（克）
150÷1000×100%=15%
答：略。
2.在10千克含盐15%的盐水中，加入( )千克水后，可得到含盐5%的水。
解析：
10×15%÷5%－10
＝1.5÷5%－10
＝30－10
＝20（千克）
3.有一份浓度为15%的盐水200克，加入50克盐，这时盐水的浓度变为多少？
解析：200×15%=30（克）
（30+50）÷（200+50）×100%=32%
答：略。
4.将浓度为20%的盐水中加入50克盐，浓度变为36%，那么现在盐水的质量是多少？
解析：
加盐之前：盐水:水=1:（1-20%）=5:4
加盐之后：盐水:水=1:（1-36%）=25:16
因为水不变，所以两个比的后项统一。
加盐之前：盐水:水=20:16
每一份：50÷（25-20）=10（克）
现在的盐水：10×25=250（克）
答：略。
盐(克)
水(克)
盐水(克)
浓度
15
25
250
40%
60
15%
溶质(糖)
溶剂(水)
溶液(糖水)
浓度
20
80
40
50
30
15%