2023年广西贵港市平南县九年级中考数学二模试卷

这是一份2023年广西贵港市平南县九年级中考数学二模试卷，共18页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．5B．﹣5C．0.2D．﹣0.2
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）用科学记数法表示的数7.21×1011，它原来是（ ）位整数．
A．10B．12C．13D．14
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．2（2a﹣b）＝4a﹣b
C．（3a）2＝9aD．a6÷a4＝a2
5．（3分）已知点P（m2+1，﹣1）与点Q关于原点对称，则点Q一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（3分）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠2＝50°，若要使木条a与b平行，则∠1的度数应为（ ）
A．40°B．50°C．90°D．130°
7．（3分）若关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1且k≠0B．k＞﹣1C．k＜﹣1D．k＜1且k≠0
8．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．三角形内角和等于180°
B．同旁内角互补
C．打开电视正在播新闻
D．乘坐公共汽车恰好有空座
9．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：今有甲种袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙种袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲种袋子比乙种袋子轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可建立方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝2，∠ACB＝60°，连接OA，OB，则的长是（ ）
A．B．C．πD．
11．（3分）将水匀速滴进如图所示的容器时，能正确反映容器中水的高度（h）与时间（t）之间对应关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，反比例函数的图象经过点E，若 OA＝6，OC＝4，则k的值是（ ）
A．6B．11.25C．12D．18
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）将二次根式化为最简二次根式 ．
14．（2分）已知分式，当x＝ 时，分式的值为0．
15．（2分）如图，小明与小华利用三角板测量教学楼前雕塑AB的高度．小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°；小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°．已知CD为10米，则雕塑AB的高度是 ．（≈1.732，结果精确到0.1米）
16．（2分）已知一组数据x，y，9，10，11的平均数为10，方差为2，则xy的值为 ．
17．（2分）若直线y＝3x+b与坐标轴围成的三角形面积是6，则b＝ ．
18．（2分）如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为8，点C是OB中点，点D弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，再求值；（3m﹣）÷，其中m满足m2+3m﹣6＝0．
21．（10分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．
如图，已知∠α和线段a，求作等腰△ABC，使∠B＝∠α，底边BC＝a．
22．（10分）如图，反比例函数的图象与直线y＝mx交于点C，直线l：y＝6分别交两函数图象于点A（1，6）和点B，过点B作BD⊥l交反比例函数图象于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当BD＝3AB时，求点B的坐标．
23．（10分）2022年是我国航天事业辉煌的一年，神舟十四号和神舟十五号两个飞行乘组6位航天员在太空会师，在神州大地上掀起了航天热潮，某学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了50名学生的成绩，整理并制成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
其中60≤x＜70这一组的数据如下：
61，62，62，63，64，64，64，64，64，64，64，64，64，64，66，67，67，69
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）表格中a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）60≤x＜70这一组数据的众数是 ，中位数是 ；
（3）若以组中值（每组正中间数值）为本组数据的平均数，全校共有1500名学生参与竞赛，试估计所有学生成绩的平均分．
24．（10分）某校组织初二年级380名学生到广东南路革命化州纪念馆研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金．
25．（10分）如图1，正方形ADEF中，∠DAF＝90°，点B、C分别在边AD、AF上，且AB＝AC．
（1）FC和BD的关系是： ；
（2）如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）时，那么（1）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，△ABC绕点A逆时针旋转45°时，延长DB交CF于点H，当AB＝2，AD＝+时，请直接写出线段FH的长．
26．（10分）综合与实践
【问题提出】
某数学兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系．
【初步感知】
（1）如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，S＝ ；
②求S关于t的函数解析式．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2的图象．请报据图象信息，求S关于t的函数解析式（并写出自变量的取值范围）及线段AB的长．
【延伸探究】
（3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．
①t1+t2＝ ；
②当t3＝5t1时，求正方形DPEF的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1． 解：﹣5的相反数是：5．
故选：A．
2． 解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3． 解：n＝整数位数﹣1，
∴整数位数＝n+1＝11+1＝12．
故选：B．
4． 解：A.2a与3b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.2（2a﹣b）＝4a﹣2b，故本选项不合题意；
C．（3a）2＝9a2，故本选项不合题意；
D．a6÷a4＝a2，故本选项符合题意．
故选：D．
5． 解：∵点P（m2+1，﹣1）与点Q关于原点对称，
∴Q（﹣m2﹣1，1），
∵﹣m2﹣1＜0，1＞0，
∴点Q一定在第二象限，
故选：B．
6． 解：∵∠1＝∠2时，a∥b，
∴若要使木条a与b平行，∠1＝∠2＝50°，
故选：B．
7． 解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
所以k＞﹣1且k≠0．
故选：A．
8． 解：A．三角形内角和等于180°是必然事件，此选项符合题意；
B．同旁内角互补是随机事件，此选项不符合题意；
C．打开电视正在播新闻是随机事件，此选项不符合题意；
D．乘坐公共汽车恰好有空座是随机事件，此选项不符合题意；
故选：A．
9． 解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
依题意，得：．
故选：C．
10． 解：过点O作OD⊥AB于D，
则AD＝DB＝AB＝，
由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∴∠AOD＝60°，
∴OA＝＝＝2，
∴的长＝＝，
故选：D．
11． 解：由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快．
表现出的函数图形为先缓，后陡．
故选：D．
12． 解：∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵四边形OABC是矩形，OA＝6，OC＝4，
∴DA＝AC，DB＝OB，AC＝OB，AB＝OC＝4，
∴DA＝DB，
∴四边形AEBD是菱形；
连接DE，交AB于F，如图所示：
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB与DE互相垂直平分，
∵OA＝6，OC＝4，
∴EF＝DF＝OA＝3，AF＝AB＝2，6+3＝9，
∴点E坐标为：（9，2）．
∵反比例函数的图象经过点E，
∴k＝9×2＝18，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13． 解：原式＝5，
故答案为：5
14． 解：∵x2﹣1＝0，
∴x＝±1，
当x＝1时，（x﹣2）（x﹣1）＝0，
当x＝﹣1时（x﹣2）（x﹣1）≠0，
∴当x＝﹣1时，分式的值是0．
故答案为﹣1．
15． 解：过点C作CE⊥AB于E．
∵∠ADC＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CAD＝90°，
∵CD＝10米，
∴AC＝CD＝5米．
在Rt△ACE中，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝30°，
∴AE＝AC＝，
∵cs∠ACE＝，
∴CE＝AC•cs∠ACE＝5•cs30°＝米，
在Rt△BCE中，
∵∠BCE＝45°，
∴∠CBE＝90°﹣∠BCE＝45°，
∴∠BCE＝∠CBE，
∴BE＝CE＝米，
∴AB＝AE+BE＝（+）≈6.8米．
所以，雕塑AB的高度约为6.8米，
故答案为约6.8米．
16． 解：由题意知：＝10，[（x﹣10）2+（y﹣10）2+1+1]＝2，
化简可得：x+y＝20，即（x﹣10）+（y﹣10）＝0，（x﹣10）2+（y﹣10）2＝8，
解得：（x﹣10）＝（y﹣10）＝2或﹣2，
∴x＝12时y＝8或y＝12时x＝8
即xy＝96，
故答案为：96．
17． 解：∵直线y＝3x+b与坐标轴围成的三角形面积是6，
∴b≠0．
①当b＞0时，y＝3x+b的图象如图1．
当x＝0时，y＝3×0+b＝b，则B（0，b），此时OB＝b．
当y＝0时，3x+b＝0，故x＝，则A（，0），此时OA＝．
∴＝6．
∴b＝6或b＝﹣6（不合题意，故舍去）．
②当b＜0时，y＝3x+b的图象如图2．
当x＝0时，y＝3×0+b＝b，则B（0，b），此时OB＝﹣b．
当y＝0时，3x+b＝0，故x＝，则A（，0），此时OA＝﹣．
∴＝6．
∴b＝6（不合题意，故舍去）或b＝﹣6．
综上：b＝±6．
故答案为：±6．
18． 解：如图，连OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连AT，ET．
∵OA＝OB＝8，OC＝CB＝CT＝OH＝HT＝4，
∴AH＝AO+OH＝12，
∴AT＝＝＝4，
∴∠OCT＝∠ECD＝90°，
∴∠OCD＝∠RCE，
在△OCD和△TCE中，
，
∴△OCD≌△TCE（SAS），
∴ET＝OD＝8，
∴AE≥AT﹣ET＝4﹣8，
∴AE的最小值为 4﹣8．
故答案为：4﹣8．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19． 解：
＝
＝
＝．
20． 解：（3m﹣）÷
＝÷
＝•
＝•
＝3m（m+3）
＝3m2+9m，
∵m满足m2+3m﹣6＝0，
∴m2+3m＝6，
∴原式3（m2+3m）＝3×6＝18．
21． 解：如图，△ABC即为所求．
22． 解：（1）∵A（1，6）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×6＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）设B（n，6），则D（n，），
∵BD＝3AB，
∴6﹣＝3（n﹣1），
整理得：n2﹣3n+2＝0，
解得n1＝2，n2＝1（舍去），
∴B（2，6）．
23． 解：（1）a＝50×0.1＝5，b＝50﹣（2+5+18+9+2）＝14，
∴m＝14÷50＝0.28，
故答案为：5，14，0.28；
（2）根据60≤x＜70这一组的数据：61，62，64，64，64，64，64，64，64，64，64，64，64，64，64，64，64，69，可知众数为64；
中位数是：＝64，
故答案为：64，64；
（3）×（45×2+55×5+65×18+75×9+85×14+95×2）＝71.8（分），
答：估计所有学生成绩的平均分约为71.8分．
24． 解：（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，
依题意得：，
解得：．
答：每辆小客车能坐30名学生，每辆大客车能坐40名学生．
（2）①依题意得：30m+40n＝380，
∴n＝．
又∵m，n均为整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租小客车2辆，大客车8辆；
方案2：租小客车6辆，大客车5辆；
方案3：租小客车10辆，大客车2辆．
②方案1所需租金为200×2+300×8＝2800（元）；
方案2所需租金为200×6+300×5＝2700（元）；
方案3所需租金为200×10+300×2＝2600（元）．
∵2800＞2700＞2600，
∴最省钱的租车方案是方案3租小客车10辆，大客车2辆，最少租金为2600元．
25． 解：（1）∵四边形ADEF是正方形，
∴AF＝AD，∠FAD＝90°，
∵AB＝AC，
∴CF＝BD，CF⊥BD，
故答案为：BD＝CF，BD⊥CF；
（2）BD＝CF，BD⊥CF还成立，
理由如下：∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠FAC，
∴△ADB≌△AFC（SAS），
∴BD＝CF，
如图②，延长DB交AF于点O，交FC于点G，
∴∠FOG＝∠AOD，
∵△ADB≌△AFC，
∴∠ADB＝∠AFC
∴∠FGO＝∠FAD＝90°，
∴BD⊥CF；
（3）如图③，过B作BM⊥AD于M，连接BF，BC交AF于点P，
同（2）的方法得，CF＝BD，BD⊥CF，
在Rt△AMB中，∠BAM＝45°，AB＝2，
∴AM＝BM＝，DM＝，
在Rt△BDM中，根据勾股定理得，BD＝＝，
∴BD＝BF＝CF＝，
由已知可得CB＝AB＝2，
∴FP＝，
在△BCF中，由面积得BH×CF＝FP×BC，
∴BH＝，
∴FH＝＝＝．
26． 解：（1）在Rt△PCD中，CD＝，PC＝t，
则S＝PD2＝t2+2，
当S＝6时，即t2+2＝6，
解得：t＝2（负值已舍去），
即BC＝2，
当t＝时，S＝t2+2＝，
故①答案为：；②S＝t2+2（0≤t≤2）；
（2）由（1）知，抛物线过点（2，6），顶点为：（4，2），
则抛物线的表达式为：S＝a（t﹣4）2+2，
将（2，6）代入上式得：6＝a（2﹣4）2+2，
解得：a＝1，
则抛物线的表达式为：S＝（x﹣4）2+2＝x2﹣8x+18，
当S＝18时，则x2﹣8x+18＝18，
解得：x＝0（舍去）或8，
则AB＝8﹣2＝6；
（3）在题干图中画出S＝t2+2（0≤t≤2），如下图：
从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，
若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等，
则t1，t2，t3如上图所示，此时符合题意．
①从图象看，t1、t2关于x＝2对称，
则（t1+t2）＝2，
则t1+t2＝4①，
故答案为：4；
②从图象看t2、t3关于x＝4对称，
则t2+t3＝8②，
而t3＝5t1③，
由①②③得：4﹣t1+4t1＝8，
解得：t1＝1，
当t1＝1时，S＝t2+2＝3，
即正方形DPEF的面积为3
组号
成绩
频数
频率
1
140≤x＜50
2
0.04
2
50≤x＜60
a
0.1
3
60≤x＜70
18
0.36
4
70≤x＜80
9
0.18
5
80≤x＜90
b
m
6
90≤x≤100
2
0.05
合计
50
1.000