2023年广东省云浮市新兴县九年级中考数学一模试卷

这是一份2023年广东省云浮市新兴县九年级中考数学一模试卷，共17页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时90分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）在以下四个校徽中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场．世界杯之后，将有约170000个座位将捐赠给需要体育基础设施的国家，其中大部分来自世界杯决赛场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.17×105B．1.7×105C．17×104D．1.7×106
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．a2•a3＝a5C．（ab）2＝ab2D．（a2）3＝a5
4．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．4（x+2）＝25B．2x2+3x﹣1＝0
C．x+y＝0D．＝4
5．（3分）为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如图．这若干户家庭该月用水量的众数是（ ）
A．5B．6C．6.5D．8
6．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．xB．xC．xD．x
7．（3分）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可得出正方形A的面积是（ ）
A．12B．24C．30D．10
8．（3分）如图，AB切⊙O于C，点D从C出发，以每秒1cm的速度沿CB方向运动，运动1秒时OD＝2cm，运动2秒时OD长是（ ）
A．cmB．cmC．cmD．2cm
9．（3分）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F．已知DE＝，则CF的长为（ ）
A．B．2C．D．2
10．（3分）已知函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．0≤m≤2C．1≤m≤2D．m≤2
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：a3﹣9a＝ ．
12．（3分）某路口红绿灯的时间设置为：红灯20秒，绿灯35秒，黄灯5秒，当人或车随意经过该路口时，遇到红灯的概率是 ．
13．（3分）已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，若，AD＝15，则DO的长为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），且与函数的图象交于点Q（m，n）．若一次函数y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
15．（3分）已知：三角形纸片ABC，∠C＝90°，BC＝2，点D是边AC上一点．将三角形纸片折叠，使点B和点D重合，折痕与边BC、边AB分别相交于E、F．设BE＝x，则x的取值范围是 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：+4sin60°﹣+（π﹣3）0．
17．（8分）解不等式组：．
18．（8分）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．
下面是两个方案及测量数据：
（1）根据“方案一”的测量数据，直接写出塔AB的高度为 m；
（2）根据“方案二”的测量数据，求出塔AB的高度；（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.5°≈0.45，cs26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）
19．（9分）人间四月天，书香最致远．在世界读书日到来之际，某初中学校举行了“屈原名篇”朗诵比赛，并对各年级学生的获奖情况进行了统计，绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：
（1）通过计算将条形统计图补全；
（2）获得一等奖的学生中有来自七年级，有来自八年级，其余学生均来自九年级．现准备从获得一等奖的学生中任选两人参加市级朗诵比赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人恰好为一名七年级学生和一名九年级学生的概率．
20．（9分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量比餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过260张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，长方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y＝（x＞0）的图象经过线段BC的中点D．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点P（x，y）在反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过P作PQ⊥y轴于点Q，记△CPQ的面积为S，求S关于x的解析式，并写出x的取值范围．
22．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，且点A，C不重合，P为⊙O外一点，PA＝PC，连接AC，BC，连接OP交AC于点E，交⊙O于点D，连接DC．
（1）当∠AOP＝∠ACP时，求证：AP为⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，连接BP交CD于点F．当BC＝6，tan∠ABP＝时，求线段DF的长．
23．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线的对称轴交抛物线于点G，在y轴上是否存在点H，使得△AGH的周长最小？若存在，求出点H坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点D为直线AC上方抛物线上的动点，DE⊥AC于点E，求线段DE的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2． 解：170000＝1.7×105．
故选：B．
3． 解：A、a+a＝2a，故此选项错误；
B、a2•a3＝a5，故此选项正确；
C、（ab）2＝a2b2，故此选项错误；
D、（a2）3＝a6，故此选项错误；
故选：B．
4． 解：A．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
5． 解：5出现了8次，出现的次数最多，故这组数据的众数是5．
故选：A．
6． 解：由题意得，2x+1≥0，
解得，x≥﹣，
故选：B．
7． 解：由勾股定理可得：
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，
∴正方形A的边长的平方＝18+6＝24，
∴正方形A的面积＝24，
故选：B．
8． 解：∵AB切⊙O于C，
∴∠OCD＝90°，
∵点D从C出发，以每秒1cm的速度沿CB方向运动，
∴运动1秒时CD＝1cm，
又∵运动1秒时OD＝2cm，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC＝＝＝，
∵运动2秒时CD长为2cm，
∴此时OD＝＝＝．
故选：C．
9． 解：如图，过点E作EH⊥BC交BC于点H，交AD于G，
在正方形ABCD中，AD∥BC，∠EBH＝∠ADB＝45°，
∴四边形AGHB和四边形DGHC是长方形，△DGE是等腰直角三角形，
∴AG＝BH＝EH，DG＝EG＝1，
∴CH＝DG＝1，
∵AG⊥GH，AE⊥EF，
∴∠AGE＝∠AEF＝∠FHE＝90°，
∴∠GAE+∠AEG＝∠FEH+∠AEG＝90°，
∴∠GAE＝∠FEH，
∴△AGE≌△EHF（ASA），
∴GE＝FH＝1；
∴CF＝CH+FH＝2．
故选：B．
10． 解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，2），与y轴的交点为（0，3）
其大致图象如图所示：由对称性可知，当y＝3时，x＝0或x＝2，
∵二次函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，
∴1≤m≤2．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：原式＝a（a2﹣9）
＝a（a+3）（a﹣3），
故答案为：a（a+3）（a﹣3）．
12． 解：遇到红灯的概率为：，
故答案为：．
13． 解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
∵，AD＝15，
∴，
∴OD＝9，
故答案为：9．
14． 解：过点P分别作y轴与x轴的垂线，分别交反比例函数图象于A点和B点，如图，
把y＝3代入y＝得x＝；把x＝2代入y＝得y＝1，
所以A点坐标为（，3），B点坐标为（2，1），
因为一次函数y的值随x值的增大而增大，
所以Q点只能在A点与B点之间，
所以m的取值范围是＜m＜2．
故答案为＜m＜2．
15． 解：将三角形纸片折叠，若B和C点重合，则BE有最小值，
∵BC＝2，
∴BE＝BC＝1，
当E和C重合时，BE有最大值，
BE＝2，
∴x的取值范围是1≤x≤2．
故答案为：1≤x≤2．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 原式＝2﹣2+4×﹣2+1
＝2﹣2+2﹣2+1
＝1．
17． 解：，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤1．
故不等式组的解集为﹣1＜x≤1．
18． 解：（1）由题意得：∠CDE＝∠ABD＝90°，CE∥AD，
∴∠CED＝∠ADB，
∴△CED∽△ADB，
∴＝，
∴＝，
解得：AB＝52，
∴塔AB的高度为52m，
故答案为：52；
（2）由题意得：AB⊥BD，
设BC＝x m，
∵CD＝35m，
∴BD＝BC+CD＝（x+35）m，
在Rt△ABC中，∠ACB＝α＝37°，
∴AB＝BC•tan37°≈0.75x（m），
在Rt△ABD中，∠ADB＝β＝26.5°，
∴AB＝BD•tan26.5°≈0.5（x+35）m，
∴0.75x＝0.5（x+35），
解得：x＝70，
∴AB＝0.75x＝52.5（m），
∴塔AB的高度约为52.5m．
19． 解：（1）∵获奖的总人数为：10÷25%＝40（人），
∴一等奖人数为：40﹣8﹣6﹣12﹣10＝4（人），
补全条形统计图如下：
（2）∵4个一等奖的学生中有来自七年级，有来自八年级，其余学生均来自九年级，
∴有1人来自七年级，1人来自八年级，2人来自九年级，
用树状图表示所有等可能出现的结果情况如下：
共有12种等可能出现的结果，其中所选出的两人恰好为一名七年级学生和一名九年级学生的有4种，
所以所选出的两人恰好为一名七年级学生和一名九年级学生的概率为．
20． 解：（1）由题意得，
解得a＝150，
经检验，a＝150是原分式方程的解；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．
由题意得：x+5x+20≤260，
解得：x≤40．
∵a＝150，
∴餐桌的进价为150元/张，餐椅的进价为40元/张．
依题意可知：
W＝x•（500﹣150﹣4×40）+x•（270﹣150）+（5x+20﹣x•4）•（70﹣40）＝245x+600，
∵k＝245＞0，
∴W关于x的函数单调递增，
∴当x＝40时，W取最大值，最大值为．
故购进餐桌40张、餐椅220张时，才能获得最大利润，最大利润是10400元．
（3）涨价后每张餐桌的进价为160元，每张餐椅的进价为50元，
设本次成套销售量为m套．
依题意得：（500﹣160﹣4×50）m+（40﹣m）×（270﹣160）+（220﹣4m）×（70﹣50）＝10400﹣2250，
即8800﹣50m＝8150，解得：m＝13．
答：本次成套的销售量为13套．
21． 解：（1）∵长方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，3），
∴C（0，3），
∵D是BC的中点，
∴D（1，3），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝4，
∴双曲线的解析式为y＝；
（2）当P在直线BC的上方时，即0＜x＜1，
如图1，∵点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动，
∴y＝，
∴S△PCQ＝CQ•PQ＝x•（﹣3）＝﹣x（0＜x＜1），
当P在直线BC的下方时，即x＞1，如图2，同理求出S△PCQ＝PQ•CQ＝x•（3﹣）＝x﹣2（x＞1），
综上S＝．
22． （1）证明：如图，连接OC，
在△AOP与△COP中，
，
∴△AOP≌△COP（SSS），
∴∠AOP＝∠COP，
∴＝，
∴OP⊥AC，
∴∠AOP+∠OAE＝90°，
∵PA＝PC，
∴∠ACP＝∠PAC，
∵∠AOP＝∠ACP，
∴∠PAC+∠OAE＝90°，
∴AO⊥AP，
∴AP为⊙O的切线；
（2）解：∵BC＝6，tan∠ABP＝＝，
设AP＝4x，AB＝6x，
∴AO＝3x，OP＝5x，
∵OP⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AO＝BO，
∴OE＝BC＝3，
∵OP⊥AC，OA⊥AP，
∴AO2＝OE•OP，
∴（3x）2＝3×5x，
∴x＝，
∴AO＝5，AE＝EC＝4，OP＝，
∴DP＝﹣5＝，
∵AB为直径，
∴∠BCA＝90°，
∴OP∥BC，
∴△PDF∽△BCF，
∴＝＝，
∴DF＝CD，
∵ED＝2，EC＝4，
∴CD＝2，
∴DF＝．
23． 解：（1）将A（﹣4，0），B（1，0）代入得：，
解得：．
∴抛物线的解析式为．
（2）作点G关于y轴的对称点G'，连接AG'，交y轴于点H，此时△AGH的周长最小．
∵，
∴G（，），
∴G′（，），
设直线AG'的解析式为y＝kc+d，将A（﹣4，0），G′（，）代入y＝kx+d，
得：，
解得：，
∴直线AG'的解析式为，
当x＝0时，，
∴点H的坐标为（0，）．
（3）在图2中，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，DF交AC于点M．
当x＝0时，y＝＝3，
∴点C的坐标为（0，3）．
设直线AC的解析式为y＝kx+d（k≠0），
将A（﹣4，0），C（0，3）代入y＝kx+d，得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3．
设点D的坐标为（x，）（﹣4＜x＜0），则点M的坐标为（x，），
∴DM＝﹣（）＝．
在Rt△AOC中，OA＝4，OC＝3，
∴AC＝＝＝5．
∵DF⊥x轴，DE⊥AC，
∴∠DEM＝∠AFM＝90°．
∵∠DME＝∠AMF，
∴△DME∽△AMF，
∴＝＝＝，
∴DE＝DM＝＝（x+2）2+，
∴当x＝﹣2时，DE取得最大值，最大值为．
月用水量（吨）
3
4
5
6
户数
4
6
8
2
项目
测量某塔的高度
方案
方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB.
方案二：利用锐角三角函数，测量：距离CD，仰角α，仰角β.
测量示意图


测量项目
第一次
第二次
平均值
测量项目
第一次
第二次
平均值
测量数据
CD
1.61m
1.59m
1.6m
β
26.4°
26.6°
26.5°
ED
1.18m
1.22m
1.2m
α
37.1°
36.9°
37°
DB
38.9m
39.1m
39m
CD
34.8m
35.2m
35m
原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
270
500
餐椅
a﹣110
70