八年级上学期期末数学试题 (87)

这是一份八年级上学期期末数学试题 (87)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰梯形C. 锐角D. 等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A、直角三角形不一定轴对称图形，故此选项符合题意；
B、等腰梯形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、锐角是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、等腰三角形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
2. 下列运算一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及完全平方公式逐项计算即可．
【详解】解：A、∵，选项A不正确，不符合题意；
B、∵，选项B不正确，不符合题意；
C、∵，选项C正确，符合题意；
D、∵，选项D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及完全平方公式，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2．
3. 如果把分式中的x，y都扩大5倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大5倍B. 不变C. 缩小D. 扩大25倍
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意把分式中的x，y都扩大5倍，根据分式的性质化简得出结果即可求解．
【详解】解：把分式中的x，y都扩大5倍，得到，
∴把分式中的x和y的值都扩大5倍，那么分式的值不变，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．
4. 一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A. 17B. 15C. 13D. 13或17
【答案】A
【解析】
【详解】当等腰三角形的腰长为3时，3+3=6＜7，不能构成三角形，
当等腰三角形的腰长为7，底为3时，则周长为：7+7+3=17.
故选：A.
5. 若一个多边形内角和比它外角和的2倍大，则这个多边形是（ ）
A 六边形B. 七边形C. 八边形D. 九边形
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算即可求解．
【详解】解：设多边形的边数为，则
，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理列出方程是解题的关键．
6. 已知x＝3是分式方程的解，那么实数k的值为( )
A. －1B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【详解】解：将x=3代入，
得：，
解得：k=2，
故选D．
7. 若a+b=5，ab=﹣24，则a2+b2的值等于（ ）
A. 73B. 49C. 43D. 23
【答案】A
【解析】
【详解】∵a+b=5，
∴a2+2ab+b2=25，
∵ab=﹣24，
∴a2+b2=25+2×24=73，
故选A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式是解题的关键．
8. 张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去书店购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，根据题意，所列的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等量关系“结果比李老师早到半小时”即可列出方程．
【详解】解：李老师所用时间为：，张老师所用的时间为：；
所列方程为：﹣＝．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的应用，找出题目的等量关系是解题的关键．
9. 如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，D为AC边的中点，若BC=6，则BD的长为( )
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质三线合一可得直角三角形，再利用直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵BA=BC，∠ABC=120°，
∴∠C=∠A=30°，
∵D为AC边的中点，
∴BD⊥AC，
∵BC=6，
∴BD=BC=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与直角三角形的性质是解题的关键．
10. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①BCD≌CBE;②BAD≌BCD;③BDA≌CEA;④BOE≌COD;⑤ACE≌BCE;上述结论一定正确的是
A. ①②③B. ②③④C. ①③⑤D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质及角平分线定义可得有关角之间的相等关系．运用三角形全等的判定方法AAS或ASA判定全等的三角形．
【详解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE．
∴①△BCD≌△CBE （ASA）；
③△BDA≌△CEA （ASA）；
④△BOE≌△COD （AAS或ASA）．
故选D．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定，难度不大．
二、填空题（共10题，共30分）
11. 某颗粒物的直径是0.0000025，把0.0000025用科学记数法表示为____．
【答案】2.5×10﹣6.
【解析】
【详解】试题分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．即0.0000025用科学记数法表示为2.5×10﹣6，
故答案为2.5×10﹣6．
考点：科学记数法
12. 分解因式：______．
【答案】##
【解析】
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13. 如图，，若要证明，需要补充的一个条件，可以是________（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】添加，利用边边边证明，即可．
【详解】解：添加，理由如下：
在和中，
，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
14. x2+2kx+9是一个完全平方式，则k的值为______．
【答案】±3
【解析】
【分析】根据完全平方式的特点知，2k=±6，从而可得k的值．
【详解】根据完全平方式的特点，得2k=±6，即k=±3
故答案为：±3
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特点：两数的平方和，加上或减去这两个数的乘积的2倍，是本题的关键．要注意的是部分同学往往漏掉了k为－3的情况．
15. 若关于x分式方程的解为负数，则k的取值范围为_________．
【答案】k＜3且k≠1
【解析】
【分析】
【详解】去分母得：k﹣1=2x+2，解得：x=，
由分式方程的解为负数，得到＜0，且x+1≠0，即≠﹣1，
解得：k＜3且k≠1，
故答案为k＜3且k≠1
16. 若，则的值为 _____．
【答案】108
【解析】
【分析】先将变形为，再代入进行计算．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：108．
【点睛】此题考查了同底数幂相乘运算的逆运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
17. 如图，在中，是直角，平分，交于点D．如果，那么的面积等于_____．
【答案】8
【解析】
【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等作，求出，利用三角形面积公式直接求解．
【详解】过点D作于E，
又∵平分，即，
∴，
∴．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了角平分线的性质；三角形的面积．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
18. 如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是和，且点A，B到原点的距离相等，则x的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由点A，B到原点的距离相等，，得到它们对应的数互为相反数，根据互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值.
【详解】解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解.
故答案为：.
【点睛】此题考查了解分式方程，相反数，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
19. 如图，在中，AC的重直平分线交BC于点D，重足点E，的周长为10cm，．则的周长为______．
【答案】14cm
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=10+4=14cm．
故答案为：14cm．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．
20. 如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．

【答案】6
【解析】
【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，

∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，
∴点E关于AD的对应点为点F，
∴CF就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴F是AB的中点，
∴CF=AD=6，
即EP+CP的最小值为6，
故答案为6．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
三、解答题（21题9分，22题6分和23题6分，24题7分，25-28题每题8分，共60分）
21. （1）计算
①
②
（2）因式分解：
【答案】（1）①8 ② （2）
【解析】
【分析】（1）①根据幂的运算法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；零指数幂：任何不等于零的数零次幂都等于1；负整数指数幂：一般地，当n是正整数时，，进行计算即可求解；
②根据完全平方公式，平方差公式展开去括号，再合并同类项即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：（1）①；
②．
（2）．
【点睛】本题考查了零次幂与负整数指数幂的含义，整式的混合运算及综合应用提取公因式法及完全平方公式法进行因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
22. 解分式方程：
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：方程可变为：，
方程两边同乘以x（x+2）（x﹣2）得：3（x﹣2）﹣（x+2）＝0，
解得，x＝4，
检验：当x＝4时，x（x+2）（x﹣2）≠0，
所以，原分式方程的解为x＝4．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．
23. 如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=AD．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】要证明AB=AD，证明△ABC≌△ADC即可，根据已知条件不难证明．
【详解】∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠1=∠2，
∴∠ABC=∠ADC，
∵在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS），
∴AB=AD．
【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．
24. 先化简，再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
25. 某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等．
（1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？
（2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？
【答案】（1）甲礼品100元，乙礼品60元；（2）5．
【解析】
【详解】试题分析：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，根据题意列不等式求解即可．
试题解析：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意得：，解得：x=60，经检验x=60是原方程根，∴x+40=100．
答：甲礼品100元，乙礼品60元；
（2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，根据题意得：100m+60（30﹣m）≤2000，解得：m≤5．
答：最多可购买5个甲礼品．
考点：1．分式方程的应用；2．一元一次不等式的应用；3．最值问题．
26. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在斜边AB上，且AD＝AC，过点B作BE⊥CD，交直线CD于点E.
(1)求∠BCD的度数；
(2)作AF⊥CD于点F，求证：△AFD≌△CEB；
(3)请直接写出CD与BE的数量关系(不需要证明)．
【答案】(1) ∠BCD＝＝22.5°；(2)见解析 (3) CD＝2BE.
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA＝45°，根据等腰三角形的性质计算即可；（2）根据全等三角形的判定证明△AFD≌△CEB即可．（3）根据全等三角形的性质证明即可．
【详解】解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°.
∵AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝ ＝67.5°.
∴∠BCD＝90°－67.5°＝22.5°.
(2)证明：∵AD＝AC，AF⊥CD，
∴CF＝FD＝CD，∠FAD＝∠CAB＝22.5°.
又∵AC＝CB，∴AD＝CB，
在△AFD和△CEB中，
∴△AFD≌△CEB(AAS)．
(3)∵△AFD≌△CEB，
∴BE=DF，
又∵AD＝AC，且AF⊥CD
∴CD=2DF,
∴CD＝2BE.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
27. （1）如图①，在中，，的平分线相交于点F，过点F作，分别交AB，AC于点D，E．求证：．
（2）如图②，若F是的平分线和的外角的平分线的交点，（1）中的其他条件不变，请猜想线段之间有何数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）见解析；（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义，求出和是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论．
（2）同（1），只要求出与是等腰三角形即可．
【详解】（1）如图，
∵中、平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
（2），理由：
∵分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了等腰三角形判定，平行线的性质以及角平分线的定义；利用等角对等边得出相等的边，进而得出结论是解答本题的基本思路．
28. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，，且线段的长是方程的解，M是线段OB上一点，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴上的点P处．

（1）求点P的坐标；
（2）在y轴上是否存在点N，使是以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先根据分式方程求出，从而求出，由折叠即可得到答案；
（2）根据等腰三角形性质用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：
去分母得; ,
解得: ，
∴，
∵，
∴，解得：，
由折叠性质可得：，
∴，
∴点P的坐标；
【小问2详解】
解：设，
由（1）得：，
由题意得：，
∴，解得：或，
∴或；
【点睛】本题考查了解分式方程，坐标与图形的性质，折叠的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．