湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期12月阶段测试数学试题

这是一份湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期12月阶段测试数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
2．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（ ）
A．8种B．9种C．10种D．11种
3．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ）
A．8B．24C．48D．120
4．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算数和几何的纽带．图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为（ ）
A．120B．145C．270D．285
5．直线恒过一定点，则该定点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．已知是椭圆：的右焦点，点在椭圆上，线段PF与圆相切于点（其中为椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．数列满足，且对任意的都有，则（ ）
A．B．数列的前100项和为
C．数列的前100项和为D．数列的第100项为50050
10．若是圆所在平面内的一定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线与直线CP相交于点，则点的轨迹可能是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
11．设椭圆：的左、右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．离心率
C．面积的最大值为D．以线段为直径的圆与直线相切
12．已知函数则下列命题中正确的是（ ）
A．在该函数图象上一点处的切线的斜率为
B．函数的最小值为
C．该函数图象与轴有4个交点
D．函数在区间上为减函数，在区间上也为减函数
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．记为数列的前项和．若，则______
14．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为______
15．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存得线段的中垂线恰好经过焦点，则椭圆离心率的取值范围是______
题15
16．已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则的取值范围是______
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．等比数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
18．已知点在圆上．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值．
19．已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且．
（1）求的离心率；
（2）设是与的公共点．若，求与的标准方程．
20．设正项数列为等比数列，它的前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和．
21．已知椭圆：的离心率为，，，，的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是椭圆上一点，直线PA与轴交于点，直线PB与轴交于点．求证：为定值．
22．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的零点个数，并说明理由．
数学阶段测试答案23-12
一、单选题
1．答案：D
解析：因为，所以．因为，所以切线方程为，即．
2．答案：B
解析：设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理共有（种）．
3．答案：C
解析：末位数字排法有种，其他位置排法有多种，共有（种）排法，所以偶数的个数为48．
4．答案：B
解析：记第个五角形数为，由题意知：，，，，…，可得，由累加法得，．故选B．
5．答案：B
解析：由得，所以
解得，，所以定点坐标为．
6．答案：D
解析：由得，切线方程为，
令得，故．
7．答案：A
解析：如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，设圆心为，
则圆心坐标为，半径为，，
，，，，
线段与圆相切于点，，，，，，
则，．故选A．
8．答案：B
解析：由，得．
因为定义在上，所以．
令，则，故函数在区间上单调递增．
由，得．
又，所以，所以．
同理令，，
则函数在区间上单调递减．
由，得，即．综上．
二、多选题
9．答案：AB
解析：因为，所以，又，
所以，
所以数列的第100项为5050，故A正确，错误；
所以，所以数列的前100项和为，故B正确，C错误．
10．答案：ABC
解析：设圆的半径为，
①若点在圆内不同于点处，如图1所示，则有，故点的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，所以B正确；
图1
②若点A与C重合，则有，故点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，所以A正确；
③若点A在圆C上，如图2所示，则由垂径定理，线段的垂直平分线必过点C，故与重合，故点的轨迹是一个点；
图2
④若点A在圆C外，如图3所示，当的垂直平分线交的延长线于点时，则，
图3
所以，故点的轨迹是以A、C为焦点的双曲线靠近点的一支，当的垂直平分线交的延长线于点时，，点的轨迹是以A、C为焦点的双曲线靠近点的一支，
所以C正确；故选ABC．
11．答案：AD
解析：对于A选项，由椭圆的定义可知，所以A选项正确．
对于B选项，依题意，，，所以，所以B选项不正确．
对于C选项，，当为椭圆短轴端点时，的面积取得最大值为，所以C选项错误．
对于D选项，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D选项正确．
综上所述，正确的为AD．
12．答案：ABD
解析：当时，，，则，故A正确；
由上，得当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故当时，有最小值；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故当时，有最小值，故有最小值，故B，D正确；
令，得；令，得，
故该函数图象与轴有3个交点，故C错误．故选ABD．
三、填空题
14．答案：
解答：因为，所以当时，，解得，
当时，，所以，所以数列是以为首项，
2为公比的等比数列，所以，所以．
14．答案：504
解析：“射”不在第二周且“乐”不在第五周的排法可以分为两类：第一类“射”排在第五周的排法，第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，其中第一类的排法有种，第二类的排法有种，由分类加法原理可得总的排法数为504。
15．答案．
解析：如图，线段的中垂线经过，，即椭圆上存在一点，使得．
．．
16．答案：
解析：令，则，，
设，，
故，由可得，
在上，，为减函数，在上，，为增函数，
的图象恒过点，在同一坐标系中作出，的图象，
如图所示，若有且只有两个整数，，使得，且，
则即解得：．
四、解答题
17．解析：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．
由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
18．解析：（1）设，则，t可视为直线的纵截距，
的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即，
解得或．
的最大值为，最小值为．
（2）可视为点与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点的斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即，解得或．
最大值为，最小值为．
（3）可视为圆上的点到原点的距离的平方，
．
19．解析：（1），轴且与椭圆相交于A、B两点，
则直线的方程为，
联立解得，则，
拋物线的方程为，联立，解得，，
，即，，即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为．
（2）由（1）知，，椭圆的方程为，
联立消去y并整理得，
解得或（舍去），由抛物线的定义可得，解得．
因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为．
20．解析：（1）正项数列为等比数列，，．，
即，，
，故．
．
（2），．
，①
，②
由②-①式得：
，
．
21．解析：（1）由题意得解得，，，椭圆：．
（2）证明：由（1），知，．设，则．
当时，直线PA的方程为．
令，得，
从而．
直线PB的方程为．令，得，
从而．
．
当时，，，，．
综上，为定值．
22．解析：（1）当时，，，则，
所以切线方程为，即，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）的定义域为，，
令，解得，，
①当时，与在区间上的情况如下：
在上递增，在上递减，在上递增．
此时，，
所以在上只有一个零点，
②当时，，由，得，（舍），
所以在上有一个零点；
③当时，与在区间上的情况如下：
此时，
若时，，所以在上无零点，
若时，，所以在上有一个零点，
若时，，，
，
所以有两个零点．
综上所述，当或时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点，
当时，在上无零点．
x
a
1
＋
0
－
0
＋
凢
极大值
决
极小值
凢
x
1
－
0
＋
决
极小值
凢