高考数学一轮复习第8章8探究“极点、极线”在高考圆锥曲线中的应用学案

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“极点、极线”是圆锥曲线的一种基本特征，除了人教A版选择性必修第一册P99拓广探索T15研究了有关圆的切点弦方程外，中学数学教材中没有提及极点与极线的相关问题，事实上，以“极点、极线”为背景命制的试题屡见不鲜， 在复习备考中，适当了解一些该方面的知识，可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，快速准确解题.
探究点一 极点、极线的定义与配极原则
定义：对于圆锥曲线C：
Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0.
已知点P(x0，y0)(非中心)及直线l：
Ax0x＋Bx0y+y0x2＋Cy0y＋Dx+x02＋Ey+y02＋F＝0，则称点P(x0，y0)是直线l关于圆锥曲线C的极点，直线l称为P点关于曲线C的极线.
配极原则：共线点的极线必共点，共点线的极点必共点．
从形式上看：直线l的方程是在圆锥曲线方程中按照以下置换：
x0x→x2；x0y+y0x2→xy；y0y→y2；
x+x02→x；y+y02→y.
探究点二 极点、极线的几何意义(以椭圆为例说明)
设点P(x0，y0)的极线l：x0xa2+y0yb2＝1，椭圆方程：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)．
①当点P(x0，y0)在椭圆上时，极线l是以点P为切点的切线．
证明如下：
由y2＝b21-x2a2知，当y≥0时，y＝b1-x2a2
＝baa2-x2.
∴以P(x0，y0)为切点的切线方程：
y＝－b2a2x0y0(x－x0)＋y0.
整理得x0xa2+y0yb2＝1，
即此时极线l为过点P(x0，y0)的切线．
②当点P在椭圆外时，极线l与椭圆相交，且为由点P向椭圆所引切线的切点弦所在直线．
证明如下：
lPA：x1xa2+y1yb2＝1，lPB：x2xa2+y2yb2＝1.
∴x1x0a2+y1y0b2=1，x2x0a2+y2y0b2=1.
即点A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足x0xa2+y0yb2＝1.
极线l：x0xa2+y0yb2＝1即为切点弦AB所在直线方程．
③当点P(x0，y0)在椭圆内时，极线l与椭圆相离，极线l为经过点P的弦在两端点处切线交点的轨迹，且极线l与以点P为中点的弦所在直线平行．
证明如下：
A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B为切点的切线交于M(m，n)．
∴lAB：mxa2+nyb2＝1，∴mx0a2+ny0b2＝1，
即点M(m，n)在直线上．
又∵以P为中点的弦，由点差法知k′＝－b2x0a2y0＝kl，
即极线与中点弦平行．
特别地，当点P(x0，y0)在椭圆内时，H(x，y)－H(x0，y0)＝0是点P关于椭圆E的中点弦方程(P为弦中点)．
探究点三 自极三角形
椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)内接四边形ABCD，对角线AC与BD交于点N，分别延长AD，BC，BA，CD交于点M，P，则△PMN叫自极三角形，若N点为极点，则直线MP是它的极线；若M点为极点，则直线PN是它的极线；若P点为极点，则直线NM是它的极线．
探究点四 以极点、极线为背景的高考真题
(2020·全国Ⅰ卷) 已知A，B分别为椭圆E：x2a2＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
分析：(1)由已知可得：A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1)，即可求得AG·GB＝a2－1，结合已知即可求得：a2＝9，问题得解．
(2)思考切入点一：
利用自极三角形定义，设四边形ADBC的对角线交于极点N(t，0)，则tx9＋0＝1，
∴x＝9t＝6，t＝32，N32，0.
设P(6，y0)，可得直线AP的方程为：y＝y09(x＋3)，联立直线AP的方程与椭圆方程即可求得点C的坐标为-3y02+27y02+9，6y0y02+9，同理可得点D的坐标为3y02-3y02+1，-2y0y02+1，即可表示出直线CD的方程，整理直线CD的方程可得：y＝4y033-y02x-32，命题得证．
思考切入点二：
如图，点P在直线x＝6上运动，PA与PB是椭圆的两条割线，且与椭圆的交点构成四边形ACBD.该四边形的两条对角线AB与CD的交点就是直线x＝6所对应的极点．x＝6关于椭圆x29＋y2＝1的极点为32，0，而AB固定，则CD过定点32，0.