2022-2023学年广东省湛江市高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省湛江市高一（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|3x﹣x2＞0}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣2≤x＜0}B．{x|﹣4≤x＜0}C．{x|0＜x≤2}D．{x|0＜x≤3}
2．（5分）命题“对任意一个实数x，都有3x+5≥0”的否定是（ ）
A．存在实数x，使得3x+5＜0
B．对任意一个实数x，都有3x+5≤0
C．存在实数x，使得3x+5≤0
D．对任意一个实数x，都有3x+5＜0
3．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（ ）
A．y＝x3B．y＝2xC．D．y＝sin2x
4．（5分）函数y＝ax+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象一定经过的点是（ ）
A．（0，﹣2）B．（﹣1，﹣3）C．（0，﹣3）D．（﹣1，﹣2）
5．（5分）函数f（x）＝ex+x﹣6的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
6．（5分）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，m※n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝8}中的元素个数是（ ）
A．10B．9C．8D．7
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
（多选）9．（5分）下列结论正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac＞bcB．若a＞b＞0，则
C．若ac2＞bc2，则a＞bD．若a＜b，则a2＜b2
10．（5分）下列各式中，值为的是（ ）
A．sin15°•cs15°
B．2cs21
C．
D．
（多选）11．（5分）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．角α可能是第二象限角
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝ln（﹣x），g（x）＝ln（4+x），则（ ）
A．函数y＝f（x﹣2）+g（x﹣2）为偶函数
B．函数y＝f（x）﹣g（x）为奇函数
C．函数y＝f（x﹣2）﹣g（x﹣2）为奇函数
D．x＝﹣2是函数y＝f（x）+g（x）图象的对称轴
三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知，则f（﹣1）＝ ．
14．（5分）写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数 ．
①当x1x2≥0时，f（x1+x2）＝f（x1）f（x2）；
②f（x）为偶函数
15．（5分）关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣3，1），则不等式bx2+ax+c＜0的解集为 ．
16．（5分）设函数在区间[﹣2，2]上的最大值为M，最小值为N，则（M+N﹣1）2023的值为 ．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（1）求值：；
（2）求值：．
18．（12分）设函数f（x）＝lg（x2﹣1）的定义域为集合的定义域为集合B．
（1）当a＝1时，求（∁RA）∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数为奇函数．
（1）求实数b的值，并用定义证明f（x）在R上的单调性；
（2）若不等式f（2m2+m+2）+f（2m+1）≤0恒成立，求实数m的取值范围．
20．（12分）已知，α∈（，π）．
（1）求csα，tanα的值；
（2）求的值．
21．（12分）某电饭煲厂生产了一款具有自主知识产权的电饭煲，每个电饭煲的生产成本为150元，出厂单价定为200元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过1000个时，每多订购一个，订购的全部电饭煲的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过2000个．
（1）设一次订购量为x个，电饭煲的实际出厂单价为P元，写出函数y＝P（x）的表达式；
（2）当销售商一次订购多少个时，该电饭煲厂获得的利润最大，最大利润是多少元？
（电饭煲厂售出一个电饭煲的利润＝实际出厂单价﹣成本）
22．（12分）设函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使得f（x0）＝x0成立，则称x0为f（x）的一个“不动点”，也称f（x）在定义域D上存在不动点．已知函数f（x）＝lg2（4x﹣a•2x+1+2）．
（1）若a＝1，求f（x）的不动点；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上存在不动点，求实数a的取值范围；
（3）设函数g（x）＝2﹣x，若∀x1，x2∈[﹣1，0]，都有|f（x1）﹣g（x2）|≤2成立，求实数a的取值范围．
2022-2023学年广东省湛江市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|3x﹣x2＞0}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣2≤x＜0}B．{x|﹣4≤x＜0}C．{x|0＜x≤2}D．{x|0＜x≤3}
【分析】先分别计算两个集合，再进行交集运算．
【解答】解：因为A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，
所以A∩B＝{x|0＜x≤2}，
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2．（5分）命题“对任意一个实数x，都有3x+5≥0”的否定是（ ）
A．存在实数x，使得3x+5＜0
B．对任意一个实数x，都有3x+5≤0
C．存在实数x，使得3x+5≤0
D．对任意一个实数x，都有3x+5＜0
【分析】全称量词命题否定为存在量词命题即可．
【解答】解：命题“对任意一个实数x，都有3x+5≥0”的否定是：存在实数x，使得3x+5＜0．
故选：A．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（ ）
A．y＝x3B．y＝2xC．D．y＝sin2x
【分析】根据基本函数的单调性、奇偶性逐项判断可得答案．
【解答】解：对于A，是奇函数，递增；
对于B，函数非奇非偶；
对于C，是奇函数，x＞0时，递增，x＜﹣1时，递减；
对于D，是奇函数，在定义域不具有单调性；
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基础．
4．（5分）函数y＝ax+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象一定经过的点是（ ）
A．（0，﹣2）B．（﹣1，﹣3）C．（0，﹣3）D．（﹣1，﹣2）
【分析】令x+1＝0，求得x和y的值，从而求得函数f（x）＝ax+1﹣3（a＞0且a≠1）恒过定点的坐标．
【解答】解：令x+1＝0，求得 x＝﹣1，且y＝﹣2，
故函数f（x）＝ax+1﹣3（a＞0且a≠1）恒过定点（﹣1，﹣2），
故选：D．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
5．（5分）函数f（x）＝ex+x﹣6的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【分析】判断函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，再由f（1）f（2）＜0，结合函数零点的判定定理得答案．
【解答】解：f（x）＝ex+x﹣6在（0，+∞）上单调递增，
又f（1）＝e﹣5＜0，f（2）＝e2﹣3＞0，即f（1）f（2）＜0，
由函数零点判定定理可得，函数f（x）＝ex+x﹣6的零点所在的区间为（1，2），
故选：B．
【点评】本题考查函数零点判定定理的应用，是基础题．
6．（5分）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的奇偶性和特殊值即可排除．
【解答】解：f（﹣x）＝（﹣x）3f（x），则f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD，
f（1）＝10，故排除A．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象的识别和应用，属于基础题．
7．（5分）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角函数图象的变换关系，求解即可得出答案．
【解答】解：函数的周期为，
图象向右平移个周期，即平移后，
所得图象对应的函数为，即，
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查转化思想，属于基础题．
8．（5分）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，m※n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝8}中的元素个数是（ ）
A．10B．9C．8D．7
【分析】由定义分类讨论，列举出所有满足条件的元素即可．
【解答】解：由定义知，
当a，b都为正偶数或都为正奇数时，a※b＝a+b＝8，
故（a，b）是（1，7），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（7，1）；
当a，b中一个为正偶数，另一个为正奇数时，a※b＝ab＝8，
故（a，b）是（1，8），（8，1）；
故共9个元素，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的应用及新定义的应用，应用了分类讨论的思想与列举法，属于中档题．
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
（多选）9．（5分）下列结论正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac＞bcB．若a＞b＞0，则
C．若ac2＞bc2，则a＞bD．若a＜b，则a2＜b2
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：当a＞b时，若取c≤0，则有ac≤bc．故A错误；
当a＞b＞0时，两边同乘以，有，即，故B正确；
当ac2＞bc2，两边同乘以，则a＞b．故C正确；
当a＜b时，取a＝﹣2，b＝2，有a2＝b2，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10．（5分）下列各式中，值为的是（ ）
A．sin15°•cs15°
B．2cs21
C．
D．
【分析】利用特殊角的三角函数值对四个选项逐一判断即可．
【解答】解：A，∵sin15°•cs15°sin30°；
B，∵2cs21＝cs；
C，∵；
D，∵tan45°．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，着重考查倍角公式的应用，属于中档题．
（多选）11．（5分）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．角α可能是第二象限角
【分析】cs（）可能取负数，可判断选项A；
cs（）＝cs[π﹣（）]＝﹣cs（），可判断选项B；
sin（）＝cs（），可判断选项C；
若α是第二象限角，则2kπ，k∈Z，检验cs（）的正负可判断选项D．
【解答】解：因为，则cs（）可能取负数，A错误；
cs（）＝cs[π﹣（）]＝﹣cs（），B正确；
sin（）＝cs（），C正确；
若α是第二象限角，则2kπ，k∈Z，此时，cs（）＜0，D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角基本关系在求解三角函数值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝ln（﹣x），g（x）＝ln（4+x），则（ ）
A．函数y＝f（x﹣2）+g（x﹣2）为偶函数
B．函数y＝f（x）﹣g（x）为奇函数
C．函数y＝f（x﹣2）﹣g（x﹣2）为奇函数
D．x＝﹣2是函数y＝f（x）+g（x）图象的对称轴
【分析】根据对数函数性质结合函数奇偶性的定义对四个选项逐一判断即可．
【解答】解：由﹣x＞0，4+x＞0得﹣4＜x＜0，
∴y＝f（x）﹣g（x）的定义域为（﹣4，0），不关于原点对称，故B错误；
由﹣4＜x﹣2＜0，得﹣2＜x＜2，
令y＝h（x）＝f（x﹣2）+g（x﹣2）＝ln（2﹣x）+ln（2+x）＝ln（4﹣x2），则h（x）的定义域为（﹣2，2），关于原点对称，
且h（﹣x）＝h（x），
∴函数h（x）＝f（x﹣2）+g（x﹣2）为偶函数，故A正确；
同理可得，g（x）＝f（x﹣2）﹣g（x﹣2）＝ln（2﹣x）﹣ln（2+x）的定义域为（﹣2，2），且g（x）+g（﹣x）＝0，
∴函数y＝f（x﹣2）﹣g（x﹣2）为奇函数，故C正确；
∵t（x）＝f（x）+g（x）＝ln（﹣4x﹣x2）的定义域为（﹣4，0），y＝﹣4x﹣x2的对称轴方程为x＝﹣2，
∴t（﹣4﹣x）＝ln[﹣4（﹣4﹣x）﹣（﹣4﹣x）2]＝ln（﹣4x﹣x2）＝t（x），
∴f（x）+g（x）图象的对称轴方程为x＝﹣2，
故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查对数函数的性质，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知，则f（﹣1）＝ ．
【分析】根据分段函数直接求值．
【解答】解：因为﹣1＜0，所以，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分段函数函数值的求解，属于基础题．
14．（5分）写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数 f（x）＝3|x|（答案不唯一） ．
①当x1x2≥0时，f（x1+x2）＝f（x1）f（x2）；
②f（x）为偶函数
【分析】根据题意，结合指数函数和函数图象的变换规律，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若满足①当x1x2≥0时，f（x1+x2）＝f（x1）f（x2），常见函数函数为指数函数y＝ax，
结合②的要求，可以考虑在y＝ax中，将x加绝对值即可；
故f（x）＝3|x|符合题意，
故答案为：f（x）＝3|x|（答案不唯一）．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意常见函数的性质，属于基础题．
15．（5分）关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣3，1），则不等式bx2+ax+c＜0的解集为 ．
【分析】依题意可得﹣3和1为方程ax2+bx+c＝0的两根且a＞0，利用韦达定理得到b＝2a，c＝﹣3a，代入第二个方程，解得即可．
【解答】解：∵ax2+bx+c＜0的解集是（﹣3，1），
∴﹣3和1为方程ax2+bx+c＝0的两根且a＞0，
∴，解得，
则不等式bx2+ax+c＜0⇔2ax2+ax﹣3a＜0，
∴2x2+x﹣3＜0，解得，
即不等式的解集是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
16．（5分）设函数在区间[﹣2，2]上的最大值为M，最小值为N，则（M+N﹣1）2023的值为 1 ．
【分析】将所给函数分离常数，根据奇偶性，可求得M+N＝2，代入所求关系式即可．
【解答】解：由题意知，，
设，则f（x）＝g（x）+1，
因为，
所以g（x）为奇函数，
所以g（x）在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值的和为0，
故M+N＝2，
所以（M+N﹣1）2023＝（2﹣1）2023＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查函数最值的求法，考查函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（1）求值：；
（2）求值：．
【分析】（1）利用指数的运算性质计算即可；
（2）利用对数的运算性质及对数恒等式计算即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
18．（12分）设函数f（x）＝lg（x2﹣1）的定义域为集合的定义域为集合B．
（1）当a＝1时，求（∁RA）∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据真数大于0列不等式求得集合A，根据被开方数不小于0列不等式求得集合B，最后根据集合的交并补混合运算求出答案；
（2）由题意可得集合B是集合A的子集，从而列不等式可求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由x2﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1，
所以A＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
所以∁RA＝[﹣1，1]，
当a＝1时，由4x+1﹣2≥0，得22x+2≥2，即2x+2≥1，
解得，所以．
所以（∁RA）∩B＝[，1]；
（2）由（1）知，A＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
由4x+a﹣2≥0，得22x+2a≥2，即2x+2a≥1，
解得，所以，
因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
19．（12分）已知函数为奇函数．
（1）求实数b的值，并用定义证明f（x）在R上的单调性；
（2）若不等式f（2m2+m+2）+f（2m+1）≤0恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据奇函数定义求出b，再由函数单调性的定义法证明；
（2）由单调性及奇偶性脱去“f”，列出不等式求解．
【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，且为奇函数，∴f（0）＝1+b＝0，解得b＝﹣1，
此时为奇函数，所以b＝﹣1，f（x）是R上的单调递增函数．
证明：由题知，设x1＜x2，
则，
∵x1＜x2，∴，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上是单调递增函数．
（2）因为y＝f（x）是R上的奇函数且为严格增函数，
所以由f（2m2+m﹣1）+f（2m﹣1）≤0，
可得f（2m2+m﹣1）≤﹣f（2m﹣1）＝f（﹣2m+1），
所以2m2+m﹣1≤﹣2m+1恒成立，
解得，即实数m的取值范围为．
【点评】本题主要主要考查函数恒成立问题，函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
20．（12分）已知，α∈（，π）．
（1）求csα，tanα的值；
（2）求的值．
【分析】（1）由题意，利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，计算求得结果．
（2）由题意，利用两角和的余弦公式，计算求得结果．
【解答】解：（1）∵，α∈（，π），
∴csα，tanα．
（2）由（1）可得，sin2α＝2sinαcsα，cs2α＝1﹣2sin2α＝1，
∴sin2αcscs2αsin．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，两角和差的三角公式，属于基础题．
21．（12分）某电饭煲厂生产了一款具有自主知识产权的电饭煲，每个电饭煲的生产成本为150元，出厂单价定为200元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过1000个时，每多订购一个，订购的全部电饭煲的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过2000个．
（1）设一次订购量为x个，电饭煲的实际出厂单价为P元，写出函数y＝P（x）的表达式；
（2）当销售商一次订购多少个时，该电饭煲厂获得的利润最大，最大利润是多少元？
（电饭煲厂售出一个电饭煲的利润＝实际出厂单价﹣成本）
【分析】（1）分0＜x≤1000、1000＜x≤2000两种情况讨论，分别求出P（x）；
（2）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L（x）元，结合（1）得到L（x）的解析式，再结合函数的单调性与二次函数的性质计算可得．
【解答】解：（1）当0＜x≤1000时，P（x）＝200，
当1000＜x≤2000时，，
∴，
（2）解：设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L（x）元，
则，
当0＜x≤1000时，L（x）单调递增，此时L（x）max＝L（1000）＝50000；
当1000＜x≤2000时，，
此时L（x）max＝L（1750）＝61250；
综上所述，当x＝1750时，L（x）max＝61250．
故当销售商一次订购1750个电饭煲时，该电饭煲厂获得的利润最大，最大利润是61250元．
【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（12分）设函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使得f（x0）＝x0成立，则称x0为f（x）的一个“不动点”，也称f（x）在定义域D上存在不动点．已知函数f（x）＝lg2（4x﹣a•2x+1+2）．
（1）若a＝1，求f（x）的不动点；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上存在不动点，求实数a的取值范围；
（3）设函数g（x）＝2﹣x，若∀x1，x2∈[﹣1，0]，都有|f（x1）﹣g（x2）|≤2成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得，4x﹣2x+1+2＝2x，解方程可求；
（2）4x﹣a•2x+1+2＝2x在[0，1]上有解，令t＝2x可得t2﹣2at+2＝t在[1，2】上有解，分离参数即可求解；
（3）问题转化为g（x2）max﹣2≤f（x1）≤g（x2）min+2，利用单调性求出g（x）的最值，然后利用换元法，结合不等式的恒成立，fenlcans即可求解．
【解答】解：（1）若a＝1，由f（x）＝x可得，4x﹣2x+1+2＝2x，
令t＝2x，则t2﹣3t+2＝0，解t＝1或t＝2，
所以x＝0或x＝1，
故f（x）的不动点为0或1，
（2）由f（x）＝x可得，4x﹣a•2x+1+2＝2x在[0，1]上有解，
令t＝2x，则由x∈[0，1]可得t∈[1，2]，
则t2﹣2at+2＝t在[1，2]上有解，
故2at1，
当t∈[1，2]时，y＝t在[1，]单调递减，在[，2]上单调递增，
则y∈[2，3]，
则，
解得．
故a的范围[，1]，
（3）|f（x1）﹣g（x2）|≤2⇔﹣2≤f（x1）﹣g（x2）≤2，
则g（x2）max﹣2≤f（x1）≤g（x2）min+2，
又g（x）在[﹣1，0]上单调递减，则g（x2）max＝g（﹣1）＝2，g（x2）min＝g（0）＝1，
则0≤f（x1）≤3，
令t＝2x，x∈[﹣1，0]，则t∈[]，1≤t2﹣2at+2≤8，
则，
又y＝t2，y＝t在[]上单调递增，则ymax＝﹣5，
则﹣5≤2a≤2，即．
【点评】本题综合考查了函数的零点，由函数零点求解参数范围及利用单调性求解函数最值，属于中档试题．
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