2024无锡锡东高级中学高二上学期期中考试数学含解析

这是一份2024无锡锡东高级中学高二上学期期中考试数学含解析，共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：许微嫣 审核人：浦春玲
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A B. C. D.
3. 已知椭圆，则它的焦点坐标是（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
4. 如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（ ）
A. B. C. D.
5. 圆与圆内切，则实数的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
6. 已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（ ）
A. a≠B. a≠
C. a≠且a≠D. a≠且a≠1
7. 若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角为120°
B. 经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为
C. 直线恒过定点
D. 直线，，则或0
10. 已知是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，则下列结论正确的有( )
A. 椭圆的离心率为B.
C. D. 的最大值为
11. 已知实数、满足方程，则下列说法正确是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最大值为D. 的最大值为
12. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 向量与的夹角是60°
D. 直线与AC所成角的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，且，则 ___________.
14. 已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是__．
15. 设椭圆的右顶点为、右焦点为为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段，则椭圆的离心率是______．
16. 已知椭圆C：左､右焦点分别为､，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为___________.
四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步步骤.
17. 已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使：
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
18. 已知一个动点在圆上运动，它与定点所连线段的中点为．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程.
19. 已知空间中三点，，
（1）若，且，求向量；
（2）若点在平面上，求m的值．
20. 已知椭圆焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，的最大值.
21. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.
（1）求证：平面.
（2）求二面角的平面角的余弦值.
（3）若点在棱上（不与点，重合），直线能与平面垂直吗？若能，求出值；若不能，请说明理由.
22. 已知为椭圆上一点，上、下顶点分别为、，右顶点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）点为椭圆上异于顶点的一动点，直线与交于点，直线交轴于点.求证：直线过定点.2023—2024学年度第一学期期中考试
高二数学试卷
命题人：许微嫣 审核人：浦春玲
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用点与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】由题意可得，解得.
故选：A.
2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的运算性质和定义，结合投影向量进行求解即可.
【详解】因为空间向量，，
所以向量在向量上的投影向量为：
，
故选：C
3. 已知椭圆，则它的焦点坐标是（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】转化为标准方程后即可求解.
【详解】椭圆的标准方程为，其中，
所以.
所以焦点坐标是和.
故选：B
4. 如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.
【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
因为，所以，
，，
，，
所以点P到AB的距离．
故选：C.
5. 圆与圆内切，则实数的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】由圆内切得即可解决.
【详解】由题知，
所以，
因为圆与圆内切，
所以，即，
因为，
所以，
故选：C.
6. 已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（ ）
A. a≠B. a≠
C. a≠且a≠D. a≠且a≠1
【答案】C
【解析】
【分析】由三条直线两两不平行，且不交于同一点可得．
【详解】已知三条直线能构成三角形，首先不平行，
若，则三条直线围成三角形，
若，则，，解得，
时，由，得，代入得，或，因此
综上：且．
故选：C．
7. 若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数的取值范围．
【详解】曲线即，
即，表示为圆心，为半径的圆的上半部分，
直线即恒过定点，
作出直线与半圆的图象，如图，
考查临界情况：
当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有两个交点，
当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有1个交点，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且，
即，解得：，舍去）．
据此可得，实数的取值范围是．
故选：D．
8. 已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线， ，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.
【详解】因为P是焦点为，的椭圆上的一点，为的外角平分线，，设的延长线交的延长线于点M，所以，
，
所以由题意得是的中位线，所以，
所以Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q与y轴重合时，
Q与短轴端点取最近距离
故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角为120°
B. 经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为
C. 直线恒过定点
D. 直线，，则或0
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线方程求得斜率为，得到，可判定A正确；当直线过原点时，得到，满足题意，可判定B错误；化简得到，进而可判定C正确；根据直线的一般式的条件和垂直关系，列出方程，可判定D不正确.
【详解】对于A中，设直线的倾斜角为，由直线，可得斜率为，
即，因为，所以，所以A正确；
对于B中，当直线过原点时，此时过点直线方程为，即，满足题意；
当直线不过原点时，要使得直线在轴上截距互为相反数，可得所求直线的斜率，
所以点的直线方程为，即，所以B错误；
对于C中，直线，可化为，
由方程组，解得，所以直线恒过点，所以C正确；
对于D中，由直线，
若，可得且，解得，所以D不正确.
故选：AC.
10. 已知是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，则下列结论正确的有( )
A. 椭圆的离心率为B.
C. D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程求出a、b、c，根据椭圆的几何性质即可逐项求解判断．
【详解】易得，，，
则，椭圆的离心率为，故A正确，B错误；
∵，∴，C正确；
当点P位于短轴的端点时，取得最大值，此时，，故，即的最大值为，D正确．
故选：ACD．
11. 已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最大值为D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】设，可得，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断AB选项；利用距离的几何意义求出的最大值，可判断C选项；设，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断D选项.
【详解】将方程化为标准方程可得，
圆的圆心为，半径为，
对于A选项，设，可得，
则直线与圆有公共点，
所以，，整理可得，解得，AB都对；
对于C选项，代数式的几何意义为圆上的点到原点的距离的平方，如下图所示：
由图可知，当点为射线与圆的交点时，取最大值，即，
故的最大值为，C错；
对于D选项，设，则直线与圆有公共点，
所以，，解得，
所以，的最大值为，D对.
故选：ABD.
12. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 向量与的夹角是60°
D. 直线与AC所成角的余弦值为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．
【详解】解：对于，
，
所以，选项错误；
对于
，所以，即，
，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；
对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；
对于，
所以，
，
同理，可得
，
所以，所以选项正确．
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，且，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】由空间向量的坐标运算求解，
【详解】，，
而，故
即，解得，
故答案为：
14. 已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是__．
【答案】
【解析】
【分析】设出点M关于直线的对称点的坐标，根据对称的几何性质列出方程组，即可求得答案.
【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得，，
故点M关于直线的对称点的坐标是，
故答案为：
15. 设椭圆的右顶点为、右焦点为为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段，则椭圆的离心率是______．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为的中位线，于是，且，即．
考点：椭圆的离心率．
16. 已知椭圆C：的左､右焦点分别为､，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆的定义，结合椭圆和圆的几何性质进行求解即可.
【详解】如图，
由为椭圆上任意一点，则，
又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），
∴，
当且仅当M、N、E、共线时等号成立.
∵，，则，
∴的最小值为，
当共线时，最大，如下图所示：，
最大值为，
所以的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：运用椭圆的定义和椭圆、圆的几何性质是解题的关键.
四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步步骤.
17. 已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使：
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上截距为－1.
【答案】（1）m＝1，n＝7；（2）m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2；（3）m＝0，n＝8
【解析】
【详解】（1）根据点P分别在直线l1和直线l2上，代入这两条直线方程，解方程组即可求得m,n.
(2)由 l1∥l2可得m·m－8×2＝0得m＝±4,然后分别代入检验排除掉两直线重合的情况
（3）由l1⊥l2可知m·2＋8·m＝0，从而求得m,然后再根据l1在y轴上的截距求得n.
解：(1)∵m2－8＋n＝0且2m－m－1＝0，
∴m＝1，n＝7.
(2)由m·m－8×2＝0得m＝±4.
由8×(－1)－n·m≠0得
即m＝4，n≠－2时或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.
(3)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，
l1⊥l2，又－＝－1，
∴n＝8.故当m＝0且n＝8时满足条件．
18. 已知一个动点在圆上运动，它与定点所连线段的中点为．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程.
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）设，，用表示出，把代入已知圆方程化简后可得点轨迹方程；
（2）截距均为0时，设切线，截距相等且不为0时，设切线，由圆心到切线的距离等于半径求出参数即得切线方程．
【详解】解：（1）设，，根据中点公式得，
解得．
由，得
∴点的轨迹方程是．
（2）当切线在两坐标轴上截距均为0时，设切线，由相切得
∴，所以切线方程为，
当切线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设切线
由相切有，∴，切线方程为
综上：切线方程为或．
【点睛】关键点点睛：求动点轨迹方程的方法：
1、直接法：设曲线上动点坐标为后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。
2、代入法（或利用相关点法）：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。
3、几何法：求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作几何法。
4、参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量（参数），使之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。
5、待定系数法：由题意可知曲线类型，将方程设成该曲线方程的一般形式，利用题设所给条件求得所需的待定系数，进而求得轨迹方程，这种方法叫做待定系数法。
19. 已知空间中三点，，
（1）若，且，求向量；
（2）若点在平面上，求m的值．
【答案】（1），或.
（2）
【解析】
【分析】（1）可求.由已知可设，通过解出，代入即可；（2）由已知得，四点共面，则存在唯一一组实数对，使得成立，代入坐标得到方程组，求解即可得到m的值.
【小问1详解】
由已知得，，
因为，设，则，
所以，或.
【小问2详解】
由已知得，，
点在平面ABC上，则存在唯一一组实数对，
使得成立，即，
解得，所以
20. 已知椭圆焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得出的值，利用椭圆的定义可得出的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值.
【小问1详解】
解：由已知可得，则，
所以，椭圆的两个焦点分别为、，
由椭圆的定义可得，
则，所以，，
因此，椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：设直线的方程为，设点、，
联立可得，
，解得，
由韦达定理可得，，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
21. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.
（1）求证：平面.
（2）求二面角的平面角的余弦值.
（3）若点在棱上（不与点，重合），直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，按照空间向量坐标运算证明即可；
（2）分别确定平面与平面的法向量，根据向量夹角余弦值与二面角的关系可求得二面角的平面角的余弦；
（3）根据点在棱上（不与点，重合），设比例系数，可得的坐标，假设直线能与平面垂直得向量关系为，根据坐标判断是否可得的值，从而判断假设是否成立.
【小问1详解】
解：因为平面，所以，又
则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，且，平面
所以平面.
【小问2详解】
解：由（1）知是平面的一个法向量.
，
设平面的一个法向量为，
所以，即
令，则，，
所以，
所以.
又由图可知二面角的平面角为锐角
所以二面角的平面角的余弦值为.
【小问3详解】
解：由（1）得，，，.
设，则，
可得，所以.
由（2）知是平面的一个法向量.
若平面，可得
则，该方程无解，
所以直线不能与平面垂直.
22. 已知为椭圆上一点，上、下顶点分别为、，右顶点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）点为椭圆上异于顶点的一动点，直线与交于点，直线交轴于点.求证：直线过定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程，求得点的坐标，联立直线的方程和椭圆的方程，求得点坐标，进而求得直线的方程，从而求得点的坐标，由此求得直线的方程并确定定点坐标.
小问1详解】
因为为椭圆上一点，所以.
因为，所以，整理得，解得或.
当时，，与矛盾.所以，.
椭圆的方程为.
【小问2详解】
设直线的斜率为，则.
因为，
由解得，.
因为，所以，整理得，
所以，.
所以，所以.
令，得.
所以，
所以.
所以
所以直线过定点.