云南省玉溪市名校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份云南省玉溪市名校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、设,,则( )
A.B.C.D.
2、若经过,两点的直线的倾斜角是,则( )
A.B.C.D.
3、若构成空间的一个基底,则下列向量共面的是( )
A.,,B.,,C.,,D.,,
4、甲,乙两人独立地破译一份密码,已知各人能破译的概率分别是,,求密码被成功破译的概率( )
A.B.C.D.
5、已知,若,,,则( )
A.B.C.D.
6、已知圆锥的表面积为,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥底面的面积为( )
A.B.C.D.
7、已知圆,直线l经过点,则直线l被圆C截得的最短弦长为( )
A.B.C.D.
8、如图,平行六面体的底面ABCD是菱形,,且,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、某市为了考察一所高中全体学生参与第六届全国中小学生“学宪法,讲宪法”宪法小卫士活动的完成情况,对本校2000名学生的得分情况进行了统计,按照,,…,分成5组,并绘制了如图所示的频率分布直方图,
下列说法正确的是( )
A．图中x的值为0.020
B．由直方图中的数据,可估计75%分位数是82
C．由直方图中的数据,可估计这组数据的平均数为77
D．90分以上将获得金牌小卫士称号,则该校有20人获得该称号
10、已知为任意实数,当变化时,关于方程的说法正确的是( )
A.该方程表示的直线恒过点
B.当且仅当时,该方程表示的直线垂直于y轴
C.若直线与平行,则或3
D.若直线与直线垂直,则
11、已知函数,则( )
A.函数的最大值为
B.当时,的最小正周期为
C.若是的一条对称轴,则
D.若在区间内有三个零点,则
12、有很多立体图形都体现了数学的对称美,其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体因其最早由阿基米德研究发现,故也被称作阿基米德体.如图,这是一个棱数为24,棱长为的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点(包含端点),则下列说法正确的是( )
A.该半正多面体的体积为
B.当点E运动到点B时,
C.当点E在线段BC上运动时(包含端点),AH始终与DE垂直
D.直线DE与平面AFHG所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题
13、复数的共轭复数是________.
14、若向量,满足,,则的最大值为________.
15、设空间两个单位向量,与向量的夹角的余弦值都等于,则________.
16、已知实数x,y满足,则的最大值为________.
四、解答题
17、已知直线
（1）已知直线经过点,且与垂直,求的方程;
（2）在上任取一点A,在上任取一点B,连接AB,取AB靠B三等分点C,过点作的平行线,求与之间的距离.
18、在长方体中,,P为上的动点,
（1）求证:平面;
（2）求与平面所成角的正弦值.
19、在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,
已知
（1）求角;
（2）当,,求的周长.
20、已知圆内有一点,AB为过点P且倾斜角为的弦.
（1）当时,求AB的长;
（2）若P为AB的中点,求AB所在直线l的方程.
21、如图,在直三棱柱中,,,E,F分别是棱AB,BC上的动点;
（1）当时,求证:;
（2）已知F为BC中点时,线段AB上是否存在点E,使得平面与平面BEF夹角的余弦值为,若存在,请确定点E的位置,若不存在,请说明理由.
22、环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源,目前比较常见的主要有两种:混合动力汽车,纯电动汽车.为了提高生产质量,有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试,国道限速80km/s,经多次测试得到该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的数据如下表所示:
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系,现有以下三种函数模型供选择:(,且)
,(p,q,b,)
（1）当时,请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型(说明理由,并求所选函数模型的函数解析式);
（2）根据（1）中所得函数解析式,求解如下问题:现有一辆同型号电动汽车从A地驶到B地,前一段是160km的国道(汽车匀速行驶),后一段是60km的高速路(汽车行驶速度不低于80km/h,匀速行驶),若高速路上该汽车每小时耗电量N(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的关系满足,则如何行使才能使得总耗电量最少,最少为多少?
参考答案
1、答案：D
解析:,,
,
故选:D.
2、答案：B
解析:根据题意,直线经过,,
直线AB的斜率,
又由直线的倾斜角是,则,
则有,解可得,
故选:B.
3、答案：D
解析:
4、答案：B
解析:因为甲,乙两人独立地破译一份密码,已知各人能破译的概率分别是,,
则密码被成功破译的概率为,
故选:B.
5、答案：C
解析:,,V,
,
故选:C.
6、答案：A
解析:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则圆锥的表面积为,
圆锥侧面积展开图是一个半圆,
,
,
,
故选:A.
7、答案：C
解析:根据圆的几何性质及题意可得:
当直线l垂直PC时,直线l被圆C截得的弦长最短,
又P为,C为,,
又圆的半径,
直线l被圆C截得的最短弦长为,
故选:C.
8、答案：D
解析:平行六面体的底面ABCD是菱形,,且,
设,
则由题意得,,三个向量之间两两的数量积均为,
,
异面直线与所成角的余弦值为0.
故选:D.
9、答案：AC
解析:
10、答案：ABD
解析:
11、答案：ACD
解析:
,
对于A,因为,所以,所以函数的最大值为,故A正确;
对于B,当时,,周期,故B错误;
对于C,若是的一条对称轴,则,
解得,故C正确;
对于D,因为,所以,
若在区间内有三个零点,则,
解得,D正确.
故选:ACD.
12、答案：BCD
解析:如图所示:依据题意,棱长为可知,该几何体是在棱长为2的正方体中截取.
该几何体为大正方体截取八个一样的正三棱雉得到的,
则体积为,故A错误;
当E点运动到B处时,,故B正确;
在正方体中,AH始终垂直于平面BHDC,当E在BC上运动时,AH始终与DE垂直,
故C正确;
当E与B重合时,ED与平面AGHF平行,所以此时线面夹角为,
当E与C重合时,此时线面夹角为,故直线DE与平面AGHF所成角的正弦值的取值范围为,D正确.
故选:BCD.
13、答案：
解析:,其共轭复数为.
故答案为:.
14、答案：13
解析:
15、答案：
解析:两个单位向量,与向量的夹角的余弦值都等于,
,
,
,
又,
,即,
同理,
,
,
又,
,即,
,s是方程的两个根,
,
,,
,
故答案为:.
16、答案：1
解析:,时,
原方程化为:,是个圆心为,半径为的圆,
又由于的图象关于x轴,y轴对称,其函数如图:
又设,可表示点与图象上的点所确定的斜率,求斜率最大,
根据图象可知,切线位置的斜率一个是最大值,另一个是最小值.
则有:点到直线的距离为圆的半径,
即,解得或.
则k的最大值为1.故答案为:1.
17、答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）设直线的方程为:,代入点,
则有,,
;
（2）
,
直线与直线之间的距离,
点C是线段AB靠近点A的三等分点,
与之间的距离.
18、答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）证明:如图,连接,,
在长方体中,且,
四边形为平行四边形,
,
又平面,平面,
平面,同理平面,
又,
平面平面,
又平面,平面;
如图,过点B作垂足为G,
平面,平面,,
又,平面,平面,
平面,
为直线与平面所成角,
,
,又,.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）由已知得角化边得,
,,
,,;
（2）由（1）得,,,,
又由余弦定理得,
,,,,,
所以周长为.
20、答案：（1）3
（2）
解析:（1）由题得圆的标准方程为,
所以圆心C的坐标为,半径,
当时,直线AB的斜率.
所以直线AB的方程为,即.
圆心C到直线AB的距离.
所以.
（2）由（1）知圆心C的坐标为,P为AB中点时,,
,直线l的斜率不存在,
直线l的方程为.
21、答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）证明:如图,以B为原点,分别以BC,BA,所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
设,则,,,,
,,
,
,
,
设,其中,则,,,,故,,
设平面的法向量为,
则,令,得,
平面BEF为平面xOy,所以平面BEF的法向量可为,
假设存在点满足条件,设平面BEF与平面的夹角为,
则,即,,符合题意,
所以线段AB上存在点E,满足使得平面与平面BEF夹角的余弦值为.
22、答案：（1）见解析
（2）26585Wh
解析:（1）若选,则当时,该函数无意义,不合题意.
若选,显然该函数是减函数,这与矛盾,不合题意.
故选择,有表中数据得,
解得,所以当时,.
（2）由题可知该汽车在国道路段所用时间为,所耗电量
所以当时,.
该汽车在高速路段所用时间为
所耗电量,
已知在上单调递增,所以.
故当该汽车在国道上行驶速度为40km/h,在高速路上的行驶速度为80km/h时,总耗电量最少,最少为(Wh).
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