2023-2024学年河北省张家口市桥西区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省张家口市桥西区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣1B．y＝2x2﹣1C．2x2＝1D．
2．若＝，则ab＝（ ）
A．6B．C．1D．
3．下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
5．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣4）
6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a＝5，b＝12，c＝13，则tan∠A的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形前视图的形状会改变（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．一元二次方程x2+5＝4x根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能判定
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，则BD等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
10．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17
11．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（ ）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线BD的长度减小
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
12．已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．当F为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
13．小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
14．利用公式解可得一元二次方程式2x2﹣9x+8＝0的两解为a、b，且a＞b，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
15．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为（ ）
A．B．C．D．
16．抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则关于直线y＝ax+k；甲答：一定经过一、四象限，乙答：一定经过一、三象限．则正确的是（ ）
A．甲乙均错B．甲乙均对C．甲错乙对D．甲对乙错
二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17小题2分；18-19小题各4分，每空2分）
17．如图，已知点A（3，3），B（3，1），反比例函数 图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值： ．
18．一个盒子里装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余都相同．几名同学轮流从盒子里摸1个球，记录下所摸球的颜色后，再把球放回盒子里搅匀，记录如下：
根据以上表格可估计摸到红球的概率为 （结果保留小数点后一位），袋中白球约有 个．
19．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使D落在BC边上的F处，且．
（1）△AFB与△FEC是否相似？ （选填“是”或者“否”）．
（2）若则矩形ABCD的面积为 cm2．
三、解答题（本大题共7个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．计算：tan30°﹣2sin60°．
21．有三张大小一样而画面不同的画片，先将每一张从中间剪开，分成上下两部分；然后把三张画片的上半部分都放在第一个盒子中，把下半部分都放在第二个盒子中．分别摇匀后，从每个盒子中各随机地摸出一张，求这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率．
22．教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cs33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）
23．
为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成．生态园的面积能否为40m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
24．如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
25．（17分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4a（a≠0）与x轴的交点为A、B，（点A在点B的左侧），顶点为C．
（1）求AB的长；
（2）若以A、B、C为顶点的三角形为直角三角形，求a的值；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不包括边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
26．如图1，在三角形ABC中，角ACB＝90度，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ．
（1）若三角形BPQ与三角形ABC相似，求t的值；
（2）直接写出三角形BPQ是等腰三角形时t的值；
（3）如图2，连接AQ、CP，若AQ垂直CP，求t的值．
参考答案
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣1B．y＝2x2﹣1C．2x2＝1D．
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a≠0），这样的函数叫做二次函数，进行判断即可．
解：A、是一次函数，不符合题意；
B、是二次函数，符合题意；
C、是一元二次方程，不符合题意；
D、是反比例函数，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．若＝，则ab＝（ ）
A．6B．C．1D．
【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．
解：∵＝，
∴ab＝6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．
3．下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判断．
解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．
故选：D．
【点评】本题考查中心投影的特点是：
①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．
②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
4．若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，求解即可．
解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，
∴这两个三角形对应边的比为1：4，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
5．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣4）
【分析】反比例函数中，k＝xy＝﹣6为定值依此判断即可．
解：反比例函数中，k＝﹣6＝xy，
A、∵（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
B、∵2×3＝6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
C、∵2×（﹣3）＝﹣6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；
D、∵（﹣2）×（﹣4）＝8≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的特征是解答本题的关键．
6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a＝5，b＝12，c＝13，则tan∠A的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由a2+b2＝c2，可得△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，根据，计算求解即可．
解：∵52+122＝169＝132，即a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，正切．根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状是解题的关键．
7．如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形前视图的形状会改变（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】找到从几何体的正面看所得到的图形即可．
解：拿走图中的“乙”一个积木后，此图形前视图的形状会改变，第二列小正方形的个数由原来的两个变成一个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
8．一元二次方程x2+5＝4x根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能判定
【分析】根据题意，求得Δ＜0，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解．
解：∵一元二次方程x2+5＝4x，即x2﹣4x+5＝0，a＝1，b＝﹣4，c＝5，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣20＜0，
∴一元二次方程x2+5＝4x根的情况为没有实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，则BD等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，在Rt△AOB中利用勾股定理即可解决问题．
解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD＝2BO，
在Rt△ABO中，∵∠AOB＝90°，AB＝5，AO＝4，
∴BO＝＝3，
∴BD＝2BO＝6．
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是菱形的性质的正确应用，记住菱形的对角线互相垂直平分，属于中考常考题型．
10．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17
【分析】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
11．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（ ）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线BD的长度减小
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
【分析】由题意可知左扭动矩形框架ABCD，四边形变成平行四边形，四边形的四条边不变，故周长不变，对角线BD减小，但是BC边上的高减小，故面积变小，故选C．
解：向左扭动矩形框架ABCD，只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，A不符合题意；
此时对角线BD减小，对角线AC增大，B不合题意．
BC边上的高减小，故面积变小，C符合题意，
四边形的四条边不变，故周长不变，D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质和平行四边形的性质，熟悉性质是解题关键．
12．已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．当F为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的解析式判断函数的图形即可．
解：∵压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．
∴当F为定值时，压强P与受力面积S之间函数关系是反比例函数，
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例的应用，关键是会判断函数图象．
13．小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
解：∵CM∥DN∥BE，
∴AC：CD：DE＝AM：MN：NB，
∵AC＝CD＝DE，
∴AM＝MN＝NB，
∴这一画图过程体现的数学依据是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，尺规作图，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
14．利用公式解可得一元二次方程式2x2﹣9x+8＝0的两解为a、b，且a＞b，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用公式法求出一元二次方程的解，再根据a＞b即可求解．
解：依题意得：a＝2，b＝﹣9，c＝8，
∴，
∵a、b是原方程的两个解，且a＞b，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．
15．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用勾股定理求得线段AC的长度，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，由旋转的性质得到∠DAB＝∠EAC，再利用相似三角形的判定与性质得到．
解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴．
∵将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置，
∴∠EAD+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△ADB∽△AEC，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质“相似三角形对应边成比例”，旋转的性质“旋转前后对应角相等，对应边相等”，勾股定理“直角三角形两直角边平方之和等于斜边的平方”，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
16．抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则关于直线y＝ax+k；甲答：一定经过一、四象限，乙答：一定经过一、三象限．则正确的是（ ）
A．甲乙均错B．甲乙均对C．甲错乙对D．甲对乙错
【分析】根据已知条件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．
解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴kx＝ax2﹣a，
∴ax2﹣kx﹣a＝0．
∴，
∵x1+x2＜0，
∴．
当a＞0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第一、三、四象限，
当a＜0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、四象限，
综上所述，y＝ax+k一定经过一、四象限．
∴甲对乙错；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17小题2分；18-19小题各4分，每空2分）
17．如图，已知点A（3，3），B（3，1），反比例函数 图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值： k＝4（答案不唯一） ．
【分析】把点A（3，3），B（3，1）代入y＝即可得到k的值，从而得结论．
解：由图可知：k＞0，
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象与线段AB有交点，且点A（3，3），B（3，1），
∴把B （3，1）代入y＝得，k＝3，
把A（3，3）代入y＝得，k＝3×3＝9，
∴满足条件的k值的范围是3≤k≤9的整数，
故k＝4（答案不唯一），
故答案为：k＝4（答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
18．一个盒子里装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余都相同．几名同学轮流从盒子里摸1个球，记录下所摸球的颜色后，再把球放回盒子里搅匀，记录如下：
根据以上表格可估计摸到红球的概率为 0.5 （结果保留小数点后一位），袋中白球约有 10 个．
【分析】利用平均数的定义和概率公式求解即可．
解：摸到红球的频率分别为0.55，0.56，0.56，0.48，0.49，0.49，0.49，0.51，0.51，0.51，0.50，0.50，
（0.55+0.56+0.56+0.48+0.49+0.49+0.49+0.51+0.51+0.51+0.50+0.50）≈0.5，
若从盒子里随机摸出一只球，则摸到红球的概率的估计值为0.5，
设袋中白球约有m个，
根据题意得＝0.5，
解得：m＝10．
即袋中白球约有10个．
故答案为：0.5，10．
【点评】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
19．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使D落在BC边上的F处，且．
（1）△AFB与△FEC是否相似？ 是 （选填“是”或者“否”）．
（2）若则矩形ABCD的面积为 80 cm2．
【分析】（1）先根据矩形的四个角都是直角可得：∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠的性质得：∠AFE＝∠D＝90°，最后由同角的余角相等和相似三角形的判定可得结论；
（2）设CE＝3x cm，根据三角函数定义和勾股定理可得DE＝EF＝5x cm，先根据相似三角形的性质可得x的值，由矩形的面积公式可解答．
解：（1）△AFB与△FEC相似，
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由折叠得：∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠CFE＝∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠AFB＝∠CEF，
∴△ABF∽△FCE，
故答案为：是；
（2）∵，CE＝3x cm，
∴CF＝4x cm，
由勾股定理得：EF＝5x cm，
由折叠得：DE＝EF＝5x cm；
∴AB＝CD＝8x cm，
∵△ABF∽△FCE，
∴，即．
∴BF＝6x cm，
∴BC＝AD＝10x cm，
∵，
∴AE2＝AD2+DE2，即，
∴x＝1，
∴AB＝CD＝8cm，AD＝BC＝10cm，
∴．
故答案为：80．
【点评】本题是相似三角形的综合题，考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形的运用，求出矩形的长宽是求面积的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．计算：tan30°﹣2sin60°．
【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可
解：原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
21．有三张大小一样而画面不同的画片，先将每一张从中间剪开，分成上下两部分；然后把三张画片的上半部分都放在第一个盒子中，把下半部分都放在第二个盒子中．分别摇匀后，从每个盒子中各随机地摸出一张，求这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及这两张恰好能拼成原来的一幅画的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：设这三张画片的上半部分分别记为a，b，c，对应的下半部分分别记为A，B，C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中这两张恰好能拼成原来的一幅画的结果有：aA，bB，cC，共3种，
∴这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cs33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
解：在Rt△ABC中，AB＝120cm，∠BAC＝90°，∠B＝33.7°，
∴tanB＝，
∴AC＝AB•tan33.7°≈120×0.67＝80.4≈80（cm），
∴AC的长约为80cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．
为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成．生态园的面积能否为40m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
【分析】设AB的长度为x m，则BC的长度为m，由“生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成，生态园的面积为40m2”，列出一元二次方程，解方程即可．
解：生态园的面积能为40m2，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
设AB的长度为x m，则BC的长度为m，
由题意得：x•＝40，
整理得：x2﹣18x+80＝0，
解得：x1＝10，x2＝8，
∴生态园的面积能为40m2，AB的长为10m或8m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、矩形的性质等知识，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
24．如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
【分析】根据已知条件证明△BOF≌△DOE，得到OE＝OF，进而证明四边形EBFD是平行四边形，即可证明平行四边形EBFD是菱形．
解：四边形EBFD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵点O是BD的中点，
∴DO＝BO，
又∵∠EOD＝∠FOB，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形EBFD是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形等知识，掌握全等三角形判断是解题的关键．
25．（17分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4a（a≠0）与x轴的交点为A、B，（点A在点B的左侧），顶点为C．
（1）求AB的长；
（2）若以A、B、C为顶点的三角形为直角三角形，求a的值；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不包括边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）令y＝0，则ax2﹣4a＝0，解值可得点A、点B的坐标，即可求解；
（2）由题意可得抛物线的对称轴为y轴，顶点C的坐标为（0，﹣4a），点A，点B关于y轴对称，则OA＝OB，进而可知当△ABC为直角三角形时，∠ACB＝90°，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可知，可得﹣4a＝±2，即可求解；
（3）当a＞0时，作出图形，找到临界点①当时，②当时，利用数形结合判断区域内（不包括边界）整点个数，当a＜0时，同理求解即可．
解：（1）令y＝0，则ax2﹣4a＝0，即a（x+2）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣2，则A（﹣2，0），B（2，0），
∴AB＝4；
（2）∵y＝ax2﹣4a（a≠0），
∴抛物线的对称轴为y轴，顶点C的坐标为（0，﹣4a），
∵A（﹣2，0），B（2，0），
∴点A，点B关于y轴对称，则OA＝OB，
∵点C（0，﹣4a）在y轴上，
∴当△ABC为直角三角形时，∠ACB＝90°，
∴，
即﹣4a＝±2，
解得：；
（3）如图1，
当a＞0时，
①当时，抛物线的顶点C的坐标为（0，﹣1），
抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内没有整点．
②当时，抛物线的顶点C的坐标为，
，
解得：x1＝﹣1，x2＝1，抛物线经过点（﹣1，﹣1），（1，﹣1），
抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内恰有1个整点．
则当时，抛物线在前两者之间，也恰有1个整点，
∴；
同理，如图2，
当a＜0时，；
综上，或．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数与x轴交点问题，直角三角形斜边中线等于斜边一半．分类讨论a的情况，利用数形结合解题是解题的关键．
26．如图1，在三角形ABC中，角ACB＝90度，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ．
（1）若三角形BPQ与三角形ABC相似，求t的值；
（2）直接写出三角形BPQ是等腰三角形时t的值；
（3）如图2，连接AQ、CP，若AQ垂直CP，求t的值．
【分析】（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA＝BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC＝BQ：BA，再根据BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，代入计算即可；
（2）分三种情况：①当PB＝PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ，则BH＝BQ＝4﹣2t，PB＝5t，根据平行线分线段成比例定理得到，即解得t＝，②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t，解得t＝，③当BQ＝PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，则BG＝PB＝t，BQ＝8﹣4t，通过△BGQ∽△ACB，得到比例式，解得：t＝．
（3）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝10cm；
分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，＝，
∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，
∴＝，解得，t＝1，
②当△BPQ∽△BCA时，＝，
∴＝，解得，t＝；
∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA；
（2）分三种情况：
①当PB＝PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ，
则BH＝BQ＝4﹣2t，PB＝5t，
∴PH∥AC，
∴，即
解得：t＝，
②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t，
解得：t＝，
③当BQ＝PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，
则BG＝PB＝t，BQ＝8﹣4t，
∵△BGQ∽△ACB，
∴，
即，
解得：t＝．
综上所述：△BPQ是等腰三角形时t的值为：或或．
（3）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示：
则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，
∵AQ⊥CP，
∴∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM，
∵∠ACQ＝∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴，解得t＝，
∴满足条件的t的值为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
画法
图形
（1）以A为端点画一条射线；
（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
（3）过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N．M、N就是线段AB的三等分点．

摸球次数
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
出现红球的频数
11
23
33
38
49
59
69
81
91
101
109
121
画法
图形
（1）以A为端点画一条射线；
（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
（3）过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N．M、N就是线段AB的三等分点．

摸球次数
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
出现红球的频数
11
23
33
38
49
59
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81
91
101
109
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