北京市人大附中丰台校区2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份北京市人大附中丰台校区2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题2分，共16分）
1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是（ ）．
A．B．C．D．
3．如图，圆心角，则的度数是（ ）
A．70°B．55°C．125°D．130°
4．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．右面图2中的图案可以由图1中的基本图案以点O为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角，依次旋转若干次形成，则旋转角的值不可能是（ ）
图1 图2
A．36°B．72°C．144°D．216°
5．已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，AB是的一条弦，点C是上一动点，且，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与交于G，H两点，若的半径是4，则的最大值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．抛物线上，部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
则下列结论正确的有（ ）
①；
②；
③抛物线的对称轴为直线；
④方程的两个根满足，．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．下面三个问题中都有两个变量y与x：
①小清去香山观赏红叶，他登顶所用的时间与平均速度；
②用绳子围成周长为10m的矩形，矩形的一边长与它的面积；
③正方形边框的边长与面积；
其中，变量y与x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可用如图所示的函数图象表示的有（ ）
A．①B．②C．③D．②③
二、填空题（每题2分，共16分）
9．方程的解是__________．
10．一个扇形的弧长为，半径为6，则此扇形的圆心角度数为__________°，此扇形的面积为__________．
11．如图，AB是半径为4的的弦，于点C，交于点D，若，则弦AB为__________．
12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________．
13．写出一个函数值有最大值，且最大值是2的二次函数解析式__________．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是，，是的外接圆，则点M的坐标为__________．
15．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的半径为__________步．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点、，的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为__________．
三、解答题（本题共68分．第17题-22题每小题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分．）
17．解方程：．
18．求证：圆内接四边形的对角互补．
己知：如图，四边形ABCD内接于．
求证：
请根据上图中的辅助线，完成定理的证明过程．
证明：
19．如图，内接于，AE是的直径，，垂足为D，求证：．
20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）在坐标系中画出该函数图象，并结合函数图象回答，当时，x的取值范围是__________．
21．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围．
22．已知：和圆外一点P，求作：过点P的的切线．
作法：①连接OP；
②分别以O，P为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接MN，交OP于点C．
③以C为圆心，OC长为半径作，交于点A，B；
④作直线PA，PB．
所以直线PA，PB为的切线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接MP，MO，NP，NO，OA，OB．
∵，，
∴MN是线段OP的垂直平分线（__________）（填推理的依据）．
∴．
∵OP为的直径，A，B在上
∴（__________）（填推理的依据）．
∴半径，半径．
∴直线PA，PB为的切线（__________）（填推理的依据）．
23．2021年公司某产品产量为5000件，公司规划到2024年底生产产品的产量达到16500件．经过两年，到2023年底年产量达到了11250件，保持这样的增长率不变，到2024年底是否能完成公司的五年规划？请计算说明．
24．如图，AB是的直径，直线PQ经过上的点E，于点C，交于D，AE平分．
（1）求证：直线PQ是的切线；
（2）若，，求CD的长．
25．实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．甲、乙两人分别进行了一次投掷，从投掷到着陆的过程中，通过测量得到实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的相关数据信息，如下所示：
信息1：甲投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
建立如图所示的平面直角坐标系，绘制图象如下：
信息2：甲、乙两人投掷时，出手高度相同；
信息3：乙投掷后，实心球的水平距离为3.5m时达到了竖直高度的最大值2.85m．
根据以上信息，回答问题：
（1）直接写出甲投掷的实心球竖直高度的最大值__________
（2）求甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系；
（3）记甲实心球成绩为，乙实心球成绩为，则_________（填“>”、“．
26．（1）解：∵
∴抛物线顶点坐标为．
（2）将代入得
将代入得
∴
（3）．
27．（本题满分7分）
（1）补全图形如下图，
DM与ME之间的数量关系为．
证明：连接AE，AD，
∵，，
∴．
∴．
∵由旋转，，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵于M，
∴．
（2）
证明：连接AD，AE，BM．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵由（1）得，
∴BM是的中位线．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∵N为BE中点，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵由（1），，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
28．（本题满分7分）
解：（1）B，C．
（2）．
（3）．考生须知
1．本练习共三道大题28小题，共6页，满分100分。练习时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、学号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将答题卡交回。
x
……
-1
0
1
2
3
……
y
……
1
-2
-3
-2
1
……
水平距离x/m
0
2
4
6
8
10
竖直距离y/m
1.87
2.95
3.31
2.95
?
0.07